Variedad algebraica - Algebraic variety

Las variedades algebraicas son los objetos centrales de estudio en geometría algebraica , un subcampo de las matemáticas . Clásicamente, una variedad algebraica se define como el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinomiales sobre los números reales o complejos . Las definiciones modernas generalizan este concepto de varias formas diferentes, mientras intentan preservar la intuición geométrica detrás de la definición original.

Las convenciones relativas a la definición de una variedad algebraica difieren ligeramente. Por ejemplo, algunas definiciones requieren que una variedad algebraica sea irreducible, lo que significa que no es la unión de dos conjuntos más pequeños lo que está cerrado en la topología de Zariski . Según esta definición, las variedades algebraicas no irreducibles se denominan conjuntos algebraicos . Otras convenciones no requieren irreductibilidad.

El teorema fundamental del álgebra establece un vínculo entre el álgebra y la geometría al mostrar que un polinomio mónico (un objeto algebraico) en una variable con coeficientes numéricos complejos está determinado por el conjunto de sus raíces (un objeto geométrico) en el plano complejo . Generalizando este resultado, Nullstellensatz de Hilbert proporciona una correspondencia fundamental entre ideales de anillos polinomiales y conjuntos algebraicos. Usando el Nullstellensatz y resultados relacionados, los matemáticos han establecido una fuerte correspondencia entre preguntas sobre conjuntos algebraicos y preguntas de teoría de anillos . Esta correspondencia es una característica definitoria de la geometría algebraica.

Muchas variedades algebraicas son múltiples , pero una variedad algebraica puede tener puntos singulares mientras que una variedad no. Las variedades algebraicas se pueden caracterizar por su dimensión . Las variedades algebraicas de dimensión uno se denominan curvas algebraicas y las variedades algebraicas de dimensión dos se denominan superficies algebraicas .

En el contexto de la teoría de esquemas moderna , una variedad algebraica sobre un campo es un esquema integral (irreducible y reducido) sobre ese campo cuya estructura morfística está separada y de tipo finito.

Resumen y definiciones

Una variedad afín sobre un campo algebraicamente cerrado es conceptualmente el tipo de variedad más fácil de definir, lo que se hará en esta sección. A continuación, se pueden definir variedades proyectivas y cuasi proyectivas de forma similar. La definición más general de una variedad se obtiene uniendo variedades cuasi-proyectivas más pequeñas. No es obvio que se puedan construir ejemplos genuinamente nuevos de variedades de esta manera, pero Nagata dio un ejemplo de una variedad tan nueva en la década de 1950.

Variedades afines

Para un cuerpo algebraicamente cerrado K y un número natural n , dejar que A ⁿ ser afín n -espacio sobre K . Los polinomios f en el anillo K [ x ₁ , ..., x _n ] pueden verse como funciones con valor K en A ⁿ evaluando f en los puntos de A ⁿ , es decir, eligiendo valores en K para cada x _i . Para cada conjunto S de polinomios en K [ x ₁ , ..., x _n ] , defina el lugar geométrico cero Z ( S ) como el conjunto de puntos en A ⁿ en los que las funciones en S desaparecen simultáneamente, es decir decir     

${\ Displaystyle Z (S) = \ left \ {x \ in \ mathbf {A} ^ {n} \ mid f (x) = 0 {\ text {para todos}} f \ in S \ right \}.}$

Un subconjunto V de A ⁿ se llama un conjunto algebraico afín si V = Z ( S ) para algunos S . Un conjunto algebraico afín V no vacío se llama irreducible si no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos algebraicos propios . Un conjunto algebraico afín irreducible también se denomina variedad afín . (Muchos autores usan la frase variedad afín para referirse a cualquier conjunto algebraico afín, irreducible o no)

A las variedades afines se les puede dar una topología natural declarando que los conjuntos cerrados son precisamente los conjuntos algebraicos afines. Esta topología se denomina topología de Zariski.

Dado un subconjunto V de A ⁿ , definimos I ( V ) como el ideal de todas las funciones polinómicas que desaparecen en V :

${\ Displaystyle I (V) = \ left \ {f \ in K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] \ mid f (x) = 0 {\ text {para todos}} x \ in V \derecho\}.}$

Para cualquier conjunto algebraico afín V , el anillo de coordenadas o anillo de estructura de V es el cociente del anillo polinomial por este ideal.

Variedades proyectivas y variedades cuasi proyectivas

Sea k un campo algebraicamente cerrado y sea P ⁿ el n- espacio proyectivo sobre k . Sea f en k [ x ₀ , ..., x _n ] un polinomio homogéneo de grado d . No está bien definido evaluar f en puntos en P ⁿ en coordenadas homogéneas . Sin embargo, debido a que f es homogénea, lo que significa que f   ( λx ₀ , ..., λx _n ) = λ ^d f   ( x ₀ , ..., x _n ) , tiene sentido preguntar si f desaparece en un punto [ x ₀  : ...: x _n ] . Para cada conjunto S de polinomios homogéneos, defina el lugar geométrico cero de S como el conjunto de puntos en P ⁿ en los que las funciones en S desaparecen:           

${\ Displaystyle Z (S) = \ {x \ in \ mathbf {P} ^ {n} \ mid f (x) = 0 {\ text {para todos}} f \ in S \}.}$

Un subconjunto V de P ⁿ se llama un conjunto algebraico proyectiva si V = Z ( S ) para algunos S . Un conjunto algebraico proyectivo irreducible se llama variedad proyectiva .

Las variedades proyectivas también están equipadas con la topología de Zariski al declarar que todos los conjuntos algebraicos están cerrados.

Dado un subconjunto V de P ⁿ , deja I ( V ) a ser el ideal generado por todos los polinomios homogéneos de fuga en V . Para cualquier conjunto algebraico proyectivo V , el anillo de coordenadas de V es el cociente del anillo polinomial por este ideal.

Una variedad cuasi-proyectiva es un subconjunto abierto de Zariski de una variedad proyectiva. Observe que cada variedad afín es cuasi proyectiva. Observe también que el complemento de un conjunto algebraico en una variedad afín es una variedad cuasi-proyectiva; en el contexto de las variedades afines, esta variedad cuasi-proyectiva no suele denominarse variedad, sino conjunto construible .

Variedades abstractas

En la geometría algebraica clásica, todas las variedades eran por definición variedades cuasi-proyectivas , lo que significa que eran subvariedades abiertas de subvariedades cerradas del espacio proyectivo . Por ejemplo, en el Capítulo 1 de Hartshorne, una variedad sobre un campo algebraicamente cerrado se define como una variedad cuasi proyectiva , pero desde el Capítulo 2 en adelante, el término variedad (también llamado variedad abstracta ) se refiere a un objeto más general, que localmente es una variedad cuasi proyectiva, pero cuando se ve como un todo no es necesariamente cuasi proyectiva; es decir, puede que no tenga una incrustación en el espacio proyectivo . Así que clásicamente la definición de una variedad algebraica requería una incrustación en el espacio proyectivo, y esta incrustación se utilizó para definir la topología de la variedad y las funciones regulares de la variedad. La desventaja de tal definición es que no todas las variedades vienen con incrustaciones naturales en el espacio proyectivo. Por ejemplo, según esta definición, el producto P ¹ × P ¹ no es una variedad hasta que no se inserta en el espacio proyectivo; esto generalmente se hace mediante la incrustación de Segre . Sin embargo, cualquier variedad que admita una incrustación en el espacio proyectivo admite muchas otras al componer la incrustación con la incrustación de Veronese . En consecuencia, muchas nociones que deberían ser intrínsecas, como el concepto de función regular, no lo son obviamente.

El primer intento exitoso de definir una variedad algebraica de forma abstracta, sin incrustaciones, fue realizado por André Weil . En sus Fundamentos de la geometría algebraica , Weil definió una variedad algebraica abstracta utilizando valoraciones . Claude Chevalley hizo una definición de esquema , que tenía un propósito similar, pero era más general. Sin embargo, la definición de esquema de Alexander Grothendieck es aún más general y ha recibido la aceptación más generalizada. En el lenguaje de Grothendieck, una variedad algebraica abstracta se define generalmente como una integral , separado esquema de tipo finito sobre un campo algebraicamente cerrado, aunque algunos autores caen la irreductibilidad o la reducedness o la condición de separación o permiten que el campo subyacente sea no algebraicamente cerrado . Las variedades algebraicas clásicas son los esquemas cuasiproyectivos de tipo finito separados integrales sobre un campo algebraicamente cerrado.

