Triángulo - Triangle

Triángulo equilátero
Polígono regular 3 annotated.svg
Un triangulo regular
Escribe Polígono regular
Aristas y vértices 3
Símbolo de Schläfli {3}
Diagrama de Coxeter Nodo CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Grupo de simetría Diedro (D 3 ), orden 2 × 3
Ángulo interno ( grados ) 60 °
Polígono dual Uno mismo
Propiedades Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal
Triángulo
Triángulo illustration.svg
Un triángulo
Aristas y vértices 3
Símbolo de Schläfli {3} (para equilátero)
Zona varios métodos;
vea abajo
Ángulo interno ( grados ) 60 ° (para equilátero)
triángulo, tri, tres, ángulo
Triángulo = Tri (tres) + Ángulo

Un triángulo es un polígono con tres aristas y tres vértices . Es una de las formas básicas en geometría . Un triángulo con vértices A , B , y C se denota .

En la geometría euclidiana , tres puntos cualesquiera, cuando no son colineales , determinan un triángulo único y, simultáneamente, un plano único (es decir, un espacio euclidiano bidimensional ). En otras palabras, solo hay un plano que contiene ese triángulo, y cada triángulo está contenido en algún plano. Si toda la geometría es solo el plano euclidiano , solo hay un plano y todos los triángulos están contenidos en él; sin embargo, en los espacios euclidianos de dimensiones superiores, esto ya no es cierto. Este artículo trata sobre triángulos en geometría euclidiana y, en particular, el plano euclidiano, salvo que se indique lo contrario.

Tipos de triangulo

Diagrama de Euler de tipos de triángulos, utilizando la definición de que los triángulos isósceles tienen al menos 2 lados iguales (es decir, los triángulos equiláteros son isósceles).

La terminología para categorizar triángulos tiene más de dos mil años, habiendo sido definida en la primera página de los Elementos de Euclides . Los nombres utilizados para la clasificación moderna son una transliteración directa del griego de Euclides o sus traducciones latinas.

Por longitudes de lados

El matemático griego antiguo Euclides definió tres tipos de triángulos según la longitud de sus lados:

Griego : τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς , ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς , σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς , lit. "De las figuras trilaterales, un triángulo isopleuron [equilátero] es el que tiene sus tres lados iguales, un isósceles el que tiene dos de sus lados solamente iguales, y un escaleno el que tiene sus tres lados desiguales".

  • Un triángulo equilátero ( griego : ἰσόπλευρον , romanizadoisópleuron , literalmente 'lados iguales') tiene tres lados de la misma longitud. Un triángulo equilátero también es un polígono regular con todos los ángulos que miden 60 °.
  • Un triángulo isósceles ( griego : ἰσοσκελὲς , romanizadoisoskelés , literalmente , 'piernas iguales') tiene dos lados de igual longitud. Un triángulo isósceles también tiene dos ángulos de la misma medida, es decir, los ángulos opuestos a los dos lados de la misma longitud. Este hecho es el contenido del teorema del triángulo isósceles , conocido por Euclides . Algunos matemáticos definen un triángulo isósceles para tener exactamente dos lados iguales, mientras que otros definen un triángulo isósceles como uno con al menos dos lados iguales. La última definición haría que todos los triángulos equiláteros sean triángulos isósceles. El triángulo rectángulo 45–45–90, que aparece en el mosaico cuadrado de tetrakis , es isósceles.
  • Un triángulo escaleno ( griego : σκαληνὸν , romanizadoskalinón , literalmente 'desigual') tiene todos sus lados de diferentes longitudes. De manera equivalente, tiene todos los ángulos de diferente medida.

Las marcas de trama , también llamadas marcas de graduación, se utilizan en diagramas de triángulos y otras figuras geométricas para identificar lados de igual longitud. Un lado se puede marcar con un patrón de "garrapatas", segmentos de línea cortos en forma de marcas de conteo ; dos lados tienen la misma longitud si ambos están marcados con el mismo patrón. En un triángulo, el patrón no suele tener más de 3 tics. Un triángulo equilátero tiene el mismo patrón en los 3 lados, un triángulo isósceles tiene el mismo patrón en solo 2 lados y un triángulo escaleno tiene diferentes patrones en todos los lados, ya que ningún lado es igual.

De manera similar, los patrones de 1, 2 o 3 arcos concéntricos dentro de los ángulos se utilizan para indicar ángulos iguales: un triángulo equilátero tiene el mismo patrón en los 3 ángulos, un triángulo isósceles tiene el mismo patrón en solo 2 ángulos y un triángulo escaleno tiene diferentes patrones en todos los ángulos, ya que ningún ángulo es igual.

Por ángulos internos

La primera página de los Elementos de Euclides , de la primera versión impresa del mundo (1482), que muestra la sección de "definiciones" del Libro I. El triángulo rectángulo está etiquetado como " ortogonius ", y los dos ángulos que se muestran son "acutus" y "angulus obtusus". .

Los triángulos también se pueden clasificar según sus ángulos internos , medidos aquí en grados .

