Cronología de la teoría de categorías y matemáticas relacionadas - Timeline of category theory and related mathematics

Esta es una línea de tiempo de la teoría de categorías y matemáticas relacionadas . Su alcance ("matemáticas relacionadas") se toma como:

En este artículo, y en la teoría de categorías en general, ∞ =  ω .

Cronología hasta 1945: antes de las definiciones

Año Colaboradores Evento
1890 David Hilbert Resolución de módulos y resolución libre de módulos.
1890 David Hilbert El teorema de la sicigia de Hilbert es un prototipo de un concepto de dimensión en el álgebra homológica .
1893 David Hilbert Un teorema fundamental en geometría algebraica , el Hilbert Nullstellensatz . Posteriormente se reformuló como: la categoría de variedades afines sobre un campo k es equivalente al dual de la categoría de k -álgebras reducidas de generación finita (conmutativas) .
1894 Henri Poincaré Grupo fundamental de un espacio topológico .
1895 Henri Poincaré Homología simplicial .
1895 Henri Poincaré Trabajo fundamental Análisis situs , inicio de la topología algebraica .
c.1910 LEJ Brouwer Brouwer desarrolla el intuicionismo como una contribución al debate fundamental en el período aproximadamente de 1910 a 1930 sobre las matemáticas, con la lógica intuicionista como un subproducto de una discusión cada vez más estéril sobre el formalismo.
1923 Hermann Künneth Fórmula de Künneth para homología de producto de espacios.
1926 Heinrich Brandt define la noción de groupoid .
1928 Arend Heyting La lógica intuicionista de Brouwer convertida en matemática formal, como lógica en la que el álgebra de Heyting reemplaza al álgebra booleana .
1929 Walther Mayer Complejos de cadena .
1930 Ernst Zermelo - Abraham Fraenkel Declaración de los axiomas ZF definitivos de la teoría de conjuntos , establecidos por primera vez en 1908 y mejorados desde entonces.
c.1930 Emmy Noether La teoría del módulo es desarrollada por Noether y sus estudiantes, y la topología algebraica comienza a fundamentarse adecuadamente en el álgebra abstracta en lugar de en argumentos ad hoc .
1932 Eduard Čech Cohomología Čech , grupos de homotopía de un espacio topológico.
1933 Solomon Lefschetz Homología singular de espacios topológicos.
1934 Reinhold Baer Ext groups, Ext functor (para grupos abelianos y con diferente notación).
1935 Witold Hurewicz Grupos de homotopía superiores de un espacio topológico.
1936 Marshall Stone El teorema de representación de piedra para álgebras de Boole inicia varias dualidades de piedra .
1937 Richard Brauer - Cecil Nesbitt Álgebras de Frobenius .
1938 Hassler Whitney Definición "moderna" de cohomología , que resume el trabajo desde que James Alexander y Andrey Kolmogorov definieron por primera vez las cadenas .
1940 Reinhold Baer Módulos inyectivos .
1940 Kurt Gödel - Paul Bernays Clases adecuadas en teoría de conjuntos.
1940 Heinz Hopf Álgebras de Hopf .
1941 Witold Hurewicz Primer teorema fundamental del álgebra homológica: Dada una secuencia corta exacta de espacios existe un homomorfismo de conexión tal que la secuencia larga de grupos de cohomología de los espacios es exacta.
1942 Samuel Eilenberg - Saunders MacLane Teorema del coeficiente universal para la cohomología Čech ; más tarde esto se convirtió en el teorema general del coeficiente universal . Las notaciones Hom y Ext aparecen por primera vez en su artículo.
1943 Norman Steenrod Homología con coeficientes locales .
1943 Israel Gelfand - Mark Naimark Teorema de Gelfand-Naimark (a veces llamado teorema del isomorfismo de Gelfand): La categoría Haus de espacios de Hausdorff localmente compactos con mapas propios continuos como morfismos es equivalente a la categoría C * Alg de álgebras C * conmutativas con homomorfismos * propios como morfismos.
1944 Garrett Birkhoff - Mineral de Øystein Conexiones de Galois que generalizan la correspondencia de Galois: un par de functores adjuntos entre dos categorías que surgen de conjuntos parcialmente ordenados (en formulación moderna).
1944 Samuel Eilenberg Definición "moderna" de homología singular y cohomología singular.
1945 Beno Eckmann Define el anillo de cohomología basado en el trabajo de Heinz Hopf .

1945-1970

Año Colaboradores Evento
1945 Saunders Mac Lane - Samuel Eilenberg Inicio de la teoría de categorías: axiomas para categorías , functores y transformaciones naturales .
1945 Norman Steenrod - Samuel Eilenberg Axiomas de Eilenberg-Steenrod para homología y cohomología.
1945 Jean Leray Inicia la teoría de la gavilla : en este momento una gavilla era un mapa que asignaba un módulo o un anillo a un subespacio cerrado de un espacio topológico. El primer ejemplo fue la gavilla que asigna a un subespacio cerrado su p-ésimo grupo de cohomología.
1945 Jean Leray Define la cohomología de la gavilla utilizando su nuevo concepto de gavilla.
1946 Jean Leray Inventa secuencias espectrales como un método para aproximar iterativamente grupos de cohomología por grupos de cohomología aproximados previos. En el caso límite da los grupos de cohomología buscados.
1948 Seminario Cartan Escribe la teoría de la gavilla por primera vez.
1948 AL Blakers Complejos cruzados (llamados sistemas de grupos por Blakers), según una sugerencia de Samuel Eilenberg : Una generalización no beliana de complejos de cadenas de grupos abelianos que son equivalentes a ω-grupóides estrictos . Forman una categoría Crs que tiene muchas propiedades satisfactorias, como una estructura monoidal .
1949 John Henry Whitehead Módulos cruzados .
1949 André Weil Formula las conjeturas de Weil sobre relaciones notables entre la estructura cohomológica de variedades algebraicas sobre C y la estructura diofántica de variedades algebraicas sobre campos finitos .
1950 Henri Cartan En el libro Teoría de la gavilla del seminario de Cartan él define: espacio de gavilla ( espacio étale), soporte de gavillas axiomáticamente, cohomología de gavilla con soporte en forma axiomática y más.
1950 John Henry Whitehead Describe un programa de homotopía algebraica para describir, comprender y calcular tipos de espacios de homotopía y clases de asignaciones de homotopía.
1950 Samuel Eilenberg –Joe Zilber Conjuntos simples como un modelo puramente algebraico de espacios topológicos bien comportados. Un conjunto simplicial también se puede ver como una gavilla previa en la categoría símplex . Una categoría es un conjunto simple tal que los mapas de Segal son isomorfismos.
1951 Henri Cartan Definición moderna de la teoría de la gavilla en la que una gavilla se define utilizando subconjuntos abiertos en lugar de subconjuntos cerrados de un espacio topológico y todos los subconjuntos abiertos se tratan a la vez. Un haz en un espacio topológico X se convierte en un funtor se asemeja a una función definida localmente en X , y tomando valores en conjuntos, grupos abelianos, anillos conmutativos , módulos o en general en cualquier categoría C . De hecho, Alexander Grothendieck luego hizo un diccionario entre gavillas y funciones . Otra interpretación de las gavillas es como conjuntos que varían continuamente (una generalización de conjuntos abstractos ). Su propósito es proporcionar un enfoque unificado para conectar las propiedades locales y globales de los espacios topológicos y clasificar las obstrucciones para pasar de objetos locales a objetos globales en un espacio topológico pegando las piezas locales. Las gavillas valoradas en C en un espacio topológico y sus homomorfismos forman una categoría.
1952 William Massey Inventa parejas exactas para calcular secuencias espectrales.
1953 Jean-Pierre Serre Serre C -teoría y subcategorías de Serre .
1955 Jean-Pierre Serre Muestra que hay una correspondencia 1−1 entre paquetes de vectores algebraicos sobre una variedad afín y módulos proyectivos generados finitamente sobre su anillo de coordenadas ( teorema de Serre-Swan ).
1955 Jean-Pierre Serre Cohomología de gavilla coherente en geometría algebraica.
1956 Jean-Pierre Serre Correspondencia GAGA .
1956 Henri Cartan - Samuel Eilenberg Libro influyente: Álgebra homológica , que resume el estado del arte en su tema en ese momento. La notación Tor n y Ext n , así como los conceptos de módulo proyectivo , resolución proyectiva e inyectiva de un módulo, functor derivado e hiperhomología aparecen en este libro por primera vez.
1956 Daniel Kan Teoría de la homotopía simple también llamada teoría de la homotopía categórica: Una teoría de la homotopía completamente interna a la categoría de conjuntos simpliciales .
1957 Charles Ehresmann - Jean Bénabou Topología inútil basada en el trabajo de Marshall Stone .
1957 Alexander Grothendieck Categorías abelianas en álgebra homológica que combinan exactitud y linealidad.
1957 Alexander Grothendieck El influyente artículo de Tohoku reescribe el álgebra homológica ; demostrando la dualidad de Grothendieck ( dualidad de Serre para posibles variedades algebraicas singulares). También mostró que la base conceptual del álgebra homológica sobre un anillo también es válida para los objetos lineales que varían como gavillas en un espacio.
1957 Alexander Grothendieck Punto de vista relativo de Grothendieck , esquemas-S .
1957 Alexander Grothendieck Teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch para suavidad; introduce la prueba K-teoría .
1957 Daniel Kan Complejos Kan : conjuntos simples (en los que cada cuerno tiene un relleno) que son modelos geométricos de ∞-grupoides simpliciales . Los complejos Kan son también los objetos fibrantes (y cofibrantes) de las categorías modelo de conjuntos simpliciales para los que las fibraciones son fibraciones Kan .
1958 Alexander Grothendieck Inicia una nueva base de geometría algebraica al generalizar variedades y otros espacios en geometría algebraica para esquemas que tienen la estructura de una categoría con subconjuntos abiertos como objetos y restricciones como morfismos. formar una categoría que es un topos de Grothendieck , y a un esquema e incluso a una pila se le puede asociar un topos Zariski, un topos étale, un topos fppf, un topos fpqc, un topos Nisnevich, un topos plano, ... topología impuesta al esquema. Toda la geometría algebraica se categorizó con el tiempo.
1958 Roger Godement Mónadas en teoría de categorías (entonces llamadas construcciones estándar y triples). Las mónadas generalizan las nociones clásicas del álgebra universal y, en este sentido, pueden considerarse como una teoría algebraica sobre una categoría: la teoría de la categoría de T-álgebras. Un álgebra para una mónada subsume y generaliza la noción de modelo para una teoría algebraica.
1958 Daniel Kan Functores adjuntos .
1958 Daniel Kan Límites en la teoría de categorías.
1958 Alexander Grothendieck Categorías de fibras .
1959 Bernard Dwork Prueba la parte de racionalidad de las conjeturas de Weil (la primera conjetura).
1959 Jean-Pierre Serre Teoría K algebraica lanzada por analogía explícita de la teoría de anillos con casos geométricos.
1960 Alexander Grothendieck Functores de fibra
1960 Daniel Kan Extensiones Kan
1960 Alexander Grothendieck Geometría algebraica formal y esquemas formales
1960 Alexander Grothendieck Functores representables
1960 Alexander Grothendieck Categoriza la teoría de Galois ( teoría de Galois de Grothendieck )
1960 Alexander Grothendieck Teoría del descenso : una idea que extiende la noción de pegar en topología al esquema para sortear las relaciones de equivalencia bruta. También generaliza la localización en topología.
1961 Alexander Grothendieck Cohomología local . Introducido en un seminario en 1961 pero las notas se publican en 1967
1961 Jim Stasheff Associahedra utilizada más tarde en la definición de categorías n débiles
1961 Richard Swan Muestra que hay una correspondencia 1−1 entre paquetes de vectores topológicos sobre un espacio compacto de Hausdorff X y módulos proyectivos generados finitamente sobre el anillo C ( X ) de funciones continuas en X ( teorema de Serre-Swan )
1963 Frank Adams– Saunders Mac Lane Categorías PROP y categorías PACT para homotopías superiores. Las PROP son categorías para describir familias de operaciones con cualquier número de entradas y salidas. Los operads son PROP especiales con operaciones con una sola salida
1963 Alexander Grothendieck Topología Étale , una topología especial de Grothendieck en
1963 Alexander Grothendieck Étale cohomology
1963 Alexander Grothendieck Grothendieck plantea , que son categorías que son como universos (espacios generalizados) de conjuntos en los que se pueden hacer matemáticas.
1963 William Lawvere Teorías algebraicas y categorías algebraicas
1963 William Lawvere Funda la lógica categórica , descubre la lógica interna de las categorías y reconoce su importancia e introduce las teorías de Lawvere . La lógica esencialmente categórica es un impulso de diferentes lógicas a lógicas internas de categorías. Cada tipo de categoría con estructura extra corresponde a un sistema de lógica con sus propias reglas de inferencia. Una teoría de Lawvere es una teoría algebraica como una categoría con productos finitos y que posee un "álgebra genérica" ​​(un grupo genérico). Las estructuras descritas por una teoría de Lawvere son modelos de la teoría de Lawvere
1963 Jean-Louis Verdier Categorías trianguladas y functores triangulados . Las categorías derivadas y los functores derivados son casos especiales de estos
1963 Jim Stasheff A ∞ -álgebras :análogos de dg-álgebra de monoides topológicos asociativos hasta homotopía que aparecen en topología (es decir , espacios H )
1963 Jean Giraud El teorema de caracterización de Giraud que caracteriza a Grothendieck se propone como categorías de haces sobre un sitio pequeño
1963 Charles Ehresmann Teoría de categorías internas : la internalización de categorías en una categoría V con retrocesos está reemplazando la categoría Conjunto (lo mismo para clases en lugar de conjuntos) por V en la definición de una categoría. La internalización es una forma de elevar la dimensión categórica
1963 Charles Ehresmann Varias categorías y múltiples funciones
1963 Saunders Mac Lane Categorías monoidales , también llamadas categorías tensoras: 2 categorías estrictas con un objeto creado mediante un truco de reetiquetado a categorías con un producto tensorial de objetos que es secretamente la composición de morfismos en la categoría 2. Hay varios objetos en una categoría monoidal, ya que el truco de reetiquetado hace que los morfismos 2 de la categoría 2 se conviertan en morfismos, los morfismos de la categoría 2 en objetos y se olvide del objeto individual. En general, un truco de reetiquetado superior funciona para n categorías con un objeto para hacer categorías monoidales generales. Los ejemplos más comunes incluyen: categorías cinta , trenzados categorías tensoriales , categorías esféricas , CERRADO compactos , categorías tensor simétrico , categorías modulares , categorías autónomas , categorías con dualidad
1963 Saunders Mac Lane Teorema de coherencia de Mac Lane para determinar la conmutatividad de diagramas en categorías monoidales
1964 William Lawvere Teoría elemental ETCS de la categoría de conjuntos : una axiomatización de la categoría de conjuntos que también es el caso constante de un topos elemental
1964 Barry Mitchell– Peter Freyd Teorema de incrustación de Mitchell-Freyd : cada pequeña categoría abeliana admite una incrustación exacta y completa en la categoría de módulos (izquierda) Mod R sobre algún anillo R
1964 Rudolf Haag - Daniel Kastler Teoría algebraica de campos cuánticos después de las ideas de Irving Segal
1964 Alexander Grothendieck Topologiza categorías axiomáticamente al imponer una topología de Grothendieck en categorías que luego se denominan sitios . El propósito de los sitios es definir las cubiertas en ellos para que se puedan definir las gavillas sobre los sitios. Los otros "espacios" para los que se pueden definir poleas, excepto que los espacios topológicos son locales
1964 Michael Artin - Alexander Grothendieck Cohomología ℓ-ádica , desarrollo técnico en SGA4 de la tan esperada cohomología de Weil .
1964 Alexander Grothendieck Prueba las conjeturas de Weil excepto el análogo de la hipótesis de Riemann
1964 Alexander Grothendieck Formalismo de seis operaciones en álgebra homológica ; R f * , f −1 , R f ! , f ! , ⊗ L , RHom y prueba de su cierre
1964 Alexander Grothendieck Introducido en una carta a Jean-Pierre Serre motivos conjeturales para expresar la idea de que existe una única teoría de cohomología universal subyacente a las diversas teorías de cohomología para variedades algebraicas. De acuerdo con la filosofía de Grothendieck debería haber un funtor cohomology universal de fijación de un motivo puro h ( X ) a cada lisa variedad proyectiva X . Cuando X no es liso o proyectivo, h ( X ) debe ser reemplazado por un motivo mixto más general que tiene una filtración de peso cuyos cocientes son motivos puros. La categoría de motivos (el marco categórico de la teoría de la cohomología universal) puede utilizarse como un sustituto abstracto de la cohomología singular (y la cohomología racional) para comparar, relacionar y unir propiedades "motivadas" y fenómenos paralelos de las diversas teorías de cohomología y para detectar estructura topológica de variedades algebraicas. Las categorías de motivos puros y de motivos mixtos son categorías de tensores abelianos y la categoría de motivos puros también es una categoría tannakiana . Las categorías de motivos se hacen reemplazando la categoría de variedades por una categoría con los mismos objetos pero cuyos morfismos son correspondencias , módulo una relación de equivalencia adecuada ; diferentes equivalencias dan diferentes teorías. La equivalencia racional da la categoría de motivos Chow con grupos Chow como morfismos que son en cierto sentido universales. Toda teoría de la cohomología geométrica es un functor de la categoría de motivos. Cada funtor inducido ρ: motivos módulo equivalencia numérica → espacios de vectores Q graduados se denomina realización de la categoría de motivos, los functores inversos se denominan mejoras . Los motivos mixtos explican fenómenos en áreas tan diversas como: teoría de Hodge, teoría K algebraica, polilogaritmos, mapas de reguladores, formas automórficas, funciones L, representaciones ℓ-ádicas, sumas trigonométricas, homotopía de variedades algebraicas, ciclos algebraicos, espacios de módulos y, por tanto, tiene el potencial de enriquecer cada ámbito y de unificarlos a todos.
1965 Edgar Brown Categorías abstractas de homotopía : un marco adecuado para el estudio de la teoría de la homotopía de los complejos CW
1965 Max Kelly categorías-dg
1965 Max Kelly - Samuel Eilenberg Enriquecidos teoría de categorías : Categorías C enriquece respecto de una categoría V son categorías con HOM-conjuntos Hom C no sólo un conjunto o de clase pero con la estructura de los objetos en la categoría V . El enriquecimiento sobre V es una forma de elevar la dimensión categórica
1965 Charles Ehresmann Define tanto estrictos 2-categorías y estrictas n categoras
1966 Alexander Grothendieck Cristales (una especie de gavilla utilizada en cohomología cristalina )
1966 William Lawvere ETAC Teoría elemental de categorías abstractas , primeros axiomas propuestos para Cat o teoría de categorías usando lógica de primer orden
1967 Jean Bénabou Bicategorías (2 categorías débiles) y 2 funciones débiles
1967 William Lawvere Fundamentos de geometría diferencial sintética
1967 Simon Kochen – Ernst Specker Teorema de Kochen-Specker en mecánica cuántica
1967 Jean-Louis Verdier Define categorías derivadas y redefine functores derivados en términos de categorías derivadas
1967 Peter Gabriel – Michel Zisman Axiomatiza la teoría de la homotopía simplicial
1967 Daniel Quillen Categorías del modelo de Quillen y functores del modelo de Quillen : Un marco para hacer la teoría de la homotopía de manera axiomática en categorías y una abstracción de las categorías de homotopía de tal manera que hC  =  C [ W −1 ] donde W −1 son las equivalencias débiles invertidas de la Categoría de modelo de Quillen C. Las categorías de modelo de Quillen son homotópicamente completas y cocompletas, y vienen con una dualidad Eckmann-Hilton incorporada
1967 Daniel Quillen Álgebra homotópica (publicada como un libro y a veces también llamada álgebra homológica no conmutativa): el estudio de varias categorías de modelos y la interacción entre fibraciones, cofibraciones y equivalencias débiles en categorías de modelos cerradas arbitrarias.
1967 Daniel Quillen Axiomas de Quillen para la teoría de la homotopía en categorías de modelos
1967 Daniel Quillen Primer teorema fundamental de la teoría de la homotopía simplicial : la categoría de conjuntos simpliciales es una categoría de modelo (propia) cerrada (simplicial)
1967 Daniel Quillen Segundo teorema fundamental de la teoría de la homotopía simplicial : El functor de realización y el functor singular es una equivalencia de las categorías hΔ y hTop ( Δ la categoría de conjuntos simpliciales )
1967 Jean Bénabou V- categorías : Una categoría C con una acción ⊗: V × C → C que es asociativa y unital hasta un isomorfismo coherente, para V una categoría monoidal simétrica . Las categorías V pueden verse como la clasificación de módulos R sobre un anillo conmutativo R
1968 Chen Ning Yang - Rodney Baxter Ecuación de Yang-Baxter , posteriormente utilizada como relación en categorías monoidales trenzadas para cruces de trenzas
1968 Alexander Grothendieck Cohomología cristalina : Una teoría de cohomología p -ádica en la característica p inventada para llenar el vacío dejado por la cohomología étale que es deficiente en el uso de coeficientes mod p para este caso. A veces Grothendieck se refiere a él como el yoga de los coeficientes de Rham y los coeficientes de Hodge, ya que la cohomología cristalina de una variedad X en la característica p es como la cohomología de Rham mod p de X y hay un isomorfismo entre los grupos de cohomología de Rham y los grupos de cohomología de Hodge. de formas armónicas
1968 Alexander Grothendieck Conexión Grothendieck
1968 Alexander Grothendieck Formula las conjeturas estándar sobre ciclos algebraicos.
1968 Michael Artin Espacios algebraicos en geometría algebraica como generalización de esquema
1968 Charles Ehresmann Bocetos : una forma alternativa de presentar una teoría (que es de carácter categórico en oposición a lingüística) cuyos modelos se estudian en las categorías adecuadas. Un boceto es una categoría pequeña con un conjunto de conos distinguidos y un conjunto de cocones distinguidos que satisfacen algunos axiomas. Un modelo de un boceto es un funtor de valores establecidos que transforma los conos distinguidos en conos límite y los cocones distinguidos en conos colimit. Las categorías de modelos de bocetos son exactamente las categorías accesibles
1968 Joachim Lambek Multicategorías
1969 Max Kelly - Nobuo Yoneda Finales y coendos
1969 Pierre Deligne - David Mumford Pilas de Deligne-Mumford como generalización del esquema
1969 William Lawvere Doctrinas (teoría de categorías) , una doctrina es una mónada en una categoría de 2
1970 William Lawvere - Myles Tierney Topoi elemental : Categorías modeladas a partir de la categoría de conjuntos que son como universos (espacios generalizados) de conjuntos en los que se pueden hacer matemáticas. Una de las muchas formas de definir un topos es: una categoría cerrada propiamente cartesiana con un clasificador de subobjetos . Cada topos de Grothendieck es un topos elemental
1970 John Conway Teoría de madejas de nudos : el cálculo de invariantes de nudos por módulos de madejas . Los módulos de madejas pueden basarse en invariantes cuánticos

1971-1980

Año Colaboradores Evento
1971 Saunders Mac Lane Libro influyente: Categorías para el matemático que trabaja , que se convirtió en la referencia estándar en la teoría de categorías.
1971 Horst Herrlich - Oswald Wyler Topología categórica : El estudio de categorías topológicas de conjuntos estructurados (generalizaciones de espacios topológicos, espacios uniformes y los otros espacios en topología) y las relaciones entre ellos, culminando en la topología universal . Estudio de topología categórica general y utiliza conjuntos estructurados en una categoría topológica como estudio de topología general y utiliza espacios topológicos. La topología categórica algebraica intenta aplicar la maquinaria de la topología algebraica para espacios topológicos a conjuntos estructurados en una categoría topológica.
1971 Harold Temperley - Elliott Lieb Álgebras de Temperley-Lieb : Álgebras de enredos definidos por generadores de enredos y relaciones entre ellos
1971 William Lawvere - Myles Tierney Topología de Lawvere-Tierney en un topos
1971 William Lawvere - Myles Tierney Forzamiento teórico de Topos (forzando en topos): Categorización del método de forzamiento teórico de conjuntos a topos para intentos de probar o refutar la hipótesis del continuo , independencia del axioma de elección , etc.
1971 Bob Walters– Ross Street Estructuras de Yoneda en 2 categorías
1971 Roger Penrose Diagramas de cuerdas para manipular morfismos en una categoría monoidal
1971 Jean Giraud Gerbes : paquetes principales categorizados que también son casos especiales de pilas
1971 Joachim Lambek Generaliza la correspondencia Haskell-Curry-William-Howard a un isomorfismo de tres vías entre tipos, proposiciones y objetos de una categoría cerrada cartesiana.
1972 Max Kelly Clubes (teoría de categorías) y coherencia (teoría de categorías) . Un palo es un tipo especial de teoría bidimensional o un monoide en Cat / (categoría de conjuntos finitos y permutaciones P ), cada palo da una 2 mónada en Cat.
1972 John Isbell Locales : Un "espacio topológico generalizado" o "espacios sin sentido" definido por una celosía (un álgebra de Heyting completa también llamada celosía de Brouwer) al igual que para un espacio topológico los subconjuntos abiertos forman una celosía. Si la celosía posee suficientes puntos, es un espacio topológico. Las configuraciones regionales son los principales objetos de la topología sin sentido , siendo los objetos duales los marcos . Tanto los entornos locales como los marcos forman categorías opuestas entre sí . Las poleas se pueden definir sobre locales. Los otros "espacios" sobre los que se pueden definir poleas son los sitios. Aunque los lugares se conocían antes, John Isbell los nombró por primera vez
1972 Ross Street Teoría formal de las mónadas : la teoría de las mónadas en 2 categorías
1972 Peter Freyd Teorema fundamental de la teoría de topos : cada categoría de rebanada ( E , Y ) de un topos E es un topos y el functor f *: ( E , X ) → ( E , Y ) conserva exponenciales y el objeto clasificador de subobjetos Ω y tiene un derecho y functor adjunto izquierdo
1972 Alexander Grothendieck Universos de Grothendieck para conjuntos como parte de fundamentos para categorías
1972 Jean Bénabou - Calle Ross Cosmos que categorizan universos : Un cosmos es un universo generalizado de categorías 1 en el que se puede hacer teoría de categorías. Cuando la teoría de conjuntos se generaliza al estudio de un topos de Grothendieck , la generalización análoga de la teoría de categorías es el estudio de un cosmos.
  1. Definición de Ross Street: una bicategoría tal que
  2. existen pequeños bicoproductos;
  3. cada mónada admite una construcción de Kleisli (análoga al cociente de una relación de equivalencia en un topos);
  4. es localmente pequeño-cocompleto; y
  5. existe un pequeño generador de Cauchy .

Los cosmos están cerrados bajo dualización, parametrización y localización. Ross Street también presenta los cosmos elementales .

Definición de Jean Bénabou: una categoría cerrada monoidal simétrica bicompleta

1972 Peter mayo Operads : una abstracción de la familia de funciones componibles de varias variables junto con una acción de permutación de variables. Las óperas pueden verse como teorías algebraicas y las álgebras sobre las operadas son entonces modelos de las teorías. Cada operada da una mónada en la parte superior . Las categorías múltiples con un objeto son operados. Los PROPs generalizan operados para admitir operaciones con varias entradas y varias salidas. Las óperas se utilizan para definir opetopos , teoría de categorías superiores, teoría de homotopía, álgebra homológica, geometría algebraica, teoría de cuerdas y muchas otras áreas.
1972 William Mitchell– Jean Bénabou Mitchell-Bénabou lenguaje interno de un topos : Para un topos E con subobjeto clasificador objeto Ω un lenguaje (o teoría de tipos ) L ( E ) donde:
  1. los tipos son los objetos de E
  2. términos de tipo X en las variables x i de tipo X i son expresiones polinómicas φ ( x 1 , ..., x m ): 1 → X en las flechas x i : 1 → X i en E
  3. las fórmulas son términos de tipo Ω (flechas de tipos a Ω)
  4. las conectivas se inducen a partir de la estructura de álgebra de Heyting interna de Ω
  5. Los cuantificadores delimitados por tipos y aplicados a fórmulas también se tratan
  6. para cada tipo X también hay dos relaciones binarias = X (definida aplicando el mapa diagonal al término producto de los argumentos) y ∈ X (definida aplicando el mapa de evaluación al producto del término por el término de potencia de los argumentos).

Una fórmula es verdadera si la flecha que la interpreta factoriza a través de la flecha verdadera: 1 → Ω. El lenguaje interno de Mitchell-Bénabou es una forma poderosa de describir varios objetos en un topos como si fueran conjuntos y, por lo tanto, es una forma de convertir el topos en una teoría de conjuntos generalizada, para escribir y probar enunciados en un topos utilizando un predicado intuicionista de primer orden. lógica, considerar topos como teorías de tipos y expresar propiedades de un topos. Cualquier lengua L también genera un topos lingüístico E (L)

1973 Chris Reedy Categorías de Reedy : Categorías de "formas" que se pueden usar para hacer teoría de homotopía. La categoría A Reedy es una categoría R equipada con una estructura que permite la construcción inductiva de diagramas y transformaciones naturales de forma R . La consecuencia más importante de una estructura de Reedy en R es la existencia de una estructura de modelo en la categoría de functor M R siempre que M es una categoría de modelo . Otra ventaja de la estructura Reedy es que sus cofibraciones, fibraciones y factorizaciones son explícitas. En una categoría de Reedy hay una noción de morfismo inyectivo y sobreyectivo, de modo que cualquier morfismo puede factorizarse únicamente como una sobreyección seguida de una inyección. Algunos ejemplos son el ordinal α considerado como un poset y, por lo tanto, una categoría. El R ° opuesto de una categoría Reedy R también es una categoría Reedy. La categoría simplex Δ y más generalmente para cualquier conjunto simplicial X su categoría de simplices Δ / X es una categoría Reedy. La estructura del modelo en M Δ para un modelo de categoría M se describe en un manuscrito inédito de Chris Reedy
1973 Kenneth Brown –Stephen Gersten Muestra la existencia de una estructura de modelo cerrado global en la categoría de haces simpliciales en un espacio topológico, con supuestos débiles en el espacio topológico
1973 Kenneth Brown Cohomología de gavilla generalizada de un espacio topológico X con coeficientes una gavilla sobre X con valores en la categoría de espectros Kans con algunas condiciones de finitud. Generaliza la teoría de la cohomología generalizada y la cohomología de gavillas con coeficientes en un complejo de gavillas abelianas.
1973 William Lawvere Encuentra que la completitud de Cauchy se puede expresar para categorías generales enriquecidas con la categoría de espacios métricos generalizados como un caso especial. Las secuencias de Cauchy se convierten en módulos adjuntos izquierdos y la convergencia se convierte en representabilidad
1973 Jean Bénabou Distribuidores (también llamados módulos, profunctores, puentes dirigidos )
1973 Pierre Deligne Prueba la última de las conjeturas de Weil , el análogo de la hipótesis de Riemann.
1973 Michael Boardman –Rainer Vogt Categorías segales : análogos simples de las categorías A ∞ . Naturalmente, generalizan las categorías simpliciales , en el sentido de que pueden considerarse como categorías simpliciales cuya composición sólo se da a la homotopía.

Def: Un espacio simplicial X tal que X 0 (el conjunto de puntos) es un conjunto simplicial discreto y el mapa Segal

φ k  : X k → X 1 ×
X 0 ... × X 0 X 1 (inducido por X (α i ): X k → X 1 ) asignado a X

es una equivalencia débil de conjuntos simpliciales para k ≥ 2.

Las categorías segales son una forma débil de categorías S , en las que la composición solo se define hasta un sistema coherente de equivalencias. Graeme Segal
definió implícitamente un año más tarde las categorías segal . Fueron nombradas categorías Segal primero por William Dwyer, Daniel Kan, Jeffrey Smith 1989. En su famoso libro Estructuras algebraicas invariantes de homotopía en espacios topológicos, J. Michael Boardman y Rainer Vogt las llamaron cuasi categorías . Una cuasi-categoría es un conjunto simple que satisface la condición de Kan débil, por lo que las cuasi-categorías también se denominan complejos de Kan débil.

1973 Daniel Quillen Categorías de Frobenius : una categoría exacta en la que coinciden las clases de objetos inyectivos y proyectivos y para todos los objetos x en la categoría hay una deflación P ( x ) → x (la cobertura proyectiva de x) y una inflación x → I ( x ) (el casco inyectivo de x ) de manera que tanto P (x) como I ( x ) están en la categoría de objetos pro / inyectivos. Una categoría de Frobenius E es un ejemplo de una categoría de modelo y el cociente E / P (P es la clase de objetos proyectivos / inyectivos) es su categoría de homotopía hE
1974 Michael Artin Generaliza las pilas de Deligne-Mumford a pilas de Artin
1974 Robert Paré Teorema de la monadicidad de Paré : E es un topos → E ° es monádico sobre E
1974 Andy Magid Generaliza la teoría de Galois de Grothendieck de grupos al caso de anillos usando groupoides de Galois
1974 Jean Bénabou Lógica de categorías fibradas
1974 John Gray Categorías grises con producto tensor gris
1974 Kenneth Brown Escribe un artículo muy influyente que define las categorías Browns de objetos fibrantes y categorías duales Brown de objetos cofibrantes.
1974 Shiing-Shen Chern - James Simons Teoría de Chern-Simons : un TQFT particular que describe invariantes de nudos y múltiples , en ese momento solo en 3D
1975 Saul Kripke - André Joyal Semántica de Kripke-Joyal del lenguaje interno de Mitchell-Bénabou para topos: La lógica en categorías de gavillas es lógica de predicados intuicionista de primer orden.
1975 Radu Diaconescu Teorema de Diaconescu : El axioma interno de elección se cumple en un topos → el topos es un topos booleano. Entonces, en IZF, el axioma de elección implica la ley del medio excluido
1975 Manfred Szabo Policategorías
1975 William Lawvere Observa que el teorema de Deligne sobre suficientes puntos en un topos coherente implica el teorema de completitud de Gödel para la lógica de primer orden en ese topos
1976 Alexander Grothendieck Tipos esquemáticos de homotopía
1976 Marcel Crabbe Categorías de selección también llamadas logos : categorías regulares en las que los subobjetos de un objeto forman una celosía, y en las que cada mapa de imagen inverso tiene un adjunto derecho. Más precisamente, una categoría C coherente tal que para todos los morfismos f : A → B en C el funtor f *: Sub C ( B ) → Sub C ( A ) tiene un adjunto izquierdo y un adjunto derecho. Sub C ( A ) es el orden previo de subobjetos de A (la subcategoría completa de C / A cuyos objetos son subobjetos de A ) en C . Cada topos es un logo. Las categorías de Heyting generalizan las álgebras de Heyting .
1976 Ross Street Computads
1977 Michael Makkai –Gonzalo Reyes Desarrolla el lenguaje interno Mitchell – Bénabou de un topos a fondo en un entorno más general.
1977 Andre Boileau– André Joyal –John Zangwill LST, teoría de conjuntos locales : la teoría de conjuntos locales es una teoría de conjuntos tipificada cuya lógica subyacente es la lógica intuicionista de orden superior . Es una generalización de la teoría de conjuntos clásica, en la que los conjuntos son reemplazados por términos de ciertos tipos. La categoría C (S) construida a partir de una teoría local S cuyos objetos son los conjuntos locales (o conjuntos S) y cuyas flechas son los mapas locales (o S-mapas) es un topos lingüístico . Cada topos E es equivalente a un topos lingüístico C (S ( E ))
1977 John Roberts Introduce la cohomología no beliana más general de las categorías ω con las categorías ω como coeficientes cuando se dio cuenta de que la cohomología general se trata de colorear simples en categorías ω . Hay dos métodos de construcción de la cohomología general no beliana, como cohomología de gavilla no beliana en términos de descendencia para gavillas valoradas en la categoría ω, y en términos de la teoría de la cohomología homotópica que realiza los ciclos. Los dos enfoques están relacionados por codecent
1978 John Roberts Conjuntos compliciales ( conjuntos simpliciales con estructura o encantamiento)
1978 Francois Bayen – Moshe Flato – Chris Fronsdal– André Lichnerowicz –Daniel Sternheimer Cuantización de deformaciones , que luego será parte de la cuantificación categórica
1978 André Joyal Especies combinatorias en combinatoria enumerativa
1978 Don Anderson Basándose en el trabajo de Kenneth Brown, se definen las categorías de (co) fibración ABC para realizar la teoría de homotopía y categorías de modelos ABC más generales , pero la teoría permanece inactiva hasta 2003. Cada categoría de modelo de Quillen es una categoría de modelo ABC. Una diferencia con las categorías del modelo de Quillen es que en las categorías del modelo ABC las fibraciones y cofibraciones son independientes y que para una categoría del modelo ABC, M D es una categoría del modelo ABC. A una categoría de (co) fibración ABC se asocia canónicamente un derivador de Heller (izquierda) derecha . Los espacios topológicos con equivalencias de homotopía como equivalencias débiles, cofibraciones de Hurewicz como cofibraciones y fibraciones de Hurewicz como fibraciones forman una categoría de modelo ABC, la estructura del modelo de Hurewicz en la parte superior . Los complejos de objetos en una categoría abeliana con cuasi-isomorfismos como equivalencias débiles y monomorfismos como cofibraciones forman una categoría de precofibración ABC
1979 Don Anderson Axiomas de Anderson para la teoría de la homotopía en categorías con un funtor
1980 Alexander Zamolodchikov Ecuación de Zamolodchikov también llamada ecuación de tetraedro
1980 Ross Street Lema bicategórico de Yoneda
1980 Masaki Kashiwara –Zoghman Mebkhout Prueba la correspondencia de Riemann-Hilbert para variedades complejas
1980 Peter Freyd Numerales en un topos

1981-1990

Año Colaboradores Evento
1981 Shigeru Mukai Transformada de Mukai-Fourier
mil novecientos ochenta y dos Bob Walters Categorías enriquecidas con bicategorías como base
1983 Alexander Grothendieck Persiguiendo pilas : Manuscrito circulado desde Bangor, escrito en inglés en respuesta a una correspondencia en inglés con Ronald Brown y Tim Porter , comenzando con una carta dirigida a Daniel Quillen , desarrollando visiones matemáticas en un manuscrito de 629 páginas, una especie de diario, y a será publicado por la Société Mathématique de France, editado por G. Maltsiniotis.
1983 Alexander Grothendieck Primera aparición de categorías ∞ estrictas en la búsqueda de pilas, siguiendo una definición publicada en 1981 por Ronald Brown y Philip J. Higgins .
1983 Alexander Grothendieck Grupóide infinito fundamental : Un invariante de homotopía completo Π ∞ ( X ) para los complejos X de CW . El functor inverso es el functor de realización geométrico | . | y juntos forman una "equivalencia" entre la categoría de complejos CW y la categoría de grupos ω
1983 Alexander Grothendieck Hipótesis de homotopía : la categoría de homotopía de los complejos CW es equivalente a Quillen a una categoría de homotopía de ∞-grupóides débiles razonables
1983 Alexander Grothendieck Derivadores de Grothendieck : un modelo para la teoría de la homotopía similar a las categorías del modelo de Quilen pero más satisfactorio. Los derivados de Grothendieck son duales a los derivados de Heller
1983 Alexander Grothendieck Modelizadores elementales : Categorías de pretensiones que modelan tipos de homotopía (generalizando así la teoría de conjuntos simpliciales ). Los modeladores canónicos también se utilizan en la búsqueda de pilas
1983 Alexander Grothendieck Functores suaves y functores adecuados
1984 Vladimir Bazhanov – Razumov Stroganov Ecuación d-simplex de Bazhanov-Stroganov que generaliza la ecuación de Yang-Baxter y la ecuación de Zamolodchikov
1984 Horst Herrlich Topología universal en topología categórica : un enfoque categórico unificador de los diferentes conjuntos estructurados (estructuras topológicas como espacios topológicos y espacios uniformes) cuya clase forma una categoría topológica similar a la del álgebra universal para las estructuras algebraicas
1984 André Joyal Gavillas simples (gavillas con valores en conjuntos simpliciales). Las poleas simples en un espacio topológico X es un modelo para el ∞-topos hipercompleto Sh ( X ) ^
1984 André Joyal Muestra que la categoría de objetos simpliciales en un topos de Grothendieck tiene una estructura de modelo cerrada
1984 André Joyal - Myles Tierney Teorema principal de Galois para topos : Cada topos es equivalente a una categoría de étale presheaves en un étale groupoid abierto
1985 Michael Schlessinger– Jim Stasheff L ∞ -álgebras
1985 André Joyal - Calle Ross Categorías monoidales trenzadas
1985 André Joyal - Calle Ross Teorema de coherencia de Joyal-Street para categorías monoidales trenzadas
1985 Paul Ghez – Ricardo Lima– John Roberts Categorías C *
1986 Joachim Lambek –Phil Scott Libro influyente: Introducción a la lógica categórica de orden superior
1986 Joachim Lambek –Phil Scott Teorema fundamental de topología : El functor de sección Γ y el functor de germen Λ establecen una doble adjunción entre la categoría de pretensiones y la categoría de haces (sobre el mismo espacio topológico) que se restringe a una doble equivalencia de categorías (o dualidad) entre correspondientes subcategorías completas de gavillas y de paquetes de étale
1986 Peter Freyd - David Yetter Construye la categoría monoidal (trenzado compacto) de enredos.
1986 Vladimir Drinfeld - Michio Jimbo Grupos cuánticos : en otras palabras, álgebras de Hopf cuasitriangulares . El punto es que las categorías de representaciones de grupos cuánticos son categorías de tensores con estructura extra. Se utilizan en la construcción de invariantes cuánticas de nudos y enlaces y variedades de baja dimensión, teoría de la representación, teoría de la deformación q , CFT , sistemas integrables . Los invariantes se construyen a partir de categorías monoidales trenzadas que son categorías de representaciones de grupos cuánticos. La estructura subyacente de un TQFT es una categoría modular de representaciones de un grupo cuántico.
1986 Saunders Mac Lane Matemáticas, forma y función (una base de las matemáticas)
1987 Jean-Yves Girard Lógica lineal : La lógica interna de una categoría lineal (una categoría enriquecida con sus Hom-sets siendo espacios lineales )
1987 Peter Freyd El teorema de representación de Freyd para Grothendieck plantea
1987 Ross Street Definición del nervio de una categoría n débil y así obtener la primera definición de categoría n débil utilizando simplices
1987 Ross Street - John Roberts Formula la conjetura de Street-Roberts : Las categorías ω estrictas son equivalentes a conjuntos compliciales
1987 André Joyal - Ross Street - Mei Chee Shum Categorías de cinta : una categoría monoidal trenzada rígida equilibrada
1987 Ross Street n -computads
1987 Iain Aitchison Algoritmo de triángulo de Pascal de abajo hacia arriba para calcular condiciones de n - ciclos no belianos para la cohomología no beliana
1987 Vladimir Drinfeld - Gérard Laumon Formula el programa Langlands geométrico
1987 Vladimir Turaev Inicia la topología cuántica mediante el uso de grupos cuánticos y matrices R para dar una unificación algebraica de la mayoría de los polinomios de nudos conocidos . Especialmente importante fue el trabajo de Vaughan Jones y Edward Wittens en el polinomio de Jones
1988 Alex Heller Axiomas de Heller para la teoría de la homotopía como un hiperfunctor abstracto especial . Una característica de este enfoque es una localización muy general
1988 Alex Heller Derivadores de Heller , el dual de los derivados de Grothendieck
1988 Alex Heller Da una estructura de modelo cerrado global en la categoría de prefabricados simpliciales . John Jardine también ha dado una estructura modelo en la categoría de pretensiones simpliciales.
1988 Graeme Segal Objetos elípticos : un funtor que es una versión categorizada de un paquete de vectores equipado con una conexión, es un transporte paralelo 2D para cadenas
1988 Graeme Segal Teoría de campos conformales CFT : Un functor monoidal simétrico Z: nCob C → Hilb que satisface algunos axiomas
1988 Edward Witten Teoría de campos cuánticos topológicos TQFT : Un functor monoidal Z: nCob → Hilb que satisface algunos axiomas
1988 Edward Witten Teoría topológica de cuerdas
1989 Hans Baues Libro influyente: homotopía algebraica
1989 Michael Makkai -Robert Paré Categorías accesibles : Categorías con un "buen" conjunto de generadores que permiten manipular categorías grandes como si fueran categorías pequeñas , sin temor a encontrar paradojas de la teoría de conjuntos. Las categorías presentables localmente son categorías accesibles completas. Las categorías accesibles son las categorías de modelos de bocetos . El nombre proviene de que estas categorías son accesibles como modelos de bocetos.
1989 Edward Witten Formalismo integral funcional de Witten e invariantes de Witten para variedades.
1990 Peter Freyd Alegorías : una abstracción de la categoría de conjuntos con relaciones como morfismos , tiene el mismo parecido con las relaciones binarias que las categorías con las funciones y conjuntos. Es una categoría en la que se tiene además de composición una operación unaria reciprocidad R ° y una operación binaria parcial intersección R ∩ S , como en la categoría de conjuntos con relaciones como morfismos (en lugar de funciones) para los cuales se encuentran varios axiomas. requerido. Generaliza el álgebra de relaciones a las relaciones entre diferentes géneros.
1990 Nicolai Reshetikhin - Vladimir Turaev - Edward Witten Reshetikhin-Turaev-Witten invariantes de nudos de categorías de tensor modular de representaciones de grupos cuánticos .

1991-2000

Año Colaboradores Evento
1991 Jean-Yves Girard Polarización de lógica lineal .
1991 Ross Street Complejos de paridad . Un complejo de paridad genera una categoría ω libre .
1991 André Joyal - Calle Ross Formalización de diagramas de cuerdas de Penrose para calcular con tensores abstractos en varias categorías monoidales con estructura extra. El cálculo ahora depende de la conexión con la topología de baja dimensión .
1991 Ross Street Definición de la categoría ω estricta de descendencia de una categoría ω estricta cosimplicial.
1991 Ross Street Escisión de arriba hacia abajo del algoritmo de extremals para calcular condiciones de n - ciclos no belianos para la cohomología no beliana .
1992 Yves Diers Axiomático categórica geometría usando categorías algebraicas-geométrico y funtores algebraico-geométricos .
1992 Saunders Mac Lane - Ieke Moerdijk Libro influyente: Gavillas en geometría y lógica .
1992 John Greenlees como Peter May Dualidad Greenlees-May
1992 Vladimir Turaev Categorías de tensores modulares . Categorías de tensores especiales que surgen al construir invariantes de nudos , al construir TQFT y CFT , como truncamiento (cociente semisimple) de la categoría de representaciones de un grupo cuántico (en las raíces de la unidad), como categorías de representaciones de álgebras de Hopf débiles , como categoría de representaciones de un RCFT .
1992 Vladimir Turaev - Oleg Viro Modelos de suma de estados de Turaev-Viro basados ​​en categorías esféricas (los primeros modelos de suma de estados) e invariantes de suma de estados de Turaev-Viro para 3 variedades.
1992 Vladimir Turaev Mundo de sombra de enlaces: las sombras de enlaces dan invariantes de sombra de enlaces por sumas de estado de sombra .
1993 Ruth Lawrence TQFT extendidos
1993 David Yetter - Louis Crane Modelos de suma de estado Crane-Yetter basados ​​en categorías de cinta e invariantes de suma de estado Crane-Yetter para 4 colectores.
1993 Kenji Fukaya A ∞ -categorías y A ∞ -functores : más comúnmente en el álgebra homológica , una categoría con varias composiciones tales que la primera composición es asociativa hasta la homotopía que satisface una ecuación que se sostiene con otra homotopía, etc. (asociativa hasta homotopía superior ). A significa asociativo.

Def: Una categoría C tal que

  1. para todo X ,  Y en Ob ( C ), los Hom-sets Hom C ( X , Y ) son complejos de cadena de dimensiones finitas de módulos de grado Z
  2. para todos los objetos X 1 , ..., X n en Ob ( C ) hay una familia de mapas de composición lineal (las composiciones más altas)
m n  : Hom C ( X 0 , X 1 ) ⊗ Hom C ( X 1 , X 2 ) ⊗ ... ⊗ Hom C ( X n −1 , X n ) → Hom C ( X 0 , X n )
de grado n  - 2 (se utiliza la convención de clasificación homológica) para n  ≥ 1
  1. m 1 es el diferencial en el complejo de cadenas Hom C ( X , Y )
  2. m n satisface la ecuación cuadrática de A ∞ -asociatividad para todo n  ≥ 0.

m 1 y m 2 serán mapas de cadena, pero las composiciones m i de orden superior no son mapas de cadena; sin embargo, son productos de Massey . En particular, es una categoría lineal .

Algunos ejemplos son la categoría Fukaya Fuk ( X ) y el espacio de bucle Ω X donde X es un espacio topológico y A ∞ -álgebras como A ∞ -categorías con un objeto.

Cuando no hay mapas superiores (homotopías triviales) C es una categoría dg . Cada categoría A ∞ es cuasiisomórfica de una manera funcional a una categoría dg. Un cuasiisomorfismo es un mapa de cadena que es un isomorfismo en homología.

El marco de dg-categorías y dg-functors es demasiado estrecho para muchos problemas, y es preferible considerar la clase más amplia de A ∞ -categories y A ∞ -functors. Muchas de las funciones de A ∞ categoras y A ∞ -functors provienen del hecho de que formen una cerrada simétrica multicategoría , que se revela en el lenguaje de comonads . Desde una perspectiva de dimensiones superiores, las categorías A ∞ son categorías ω débiles con todos los morfismos invertibles. Las categorías A ∞ también pueden verse como variedades dg formales no conmutativas con un subesquema de objetos marcado cerrado.

1993 John Barret -Bruce Westbury Categorías esféricas : categorías monoidales con duales para diagramas en esferas en lugar de en el plano.
1993 Maxim Kontsevich Invariantes de Kontsevich para nudos (son integrales de Feynman de expansión de perturbación para la integral funcional de Witten ) definidas por la integral de Kontsevich. Son las invariantes universales de Vassiliev para los nudos.
1993 Daniel liberado Una nueva vista sobre TQFT usando categorías de tensor modular que unifica tres enfoques para TQFT (categorías de tensor modular de integrales de ruta).
1994 Francis Borceux Manual de álgebra categórica (3 volúmenes).
1994 Jean Bénabou –Bruno Loiseau Orbitales en un topos.
1994 Maxim Kontsevich Formula la conjetura de simetría especular homológica : X una variedad simpléctica compacta con primera clase Chern c 1 ( X ) = 0 e Y una variedad compacta Calabi-Yau son pares espejo si y solo si D (Fuk X ) (la categoría derivada de Fukaya La categoría triangulada de X elaborada a partir de ciclos lagrangianos con sistemas locales) es equivalente a una subcategoría de D b (Coh Y ) (la categoría derivada acotada de poleas coherentes en Y ).
1994 Louis Crane - Igor Frenkel Categorías Hopf y construcción de TQFT 4D por ellos.
1994 John Fischer Define la categoría 2 de 2 nudos (superficies anudadas).
1995 Bob Gordon-John Power- Calle Ross Tricategorías y un teorema de coherencia correspondiente : cada categoría 3 débil es equivalente a una categoría 3 gris .
1995 Ross Street - Dominic Verity Diagramas de superficie para tricategorías.
1995 Louis Crane Categorización de monedas que conduce a la escalera categórica .
1995 Sjoerd Crans Un procedimiento general de transferencia de estructuras de modelo cerrado en una categoría a lo largo de pares de functores adjuntos a otra categoría.
1995 André Joyal - Ieke Moerdijk AST, teoría de conjuntos algebraica : también llamada a veces teoría de conjuntos categórica. Fue desarrollado a partir de 1988 por André Joyal e Ieke Moerdijk, y fue presentado por primera vez en detalle como un libro en 1995 por ellos. AST es un marco basado en la teoría de categorías para estudiar y organizar teorías de conjuntos y construir modelos de teorías de conjuntos . El objetivo de AST es proporcionar una semántica categórica uniforme o descripción de teorías de conjuntos de diferentes tipos (clásicas o constructivas, acotadas, predicativas o impredicativas, bien fundamentadas o no fundadas, ...), las diversas construcciones de la jerarquía acumulativa de conjuntos , modelos de forzamiento, modelos de gavilla y modelos de realizabilidad. En lugar de centrarse en categorías de conjuntos, AST se centra en categorías de clases. La herramienta básica de AST es la noción de una categoría con estructura de clases (una categoría de clases equipada con una clase de mapas pequeños (la intuición es que sus fibras son pequeñas en algún sentido), clases de poder y un objeto universal (un universo )) que proporciona un marco axiomático en el que se pueden construir modelos de teoría de conjuntos. La noción de una categoría de clase permite tanto la definición de ZF-álgebras (álgebras de Zermelo-Fraenkel ) como estructuras relacionadas que expresan la idea de que la jerarquía de conjuntos es una estructura algebraica por un lado y la interpretación de la lógica de primer orden de elemental establecer la teoría por el otro. La subcategoría de conjuntos en una categoría de clase es un topos elemental y cada topos elemental se presenta como conjuntos en una categoría de clase. La categoría de clase en sí misma siempre se inserta en la realización ideal de un topos. La interpretación de la lógica es que en cada categoría de clase el universo es un modelo de teoría de conjuntos intuicionista básica (BIST) que es lógicamente completo con respecto a los modelos de categoría de clase. Por lo tanto, las categorías de clase generalizan tanto la teoría topos como la teoría de conjuntos intuicionista. AST funda y formaliza la teoría de conjuntos en el álgebra ZF con operaciones unión y sucesor (singleton) en lugar de en la relación de pertenencia. Los axiomas ZF no son más que una descripción del álgebra ZF libre al igual que los axiomas de Peano son una descripción del monoide libre en un generador. En esta perspectiva, los modelos de la teoría de conjuntos son álgebras para una teoría algebraica adecuadamente presentada y muchas condiciones familiares de la teoría de conjuntos (como la fundamentación) están relacionadas con las condiciones algebraicas conocidas (como la libertad). Usando una noción auxiliar de mapa pequeño es posible extender los axiomas de un topos y proporcionar una teoría general para construir de manera uniforme modelos de teoría de conjuntos a partir de topos.
1995 Michael Makkai SFAM, Fundamento estructuralista de las matemáticas abstractas . En SFAM el universo consta de categorías de dimensiones superiores, los functores se reemplazan por anafunctores saturados , los conjuntos son conjuntos abstractos , la lógica formal para las entidades es FOLDS (lógica de primer orden con géneros dependientes) en la que la relación de identidad no está dada a priori por axiomas de primer orden pero derivados dentro de un contexto.
1995 John Baez - James Dolan Conjuntos opetopicos ( opetopes ) basados ​​en operados . Las n- categorías débiles son conjuntos n -opetópicos.
1995 John Baez - James Dolan Introdujo la tabla periódica de matemáticas que identifica k -tuply monoidal n -categorías . Refleja la tabla de grupos homotópicos de las esferas .
1995 John Baez - James Dolan Se describió un programa en el que los TQFT de n dimensiones se describen como representaciones de n categorías .
1995 John Baez - James Dolan Propuesta de cuantificación de deformaciones en n- dimensiones .
1995 John Baez - James Dolan Hipótesis de la maraña : La categoría n de n- ángulos enmarcados en n + k dimensiones es ( n  +  k ) -equivalente a la categoría n monoidal libre débil k -tuply con duales en un objeto.
1995 John Baez - James Dolan Hipótesis de Cobordismo (hipótesis I de TQFT extendida): La categoría n de la cual las TQFT extendidas n -dimensionales son representaciones, nCob , es la categoría n débil estable libre con duales en un objeto.
1995 John Baez - James Dolan Hipótesis de estabilización : después de suspender una categoría n débil n + 2 veces, las suspensiones adicionales no tienen un efecto esencial. El functor de suspensión S : nCat k → nCat k +1 es una equivalencia de categorías para k = n + 2.
1995 John Baez - James Dolan Hipótesis II de TQFT extendido : Un TQFT extendido unitario n -dimensional es un n -functor débil , que preserva todos los niveles de dualidad, desde la categoría n débil estable libre con duales en un objeto hasta nHilb .
1995 Valentin Lychagin Cuantización categórica
1995 Pierre Deligne - Vladimir Drinfeld - Maxim Kontsevich Geometría algebraica derivada con esquemas derivados y pilas de módulos derivados . Un programa para hacer geometría algebraica y especialmente problemas de módulos en la categoría derivada de esquemas o variedades algebraicas en lugar de en sus categorías normales.
1997 Maxim Kontsevich Teorema de cuantificación de deformaciones formales : Toda variedad de Poisson admite un producto estrella diferenciable y se clasifican hasta equivalencia por deformaciones formales de la estructura de Poisson.
1998 Claudio Hermida- Michael-Makkai -John Power Multitopes , conjuntos multitopic.
1998 Carlos simpson Conjetura de Simpson : Cada categoría ∞ débil es equivalente a una categoría ∞ en la que las leyes de composición e intercambio son estrictas y solo las leyes unitarias pueden mantenerse débilmente. Está probado para 1,2,3 -categorías con un solo objeto.
1998 André Hirschowitz-Carlos Simpson Proporcione una estructura de categoría de modelo en la categoría de categorías Segal. Las categorías segal son los objetos fibrante-cofibrante y los mapas segal son las equivalencias débiles . De hecho, generalizan la definición a la de una categoría n Segal y dan una estructura de modelo para categorías n Segal para cualquier n ≥ 1.
1998 Chris Isham –Jeremy Butterfield Teorema de Kochen-Specker en la teoría de topos de las pregachas: La antenas espectral (la antenas que asigna a cada operador su espectro) no tiene elementos globales ( secciones globales ) pero puede tener elementos parciales o elementos locales . Un elemento global es el análogo de las pretensiones de la idea ordinaria de un elemento de un conjunto. Esto es equivalente en teoría cuántica al espectro del álgebra C * de observables en un topos sin puntos.
1998 Richard Thomas Richard Thomas, un estudiante de Simon Donaldson , presenta los invariantes Donaldson-Thomas que son sistemas de invariantes numéricos de complejos X orientados a 3 variedades , análogos a los invariantes de Donaldson en la teoría de 4 variedades. Son ciertas características de Euler ponderada del espacio de módulos de haces en X y "Count" semiestable Gieseker gavillas coherentes con fijo carácter de Chern en X . Idealmente, los espacios de los módulos deberían ser conjuntos críticos de funciones holomórficas de Chern-Simons y las invariantes de Donaldson-Thomas deberían ser el número de puntos críticos de esta función, contados correctamente. Actualmente, estas funciones holomórficas de Chern-Simons existen, en el mejor de los casos, a nivel local.
1998 Juan Baez Modelos de espuma giratoria : un complejo de celdas bidimensionales con caras etiquetadas por representaciones y bordes etiquetados por operadores entrelazados . Las espumas de giro son functores entre las categorías de redes de giro . Cualquier rebanada de espuma giratoria da una red de giro.
1998 John Baez - James Dolan Principio del microcosmos : Ciertas estructuras algebraicas se pueden definir en cualquier categoría equipada con una versión categorizada de la misma estructura.
1998 Alexander Rosenberg Esquemas no conmutativos : el par (Spec ( A ), O A ) donde A es una categoría abeliana y se le asocia un espacio topológico Spec ( A ) junto con un haz de anillos O A en él. En el caso de que A = QCoh ( X ) para X un esquema, el par (Spec ( A ), O A ) es naturalmente isomorfo al esquema ( X Zar , O X ) usando la equivalencia de las categorías QCoh (Spec ( R )) = Mod R . De manera más general, las categorías abelianas o las categorías trianguladas o las categorías dg o las categorías A ∞ deben considerarse como categorías de gavillas cuasicoherentes (o complejos de gavillas) en esquemas no conmutativos. Este es un punto de partida en geometría algebraica no conmutativa . Significa que uno puede pensar en la categoría A en sí misma como un espacio. Dado que A es abeliano, permite hacer álgebra homológica de forma natural en esquemas no conmutativos y, por lo tanto, cohomología de gavillas .
1998 Maxim Kontsevich Categorías de Calabi – Yau : Una categoría lineal con un mapa de trazas para cada objeto de la categoría y un emparejamiento no degenerado simétrico asociado (con respecto a los objetos) al mapa de trazas. Si X es un proyectiva lisa variedad Calabi-Yau de dimensión d a continuación, D b (Coh ( X )) es un unital Calabi-Yau A ∞ -Categoría de Calabi-Yau dimensión d . Una categoría de Calabi-Yau con un objeto es un álgebra de Frobenius .
1999 Joseph Bernstein - Igor Frenkel - Mikhail Khovanov Categorías de Temperley – Lieb : los objetos se enumeran mediante números enteros no negativos . El conjunto de homomorfismos de objeto n a objeto m es un libre de R -módulo con una base sobre un anillo R . R viene dada por las clases de isotopías de sistemas de (| n | + | m |) / 2 arcos simples disjuntos por pares dentro de una franja horizontal en el plano que se conectan en pares | n | puntos en la parte inferior y | m | puntos en la parte superior en algún orden. Los morfismos se componen concatenando sus diagramas. Las categorías de Temperley-Lieb se clasifican en álgebras de Temperley-Lieb .
1999 Moira Chas– Dennis Sullivan Construye topología de cadenas por cohomología. Esta es la teoría de cuerdas sobre variedades topológicas generales.
1999 Mikhail Khovanov Homología de Khovanov : una teoría de homología para nudos tal que las dimensiones de los grupos de homología son los coeficientes del polinomio de Jones del nudo.
1999 Vladimir Turaev Teoría de campos cuánticos de homotopía HQFT
1999 Vladimir Voevodsky –Fabien Morel Construye la categoría de esquemas de homotopía .
1999 Ronald Brown –George Janelidze Teoría de Galois bidimensional
2000 Vladimir Voevodsky Da dos construcciones de cohomología motívica de variedades, por categorías de modelo en la teoría de homotopía y por una categoría triangulada de motivos DM.
2000 Yasha Eliashberg - Alexander Givental - Helmut Hofer Teoría simpléctica de campos SFT : Un functor Z de una categoría geométrica de estructuras hamiltonianas enmarcadas y cobordismos enmarcados entre ellas a una categoría algebraica de ciertos módulos D diferenciales y operadores integrales de Fourier entre ellos y que satisfacen algunos axiomas.
2000 Paul Taylor ASD (Abstract Stone duality): una reaxiomatización del espacio y los mapas en la topología general en términos de cálculo λ de funciones continuas computables y predicados que es tanto constructivo como computable. La topología de un espacio no se trata como una red, sino como un objeto exponencial de la misma categoría que el espacio original, con un cálculo λ asociado . Cada expresión en el cálculo λ denota tanto una función continua como un programa. ASD no usa la categoría de conjuntos , pero la subcategoría completa de objetos discretos abiertos juega este papel (un objeto abierto es el dual de un objeto compacto), formando un universo aritmético (pretopós con listas) con recursividad general.

2001-presente

Año Colaboradores Evento
2001 Charles Rezk Construye una categoría de modelo con ciertas categorías de Segal generalizadas como los objetos fibrantes, obteniendo así un modelo para una teoría de homotopía de las teorías de homotopía. Los espacios Segal completos se introducen al mismo tiempo.
2001 Charles Rezk Topos de modelo y sus topos de homotopía de generalización (un modelo de topos sin el supuesto de t-completitud).
2002 Bertrand Toën - Gabriele Vezzosi Topos Segal provenientes de topologías Segal , sitios Segal y pilas sobre ellos.
2002 Bertrand Toën-Gabriele Vezzosi Geometría algebraica homotópica : La idea principal es extender los esquemas reemplazando formalmente los anillos con cualquier tipo de "objeto similar a un anillo homotópico". Más precisamente, este objeto es un monoide conmutativo en una categoría monoidal simétrica dotado de una noción de equivalencias que se entienden como "monoide hasta homotopía" (por ejemplo, anillos E ∞ ).
2002 Peter Johnstone Libro influyente: bocetos de un elefante: un compendio de teoría topos. Sirve como una enciclopedia de la teoría de los topos (dos de los tres volúmenes publicados en 2008).
2002 Dennis Gaitsgory -Kari Vilonen-Edward Frenkel Prueba el programa geométrico de Langlands para GL ( n ) sobre campos finitos.
2003 Denis-Charles Cisinski Trabaja más en las categorías del modelo ABC y las trae de vuelta a la luz. A partir de entonces se denominan categorías del modelo ABC en honor a sus contribuyentes.
2004 Dennis Gaitsgory Extendido la prueba del programa Langlands geométrico para incluir GL ( n ) sobre C . Esto permite considerar curvas sobre C en lugar de sobre campos finitos en el programa geométrico de Langlands.
2004 Mario Caccamo Cálculo λ expandido teórico de categoría formal para categorías.
2004 Francis Borceux-Dominique Bourn Categorías homológicas
2004 William Dwyer-Philips Hirschhorn- Daniel Kan -Jeffrey Smith Introduce en el libro Functores límite de homotopía en categorías modelo y categorías homotópicas un formalismo de categorías homotópicas y functores homotópicos (functores preservadores de equivalencia débil) que generalizan el formalismo de categorías modelo de Daniel Quillen . Una categoría homotópica tiene solo una clase distinguida de morfismos (que contiene todos los isomorfismos) llamados equivalencias débiles y satisfacen los dos de los seis axiomas. Esto permite definir versiones homotópicas de objeto inicial , límite y colimit funtores (que se calculan por las construcciones locales en el libro), integridad y cocompleteness , adjunciones , extensiones Kan y propiedades universales .
2004 Dominic Verity Prueba la conjetura de Street-Roberts .
2004 Ross Street Definición de la categoría ω débil de descenso de una categoría ω cosimplicial débil.
2004 Ross Street Caracterización teorema para cosmoses : A bicategory M es un cosmos si y sólo si existe un bicategory base de W tal que M es biequivalent a Mod W . W puede tomarse como cualquier subbicategoría completa de M cuyos objetos forman un pequeño generador de Cauchy .
2004 Ross Street -Brian Day Categorías cuánticas y grupoides cuánticos : una categoría cuántica sobre una categoría monoidal V trenzada es un objeto R con un opmorfismo h : R op ⊗ R → A en un pseudomonoide A tal que h * es monoidal fuerte (conserva el producto tensorial y la unidad hasta coherente isomorfismos naturales) y todos los R, hy A se encuentran en la bicategoría monoidal autónoma Comod ( V ) co de los comonoides. Comod ( V ) = Mod ( V op ) cooperativa . Se introdujeron categorías cuánticas para generalizar algebroides y grupóides de Hopf . Un grupoide cuántico es un álgebra de Hopf con varios objetos.
2004 Stephan Stolz - Peter Teichner Definición de nD QFT de grado p parametrizado por una variedad.
2004 Stephan Stolz - Peter Teichner Graeme Segal propuso en la década de 1980 proporcionar una construcción geométrica de cohomología elíptica (la precursora de tmf ) como una especie de espacio de módulos de CFT. Stephan Stolz y Peter Teichner continuaron y expandieron estas ideas en un programa para construir TMF como un espacio modular de teorías de campo euclidianas supersimétricas. Conjeturaron una imagen de Stolz-Teichner (analogía) entre los espacios de clasificación de las teorías de cohomología en la filtración cromática (cohomología de Rham, teoría K, teorías K de Morava) y espacios de módulos de QFT supersimétricos parametrizados por una variedad (probado en 0D y 1D). ).
2005 Peter Selinger Categorías de dagas y functores de dagas . Las categorías de daga parecen ser parte de un marco más amplio que involucra n categorías con duales .
2005 Peter Ozsváth - Zoltán Szabó Homología de Nudo Floer
2006 P. Carrasco-AR Garzón-EM Vitale Módulos categóricos cruzados
2006 Aslak Bakke Buan – Robert Marsh – Markus Reineke– Idun Reiten - Gordana Todorov Categorías Cluster : Categorías de racimo son un caso especial de trianguladas categorías Calabi-Yau de dimensión Calabi-Yau 2 y una generalización de las álgebra de racimo .
2006 Jacob Lurie Libro monumental: Teoría de topos superiores : en sus 940 páginas Jacob Lurie generaliza los conceptos comunes de la teoría de categorías a categorías superiores y define n -toposiciones , ∞-topos , gavillas de n- tipos , ∞-sitios , ∞- lema de Yoneda y prueba Lurie teorema de caracterización para tópicos de dimensiones superiores. La teoría de Lurie de tópicos superiores puede interpretarse como una buena teoría de las gavillas que toman valores en categorías ∞. Aproximadamente, un ∞-topos es una categoría ∞ que se parece a la categoría ∞ de todos los tipos de homotopía . En un topos se pueden hacer matemáticas. En un topos superior no solo se pueden hacer matemáticas sino también " n -geometría", que es la teoría de homotopía superior . La hipótesis de topos es que el gato ( n +1) -categoría n es un Grothendieck ( n +1) -topos. La teoría de topos superiores también se puede utilizar de una manera puramente algebro-geométrica para resolver varios problemas de módulos en este entorno.
2006 Marni Dee Sheppeard Topos cuánticos
2007 Bernhard Keller-Thomas Hugh categorías de d-cluster
2007 Dennis Gaitsgory - Jacob Lurie Presenta una versión derivada de la equivalencia geométrica de Satake y formula una dualidad geométrica de Langlands para grupos cuánticos .

La equivalencia geométrica de Satake realizó la categoría de representaciones del grupo dual L G de Langlands en términos de roldanas esféricas perversas (o módulos D ) en el afín Grassmannian Gr G = G (( t )) / G [[t]] del grupo original G .

2008 Ieke Moerdijk -Clemens Berger Amplía y mejora la definición de categoría Reedy para que se convierta en invariante bajo equivalencia de categorías .
2008 Michael J. Hopkins - Jacob Lurie Bosquejo de la prueba de la hipótesis del enredo de Báez-Dolan y la hipótesis del cobordismo de Báez-Dolan que clasifican el TQFT extendido en todas las dimensiones.
2019 Brendan Fong - David Spivak Primer libro de texto para el campo emergente Teoría de categorías aplicadas , en el que la teoría de categorías se aplica fuera de las matemáticas puras: una invitación a la teoría de categorías aplicada: siete esbozos de composicionalidad

Ver también

Notas

Referencias

  • nLab , al igual que una Wikipedia de dimensiones superiores, se inició a finales de 2008; ver nLab
  • Zhaohua Luo; Página de inicio de geometría categórica
  • John Baez, Aaron Lauda; Una prehistoria de la física n-categórica
  • Ross Street; Un conspectus australiano de categorías superiores
  • Elaine Landry, Jean-Pierre Marquis; Categorías en contexto: histórico, fundacional y filosófico
  • Jim Stasheff; Un estudio de la física cohomológica.
  • John Bell; El desarrollo de la lógica categórica
  • Jean Dieudonné; El desarrollo histórico de la geometría algebraica
  • Charles Weibel; Historia del álgebra homológica
  • Peter Johnstone; El punto de la topología sin sentido
  • Jim Stasheff; La prehistoria de operads CiteSeer x :  10.1.1.25.5089
  • George Whitehead; Cincuenta años de teoría de la homotopía
  • Haynes Miller; El origen de la teoría de la gavilla