Existencia de variedades algebraicas abstractas no cuasiproyectivas

Nagata dio uno de los primeros ejemplos de una variedad algebraica no cuasiproyectiva. El ejemplo de Nagata no era completo (el análogo de la compacidad), pero poco después encontró una superficie algebraica que era completa y no proyectiva. Desde entonces se han encontrado otros ejemplos.

Ejemplos

Subvariedad

Una subvariedad es un subconjunto de una variedad que es en sí misma una variedad (con respecto a la estructura inducida por la variedad ambiental). Por ejemplo, cada subconjunto abierto de una variedad es una variedad. Véase también inmersión cerrada .

El Nullstellensatz de Hilbert dice que las subvariedades cerradas de una variedad afín o proyectiva están en correspondencia uno a uno con los ideales primos o ideales primos homogéneos del anillo coordinado de la variedad.

Variedad afín

Ejemplo 1

Deje que k = C , y A ² sea el de dos dimensiones espacio afín sobre C . Los polinomios en el anillo C [ x , y ] pueden verse como funciones de valor complejo en A ² evaluando en los puntos de A ² . Deje que el subconjunto S de C [ x , y ] contenga un solo elemento f   ( x , y ) :  

${\ displaystyle f (x, y) = x + y-1.}$

El lugar geométrico cero de f   ( x , y ) es el conjunto de puntos en A ² en el que esta función desaparece: es el conjunto de todos los pares de números complejos ( x , y ) tales que y = 1 - x . Esto se llama línea en el plano afín. (En la topología clásica que proviene de la topología de números complejos, una línea compleja es una variedad real de dimensión dos). Este es el conjunto Z (  f  ) :  

${\ Displaystyle Z (f) = \ {(x, 1-x) \ in \ mathbf {C} ^ {2} \}.}$

Por tanto, el subconjunto V = Z (  f  ) de A ² es un conjunto algebraico . El conjunto V no está vacío. Es irreductible, ya que no se puede escribir como la unión de dos subconjuntos algebraicos propios. Por tanto, es una variedad algebraica afín.

Ejemplo 2

Deje que k = C , y A ² sea el espacio afín de dos dimensiones sobre C . Los polinomios en el anillo C [ x , y ] pueden verse como funciones de valor complejo en A ² evaluando en los puntos de A ² . Deje que el subconjunto S de C [ x , y ] contenga un solo elemento g ( x , y ):

${\ Displaystyle g (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2} -1.}$

El lugar geométrico cero de g ( x , y ) es el conjunto de puntos en A ² en el que esta función desaparece, es decir, el conjunto de puntos ( x , y ) tales que x ² + y ² = 1. Como g ( x , y ) es un polinomio absolutamente irreducible , esta es una variedad algebraica. El conjunto de sus puntos reales (es decir los puntos para los que X y Y son números reales), se conoce como el círculo de la unidad ; este nombre también se suele dar a toda la variedad.

Ejemplo 3

El siguiente ejemplo no es ni una hipersuperficie , ni un espacio lineal , ni un solo punto. Vamos A ³ sea el espacio afín en tres dimensiones sobre C . El conjunto de puntos ( x , x ² , x ³ ) para x en C es una variedad algebraica, y más precisamente una curva algebraica que no está contenida en ningún plano. Es el cúbico retorcido que se muestra en la figura anterior. Puede estar definido por las ecuaciones

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} yx ^ {2} & = 0 \\ zx ^ {3} & = 0 \ end {alineado}}}$

La irreductibilidad de este conjunto algebraico necesita una prueba. Un enfoque en este caso es comprobar que la proyección ( x , y , z ) → ( x , y ) es inyectiva sobre el conjunto de las soluciones y que su imagen es una curva plana irreductible.

Para ejemplos más difíciles, siempre se puede dar una prueba similar, pero puede implicar un cálculo difícil: primero un cálculo de base de Gröbner para calcular la dimensión, seguido de un cambio lineal aleatorio de variables (no siempre es necesario); luego un cálculo de base de Gröbner para otro ordenamiento monomial para calcular la proyección y demostrar que es genéricamente inyectiva y que su imagen es una hipersuperficie , y finalmente una factorización polinomial para probar la irreductibilidad de la imagen.

Variedad proyectiva

Una variedad proyectiva es una subvariedad cerrada de un espacio proyectivo. Es decir, es el lugar geométrico cero de un conjunto de polinomios homogéneos que generan un ideal primo .

Ejemplo 1

Una curva proyectiva plana es el lugar geométrico cero de un polinomio homogéneo irreducible en tres indeterminados. La línea proyectiva P ¹ es un ejemplo de curva proyectiva; se puede ver como la curva en el plano proyectivo P ² = {[ x , y , z ] } definido por x = 0 . Para otro ejemplo, considere primero la curva cúbica afín

${\ Displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -x.}$

en el espacio afín bidimensional (sobre un campo de característica, no dos). Tiene la ecuación polinomial homogénea cúbica asociada:

${\ Displaystyle y ^ {2} z = x ^ {3} -xz ^ {2},}$

que define una curva en P ² llamado una curva elíptica . La curva tiene género uno ( fórmula de género ); en particular, no es isomorfo a la línea proyectiva P ¹ , que tiene género cero. El uso de género para distinguir curvas es muy básico: de hecho, el género es el primer invariante que se usa para clasificar curvas (ver también la construcción de módulos de curvas algebraicas ).

Ejemplo 2

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. La variedad Grassmannian G _n ( V ) es el conjunto de todos los n -dimensional subespacios de V . Es una variedad proyectiva: está incrustada en un espacio proyectivo a través de la incrustación Plücker :

${\ Displaystyle {\ begin {cases} G_ {n} (V) \ hookrightarrow \ mathbf {P} \ left (\ wedge ^ {n} V \ right) \\\ langle b_ {1}, \ ldots, b_ { n} \ rangle \ mapsto [b_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge b_ {n}] \ end {cases}}}$

donde b _i son cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en V , es la n -ésima potencia exterior de V , y el corchete [ w ] significa la línea generada por el vector w distinto de cero . ${\ Displaystyle \ wedge ^ {n} V}$

La variedad Grassmannian viene con un paquete de vectores naturales (o gavilla libre localmente en otra terminología) llamado paquete tautológico , que es importante en el estudio de clases características como las clases Chern .

Ejemplo no afín y no proyectivo

Una variedad algebraica no puede ser ni afín ni proyectiva. Para dar un ejemplo, dejar que X = P ¹ × A ¹ y p : X → A ¹ la proyección. Es una variedad algebraica ya que es producto de variedades. No es afín ya que P ¹ es una subvariedad cerrada de X (como el locus cero de p ), pero una variedad afín no puede contener una variedad proyectiva de dimensión positiva como una subvariedad cerrada. Tampoco es proyectiva, ya que hay una función regular no constante en X ; es decir, p .

Otro ejemplo de una variedad no proyectiva no afín es X = A ² - (0, 0) (véase Morfismo de variedades § Ejemplos ).

Resultados básicos

• Un conjunto algebraico afín V es una variedad si y sólo si I ( V ) es un ideal primo ; de manera equivalente, V es una variedad si y solo si su anillo de coordenadas es un dominio integral .
• Todo conjunto algebraico afín no vacío puede escribirse de forma única como una unión finita de variedades algebraicas (donde ninguna de las variedades en la descomposición es una subvariedad de cualquier otra).
• La dimensión de una variedad puede definirse de varias formas equivalentes. Consulte Dimensión de una variedad algebraica para obtener más detalles.
• Un producto de un número finito de variedades algebraicas (sobre un campo algebraicamente cerrado) es una variedad algebraica.

Isomorfismo de variedades algebraicas

Sean V ₁ , V ₂ variedades algebraicas. Decimos que V ₁ y V ₂ son isomorfos , y escribimos V ₁ ≅ V ₂ , si hay mapas regulares φ  : V ₁ → V ₂ y ψ  : V ₂ → V ₁ tales que las composiciones ψ ∘ φ y φ ∘ ψ son los mapas de identidad en V ₁ y V ₂ respectivamente.

Discusión y generalizaciones

Las definiciones básicas y los hechos anteriores le permiten a uno hacer geometría algebraica clásica. Para poder hacer más, por ejemplo, para tratar con variedades en campos que no están cerrados algebraicamente , se requieren algunos cambios fundamentales. La noción moderna de variedad es considerablemente más abstracta que la anterior, aunque equivalente en el caso de variedades sobre campos algebraicamente cerrados. Una variedad algebraica abstracta es un tipo particular de esquema; la generalización a esquemas en el lado geométrico permite una extensión de la correspondencia descrita anteriormente a una clase más amplia de anillos. Un esquema es un espacio anillado localmente de modo que cada punto tiene un vecindario que, como espacio anillado localmente, es isomorfo al espectro de un anillo . Básicamente, una variedad sobre k es un esquema cuya estructura gavilla es un haz de k -álgebras con la propiedad de que los anillos R que aparecen arriba son todos dominios integrales y son todos k -álgebras finitamente generados , es decir, son cocientes de álgebras polinomiales por ideales primos .

Esta definición funciona en cualquier campo k . Le permite pegar variedades afines (a lo largo de conjuntos abiertos comunes) sin preocuparse de si el objeto resultante puede colocarse en algún espacio proyectivo. Esto también conduce a dificultades, ya que se pueden introducir objetos algo patológicos, por ejemplo, una línea afín con cero duplicado. Por lo general, estos objetos no se consideran variedades y se eliminan al exigir la separación de los esquemas subyacentes a una variedad . (Estrictamente hablando, también hay una tercera condición, a saber, que solo se necesitan un número finito de parches afines en la definición anterior).

Algunos investigadores modernos también eliminan la restricción sobre una variedad que tiene gráficos afines de dominio integral , y cuando se habla de una variedad solo requieren que los gráficos afines tengan nilradical trivial .

Una variedad completa es una variedad tal que cualquier mapa de un subconjunto abierto de una curva no singular en él puede extenderse únicamente a toda la curva. Cada variedad proyectiva está completa, pero no al revés.

Estas variedades han sido denominadas "variedades en el sentido de Serre", ya que para ellas se escribió el artículo fundacional FAC de Serre sobre cohomología de la gavilla . Siguen siendo objetos típicos para empezar a estudiar en geometría algebraica, aunque también se utilicen de forma auxiliar objetos más generales.

Una forma que conduce a generalizaciones es permitir conjuntos algebraicos reducibles (y campos k que no son algebraicamente cerrados), por lo que los anillos R pueden no ser dominios integrales. Una modificación más significativa es permitir nilpotentes en el haz de anillos, es decir, anillos que no se reducen . Ésta es una de las varias generalizaciones de la geometría algebraica clásica que están integradas en la teoría de esquemas de Grothendieck .

Permitir elementos nilpotentes en anillos está relacionado con realizar un seguimiento de las "multiplicidades" en la geometría algebraica. Por ejemplo, el subesquema cerrado de la línea afín definida por x ² = 0 es diferente del subesquema definido por x = 0 (el origen). Más generalmente, la fibra de un morfismo de esquemas X → Y en un punto de Y puede no estar reducida, incluso si X e Y están reducidos. Geométricamente, esto dice que las fibras de buenos mapeos pueden tener una estructura "infinitesimal" no trivial.

Hay más generalizaciones llamadas espacios algebraicos y pilas .

Variedades algebraicas

Una variedad algebraica es una variedad algebraica que también es una variedad m- dimensional y, por lo tanto, cada parche local suficientemente pequeño es isomorfo a k ^m . De manera equivalente, la variedad es suave (libre de puntos singulares). Cuando k son los números reales, R , las variedades algebraicas se denominan variedades de Nash . Las variedades algebraicas se pueden definir como el conjunto cero de una colección finita de funciones algebraicas analíticas. Las variedades algebraicas proyectivas son una definición equivalente para las variedades proyectivas. La esfera de Riemann es un ejemplo.

Ver también

• Variedad (desambiguación) : enumera también varios significados matemáticos
• Campo funcional de una variedad algebraica
• Geometría biracional
• Variedad abeliana
• Motivo (geometría algebraica)
• Variedad analítica
• Espacio Zariski – Riemann
• Conjunto semi-algebraico

Notas al pie

Referencias

Este artículo incorpora material de isomorfismo de variedades en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .