Shulba Sutras - Shulba Sutras

Los Shulba Sutras o Śulbasūtras ( sánscrito : शुल्बसूत्र; śulba : "cuerda, cuerda, cuerda") son textos de sutra que pertenecen al ritual Śrauta y que contienen geometría relacionada con la construcción del altar de fuego .

Objeto y orígenes

Los Shulba Sutras son parte del corpus más amplio de textos llamados Shrauta Sutras , considerados apéndices de los Vedas . Son las únicas fuentes de conocimiento de las matemáticas indias del período védico . Las formas únicas del altar de fuego se asociaron con dones únicos de los dioses. Por ejemplo, "el que desee el cielo debe construir un altar de fuego en forma de halcón"; "un altar de fuego en forma de tortuga debe ser construido por alguien que desee ganar el mundo de Brahman" y "aquellos que deseen destruir enemigos existentes y futuros deben construir un altar de fuego en forma de rombo".

Los cuatro principales Shulba Sutras, que son matemáticamente los más significativos, son los atribuidos a Baudhayana , Manava , Apastamba y Katyayana . Su idioma es sánscrito védico tardío , lo que apunta a una composición aproximadamente durante el primer milenio a . C. El más antiguo es el sutra atribuido a Baudhayana, posiblemente compilado alrededor del 800 a. C. al 500 a. C. Pingree dice que el Apastamba es probablemente el siguiente en edad; coloca el Katyayana y el Manava tercero y cuarto cronológicamente, sobre la base de aparentes préstamos. Según Plofker, el Katyayana se compuso después de "la gran codificación gramatical del sánscrito por Pāṇini probablemente a mediados del siglo IV a. C.", pero coloca al Manava en el mismo período que el Baudhayana.

Con respecto a la composición de los textos védicos, Plofker escribe:

La veneración védica del sánscrito como un discurso sagrado, cuyos textos divinamente revelados estaban destinados a ser recitados, escuchados y memorizados en lugar de transmitidos por escrito, ayudó a dar forma a la literatura sánscrita en general. ... Así, los textos se compusieron en formatos que podían memorizarse fácilmente: ya sea aforismos en prosa condensada ( sūtras, una palabra que luego se aplicó para significar una regla o algoritmo en general) o verso, particularmente en el período clásico. Naturalmente, la facilidad de memorización a veces interfería con la facilidad de comprensión. Como resultado, la mayoría de los tratados se complementaron con uno o más comentarios en prosa ... "

Hay varios comentarios para cada uno de los Shulba Sutras, pero estos fueron escritos mucho después de las obras originales. El comentario de Sundararāja sobre el Apastamba, por ejemplo, proviene de finales del siglo XV EC y el comentario de Dvārakãnātha sobre el Baudhayana parece tomar prestado de Sundararāja. Según Staal, ciertos aspectos de la tradición descrita en los Shulba Sutras se habrían "transmitido oralmente", y señala lugares en el sur de la India donde todavía se practica el ritual del altar de fuego y se conserva una tradición oral. Sin embargo, la tradición del altar de fuego se extinguió en gran medida en la India, y Plofker advierte que esos lugares donde permanece la práctica pueden reflejar un avivamiento védico posterior en lugar de una tradición ininterrumpida. La evidencia arqueológica de las construcciones del altar descritas en los Shulba Sutras es escasa. En las excavaciones de GR Sharma en Kausambi se encontró un gran altar de fuego en forma de halcón ( śyenaciti ), que data del siglo II a. C. , pero este altar no se ajusta a las dimensiones prescritas por los Shulba Sutras.

Portada de un tratado de Śulbasūtra por el matemático indio Kātyāyana alrededor del siglo II a. C.

Es probable que el contenido de los Shulba Sutras sea más antiguo que las obras mismas. El Satapatha Brahmana y el Taittiriya Samhita , cuyo contenido data de finales del segundo milenio o principios del primer milenio a. C., describen altares cuyas dimensiones parecen estar basadas en el triángulo rectángulo con catetos de 15 pada y 36 pada , uno de los triángulos enumerados en la Baudhayana Shulba Sutra.

Varios matemáticos e historiadores mencionan que los primeros textos fueron escritos a partir del 800 a. C. por hindúes védicos basados en compilaciones de una tradición oral que se remonta al 2000 a. C. Es posible, como propone Gupta, que la geometría se haya desarrollado para satisfacer las necesidades del ritual. Algunos estudiosos van más allá: Staal plantea la hipótesis de un origen ritual común para la geometría india y griega, citando un interés y un enfoque similares a la duplicación y otros problemas de transformación geométrica. Seidenberg, seguido por van der Waerden, ve un origen ritual para las matemáticas de manera más amplia, postulando que los principales avances, como el descubrimiento del teorema de Pitágoras, ocurrieron en un solo lugar y se difundieron desde allí al resto del mundo. Van der Waerden menciona que el autor de los sutras Sulbha existió antes del 600 a. C. y no pudo haber sido influenciado por la geometría griega. Si bien Boyer menciona las matemáticas de la antigua Babilonia (c. 2000 a. C. – 1600 a. C.) como un posible origen, sin embargo, también afirma que los sutras de Shulba contienen una fórmula que no se encuentra en las fuentes de Babilonia. KS Krishnan menciona que los sutras de Shulba son anteriores a los triples de Pitágoras mesopotámicos. Seidenberg sostiene que "la vieja Babilonia obtuvo el teorema de Pitágoras de la India o que la vieja Babilonia y la India lo obtuvieron de una tercera fuente". Seidenberg sugiere que esta fuente podría ser sumeria y puede ser anterior al 1700 a. C. En contraste, Pingree advierte que "sería un error ver en las obras [de los constructores de altar] el origen único de la geometría; otros en la India y en otros lugares, ya sea en respuesta a problemas prácticos o teóricos, bien pueden haber avanzado tan lejos sin sus soluciones han sido memorizadas o eventualmente transcritas en manuscritos ". Plofker también plantea la posibilidad de que "el conocimiento geométrico existente [fue] incorporado conscientemente en la práctica ritual".

Lista de Shulba Sutras

Apastamba
Baudhayana
Manava
Katyayana
Maitrayaniya (algo similar al texto Manava)
Varaha (en manuscrito)
Vadhula (en manuscrito)
Hiranyakeshin (similar a Apastamba Shulba Sutras)

Matemáticas

Teorema de Pitágoras y triples de Pitágoras

Los sutras contienen enunciados del teorema de Pitágoras , tanto en el caso de un triángulo rectángulo isósceles como en el caso general, así como listas de triples pitagóricos . En Baudhayana, por ejemplo, las reglas se dan de la siguiente manera:

1.9. La diagonal de un cuadrado produce el doble del área [del cuadrado].
[...]
1.12. Las áreas [de los cuadrados] producidas por separado por las longitudes del ancho de un rectángulo juntas equivalen al área [del cuadrado] producida por la diagonal.
1,13. Esto se observa en rectángulos que tienen lados 3 y 4, 12 y 5, 15 y 8, 7 y 24, 12 y 35, 15 y 36.

De manera similar, las reglas de Apastamba para construir ángulos rectos en altares de fuego usan los siguientes triples pitagóricos:

${\ displaystyle (3,4,5)}$
${\ displaystyle (5,12,13)}$
${\ displaystyle (8,15,17)}$
${\ displaystyle (12,35,37)}$

Además, los sutras describen los procedimientos para construir un cuadrado con un área igual a la suma o la diferencia de dos cuadrados dados. Ambas construcciones proceden dejando que el más grande de los cuadrados sea el cuadrado de la diagonal de un rectángulo, y dejando que los dos cuadrados más pequeños sean los cuadrados de los lados de ese rectángulo. La afirmación de que cada procedimiento produce un cuadrado del área deseada es equivalente a la afirmación del teorema de Pitágoras. Otra construcción produce un cuadrado con un área igual a la de un rectángulo dado. El procedimiento consiste en cortar una pieza rectangular del extremo del rectángulo y pegarla a un lado para formar un gnomon de área igual al rectángulo original. Dado que un gnomon es la diferencia de dos cuadrados, el problema se puede completar usando una de las construcciones anteriores.

Geometría

El sutra Baudhayana Shulba da la construcción de formas geométricas como cuadrados y rectángulos. También da, a veces aproximadas, transformaciones que preservan el área geométrica de una forma geométrica a otra. Estos incluyen transformar un cuadrado en un rectángulo , un trapecio isósceles , un triángulo isósceles , un rombo y un círculo , y transformar un círculo en un cuadrado. En estos textos, las aproximaciones, como la transformación de un círculo en un cuadrado, aparecen al lado de enunciados más precisos. Como ejemplo, el enunciado de rodear el cuadrado con un círculo se da en Baudhayana como:

2.9. Si se desea transformar un cuadrado en un círculo, [una cuerda de longitud] la mitad de la diagonal [del cuadrado] se estira desde el centro hacia el este [una parte de ella queda fuera del lado este del cuadrado]; con un tercio [de la parte que está afuera] agregado al resto [de la mitad de la diagonal], se dibuja el círculo [requerido].

y el enunciado de elevar al cuadrado el círculo se da como:

2.10. Para transformar un círculo en un cuadrado, el diámetro se divide en ocho partes; una [tal] parte después de ser dividida en veintinueve partes se reduce en veintiocho de ellas y además en la sexta [de la parte que queda] menos la octava [de la sexta parte].
2.11. Alternativamente, divida [el diámetro] en quince partes y redúzcalo en dos de ellas; esto da el lado aproximado del cuadrado [deseado].

Las construcciones en 2.9 y 2.10 dan un valor de π como 3.088, mientras que la construcción en 2.11 da π como 3.004.

Raíces cuadradas

La construcción del altar también llevó a una estimación de la raíz cuadrada de 2 que se encuentra en tres de los sutras. En el sutra Baudhayana aparece como:

2.12. La medida se incrementará en su tercio y este [tercero] nuevamente en su propio cuarto menos la trigésimo cuarta parte [de ese cuarto]; este es [el valor de] la diagonal de un cuadrado [cuyo lado es la medida].

lo que lleva al valor de la raíz cuadrada de dos como:

{\ Displaystyle {\ sqrt {2}} \ approx 1 + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3 \ cdot 4}} - {\ frac {1} {3 \ cdot 4 \ cdot 34}} = {\ frac {577} {408}} = 1.4142 ...}

De hecho, en algunos Sutras se puede encontrar un método temprano para calcular raíces cuadradas, el método implica la fórmula recursiva : para valores grandes de x, que se basa en la identidad no recursiva para valores de r extremadamente pequeños en relación con a . ${\ Displaystyle {\ sqrt {x}} \ approx {\ sqrt {x-1}} + {\ frac {1} {2 \ cdot {\ sqrt {x-1}}}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + r}} \ approx a + {\ frac {r} {2 \ cdot a}}}$

También se ha sugerido, por ejemplo, por Bürk que esta aproximación de √2 implica el conocimiento de que √2 es irracional . En su traducción de los Elementos de Euclides , Heath describe una serie de hitos necesarios para que se considere que la irracionalidad ha sido descubierta, y señala la falta de evidencia de que las matemáticas indias hayan alcanzado esos hitos en la era de los Shulba Sutras.

Ver también

Kalpa (Vedanga)

Citas y notas a pie de página

Referencias

Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Segunda ed.). John Wiley e hijos . ISBN 0-471-54397-7.
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Bryant, Edwin (2001). La búsqueda de los orígenes de la cultura védica: el debate sobre la migración indo-aria . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 9780195137774.
Cooke, Roger (2005) [Publicado por primera vez en 1997]. La historia de las matemáticas: un curso breve . Wiley-Interscience . ISBN 0-471-44459-6.
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Traducciones

"La Śulvasútra de Baudháyana, con el comentario de Dvárakánáthayajvan", de George Thibaut, se publicó en una serie de números de The Pandit. Revista mensual, del Benares College, dedicada a la literatura sánscrita . Tenga en cuenta que el comentario se deja sin traducir.
- (1875) 9 (108): 292–298
- (1875–1876) 10 (109): 17–22 , (110): 44–50 , (111): 72–74 , (114): 139–146 , (115): 166–170 , (116): 186–194 , (117): 209–218
- (nueva serie) (1876–1877) 1 (5): 316–322 , (9): 556–578 , (10): 626–642 , (11): 692–706 , (12): 761–770
"El Śulbapariśishta de Kátyáyana con el comentario de Ráma, hijo de Súryadása", de George Thibaut, se publicó en una serie de números de The Pandit. Revista mensual, del Benares College, dedicada a la literatura sánscrita . Tenga en cuenta que el comentario se deja sin traducir.
- (nueva serie) (1882) 4 (1–4): 94–103 , (5–8): 328–339 , (9–10): 382–389 , (9–10): 487–491
Bürk, Albert (1902). "Das Āpastamba-Śulba-Sūtra, herausgegeben, übersetzt und mit einer Einleitung versehen" . Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft (en alemán). 56 : 327–391. Transcripción y análisis en Bürk (1901) .
Sen, SN; Bag, AK (1983). Los Śulba Sūtras de Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana y Mānava con texto, traducción al inglés y comentarios . Nueva Delhi: Academia Nacional de Ciencias de la India.

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