  • Un triángulo rectángulo (o triángulo rectángulo , anteriormente llamado triángulo rectángulo ) tiene uno de sus ángulos interiores que mide 90 ° (un ángulo recto ). El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa , el lado más largo del triángulo. Los otros dos lados se llaman las piernas o catetos (singular: cateto ) del triángulo. Triángulos rectángulos obedecen el teorema de Pitágoras : la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos patas es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa: un 2 + b 2 = c 2 , donde un y b son las longitudes de las patas y c es la longitud de la hipotenusa. Los triángulos rectángulos especiales son triángulos rectángulos con propiedades adicionales que facilitan los cálculos que los involucran. Uno de los dos más famosos es el triángulo rectángulo 3–4–5, donde 3 2 + 4 2 = 5 2 . El triángulo 3–4–5 también se conoce como triángulo egipcio. En esta situación, 3, 4 y 5 son un triple pitagórico . El otro es un triángulo isósceles que tiene 2 ángulos que miden 45 grados (triángulo 45-45-90).
  • Un triángulo cuyos ángulos interiores miden menos de 90 ° es un triángulo agudo o un triángulo agudo . Si c es la longitud del lado más largo, entonces a 2 + b 2 > c 2 , donde a y b son las longitudes de los otros lados.
  • Un triángulo con un ángulo interior que mide más de 90 ° es un triángulo obtuso o un triángulo de ángulo obtuso . Si c es la longitud del lado más largo, entonces a 2 + b 2 < c 2 , donde a y b son las longitudes de los otros lados.
  • Un triángulo con un ángulo interior de 180 ° (y vértices colineales ) está degenerado . Un triángulo degenerado recto tiene vértices colineales, dos de los cuales son coincidentes.

Un triángulo que tiene dos ángulos con la misma medida también tiene dos lados con la misma longitud y, por lo tanto, es un triángulo isósceles. De ello se deduce que en un triángulo donde todos los ángulos tienen la misma medida, los tres lados tienen la misma longitud y, por lo tanto, es equilátero.

Triángulo rectángulo Triángulo obtuso Triángulo agudo
Derecha Obtuso Agudo
 
  Oblicuo

Hechos básicos

Un triángulo que muestra el ángulo exterior d.

Se supone que los triángulos son figuras planas bidimensionales , a menos que el contexto indique lo contrario (consulte Triángulos no planos , a continuación). En tratamientos rigurosos, un triángulo se llama por lo tanto un 2- simplex (ver también Polytope ). Euclides presentó datos elementales sobre triángulos en los libros 1 a 4 de sus Elementos , escritos alrededor del año 300 a. C.

Las medidas de los ángulos interiores del triángulo siempre suman 180 grados (mismo color para señalar que son iguales).

La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo en el espacio euclidiano es siempre 180 grados. Este hecho es equivalente al postulado paralelo de Euclides . Esto permite determinar la medida del tercer ángulo de cualquier triángulo, dada la medida de dos ángulos. Un ángulo exterior de un triángulo es un ángulo que es un par lineal (y por lo tanto suplementario ) a un ángulo interior. La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores que no son adyacentes a él; este es el teorema del ángulo exterior . La suma de las medidas de los tres ángulos exteriores (uno para cada vértice) de cualquier triángulo es 360 grados.

Similitud y congruencia

Se dice que dos triángulos son similares , si cada ángulo de un triángulo tiene la misma medida que el ángulo correspondiente en el otro triángulo. Los lados correspondientes de triángulos similares tienen longitudes que están en la misma proporción, y esta propiedad también es suficiente para establecer similitudes.

Algunos teoremas básicos sobre triángulos semejantes son:

  • Si y solo si un par de ángulos internos de dos triángulos tienen la misma medida que el otro, y otro par también tiene la misma medida que el otro, los triángulos son similares.
  • Si y solo si un par de lados correspondientes de dos triángulos están en la misma proporción que otro par de lados correspondientes, y sus ángulos incluidos tienen la misma medida, entonces los triángulos son similares. (El ángulo incluido para dos lados cualesquiera de un polígono es el ángulo interno entre esos dos lados).
  • Si y solo si tres pares de lados correspondientes de dos triángulos están todos en la misma proporción, entonces los triángulos son similares.

Dos triángulos que son congruentes tienen exactamente el mismo tamaño y forma: todos los pares de ángulos interiores correspondientes tienen la misma medida y todos los pares de lados correspondientes tienen la misma longitud. (Esto es un total de seis igualdades, pero tres suelen ser suficientes para demostrar la congruencia).

Algunas condiciones individualmente necesarias y suficientes para que un par de triángulos sea congruente son:

  • Postulado SAS: Dos lados de un triángulo tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos incluidos tienen la misma medida.
  • ASA: Dos ángulos interiores y el lado incluido en un triángulo tienen la misma medida y longitud, respectivamente, que los del otro triángulo. (El lado incluido para un par de ángulos es el lado que les es común).
  • SSS: Cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que el lado correspondiente del otro triángulo.
  • AAS: Dos ángulos y un lado correspondiente (no incluido) en un triángulo tienen la misma medida y longitud, respectivamente, que los del otro triángulo. (Esto a veces se denomina AAcorrS y luego incluye ASA arriba).

Algunas condiciones individuales suficientes son:

  • Teorema de hipotenusa-cateto (HL): La hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo tienen la misma longitud que los de otro triángulo rectángulo. Esto también se llama RHS (ángulo recto, hipotenusa, lateral).
  • Teorema de hipotenusa-ángulo: la hipotenusa y un ángulo agudo en un triángulo rectángulo tienen la misma longitud y medida, respectivamente, que los del otro triángulo rectángulo. Este es solo un caso particular del teorema de AAS.

Una condición importante es:

  • Condición de lado-lado-ángulo (o ángulo-lado-lado): si dos lados y un ángulo no incluido correspondiente de un triángulo tienen la misma longitud y medida, respectivamente, que los de otro triángulo, entonces esto no es suficiente para demostrar congruencia; pero si el ángulo dado es opuesto al lado más largo de los dos lados, entonces los triángulos son congruentes. El teorema hipotenusa-pierna es un caso particular de este criterio. La condición Side-Side-Angle no garantiza por sí misma que los triángulos sean congruentes porque un triángulo podría tener un ángulo obtuso y el otro un ángulo agudo.

Usando triángulos rectángulos y el concepto de semejanza, se pueden definir las funciones trigonométricas seno y coseno. Estas son funciones de un ángulo que se investigan en trigonometría .

Triángulos rectángulos

El teorema de Pitágoras

Un teorema central es el teorema de Pitágoras , que establece en cualquier triángulo rectángulo , el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. Si la hipotenusa tiene una longitud c , y las piernas tienen longitudes a y b , entonces los estados teorema que

Lo contrario es cierto: si las longitudes de los lados de un triángulo satisfacen la ecuación anterior, entonces el triángulo tiene un ángulo recto opuesto al lado c .

Algunos otros datos sobre los triángulos rectángulos:

  • Si los catetos de un triángulo rectángulo tienen la misma longitud, entonces los ángulos opuestos a esos catetos tienen la misma medida. Dado que estos ángulos son complementarios, se deduce que cada uno mide 45 grados. Según el teorema de Pitágoras, la longitud de la hipotenusa es la longitud de un cateto multiplicado por 2 .
  • En un triángulo rectángulo con ángulos agudos que miden 30 y 60 grados, la hipotenusa es el doble de la longitud del lado más corto y el lado más largo es igual a la longitud del lado más corto multiplicado por 3 :

Para todos los triángulos, los ángulos y los lados están relacionados por la ley de los cosenos y la ley de los senos (también llamada regla del coseno y regla del seno ).

Existencia de un triangulo

Condición en los lados

La desigualdad del triángulo establece que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser mayor o igual que la longitud del tercer lado. Esa suma puede ser igual a la longitud del tercer lado solo en el caso de un triángulo degenerado, uno con vértices colineales. No es posible que esa suma sea menor que la longitud del tercer lado. Un triángulo con tres longitudes de lados positivas dadas existe si y solo si esas longitudes de lados satisfacen la desigualdad del triángulo.

Condiciones en los ángulos

Tres ángulos dados forman un triángulo no degenerado (y de hecho una infinitud de ellos) si y solo si se cumplen ambas condiciones: (a) cada uno de los ángulos es positivo, y (b) los ángulos suman 180 °. Si se permiten triángulos degenerados, se permiten ángulos de 0 °.

Condiciones trigonométricas

Tres ángulos positivos α , β y γ , cada uno de menos de 180 °, son los ángulos de un triángulo si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

la última igualdad se aplica solo si ninguno de los ángulos es de 90 ° (por lo que el valor de la función tangente es siempre finito).

Puntos, líneas y círculos asociados con un triángulo

Hay miles de construcciones diferentes que encuentran un punto especial asociado con (y a menudo dentro) de un triángulo, satisfaciendo alguna propiedad única: consulte el artículo Enciclopedia de centros de triángulos para obtener un catálogo de ellas. A menudo se construyen encontrando tres rectas asociadas de forma simétrica con los tres lados (o vértices) y luego probando que las tres rectas se encuentran en un solo punto: una herramienta importante para probar la existencia de estas es el teorema de Ceva , que da una criterio para determinar cuándo tres de estas líneas son concurrentes . De manera similar, las líneas asociadas con un triángulo a menudo se construyen demostrando que tres puntos construidos simétricamente son colineales : aquí el teorema de Menelao proporciona un criterio general útil. En esta sección se explican solo algunas de las construcciones más comunes.

El circuncentro es el centro de un círculo que pasa por los tres vértices del triángulo.

Una bisectriz perpendicular de un lado de un triángulo es una línea recta que pasa por el punto medio del lado y es perpendicular a él, es decir, forma un ángulo recto con él. Las tres bisectrices perpendiculares se encuentran en un solo punto, el circuncentro del triángulo , generalmente denotado por O ; este punto es el centro de la circunferencia , el círculo que pasa por los tres vértices. El diámetro de este círculo, llamado perímetro , se puede encontrar a partir de la ley de los senos indicada anteriormente. El radio de la circunferencia se llama circunferencia .

El teorema de Tales implica que si el circuncentro está ubicado en un lado del triángulo, entonces el ángulo opuesto es recto. Si el circuncentro está ubicado dentro del triángulo, entonces el triángulo es agudo; si el circuncentro está ubicado fuera del triángulo, entonces el triángulo es obtuso.

La intersección de las altitudes es el ortocentro .

La altura de un triángulo es una línea recta que pasa por un vértice y es perpendicular (es decir, forma un ángulo recto con) el lado opuesto. Este lado opuesto se llama la base de la altitud, y el punto donde la altitud se cruza con la base (o su extensión) se llama el pie de la altitud. La longitud de la altitud es la distancia entre la base y el vértice. Los tres altitudes se intersecan en un solo punto, llamado el ortocentro del triángulo, generalmente denotado por H . El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si y solo si el triángulo es agudo.

La intersección de las bisectrices de los ángulos es el centro del círculo .

La bisectriz de un ángulo de un triángulo es una línea recta que pasa por un vértice que corta el ángulo correspondiente por la mitad. Las tres bisectrices de los ángulos se cruzan en un solo punto, el incentro , generalmente denotado por I , el centro del círculo del triángulo . El círculo es el círculo que se encuentra dentro del triángulo y toca los tres lados. Su radio se llama inradius . Hay otros tres círculos importantes, los excircles ; se encuentran fuera del triángulo y tocan un lado así como las extensiones de los otros dos. Los centros de los círculos internos y externos forman un sistema ortocéntrico .

La intersección de las medianas es el centroide .

La mediana de un triángulo es una línea recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto, y divide el triángulo en dos áreas iguales. Las tres medianas de intersección en un solo punto, del triángulo centroide baricentro o geométrica, generalmente denotados por G . El centroide de un objeto triangular rígido (cortado de una hoja delgada de densidad uniforme) es también su centro de masa : el objeto puede equilibrarse sobre su centroide en un campo gravitacional uniforme. El centroide corta cada mediana en la proporción 2: 1, es decir, la distancia entre un vértice y el centroide es el doble de la distancia entre el centroide y el punto medio del lado opuesto.

El círculo de nueve puntos demuestra una simetría donde seis puntos se encuentran en el borde del triángulo.

Los puntos medios de los tres lados y los pies de las tres altitudes se encuentran todos en un solo círculo, el círculo de nueve puntos del triángulo . Los tres puntos restantes para los que se nombra son los puntos medios de la porción de altitud entre los vértices y el ortocentro . El radio del círculo de nueve puntos es la mitad del de la circunferencia. Toca el círculo (en el punto de Feuerbach ) y los tres círculos .

La línea de Euler es una línea recta que pasa por el ortocentro (azul), el centro del círculo de nueve puntos (rojo), el centroide (naranja) y el circuncentro (verde)

El ortocentro (punto azul), el centro del círculo de nueve puntos (rojo), el centroide (naranja) y el circuncentro (verde) se encuentran en una sola línea, conocida como línea de Euler (línea roja). El centro del círculo de nueve puntos se encuentra en el punto medio entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia entre el centroide y el circuncentro es la mitad que entre el centroide y el ortocentro.

El centro del círculo no se encuentra en general en la línea de Euler.

Si se refleja una mediana en la bisectriz del ángulo que pasa por el mismo vértice, se obtiene un simmediano . Los tres symmedians se cruzan en un solo punto, el punto symmedian del triángulo.

Calcular los lados y los ángulos

Existen varios métodos estándar para calcular la longitud de un lado o la medida de un ángulo. Ciertos métodos son adecuados para calcular valores en un triángulo rectángulo; pueden ser necesarios métodos más complejos en otras situaciones.

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo siempre incluye un ángulo de 90 ° (π / 2 radianes), aquí con la etiqueta C. Los ángulos A y B pueden variar. Las funciones trigonométricas especifican las relaciones entre las longitudes de los lados y los ángulos interiores de un triángulo rectángulo.

En triángulos rectángulos , las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente se pueden usar para encontrar ángulos desconocidos y las longitudes de lados desconocidos. Los lados del triángulo se conocen de la siguiente manera:

  • La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o definido como el lado más largo de un triángulo rectángulo, en este caso h .
  • El lado opuesto es el lado opuesto al ángulo que nos interesa, en este caso a .
  • El lado adyacente es el lado que está en contacto con el ángulo que nos interesa y el ángulo recto, de ahí su nombre. En este caso, el lado adyacente es b .

Seno, coseno y tangente

El seno de un ángulo es la razón entre la longitud del lado opuesto y la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

Esta razón no depende del triángulo rectángulo elegido, siempre que contenga el ángulo A , ya que todos esos triángulos son similares .

El coseno de un ángulo es la razón entre la longitud del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del lado opuesto y la longitud del lado adyacente. En nuestro caso

El acrónimo " SOH-CAH-TOA " es un mnemónico útil para estas proporciones.

Funciones inversas

Las funciones trigonométricas inversas se pueden usar para calcular los ángulos internos de un triángulo rectángulo con la longitud de dos lados cualesquiera.

Arcsin se puede utilizar para calcular un ángulo a partir de la longitud del lado opuesto y la longitud de la hipotenusa.

Arccos se puede utilizar para calcular un ángulo a partir de la longitud del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa.

Arctan se puede utilizar para calcular un ángulo a partir de la longitud del lado opuesto y la longitud del lado adyacente.

En los cursos de introducción a la geometría y la trigonometría, la notación sen −1 , cos −1 , etc., se usa a menudo en lugar de arcsin, arccos, etc. Sin embargo, la notación arcsin, arccos, etc. es estándar en matemáticas superiores donde la las funciones se elevan comúnmente a potencias, ya que esto evita la confusión entre el inverso multiplicativo y el inverso compositivo .

Reglas de seno, coseno y tangente

Un triángulo con lados de longitud a, byc y ángulos de α, β y γ respectivamente.

La ley de los senos , o regla del seno, establece que la razón entre la longitud de un lado y el seno de su ángulo opuesto correspondiente es constante, es decir

Esta razón es igual al diámetro del círculo circunscrito del triángulo dado. Otra interpretación de este teorema es que todo triángulo con ángulos α, β y γ es similar a un triángulo con longitudes de lado iguales a sin α, sin β y sin γ. Este triángulo se puede construir construyendo primero un círculo de diámetro 1 e inscribiendo en él dos de los ángulos del triángulo. La longitud de los lados de ese triángulo será sin α, sin β y sin γ. El lado cuya longitud es sin α es opuesto al ángulo cuya medida es α, etc.

La ley de los cosenos , o regla del coseno, conecta la longitud de un lado desconocido de un triángulo con la longitud de los otros lados y el ángulo opuesto al lado desconocido. Según la ley:

Para un triángulo con una longitud de lados a , b , cy ángulos de α, β, γ respectivamente, dadas dos longitudes conocidas de un triángulo a y b , y el ángulo entre los dos lados conocidos γ (o el ángulo opuesto al desconocido lado c ), para calcular el tercer lado c , se puede utilizar la siguiente fórmula:

Si se conocen las longitudes de los tres lados de cualquier triángulo, se pueden calcular los tres ángulos:

La ley de las tangentes , o regla de la tangente, se puede utilizar para encontrar un lado o un ángulo cuando se conocen dos lados y un ángulo o dos ángulos y un lado. Se afirma que:

Solución de triángulos

La "solución de triángulos" es el principal problema trigonométrico : encontrar las características faltantes de un triángulo (tres ángulos, las longitudes de los tres lados, etc.) cuando se dan al menos tres de estas características. El triángulo se puede ubicar en un plano o en una esfera . Este problema a menudo ocurre en varias aplicaciones trigonométricas, como geodesia , astronomía , construcción , navegación , etc.

Calcular el área de un triángulo

El área de un triángulo se puede demostrar, por ejemplo, mediante la congruencia de triángulos , como la mitad del área de un paralelogramo que tiene la misma longitud y altura de base.
Una derivación gráfica de la fórmula que evita el procedimiento habitual de duplicar el área del triángulo y luego dividirlo por la mitad.

Calcular el área T de un triángulo es un problema elemental que se encuentra a menudo en muchas situaciones diferentes. La fórmula más conocida y sencilla es:

donde b es la longitud de la base del triángulo y h es la altura o altitud del triángulo. El término "base" denota cualquier lado, y "altura" denota la longitud de una perpendicular desde el vértice opuesto a la base hasta la línea que contiene la base. En 499 EC Aryabhata , usó este método ilustrado en el Aryabhatiya (sección 2.6).

Aunque simple, esta fórmula solo es útil si la altura se puede encontrar fácilmente, lo que no siempre es el caso. Por ejemplo, el topógrafo de un campo triangular puede encontrar relativamente fácil medir la longitud de cada lado, pero relativamente difícil construir una 'altura'. En la práctica, se pueden utilizar varios métodos, dependiendo de lo que se sepa sobre el triángulo. La siguiente es una selección de fórmulas de uso frecuente para el área de un triángulo.

Usando trigonometría

Aplicar trigonometría para encontrar la altitud h .

La altura de un triángulo se puede encontrar mediante la aplicación de trigonometría .

Conociendo SAS : Usando las etiquetas de la imagen de la derecha, la altitud es h = a sin . Sustituyendo esto en la fórmula derivada anteriormente, el área del triángulo se puede expresar como:

(donde α es el ángulo interior en A , β es el ángulo interior en B , es el ángulo interior en C y c es la línea AB ).

Además, dado que sin α = sin ( π - α) = sin (β + ), y de manera similar para los otros dos ángulos:

Conociendo AAS :

y análogamente si el lado conocido es a o c .

Conociendo ASA :

y análogamente, si el lado conocido es b o c .

Usando la fórmula de Heron

La forma del triángulo está determinada por las longitudes de los lados. Por lo tanto, el área también se puede derivar de las longitudes de los lados. Por la fórmula de Heron :

donde está el semiperímetro , o la mitad del perímetro del triángulo.

Otras tres formas equivalentes de escribir la fórmula de Heron son

Usando vectores

El área de un paralelogramo incrustado en un espacio euclidiano tridimensional se puede calcular usando vectores . Deje vectores AB y AC punto, respectivamente, de A a B y desde A a C . El área del paralelogramo ABDC es entonces

que es la magnitud del producto cruzado de los vectores AB y AC . El área del triángulo ABC es la mitad de esto,

El área del triángulo ABC también se puede expresar en términos de productos escalares de la siguiente manera:

En el espacio euclidiano bidimensional, expresando el vector AB como un vector libre en el espacio cartesiano igual a ( x 1 , y 1 ) y AC como ( x 2 , y 2 ), esto se puede reescribir como:

Usando coordenadas

Si el vértice A está ubicado en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesiano y las coordenadas de los otros dos vértices están dadas por B = ( x B , y B ) y C = ( x C , y C ) , entonces el área se puede calcular como 12 veces el valor absoluto del determinante

Para tres vértices generales, la ecuación es:

que se puede escribir como

Si los puntos se etiquetan secuencialmente en el sentido contrario a las agujas del reloj, las expresiones determinantes anteriores son positivas y los signos de valor absoluto se pueden omitir. La fórmula anterior se conoce como la fórmula del cordón o la fórmula del topógrafo.

Si ubicamos los vértices en el plano complejo y los denotamos en secuencia en sentido antihorario como a = x A + y A i , b = x B + y B i , y c = x C + y C i , y denotamos sus conjugados complejos como , y luego la fórmula

es equivalente a la fórmula de los cordones de los zapatos.

En tres dimensiones, el área de un triángulo general A = ( x A , y A , z A ) , B = ( x B , y B , z B ) y C = ( x C , y C , z C ) es el Suma pitagórica de las áreas de las respectivas proyecciones en los tres planos principales (es decir, x = 0, y = 0 yz = 0):

Usando integrales de línea

El área dentro de cualquier curva cerrada, como un triángulo, está dada por la línea integral alrededor de la curva de la distancia algebraica o con signo de un punto en la curva desde una línea recta L orientada arbitrariamente . Los puntos a la derecha de L orientados se consideran a una distancia negativa de L , mientras que el peso de la integral se considera el componente de la longitud del arco paralelo a L en lugar de la longitud del arco en sí.

Este método es muy adecuado para calcular el área de un polígono arbitrario . Tomando L como el eje x , la línea integral entre vértices consecutivos ( x i , y i ) y ( x i +1 , y i +1 ) está dada por la base multiplicada por la altura media, es decir ( x i +1 - x i ) ( y i + y i +1 ) / 2 . El signo del área es un indicador general de la dirección del recorrido, con un área negativa que indica el recorrido en sentido antihorario. El área de un triángulo luego cae como el caso de un polígono con tres lados.

Si bien el método de la integral de línea tiene en común con otros métodos basados ​​en coordenadas la elección arbitraria de un sistema de coordenadas, a diferencia de los demás, no hace una elección arbitraria del vértice del triángulo como origen o del lado como base. Además, la elección del sistema de coordenadas definido por L se compromete a solo dos grados de libertad en lugar de los tres habituales, ya que el peso es una distancia local (por ejemplo, x i +1 - x i en lo anterior) de donde el método no requiere elegir un eje normal a L .

Cuando se trabaja en coordenadas polares no es necesario convertir a coordenadas cartesianas para usar la integración de línea, ya que se da la integral de línea entre vértices consecutivos ( r i , θ i ) y ( r i +1 , θ i +1 ) de un polígono directamente por r i r i +1 sin (θ i +1 - θ i ) / 2 . Esto es válido para todos los valores de θ, con alguna disminución en la precisión numérica cuando | θ | es muchos órdenes de magnitud mayor que π. Con esta formulación, el área negativa indica un recorrido en el sentido de las agujas del reloj, lo que debe tenerse en cuenta al mezclar coordenadas polares y cartesianas. Así como la elección del eje y ( x = 0 ) es irrelevante para la integración de líneas en coordenadas cartesianas, la elección del rumbo cero ( θ = 0 ) es irrelevante aquí.

Fórmulas que se asemejan a la fórmula de Heron

Tres fórmulas tienen la misma estructura que la fórmula de Heron pero se expresan en términos de diferentes variables. En primer lugar, que denota las medianas de los lados un , b , y c , respectivamente, como m un , m b , y m c y su semi-suma ( m un + m b + m c ) / 2 como σ, tenemos

Siguiente, denotando las altitudes de los lados un , b , y c , respectivamente, como h una , h b y h c , y denota la semi-suma de los recíprocos de las altitudes como tenemos

Y denotando la semi-suma de los senos de los ángulos como S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)] / 2 , tenemos

donde D es el diámetro de la circunferencia:

Usando el teorema de Pick

Consulte el teorema de Pick para conocer una técnica para encontrar el área de cualquier polígono de celosía arbitrario (uno dibujado en una cuadrícula con puntos de celosía adyacentes vertical y horizontalmente a distancias iguales y con vértices en puntos de celosía).

El teorema establece:

donde es el número de puntos de celosía internos y B es el número de puntos de celosía que se encuentran en el borde del polígono.

Otras fórmulas de área

Existen muchas otras fórmulas de área, como

donde r es el radio interno y s es el semiperímetro (de hecho, esta fórmula es válida para todos los polígonos tangenciales ), y

donde son los radios de los excirculos tangentes a los lados a, b, c respectivamente.

También tenemos

y

para el diámetro circunferencial D ; y

para ángulo α ≠ 90 °.

El área también se puede expresar como

En 1885, Baker dio una colección de más de cien fórmulas de áreas distintas para el triángulo. Éstos incluyen:

para circunradio (radio de circunferencia) R , y

Límite superior en el área

El área T de cualquier triángulo con perímetro p satisface

con igualdad si y solo si el triángulo es equilátero.

Otros límites superiores en el área T están dados por

y

ambos nuevamente sosteniendo si y solo si el triángulo es equilátero.

Bisecar el área

Hay infinitas líneas que bisecan el área de un triángulo . Tres de ellos son las medianas, que son las únicas bisectrices de área que atraviesan el centroide. Otras tres bisectrices de área son paralelas a los lados del triángulo.

Cualquier línea a través de un triángulo que divida tanto el área del triángulo como su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo. Puede haber uno, dos o tres de estos para cualquier triángulo dado.

Más fórmulas para triángulos euclidianos generales

Las fórmulas de esta sección son válidas para todos los triángulos euclidianos.

Medianas, bisectrices de ángulo, bisectrices de lados perpendiculares y altitudes

Las medianas y los lados están relacionados por

y

,

y de forma equivalente para m b y m c .

Para el ángulo A lado opuesto a , la longitud de la bisectriz del ángulo interno está dada por

para el semiperímetro s , donde la longitud de la bisectriz se mide desde el vértice hasta donde se encuentra con el lado opuesto.

Las bisectrices perpendiculares interiores están dadas por

donde están los lados y el área

La altitud de, por ejemplo, el lado de la longitud a es

Circumradius e inradius

Las siguientes fórmulas involucran el circunradio R y el radio interno r :

donde h a etc. son las altitudes a los lados subindicados;

y

.

El producto de dos lados de un triángulo es igual a la altura del tercer lado por el diámetro D del círculo circunferencial:

Triángulos adyacentes

Suponga que dos triángulos adyacentes pero que no se superponen comparten el mismo lado de longitud f y comparten el mismo círculo circunferencial, de modo que el lado de longitud f es una cuerda del círculo circunferencial y los triángulos tienen longitudes laterales ( a , b , f ) y ( c , d , f ), con los dos triángulos juntos formando un cuadrilátero cíclico con longitudes de lados en secuencia ( a , b , c , d ). Luego

Centroide

Sea G el centroide de un triángulo con vértices A , B y C , y sea P cualquier punto interior. Entonces las distancias entre los puntos están relacionadas por

La suma de los cuadrados de los lados del triángulo es igual a tres veces la suma de las distancias al cuadrado del centroide desde los vértices:

Deje q un , q b , y q c sea las distancias desde el centro de gravedad a los lados de longitudes a , b , y c . Luego

y

para la zona T .

Circuncentro, incentro y ortocentro

El teorema de Carnot establece que la suma de las distancias desde el circuncentro hasta los tres lados es igual a la suma del circunradio y el radio interno. Aquí, la longitud de un segmento se considera negativa si y solo si el segmento se encuentra completamente fuera del triángulo. Este método es especialmente útil para deducir las propiedades de formas más abstractas de triángulos, como las inducidas por las álgebras de Lie , que por lo demás tienen las mismas propiedades que los triángulos habituales.

El teorema de Euler establece que la distancia d entre el circuncentro y el incentro está dada por

o equivalente

donde R es el circunradio y r es el radio interno. Por lo tanto, para todos los triángulos R ≥ 2 r , con igualdad para los triángulos equiláteros.

Si denotamos que el ortocentro divide una altitud en segmentos de longitudes u y v , otra altitud en segmentos de longitudes w y x , y la tercera altitud en segmentos de longitudes y y z , entonces uv = wx = yz .

La distancia de un lado al circuncentro es igual a la mitad de la distancia del vértice opuesto al ortocentro.

La suma de los cuadrados de las distancias desde los vértices al ortocentro H más la suma de los cuadrados de los lados es igual a doce veces el cuadrado del circunradio:

Anglos

Además de la ley de los senos , la ley de los cosenos , la ley de las tangentes y las condiciones de existencia trigonométricas dadas anteriormente, para cualquier triángulo

Teorema del trisector de Morley

El triángulo de Morley, resultante de la trisección de cada ángulo interior. Este es un ejemplo de una regla de subdivisión finita .

El teorema de los trisectores de Morley establece que en cualquier triángulo, los tres puntos de intersección de los trisectores de ángulos adyacentes forman un triángulo equilátero, llamado triángulo de Morley.

Figuras inscritas en un triángulo

Cónicas

Como se discutió anteriormente, cada triángulo tiene un círculo inscrito único (un círculo) que es interior al triángulo y tangente a los tres lados.

Cada triángulo tiene una inelipse Steiner única que es interior al triángulo y tangente en los puntos medios de los lados. El teorema de Marden muestra cómo encontrar los focos de esta elipse . Esta elipse tiene el área más grande de cualquier elipse tangente a los tres lados del triángulo.

La inelipse de Mandart de un triángulo es la elipse inscrita dentro del triángulo tangente a sus lados en los puntos de contacto de sus excirculos.

Para cualquier elipse inscrita en un triángulo ABC , que el foco sea P y Q . Luego

Polígono convexo

Cada polígono convexo con zona T puede ser inscrito en un triángulo de área como máximo igual a 2 t . La igualdad es válida (exclusivamente) para un paralelogramo .

Hexágono

El hexágono de Lemoine es un hexágono cíclico con vértices dados por las seis intersecciones de los lados de un triángulo con las tres líneas que son paralelas a los lados y que pasan por su punto simmediano . Ya sea en su forma simple o en su forma auto-intersecante , el hexágono de Lemoine es interior al triángulo con dos vértices en cada lado del triángulo.

Cuadrícula

Cada triángulo agudo tiene tres cuadrados inscritos (cuadrados en su interior de modo que los cuatro vértices de un cuadrado se encuentran en un lado del triángulo, por lo que dos de ellos se encuentran en el mismo lado y, por lo tanto, un lado del cuadrado coincide con parte de un lado del triángulo). En un triángulo rectángulo, dos de los cuadrados coinciden y tienen un vértice en el ángulo recto del triángulo, por lo que un triángulo rectángulo tiene solo dos cuadrados inscritos distintos . Un triángulo obtuso tiene solo un cuadrado inscrito, con un lado que coincide con parte del lado más largo del triángulo. Dentro de un triángulo dado, un lado común más largo se asocia con un cuadrado inscrito más pequeño. Si un cuadrado inscrito tiene un lado de longitud q a y el triángulo tiene un lado de longitud a , parte de cuyo lado coincide con un lado del cuadrado, entonces q a , a , la altura h a desde el lado a , y el triángulo área T están relacionados de acuerdo con

La razón más grande posible entre el área del cuadrado inscrito y el área del triángulo es 1/2, lo que ocurre cuando a 2 = 2 T , q = a / 2 , y la altitud del triángulo desde la base de longitud a es igual a a . La razón más pequeña posible entre el lado de un cuadrado inscrito y el lado de otro en el mismo triángulo no obtuso es. Ambos casos extremos ocurren para el triángulo rectángulo isósceles.

triangulos

Desde un punto interior en un triángulo de referencia, los puntos más cercanos en los tres lados sirven como vértices del triángulo del pedal de ese punto. Si el punto interior es el circuncentro del triángulo de referencia, los vértices del triángulo del pedal son los puntos medios de los lados del triángulo de referencia, por lo que el triángulo del pedal se llama triángulo del punto medio o triángulo medial. El triángulo del punto medio subdivide el triángulo de referencia en cuatro triángulos congruentes que son similares al triángulo de referencia.

El triángulo de Gergonne o triángulo de contacto de un triángulo de referencia tiene sus vértices en los tres puntos de tangencia de los lados del triángulo de referencia con su círculo. El triángulo extensor de un triángulo de referencia tiene sus vértices en los puntos de tangencia de los excirculos del triángulo de referencia con sus lados (no extendidos).

Figuras circunscritas sobre un triángulo

El triángulo tangencial de un triángulo de referencia (que no sea un triángulo rectángulo) es el triángulo cuyos lados están en las líneas tangentes a la circunferencia del triángulo de referencia en sus vértices.

Como se mencionó anteriormente, cada triángulo tiene un circuncírculo único, un círculo que pasa por los tres vértices, cuyo centro es la intersección de las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo.

Además, cada triángulo tiene un circuito de Steiner único , que pasa por los vértices del triángulo y tiene su centro en el centroide del triángulo. De todas las elipses que atraviesan los vértices del triángulo, tiene el área más pequeña.

La hipérbola de Kiepert es la cónica única que pasa por los tres vértices del triángulo, su centroide y su circuncentro.

De todos los triángulos contenidos en un polígono convexo dado, existe un triángulo con área máxima cuyos vértices son todos los vértices del polígono dado.

Especificar la ubicación de un punto en un triángulo

Una forma de identificar ubicaciones de puntos dentro (o fuera) de un triángulo es colocar el triángulo en una ubicación y orientación arbitrarias en el plano cartesiano y usar coordenadas cartesianas. Si bien es conveniente para muchos propósitos, este enfoque tiene la desventaja de que los valores de las coordenadas de todos los puntos dependen de la ubicación arbitraria en el plano.

Dos sistemas evitan esa característica, de modo que las coordenadas de un punto no se ven afectadas al mover el triángulo, rotarlo o reflejarlo como en un espejo, cualquiera de los cuales da un triángulo congruente, o incluso reescalarlo para dar un triángulo similar. :

  • Las coordenadas trilineales especifican las distancias relativas de un punto desde los lados, de modo que las coordenadas indican que la relación entre la distancia del punto desde el primer lado y su distancia desde el segundo lado es , etc.
  • Las coordenadas baricéntricas de la forma especifican la ubicación del punto por los pesos relativos que tendrían que colocarse en los tres vértices para equilibrar el triángulo, que de otro modo sería ingrávido, en el punto dado.

Triángulos no planos

Un triángulo no plano es un triángulo que no está contenido en un plano (plano). Algunos ejemplos de triángulos no planos en geometrías no euclidianas son triángulos esféricos en geometría esférica y triángulos hiperbólicos en geometría hiperbólica .

Mientras que las medidas de los ángulos internos en triángulos planos siempre suman 180 °, un triángulo hiperbólico tiene medidas de ángulos que suman menos de 180 ° y un triángulo esférico tiene medidas de ángulos que suman más de 180 °. Se puede obtener un triángulo hiperbólico dibujando en una superficie curvada negativamente, como una superficie de silla de montar , y se puede obtener un triángulo esférico dibujando en una superficie curvada positivamente, como una esfera . Así, si uno dibuja un triángulo gigante en la superficie de la Tierra, encontrará que la suma de las medidas de sus ángulos es mayor que 180 °; de hecho estará entre 180 ° y 540 °. En particular, es posible dibujar un triángulo en una esfera de modo que la medida de cada uno de sus ángulos internos sea igual a 90 °, sumando un total de 270 °.

Específicamente, en una esfera, la suma de los ángulos de un triángulo es

180 ° × (1 + 4 f ),

donde f es la fracción del área de la esfera que está encerrada por el triángulo. Por ejemplo, suponga que dibujamos un triángulo en la superficie de la Tierra con vértices en el Polo Norte, en un punto del ecuador a 0 ° de longitud y un punto en el ecuador a 90 ° de longitud oeste . La línea del gran círculo entre los dos últimos puntos es el ecuador, y la línea del gran círculo entre cualquiera de esos puntos y el Polo Norte es una línea de longitud; por lo que hay ángulos rectos en los dos puntos del ecuador. Además, el ángulo en el Polo Norte también es de 90 ° porque los otros dos vértices difieren en 90 ° de longitud. Entonces, la suma de los ángulos en este triángulo es 90 ° + 90 ° + 90 ° = 270 ° . El triángulo encierra 1/4 del hemisferio norte (90 ° / 360 ° visto desde el Polo Norte) y por lo tanto 1/8 de la superficie de la Tierra, por lo que en la fórmula f = 1/8 ; por lo tanto, la fórmula da correctamente la suma de los ángulos del triángulo como 270 °.

A partir de la fórmula de suma de ángulos anterior, también podemos ver que la superficie de la Tierra es localmente plana: si dibujamos un triángulo arbitrariamente pequeño en la vecindad de un punto de la superficie de la Tierra, la fracción f de la superficie de la Tierra que está encerrada por el triángulo será estar arbitrariamente cerca de cero. En este caso, la fórmula de la suma de ángulos se simplifica a 180 °, que sabemos que es lo que nos dice la geometría euclidiana para los triángulos en una superficie plana.

Triángulos en construcción

El edificio Flatiron en Nueva York tiene la forma de un prisma triangular

Los rectángulos han sido la forma geométrica más popular y común para los edificios, ya que la forma es fácil de apilar y organizar; Como estándar, es fácil diseñar muebles y accesorios para que quepan dentro de edificios de forma rectangular. Pero los triángulos, aunque son más difíciles de usar conceptualmente, proporcionan una gran fuerza. A medida que la tecnología informática ayuda a los arquitectos a diseñar nuevos edificios creativos, las formas triangulares son cada vez más frecuentes como partes de los edificios y como la forma principal de algunos tipos de rascacielos, así como de los materiales de construcción. En Tokio, en 1989, los arquitectos se habían preguntado si era posible construir una torre de 500 pisos para proporcionar un espacio de oficinas asequible para esta ciudad densamente poblada, pero con el peligro para los edificios de los terremotos , los arquitectos consideraron que sería necesaria una forma triangular si tal se iba a construir un edificio.

En la ciudad de Nueva York , mientras Broadway atraviesa las principales avenidas, los bloques resultantes se cortan como triángulos y se han construido edificios con estas formas; Uno de esos edificios es el Flatiron Building de forma triangular que la gente de bienes raíces admite que tiene un "laberinto de espacios incómodos que no se adaptan fácilmente al mobiliario de oficina moderno", pero que no ha impedido que la estructura se convierta en un ícono histórico. Los diseñadores han hecho casas en Noruega utilizando temas triangulares. Han aparecido formas triangulares en iglesias y edificios públicos, incluidas universidades, así como soportes para diseños de casas innovadores.

Los triángulos son resistentes; mientras que un rectángulo puede colapsar en un paralelogramo por la presión sobre uno de sus puntos, los triángulos tienen una fuerza natural que sostiene las estructuras contra las presiones laterales. Un triángulo no cambiará de forma a menos que sus lados estén doblados, extendidos o rotos o si sus articulaciones se rompen; en esencia, cada uno de los tres lados apoya a los otros dos. Un rectángulo, por el contrario, depende más de la fuerza de sus uniones en un sentido estructural. Algunos diseñadores innovadores han propuesto hacer ladrillos no con rectángulos, sino con formas triangulares que se pueden combinar en tres dimensiones. Es probable que los triángulos se utilicen cada vez más de nuevas formas a medida que la arquitectura aumenta en complejidad. Es importante recordar que los triángulos son fuertes en términos de rigidez, pero mientras están empaquetados en una disposición de teselado , los triángulos no son tan fuertes como los hexágonos bajo compresión (de ahí la prevalencia de formas hexagonales en la naturaleza ). Sin embargo, los triángulos teselados aún mantienen una resistencia superior para los voladizos , y esta es la base de una de las estructuras más fuertes hechas por el hombre, la armadura tetraédrica .

Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos