Gavilla (matemáticas) - Sheaf (mathematics)

En matemáticas , un haz es una herramienta para rastrear sistemáticamente datos (como conjuntos, grupos abelianos, anillos) adjuntos a los conjuntos abiertos de un espacio topológico y definidos localmente con respecto a ellos. Por ejemplo, para cada conjunto abierto, los datos podrían ser el anillo de funciones continuas definidas en ese conjunto abierto. Dichos datos se comportan bien porque pueden restringirse a conjuntos abiertos más pequeños, y también los datos asignados a un conjunto abierto son equivalentes a todas las colecciones de datos compatibles asignadas a colecciones de conjuntos abiertos más pequeños que cubren el conjunto abierto original. (Intuitivamente, cada dato es la suma de sus partes).

Las gavillas se entienden conceptualmente como objetos generales y abstractos. Su definición correcta es bastante técnica. Se definen específicamente como haces de conjuntos o haces de anillos, por ejemplo, según el tipo de datos asignados a los conjuntos abiertos.

También hay mapas (o morfismos ) de una gavilla a otra; las gavillas (de un tipo específico, como las gavillas de grupos abelianos ) con sus morfismos en un espacio topológico fijo forman una categoría . Por otro lado, a cada mapa continuo se le asocia tanto un functor de imagen directo , tomando gavillas y sus morfismos en el dominio de gavillas y morfismos en el codominio , como un functor de imagen inverso que opera en sentido opuesto. Estos functores , y ciertas variantes de ellos, son partes esenciales de la teoría de la gavilla.

Por su carácter general y versatilidad, las poleas tienen varias aplicaciones en topología y especialmente en geometría algebraica y diferencial . Primero, las estructuras geométricas como la de una variedad diferenciable o un esquema pueden expresarse en términos de un haz de anillos en el espacio. En tales contextos, varias construcciones geométricas, como haces de vectores o divisores, se especifican naturalmente en términos de haces . En segundo lugar, las gavillas proporcionan el marco para una teoría de cohomología muy general , que abarca también las teorías de cohomología topológica "habituales", como la cohomología singular . Especialmente en la geometría algebraica y la teoría de variedades complejas , la cohomología de gavillas proporciona un vínculo poderoso entre las propiedades topológicas y geométricas de los espacios. Las poleas también proporcionan la base para la teoría de los módulos D , que proporcionan aplicaciones a la teoría de ecuaciones diferenciales . Además, las generalizaciones de haces a entornos más generales que los espacios topológicos, como la topología de Grothendieck , han proporcionado aplicaciones a la lógica matemática y la teoría de números .

Definiciones y ejemplos

En muchas ramas matemáticas, varias estructuras definidas en un espacio topológico (por ejemplo, una variedad diferenciable ) se pueden localizar de forma natural o restringir a subconjuntos abiertos : los ejemplos típicos incluyen funciones continuas de valor real o de valor complejo , tiempos diferenciables (de valor real o complejo -valuado), funciones limitadas de valor real, campos vectoriales y secciones de cualquier paquete de vectores en el espacio. La capacidad de restringir los datos a subconjuntos abiertos más pequeños da lugar al concepto de pre-oleadas. Hablando en términos generales, las poleas son entonces esas prefabricadas, donde los datos locales se pueden pegar a los datos globales. ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle U \ subconjunto X}$ ${\ Displaystyle n}$

Presheaves

Sea un espacio topológico. A prehaz de conjuntos en consta de los siguientes datos: ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle X}$

Por cada juego abierto de , un juego . Este conjunto también se denota . Los elementos de este conjunto se denominan secciones de más . Las secciones de over se denominan secciones globales de . ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle F (U)}$ ${\ Displaystyle \ Gamma (U, F)}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle F}$
Para cada inclusión de conjuntos abiertos , una función . En vista de muchos de los ejemplos siguientes, los morfismos se denominan morfismos de restricción . Si , entonces su restricción a menudo se denota por analogía con la restricción de funciones. ${\ Displaystyle V \ subseteq U}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {res} _ {V, U} \ colon F (U) \ rightarrow F (V)}$ ${\ displaystyle {\ text {res}} _ {V, U}}$ ${\ Displaystyle s \ en F (U)}$ ${\ displaystyle {\ text {res}} _ {V, U} (s)}$ ${\ Displaystyle s | _ {V}}$

Se requieren los morfismos de restricción para satisfacer dos adicionales ( funtorial propiedades):

Para cada conjunto abierto de , el morfismo de restricción es el morfismo de identidad en . ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {res} _ {U, U} \ colon F (U) \ rightarrow F (U)}$ ${\ Displaystyle F (U)}$
Si tenemos tres conjuntos abiertos , entonces el compuesto ${\ Displaystyle W \ subseteq V \ subseteq U}$ ${\ displaystyle {\ text {res}} _ {W, V} \ circ {\ text {res}} _ {V, U} = {\ text {res}} _ {W, U}}$

De manera informal, el segundo axioma dice que no importa si nos limitamos a W en un solo paso o restringir el primero en V , y luego a W . Más adelante se ofrece una reformulación funcional concisa de esta definición.

Muchos ejemplos de pretensiones provienen de diferentes clases de funciones: a cualquiera , se le puede asignar el conjunto de funciones continuas de valor real . Los mapas de restricción se dan simplemente restringiendo una función continua a un subconjunto abierto más pequeño , que nuevamente es una función continua. Los dos axiomas de la gavilla previa se comprueban inmediatamente, dando así un ejemplo de una gavilla previa. Esto puede extenderse a un conjunto de funciones holomórficas y un conjunto de funciones suaves . ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle C ^ {0} (U)}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (-)}$ ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (-)}$

Otra clase común de los ejemplos es la asignación de un conjunto de constantes funciones de valores reales que aparecen en la T . Esta gavilla se llama la gavilla constante asociada y se denota . ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ mathbb {R}}} ^ {psh}}$

Gavillas

Dada una gavilla, una pregunta natural es en qué medida sus secciones sobre un conjunto abierto están especificadas por sus restricciones a conjuntos abiertos más pequeños de una cubierta abierta de . Una gavilla es una gavilla que satisface los siguientes dos axiomas adicionales: ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle U_ {i}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {U_ {i} \} _ {i \ in I}}$ ${\ Displaystyle U}$

( Localidad ) Si es una cubierta abierta de un conjunto abierto , y si tiene la propiedad para cada conjunto de la cubierta, entonces ; y ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle s, t \ en F (U)}$ ${\ Displaystyle s | _ {U_ {i}} = t | _ {U_ {i}}}$ ${\ Displaystyle U_ {i}}$ ${\ Displaystyle s = t}$
( Pegado ) Si es una cubierta abierta de un conjunto abierto , y si para cada una se da una sección tal que para cada par de cubierta se establecen las restricciones de y coinciden en las superposiciones, entonces , entonces hay una sección tal que para cada . ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle i \ in I}$ ${\ Displaystyle s_ {i} \ en F (U_ {i})}$ ${\ Displaystyle U_ {i}, U_ {j}}$ ${\ Displaystyle s_ {i}}$ ${\ Displaystyle s_ {j}}$ ${\ Displaystyle s_ {i} | _ {U_ {i} \ cap U_ {j}} = s_ {j} | _ {U_ {i} \ cap U_ {j}}}$ ${\ Displaystyle s \ en F (U)}$ ${\ Displaystyle s | _ {U_ {i}} = s_ {i}}$ ${\ Displaystyle i \ in I}$

La sección cuya existencia está garantizada por el axioma 2 se denomina pegado , concatenación o colación de las secciones s _i . Según el axioma 1, es único. Las secciones que satisfacen la condición del axioma 2 a menudo se denominan compatibles ; por lo tanto, los axiomas 1 y 2 juntos establecen que las secciones compatibles se pueden pegar juntas de forma única . Un preagregado separado , o monopregiado , es un preajuste que satisface el axioma 1. ${\ Displaystyle s}$ ${\ Displaystyle s_ {i}}$

La gavilla que consta de funciones continuas mencionadas anteriormente es una gavilla. Esta afirmación se reduce a comprobar que, dadas funciones continuas que coinciden en las intersecciones , existe una única función continua cuya restricción es igual a . Por el contrario, la pregaja constante no suele ser una gavilla: si es una unión disjunta de dos subconjuntos abiertos y toma valores diferentes, entonces no hay una función constante en U cuya restricción sea igual a estas dos funciones constantes (diferentes). ${\ Displaystyle f_ {i}: U_ {i} \ to \ mathbf {R}}$ ${\ Displaystyle U_ {i} \ cap U_ {j}}$ ${\ Displaystyle f: U \ to \ mathbf {R}}$ ${\ Displaystyle f_ {i}}$ ${\ Displaystyle U = U_ {1} \ sqcup U_ {2}}$ ${\ Displaystyle f_ {1}, f_ {2}}$

Las pre-hojas y las gavillas se indican típicamente con letras mayúsculas, siendo la F particularmente común, presumiblemente para la palabra francesa para gavilla, faisceau . El uso de letras caligráficas como las que también es común. ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Se puede demostrar que para especificar un haz, basta con especificar su restricción a los conjuntos abiertos de una base para la topología del espacio subyacente. Además, también se puede demostrar que es suficiente verificar los axiomas de la gavilla anteriores con respecto a los conjuntos abiertos de una cubierta. Esta observación se utiliza para construir otro ejemplo que es crucial en geometría algebraica, a saber, haces cuasi coherentes . Aquí el espacio topológico en cuestión es el espectro de un anillo conmutativo R , cuyos puntos son los ideales primos p en R . Los conjuntos abiertos forman una base para la topología de Zariski en este espacio. Dado un módulo R M , hay una gavilla, indicada por en la especificación R , que satisface ${\ Displaystyle D_ {f}: = \ {p \ subconjunto R, f \ notin p \}}$ ${\ Displaystyle {\ tilde {M}}}$

{\ Displaystyle {\ tilde {M}} (D_ {f}): = M [1 / f],}

la localización de M en f .

Más ejemplos

Gavilla de secciones de un mapa continuo

Cualquier aplicación continua de espacios topológicos determina un fajo de por el ajuste ${\ Displaystyle f: Y \ a X}$ ${\ Displaystyle \ Gamma (Y / X)}$ ${\ Displaystyle X}$

{\ Displaystyle \ Gamma (Y / X) (U) = \ {s: U \ to Y, f \ circ s = \ operatorname {id} _ {U} \}.}

Cualquiera de estos se denomina comúnmente una sección de , y este ejemplo es la razón por la que los elementos de generalmente se denominan secciones. Esta construcción es especialmente importante cuando se trata de la proyección de un haz de fibras sobre su espacio de base. Por ejemplo, las gavillas de funciones suaves son las secciones del paquete trivial . Otro ejemplo: el haz de secciones de ${\ Displaystyle s}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle F (U)}$ ${\ Displaystyle f}$

{\ Displaystyle \ mathbf {C} {\ stackrel {\ exp} {\ to}} \ mathbf {C} \ setminus \ {0 \}}

es la gavilla que asigna a cualquiera el conjunto de ramas del logaritmo complejo en . ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle U}$

Dado un punto x y un grupo abeliano S , el rascacielos gavilla S _x define como sigue: Si U es un conjunto abierto que contiene x , entonces S _x ( U ) = S . Si U no contiene x , entonces S _x ( U ) = 0, el grupo trivial . Los mapas de restricción son la identidad en S , si ambos conjuntos abiertos contienen x , o el mapa cero en caso contrario.

Gavillas en colectores

En un colector M n - dimensional , hay una serie de haces importantes, como el haz de funciones j veces continuamente diferenciables (con ). Sus secciones sobre algunas abiertas son las -funciones . Porque esta gavilla se llama gavilla de estructura y se denota . Las funciones distintas de cero también forman un haz, denotado . Las formas diferenciales (de grado p ) también forman una gavilla . En todos estos ejemplos, los morfismos de restricción se dan mediante funciones o formas de restricción. ${\ Displaystyle C ^ {k}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {M} ^ {j}}$ ${\ Displaystyle j \ leq k}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle C ^ {j}}$ ${\ Displaystyle U \ to \ mathbf {R}}$ ${\ Displaystyle j = k}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {M}}$ ${\ Displaystyle C ^ {k}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {\ times}}$ ${\ Displaystyle \ Omega _ {M} ^ {p}}$

El envío de asignación a las funciones soportadas de forma compacta en no es un haz, ya que, en general, no hay forma de preservar esta propiedad pasando a un subconjunto abierto más pequeño. En cambio, esto forma un gavilla , un concepto dual donde los mapas de restricción van en la dirección opuesta que con las gavillas. Sin embargo, tomar el dual de estos espacios vectoriales da un haz, el haz de distribuciones . ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle U}$

Presheaves que no son gavillas

Además de la prefabricada constante mencionada anteriormente, que normalmente no es una gavilla, hay más ejemplos de prefabricados que no son gavillas:

Sea el espacio topológico de dos puntos con la topología discreta. Defina una gavilla de la siguiente manera: ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ {x, y \}}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle F (\ varnothing) = \ {\ varnothing \}, \ F (\ {x \}) = \ mathbf {R}, \ F (\ {y \}) = \ mathbf {R}, \ F (\ {x, y \}) = \ mathbf {R} \ times \ mathbf {R} \ times \ mathbf {R}}$ El mapa de restricción es la proyección de sobre su primera coordenada y el mapa de restricción es la proyección de sobre su segunda coordenada. es una gavilla que no está separada: una sección global está determinada por tres números, pero los valores de esa sección sobre { x } e { y } determinan solo dos de esos números. Entonces, aunque podemos pegar dos secciones cualesquiera sobre { x } e { y }, no podemos pegarlas de forma única. ${\ Displaystyle F (\ {x, y \}) \ a F (\ {x \})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {R} \ times \ mathbf {R} \ times \ mathbf {R}}$ ${\ Displaystyle F (\ {x, y \}) \ a F (\ {y \})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {R} \ times \ mathbf {R} \ times \ mathbf {R}}$ ${\ Displaystyle F}$
Sea la línea real y sea el conjunto de funciones continuas acotadas en . Esto no es una gavilla porque no siempre es posible pegar. Por ejemplo, sea U _i el conjunto de todo x tal que | x | < i . La función identidad f ( x ) = x está acotada en cada U _i . En consecuencia, obtenemos una sección s _i sobre U _i . Sin embargo, estas secciones no se pegan porque la función f no está limitada a la línea real. En consecuencia, F es una gavilla, pero no una gavilla. De hecho, F se separa porque es una sub-gavilla del conjunto de funciones continuas. ${\ Displaystyle X = \ mathbf {R}}$ ${\ Displaystyle F (U)}$ ${\ Displaystyle U}$

Gavillas motivadoras de espacios analíticos complejos y geometría algebraica

Una de las motivaciones históricas para gavillas han venido de estudiar variedades complejas , la geometría analítica compleja , y la teoría esquema de la geometría algebraica . Esto se debe a que en todos los casos anteriores, consideramos un espacio topológico junto con un haz de estructura que le da la estructura de una variedad compleja, un espacio o esquema analítico complejo. Esta perspectiva de equipar un espacio topológico con una gavilla es esencial para la teoría de los espacios anillados localmente (ver más abajo). ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}}}$

Desafíos técnicos con variedades complejas

Una de las principales motivaciones históricas para la introducción de gavillas fue la construcción de un dispositivo que realiza un seguimiento de las funciones holomórficas en variedades complejas . Por ejemplo, en una variedad compleja compacta (como el espacio proyectivo complejo o el lugar de fuga de un polinomio homogéneo ), las únicas funciones holomórficas ${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle f: X \ to \ mathbf {C}}$

son las funciones constantes. Esto significa que podrían existir dos variedades complejas compactas que no son isomorfas, pero sin embargo su anillo de funciones holomorfas globales, denotadas , son isomorfas. Contraste esto con colectores suaves donde cada colector se puede incrustar dentro de algunos , por lo tanto, su anillo de funciones suaves proviene de restringir las funciones suaves . Otra complejidad cuando se considera el anillo de funciones holomórficas en una variedad compleja se da un conjunto abierto lo suficientemente pequeño , las funciones holomórficas serán isomórficas a . Las poleas son una herramienta directa para lidiar con esta complejidad, ya que permiten realizar un seguimiento de la estructura holomórfica en el espacio topológico subyacente o en subconjuntos abiertos arbitrarios . Esto significa que a medida que se vuelve más complejo topológicamente, el anillo puede expresarse pegando el . Tenga en cuenta que a veces esta gavilla se denota o simplemente , o incluso cuando queremos enfatizar el espacio al que está asociada la gavilla de estructura. ${\ Displaystyle X, X '}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (X), {\ mathcal {H}} (X ')}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}$ ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M)}$ ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbf {R} ^ {N})}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle U \ subconjunto X}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (U) \ cong {\ mathcal {H}} (\ mathbf {C} ^ {n})}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle U \ subconjunto X}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (U)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (U_ {i})}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (-)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

Seguimiento de subvariedades con poleas

Otro ejemplo común de poleas se puede construir considerando un sub-colector complejo . Hay una gavilla asociada que toma un subconjunto abierto y da el anillo de funciones holomórficas . Se descubrió que este tipo de formalismo es extremadamente poderoso y motiva una gran cantidad de álgebra homológica , como la cohomología de gavillas, ya que se puede construir una teoría de intersección utilizando este tipo de gavillas de la fórmula de intersección de Serre. ${\ Displaystyle Y \ hookrightarrow X}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$ ${\ Displaystyle U \ subconjunto X}$ ${\ Displaystyle U \ cap Y}$

Operaciones con poleas

Morfismos

Los morfismos de las gavillas son, en términos generales, análogos a las funciones entre ellos. A diferencia de una función entre conjuntos, que no tiene estructura adicional, los morfismos de las poleas son aquellas funciones que preservan la estructura inherente a las poleas. Esta idea se concreta en la siguiente definición.

Deje que F y G sean dos poleas en X . Un morfismo consiste en un morfismo para cada conjunto abierto $U$ de $X$ , sujeto a la condición de que este morfismo sea compatible con restricciones. En otras palabras, para cada subconjunto abierto V de un conjunto abierto U , el siguiente diagrama es conmutativo . ${\ Displaystyle \ varphi: G \ to F}$ ${\ Displaystyle \ varphi _ {U}: G (U) \ a F (U)}$

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} G (U) y {\ xrightarrow {\ quad \ varphi _ {U} \ quad}} & F (U) \\ r_ {V, U} {\ Biggl \ downarrow } && {\ Biggl \ downarrow} r_ {V, U} \\ G (V) & {\ xrightarrow [{\ quad \ varphi _ {V} \ quad}] {}} & F (V) \ end {array} }}

Por ejemplo, tomar la derivada da un morfismo de haces en R : De hecho, dada una función ( n veces continuamente diferenciable) (con U en R abierta), la restricción (a un subconjunto abierto más pequeño V ) de su derivada es igual a la derivada de . ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {R}} ^ {n} \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {R}} ^ {n-1}.}$ ${\ Displaystyle f: U \ to \ mathbf {R}}$ ${\ Displaystyle f | _ {V}}$

Con esta noción de morfismo, las gavillas en un espacio topológico fijo X forman una categoría . Las nociones categóricas generales de mono- , epi- e isomorfismos pueden, por tanto, aplicarse a las poleas. Un morfismo de gavilla es un isomorfismo (resp. Monomorfismo) si y solo si cada uno es una biyección (resp. Mapa inyectivo). Además, un morfismo de gavillas es un isomorfismo si y solo si existe una cubierta abierta tal que son isomorfismos de gavillas para todos . Esta afirmación, que también se aplica a los monomorfismos, pero no a los pre-ondas, es otro ejemplo de la idea de que las poleas son de naturaleza local. ${\ Displaystyle \ varphi}$ ${\ Displaystyle \ varphi _ {U}}$ ${\ Displaystyle \ varphi}$ ${\ Displaystyle \ {U _ {\ alpha} \}}$ ${\ Displaystyle \ varphi | _ {U _ {\ alpha}}}$ ${\ Displaystyle \ alpha}$

Los enunciados correspondientes no se aplican a los epimorfismos (de las gavillas), y su falla se mide por la cohomología de las gavillas .

Tallos de una gavilla

El tallo de una gavilla captura las propiedades de una gavilla "alrededor" de un punto x ∈ X, generalizando los gérmenes de las funciones . Aquí, "alrededor" significa que, conceptualmente hablando, uno mira los barrios cada vez más pequeños del punto. Por supuesto, ningún vecindario será lo suficientemente pequeño, lo que requiere considerar un límite de algún tipo. Más precisamente, el tallo se define por ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {x}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {x} = \ varinjlim _ {U \ ni x} {\ mathcal {F}} (U),}

el límite directo es sobre todos los subconjuntos abiertos de X que contienen el punto x dado . En otras palabras, un elemento del tallo viene dado por una sección sobre algún vecindario abierto de x , y dos de esas secciones se consideran equivalentes si sus restricciones coinciden en un vecindario más pequeño.

El morfismo natural F ( U ) → F _x lleva una sección s en F ( U ) a su germen en x. Esto generaliza la definición habitual de germen .

En muchas situaciones, conocer los tallos de una gavilla es suficiente para controlar la gavilla en sí. Por ejemplo, si un morfismo de gavillas es un monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo se puede probar en los tallos. En este sentido, una gavilla está determinada por sus tallos, que son un dato local. Por el contrario, la información global presente en un haz, es decir, las secciones globales , es decir, las secciones de todo el espacio X , normalmente llevan menos información. Por ejemplo, para una variedad compleja compacta X , las secciones globales del haz de funciones holomórficas son solo C , ya que cualquier función holomórfica ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (X)}$

{\ Displaystyle X \ to \ mathbf {C}}

es constante por el teorema de Liouville .

Convertir una gavilla en una gavilla

Con frecuencia es útil tomar los datos contenidos en una gavilla y expresarlos como una gavilla. Resulta que existe la mejor manera posible de hacer esto. Se necesita un prehaz F y produce una nueva gavilla aF llama el sheafification o gavilla asociada a la prehaz F . Por ejemplo, la gavilla de la gavilla constante (ver arriba) se llama gavilla constante . A pesar de su nombre, sus secciones son funciones locales constantes .

El haz aF se puede construir utilizando el espacio étalé de F , es decir, como el haz de secciones del mapa.

{\ Displaystyle \ mathrm {Spe} (F) \ to X.}

Otra construcción de la gavilla aF procede por medio de un funtor L de la premalea a la prehecha que mejora gradualmente las propiedades de una prehecha: para cualquier pregavilla F , LF es una prefabricada separada, y para cualquier prehecha F separada , LF es una gavilla. La gavilla asociada aF viene dada por LLF .

La idea de que la gavilla aF es la mejor aproximación posible a F por una gavilla se hace precisa utilizando la siguiente propiedad universal : hay un morfismo natural de las pre-olas, de modo que para cualquier gavilla G y cualquier morfismo de las pre-olas , hay un morfismo único de gavillas tales que . De hecho, a es el funtor adjunto izquierdo al funtor de inclusión (o funtor olvidadizo ) desde la categoría de gavillas a la categoría de precelea, e i es la unidad de la adjunción. De esta forma, la categoría de gavillas se convierte en una subcategoría de prehechas de Giraud. Esta situación categórica es la razón por la cual el functor de gavilla aparece en la construcción de cokernels de morfismos de gavilla o productos tensoriales de gavillas, pero no para granos, digamos. ${\ Displaystyle i \ colon F \ to aF}$ ${\ Displaystyle f \ colon F \ to G}$ ${\ Displaystyle {\ tilde {f}} \ colon aF \ rightarrow G}$ ${\ Displaystyle f = {\ tilde {f}} i}$

Subhechas, cociente de haces

Si K es una subhoja de una gavilla F de grupos abelianos, entonces el cociente de la gavilla Q es la gavilla asociada a la pregacha ; en otras palabras, la gavilla cociente encaja en una secuencia exacta de gavillas de grupos abelianos; ${\ Displaystyle U \ mapsto F (U) / K (U)}$

{\ Displaystyle 0 \ a K \ a F \ a Q \ a 0.}

(esto también se llama una extensión de gavilla ).

Sean F , G gavillas de grupos abelianos. El conjunto de morfismos de las gavillas de F a G forma un grupo abeliano (por la estructura de grupo abeliano de G ). La gavilla hom de F y G , denotada por, ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (F, G)}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {Hom}} (F, G)}

es la gavilla de los grupos abelianos donde está la gavilla en U dada por (Nótese que la gavilla no es necesaria aquí). La suma directa de F y G es la gavilla dada por , y el producto tensorial de F y G es la gavilla asociada a la pregacha . ${\ Displaystyle U \ mapsto \ operatorname {Hom} (F | _ {U}, G | _ {U})}$ ${\ Displaystyle F | _ {U}}$ ${\ Displaystyle (F | _ {U}) (V) = F (V)}$ ${\ Displaystyle U \ mapsto F (U) \ oplus G (U)}$ ${\ Displaystyle U \ mapsto F (U) \ otimes G (U)}$

Todas estas operaciones se extienden a haces de módulos sobre un haz de anillos A ; lo anterior es el caso especial cuando A es la gavilla constante . ${\ Displaystyle {\ underline {\ mathbf {Z}}}}$

Functorialidad básica

Dado que los datos de una (pre) gavilla dependen de los subconjuntos abiertos del espacio base, las gavillas en diferentes espacios topológicos no están relacionadas entre sí en el sentido de que no hay morfismos entre ellas. Sin embargo, dado un mapa continuo f : X → Y entre dos espacios topológicos, el empuje hacia adelante y el retroceso relacionan las poleas en X con las de Y y viceversa.

Imagen directa

El empuje hacia adelante (también conocido como imagen directa ) de una gavilla en X es la gavilla definida por ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

{\ Displaystyle (f _ {*} {\ mathcal {F}}) (V) = {\ mathcal {F}} (f ^ {- 1} (V)).}

Aquí V es un subconjunto abierto de Y , de modo que su preimagen está abierta en X por la continuidad de f . Esta construcción recupera el haz de rascacielos mencionado anteriormente: ${\ Displaystyle S_ {x}}$

{\ Displaystyle S_ {x} = i _ {*} (S)}

donde es la inclusión, y S se considera como un haz en el singleton (por . ${\ Displaystyle i: \ {x \} \ to X}$ ${\ Displaystyle S (\ {* \}) = S, S (\ emptyset) = \ emptyset}$

Para un mapa entre espacios localmente compactos , la imagen directa con soporte compacto es una subhecha de la imagen directa. Por definición, consiste en aquellos cuya ayuda es mapa adecuado sobre V . Si f es propiamente dicha, entonces , pero en general no están de acuerdo. ${\ Displaystyle (f _ {!} {\ mathcal {F}}) (V)}$ ${\ Displaystyle f \ in {\ mathcal {F}} (f ^ {- 1} (V))}$ ${\ Displaystyle f _ {!} {\ mathcal {F}} = f _ {*} {\ mathcal {F}}}$

Imagen inversa

El retroceso o imagen inversa va la otra manera: se produce una gavilla en X , denotado de una gavilla en Y . Si f es la inclusión de un subconjunto abierto, a continuación, la imagen inversa es sólo una restricción, es decir, se da por un abierto U en X . Una gavilla F (en algún espacio X ) se llama localmente constante si por algunos subconjuntos abiertos de manera que la restricción de F a todos estos subconjuntos abiertos es constante. En una amplia gama de espacios topológicos X , tales haces equivalen a representaciones del grupo fundamental . ${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$ ${\ Displaystyle (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}) (U) = {\ mathcal {G}} (U)}$ ${\ Displaystyle X = \ bigcup _ {i \ in I} U_ {i}}$ ${\ Displaystyle U_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X)}$

Para mapas generales f , la definición de es más complicada; se detalla en el functor de imagen inverso . El tallo es un caso especial esencial del retroceso en vista de una identificación natural, donde i es como arriba: ${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {x} = i ^ {- 1} {\ mathcal {G}} (\ {x \}).}

De manera más general, los tallos satisfacen . ${\ displaystyle (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}) _ {x} = {\ mathcal {G}} _ {f (x)}}$

Extensión por cero

Para la inclusión de un subconjunto abierto, la extensión por cero de un haz de grupos abelianos en U se define como ${\ Displaystyle j: U \ a X}$

{\ Displaystyle (j _ {!} {\ mathcal {F}}) (V) = {\ mathcal {F}} (V)}

si y de lo contrario.

{\ Displaystyle V \ subconjunto U}

{\ displaystyle (j _ {!} {\ mathcal {F}}) (V) = 0}

Para una gavilla en X , esta construcción es en cierto sentido complementaria a , donde es la inclusión del complemento de U : ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$ ${\ Displaystyle i _ {*}}$ ${\ Displaystyle i}$

{\ Displaystyle (j _ {!} j ^ {*} {\ mathcal {G}}) _ {x} = {\ mathcal {G}} _ {x}}

para x en U , y el tallo es cero en caso contrario, mientras

{\ Displaystyle (i _ {*} i ^ {*} {\ mathcal {G}}) _ {x} = 0}

para x en U , y es igual a en caso contrario.

{\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {x}}

Por lo tanto, estos functores son útiles para reducir preguntas teóricas de haz sobre X a preguntas sobre los estratos de una estratificación , es decir, una descomposición de X en subconjuntos localmente cerrados más pequeños.

Complementos

Gavillas en categorías más generales

Además de las (pre) poleas como se introdujo anteriormente, donde es simplemente un conjunto, en muchos casos es importante realizar un seguimiento de la estructura adicional en estas secciones. Por ejemplo, las secciones del haz de funciones continuas forman naturalmente un espacio vectorial real , y la restricción es un mapa lineal entre estos espacios vectoriales. ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (U)}$

Las preselecciones con valores en una categoría arbitraria C se definen considerando primero que la categoría de conjuntos abiertos en X es la categoría posetal O ( X ) cuyos objetos son los conjuntos abiertos de X y cuyos morfismos son inclusiones. A continuación, un C -valued prehaz en X es el mismo que un funtor contravariante de O ( X ) para C . Los morfismos en esta categoría de functores, también conocidos como transformaciones naturales , son los mismos que los morfismos definidos anteriormente, como se puede ver al desentrañar las definiciones.

Si la categoría de destino C admite todos los límites , una gavilla con valor C es una gavilla si el siguiente diagrama es un ecualizador para cada cubierta abierta de cualquier conjunto abierto : ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {U_ {i} \} _ {i \ in I}}$ ${\ Displaystyle U}$

{\ displaystyle F (U) \ rightarrow \ prod _ {i} F (U_ {i}) {{{} \ atop \ longrightarrow} \ atop {\ longrightarrow \ atop {}}} \ prod _ {i, j} F (U_ {i} \ cap U_ {j}).}

Aquí el primer mapa es producto de los mapas de restricción.

{\ Displaystyle \ operatorname {res} _ {U_ {i}, U} \ colon F (U) \ rightarrow F (U_ {i})}

y el par de flechas los productos de los dos conjuntos de restricciones

{\ Displaystyle \ operatorname {res} _ {U_ {i} \ cap U_ {j}, U_ {i}} \ colon F (U_ {i}) \ rightarrow F (U_ {i} \ cap U_ {j}) }

y

{\ Displaystyle \ operatorname {res} _ {U_ {i} \ cap U_ {j}, U_ {j}} \ colon F (U_ {j}) \ rightarrow F (U_ {i} \ cap U_ {j}) .}

Si C es una categoría abeliana , esta condición también puede reformularse requiriendo que haya una secuencia exacta

{\ Displaystyle 0 \ to F (U) \ to \ prod _ {i} F (U_ {i}) \ xrightarrow {\ operatorname {res} _ {U_ {i} \ cap U_ {j}, U_ {i} } - \ operatorname {res} _ {U_ {i} \ cap U_ {j}, U_ {j}}} \ prod _ {i, j} F (U_ {i} \ cap U_ {j}).}

Un caso particular de esta condición de gavilla ocurre cuando U es el conjunto vacío y el conjunto de índices I también está vacío. En este caso, la condición gavilla requiere para ser el objeto terminal en C . ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (\ emptyset)}$

Espacios anillados y roldanas de módulos

En varias disciplinas geométricas, incluida la geometría algebraica y la geometría diferencial , los espacios vienen junto con una gavilla natural de anillos, a menudo llamada gavilla de estructura y denotada por . Ese par se llama espacio anillado . Muchos tipos de espacios se pueden definir como ciertos tipos de espacios anillados. Por lo general, todos los tallos del haz de estructura son anillos locales , en cuyo caso el par se denomina espacio anillado local . ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ ${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, x}}$

Por ejemplo, un n -dimensional C ^k colector M es un espacio anillado localmente cuyo gavilla estructura consta de -Funciones en los subconjuntos abiertos de M . La propiedad de ser un espacio anillado localmente se traduce en el hecho de que dicha función, que es distinta de cero en un punto x , también es distinta de cero en una vecindad abierta suficientemente pequeña de x . Algunos autores realmente definen variedades reales (o complejas) como espacios anillados localmente que son localmente isomorfos al par que consiste en un subconjunto abierto de (resp. ) Junto con el haz de funciones C ^k (resp. Holomorfas). De manera similar, los esquemas , la noción fundamental de espacios en la geometría algebraica, son espacios anillados localmente que son localmente isomorfos al espectro de un anillo . ${\ Displaystyle C ^ {k}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C} ^ {n}}$

Dado un espacio anillado, un haz de módulos es un haz tal que en cada conjunto abierto U de X , es un -módulo y para cada inclusión de conjuntos abiertos V ⊆ U , el mapa de restricción es compatible con el mapa de restricción O ( U ) → O ( V ): la restricción de fs es la restricción de f veces la de s para cualquier f en O ( U ) y s en F ( U ). ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} (U)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} (U) \ a {\ mathcal {M}} (V)}$

Los objetos geométricos más importantes son haces de módulos. Por ejemplo, existe una correspondencia de uno a uno entre los paquetes de vectores y las gavillas de módulos libres localmente . Este paradigma se aplica a paquetes de vectores reales, paquetes de vectores complejos o paquetes de vectores en geometría algebraica (donde consta de funciones suaves, funciones holomórficas o funciones regulares, respectivamente). Los haces de soluciones a las ecuaciones diferenciales son módulos D , es decir, módulos sobre el haz de operadores diferenciales . En cualquier espacio topológico, los módulos sobre el haz constante son los mismos que los haces de grupos abelianos en el sentido anterior. ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ mathbf {Z}}}}$

Existe un functor de imagen inverso diferente para roldanas de módulos sobre roldanas de anillos. Este funtor generalmente se denota y es distinto de . Ver functor de imagen inverso . ${\ Displaystyle f ^ {*}}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$

Condiciones de finitud para roldanas de módulos

Las condiciones de finitud para módulo sobre anillos conmutativos dan lugar a condiciones de finitud similares para haces de módulos: se llama finitamente generado (resp. Finitamente presentado ) si, para cada punto x de X , existe una vecindad abierta U de x , un número natural n (posiblemente dependiendo de U ), y un morfismo sobreyectivo de gavillas (respectivamente, además de un número natural m , y una secuencia exacta ). Paralelamente a la noción de módulo coherente , se llama gavilla coherente si es de tipo finito y si , para cada conjunto abierto U y cada morfismo de gavillas (no necesariamente sobreyectivo), el núcleo de φ es de tipo finito. es coherente si es coherente como módulo sobre sí mismo. Como ocurre con los módulos, la coherencia es en general una condición estrictamente más fuerte que la presentación finita. El teorema de coherencia de Oka establece que el conjunto de funciones holomórficas en una variedad compleja es coherente. ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {n} | _ {U} \ to {\ mathcal {M}} | _ {U}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {m} | _ {U} \ a {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {n} | _ {U} \ a {\ mathcal {M}} | _ {U} \ a 0}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ Displaystyle \ phi: {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {n} \ to {\ mathcal {M}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

El espacio étalé de una gavilla

En los ejemplos anteriores, se observó que algunas gavillas se producen naturalmente como gavillas de secciones. De hecho, todas las gavillas de conjuntos se pueden representar como gavillas de secciones de un espacio topológico llamado espacio étalé , de la palabra francesa étalé[etale] , que significa más o menos "extendido". Sies un haz encima, entonces el espacio étalé dees un espacio topológicojunto con un homeomorfismo local tal que el haz de seccionesdees. El espaciosuele ser muy extraño, e incluso si la gavillasurge de una situación topológica natural,puede no tener una interpretación topológica clara. Por ejemplo, sies el haz de secciones de una función continua, entoncessi y solo sies un homeomorfismo local . ${\ Displaystyle F \ in {\ text {Sh}} (X)}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle \ pi: E \ a X}$ ${\ Displaystyle \ Gamma (\ pi, -)}$ ${\ Displaystyle \ pi}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle f: Y \ a X}$ ${\ Displaystyle E = Y}$ ${\ Displaystyle f}$

El espacio étalé se construye a partir de los tallos de sobre . Como conjunto, es su unión disjunta y es el mapa obvio el que toma el valor en el tallo de más . La topología de se define de la siguiente manera. Para cada elemento y cada uno , obtenemos un germen de at , denotado o . Estos gérmenes determinan los puntos de . Para cualquiera y , la unión de estos puntos (para todos ) se declara abierta en . Observe que cada tallo tiene la topología discreta como topología subespacial. Dos morfismos entre haces determinan un mapa continuo de los correspondientes espacios de étalé que es compatible con los mapas de proyección (en el sentido de que cada germen se mapea a un germen sobre el mismo punto). Esto convierte la construcción en un funtor. ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ pi}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle x \ in X}$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle s \ en F (U)}$ ${\ Displaystyle x \ in U}$ ${\ Displaystyle s}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle [s] _ {x}}$ ${\ Displaystyle s_ {x}}$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle s \ en F (U)}$ ${\ Displaystyle x \ in U}$ ${\ Displaystyle E}$

La construcción anterior determina una equivalencia de categorías entre la categoría de haces de conjuntos sobre y la categoría de espacios étalé sobre . La construcción de un espacio étalé también se puede aplicar a una presheaf, en cuyo caso la gavilla de secciones del espacio étalé recupera la gavilla asociada a la presheaf dada. ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$

Esta construcción convierte a todas las gavillas en functores representables en ciertas categorías de espacios topológicos. Como arriba, sea una gavilla , sea su espacio étalé, y sea la proyección natural. Considere la sobrecategoría de espacios topológicos sobre , es decir, la categoría de espacios topológicos junto con mapas continuos fijos a . Cada objeto de esta categoría es un mapa continuo , y un morfismo de a es un mapa continuo que conmuta con los dos mapas a . Hay un functor ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle \ pi: E \ a X}$ ${\ displaystyle {\ text {Top}} / X}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle f: Y \ a X}$ ${\ Displaystyle Y \ a X}$ ${\ Displaystyle Z \ a X}$ ${\ Displaystyle Y \ to Z}$ ${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ Gamma: {\ text {Top}} / X \ to {\ text {Sets}}}$

enviando un objeto a . Por ejemplo, si es la inclusión de un subconjunto abierto, entonces ${\ Displaystyle f: Y \ a X}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} F (Y)}$ ${\ Displaystyle i: U \ hookrightarrow X}$

${\ Displaystyle \ Gamma (i) = f ^ {- 1} F (U) = F (U) = \ Gamma (F, U)}$

y para la inclusión de un punto , entonces ${\ Displaystyle i: \ {x \} \ hookrightarrow X}$

${\ Displaystyle \ Gamma (i) = f ^ {- 1} F (\ {x \}) = F | _ {x}}$

es el tallo de at . Hay un isomorfismo natural. ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle (f ^ {- 1} F) (Y) \ cong \ operatorname {Hom} _ {\ mathbf {Top} / X} (f, \ pi)}$ ,

lo que muestra que (para el espacio étalé) representa el functor . ${\ Displaystyle \ pi: E \ a X}$ ${\ Displaystyle \ Gamma}$

${\ Displaystyle E}$ está construido de modo que el mapa de proyección sea un mapa de cobertura. En geometría algebraica, el análogo natural de un mapa de cobertura se llama morfismo étale . A pesar de su similitud con "étalé", la palabra étale ${\ Displaystyle \ pi}$ [etal] tiene un significado diferente en francés. Es posible convertirseen un esquema yen un morfismo de esquemas de tal manera queconserve la misma propiedad universal, pero no esen general un morfismo étale porque no es cuasi-finito. Sin embargo, es formalmente étale . ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle \ pi}$ ${\ Displaystyle \ pi}$ ${\ Displaystyle \ pi}$

La definición de gavillas por espacios étalé es más antigua que la definición dada anteriormente en el artículo. Todavía es común en algunas áreas de las matemáticas, como el análisis matemático .

Cohomología de la gavilla

En contextos, donde el conjunto abierto U es fijo y la gavilla se considera una variable, el conjunto F ( U ) también se denota a menudo ${\ Displaystyle \ Gamma (U, F).}$

Como se señaló anteriormente, este functor no conserva los epimorfismos. En cambio, un epimorfismo de gavillas es un mapa con la siguiente propiedad: para cualquier sección hay una cubierta donde ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ to {\ mathcal {G}}}$ ${\ Displaystyle g \ in {\ mathcal {G}} (U)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {U_ {i} \} _ {i \ in I}}$

${\ Displaystyle U = \ bigcup _ {i \ in I} U_ {i}}$

de subconjuntos abiertos, de modo que la restricción esté en la imagen de . Sin embargo, g en sí mismo no tiene por qué ser la imagen de . Un ejemplo concreto de este fenómeno es el mapa exponencial ${\ Displaystyle g | _ {U_ {i}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (U_ {i})}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (U)}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {O}} {\ stackrel {\ exp} {\ to}} {\ mathcal {O}} ^ {\ times}}

entre el haz de funciones holomorfas y funciones holomorfas distintas de cero. Este mapa es un epimorfismo, lo que equivale a decir que cualquier función holomórfica distinta de cero g (en algún subconjunto abierto en C , digamos), admite un logaritmo complejo localmente , es decir, después de restringir g a subconjuntos abiertos apropiados. Sin embargo, no es necesario que g tenga un logaritmo global.

La cohomología de la gavilla captura este fenómeno. Más precisamente, para una secuencia exacta de haces de grupos abelianos

{\ Displaystyle 0 \ to {\ mathcal {F}} _ {1} \ to {\ mathcal {F}} _ {2} \ to {\ mathcal {F}} _ {3} \ to 0,}

(es decir, un epimorfismo cuyo núcleo es ), hay una larga secuencia exacta ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {2} \ to {\ mathcal {F}} _ {3}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {1}}$

{\ Displaystyle 0 \ a \ Gamma (U, {\ mathcal {F}} _ {1}) \ a \ Gamma (U, {\ mathcal {F}} _ {2}) \ a \ Gamma (U, { \ mathcal {F}} _ {3}) \ a H ^ {1} (U, {\ mathcal {F}} _ {1}) \ a H ^ {1} (U, {\ mathcal {F}} _ {2}) \ a H ^ {1} (U, {\ mathcal {F}} _ {3}) \ a H ^ {2} (U, {\ mathcal {F}} _ {1}) \ a \ dots}

Mediante esta secuencia, el primer grupo de cohomología es una medida de la no sobrejetividad del mapa entre secciones de y .

{\ Displaystyle H ^ {1} (U, {\ mathcal {F}} _ {1})}

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {2}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {3}}

Hay varias formas diferentes de construir la cohomología de gavilla. Grothendieck (1957) los introdujo definiendo la cohomología de gavilla como el functor derivado de . Este método es teóricamente satisfactorio, pero, al estar basado en resoluciones inyectivas , tiene poca utilidad en cálculos concretos. Las resoluciones gubernamentales son otro enfoque general, pero prácticamente inaccesible. ${\ Displaystyle \ Gamma}$

Computación de la cohomología de la gavilla

Especialmente en el contexto de las gavillas en los colectores, la cohomología de las gavillas a menudo se puede calcular usando resoluciones mediante gavillas blandas , gavillas finas y gavillas flácidas (también conocidas como gavillas de matraz del francés matraz que significa fofo ). Por ejemplo, un argumento de partición de unidad muestra que el conjunto de funciones suaves en una variedad es suave. Los grupos de cohomología superior para se desvanecen para las poleas blandas, lo que da una forma de calcular la cohomología de otras poleas. Por ejemplo, el complejo de Rham es una resolución de la gavilla constante en cualquier variedad lisa, por lo que la cohomología de gavilla de es igual a su cohomología de Rham . ${\ Displaystyle H ^ {i} (U, {\ mathcal {F}})}$ ${\ Displaystyle i> 0}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ mathbf {R}}}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ mathbf {R}}}}$

Un enfoque diferente es el de Čech cohomology . La cohomología Čech fue la primera teoría de cohomología desarrollada para poleas y se adapta bien a cálculos concretos, como calcular la cohomología coherente de gavilla de un espacio proyectivo complejo . Relaciona secciones sobre subconjuntos abiertos del espacio con clases de cohomología en el espacio. En la mayoría de los casos, la cohomología Čech calcula los mismos grupos de cohomología que la cohomología del functor derivado. Sin embargo, para algunos espacios patológicos, la cohomología Čech proporcionará los grupos de cohomología superiores correctos pero incorrectos. Para evitar esto, Jean-Louis Verdier desarrolló hiperrevestimientos . Los hiperrevestimientos no solo dan los grupos correctos de cohomología superior, sino que también permiten que los subconjuntos abiertos mencionados anteriormente sean reemplazados por ciertos morfismos de otro espacio. Esta flexibilidad es necesaria en algunas aplicaciones, tales como la construcción de Pierre Deligne 's estructuras Hodge mixtos . ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle H ^ {1}}$

Muchos otros grupos de cohomología de gavilla coherente se encuentran utilizando una incrustación de un espacio en un espacio con cohomología conocida, como , o algún espacio proyectivo ponderado . De esta forma, los grupos de cohomología de gavillas conocidos en estos espacios ambientales pueden relacionarse con las gavillas , dando . Por ejemplo, el cálculo de la cohomología de haz coherente de curvas planas proyectivas se encuentra fácilmente. Un gran teorema en este espacio es la descomposición de Hodge encontrada usando una secuencia espectral asociada a grupos de cohomología de gavillas , probado por Deligne. Esencialmente, la -página con términos ${\ Displaystyle i: X \ hookrightarrow Y}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle i _ {*} {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle H ^ {i} (Y, i _ {*} {\ mathcal {F}}) \ cong H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}})}$ ${\ Displaystyle E_ {1}}$

${\ Displaystyle E_ {1} ^ {p, q} = H ^ {p} (X, \ Omega _ {X} ^ {q})}$

la cohomología de la gavilla de una suave variedad proyectiva , degenera, significa . Esto le da la estructura canónica de Hodge en los grupos de cohomología . Más tarde se descubrió que estos grupos de cohomología se pueden calcular fácilmente de forma explícita utilizando residuos de Griffiths . Ver ideal jacobiano . Este tipo de teoremas conducen a uno de los teoremas más profundos sobre la cohomología de variedades algebraicas, el teorema de descomposición , allanando el camino para los módulos mixtos de Hodge . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle E_ {1} = E _ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle H ^ {k} (X, \ mathbb {C})}$

Otro enfoque limpio para el cálculo de algunos grupos de cohomología es el teorema de Borel-Bott-Weil , que identifica los grupos de cohomología de algunos paquetes de líneas en variedades bandera con representaciones irreductibles de grupos de Lie . Este teorema se puede utilizar, por ejemplo, para calcular fácilmente los grupos de cohomología de todos los paquetes de líneas en el espacio proyectivo y las variedades de Grassmann .

En muchos casos existe una teoría de la dualidad para gavillas que generaliza la dualidad de Poincaré . Vea la dualidad de Grothendieck y la dualidad de Verdier .

Categorías derivadas de poleas

La categoría derivada de la categoría de gavillas de, digamos, grupos abelianos en algún espacio X , denotado aquí como , es el refugio conceptual para la cohomología de gavillas, en virtud de la siguiente relación: ${\ Displaystyle D (X)}$

{\ Displaystyle H ^ {n} (X, {\ mathcal {F}}) = \ operatorname {Hom} _ {D (X)} (\ mathbf {Z}, {\ mathcal {F}} [n]) .}

La adjunción entre , que es el adjunto izquierdo de (ya en el nivel de haces de grupos abelianos) da lugar a una adjunción ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle f _ {*}}$

{\ Displaystyle f ^ {- 1}: D (Y) \ rightleftarrows D (X): Rf _ {*}}

(para ),

{\ Displaystyle f: X \ to Y}

donde es el functor derivado. Este último funtor engloba la noción de cohomología de gavilla ya que para . ${\ Displaystyle Rf _ {*}}$ ${\ Displaystyle H ^ {n} (X, {\ mathcal {F}}) = R ^ {n} f _ {*} {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle f: X \ a \ {* \}}$

Al igual que , también se puede derivar la imagen directa con soporte compacto . En virtud del siguiente isomorfismo parametriza la cohomología con soporte compacto de las fibras de : ${\ Displaystyle f _ {*}}$ ${\ displaystyle f_ {!}}$ ${\ Displaystyle Rf _ {!} F}$ ${\ Displaystyle f}$

{\ Displaystyle (R ^ {i} f _ {!} F) _ {y} = H_ {c} ^ {i} (f ^ {- 1} (y), F).}

Este isomorfismo es un ejemplo de un teorema de cambio de base . Hay otro adjunto

{\ Displaystyle Rf _ {!}: D (X) \ rightleftarrows D (Y): f ^ {!}.}

A diferencia de todos los functores considerados anteriormente, el functor de imagen inverso retorcido (o excepcional) en general solo se define en el nivel de categorías derivadas , es decir, el functor no se obtiene como el functor derivado de algún functor entre categorías abelianas. Si y X es una variedad suave orientable de dimensión n , entonces ${\ displaystyle f ^ {!}}$ ${\ Displaystyle f: X \ a \ {* \}}$

{\ Displaystyle f ^ {!} {\ underline {\ mathbf {R}}} \ cong {\ underline {\ mathbf {R}}} [n].}

Este cálculo y la compatibilidad de los functores con la dualidad (ver dualidad de Verdier ) se pueden utilizar para obtener una explicación de alto nivel de la dualidad de Poincaré . En el contexto de gavillas cuasi-coherentes en esquemas, existe una dualidad similar conocida como dualidad coherente .

Las gavillas perversas son ciertos objetos en , es decir, complejos de gavillas (pero no en general las gavillas propiamente dichas). Son una herramienta importante para estudiar la geometría de singularidades . ${\ Displaystyle D (X)}$

Categorías derivadas de poleas coherentes y el grupo Grothendieck

Otra aplicación importante de las categorías derivadas de poleas es con la categoría derivada de poleas coherentes en un esquema denotado . Esto fue utilizado por Grothendieck en su desarrollo de la teoría de la intersección usando categorías derivadas y la teoría K , que el producto de la intersección de los subesquemas se representa en la teoría K como ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle D_ {Coh} (X)}$ ${\ Displaystyle Y_ {1}, Y_ {2}}$

${\ Displaystyle [Y_ {1}] \ cdot [Y_ {2}] = [{\ mathcal {O}} _ {Y_ {1}} \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} ^ {\ mathbf {L}} {\ mathcal {O}} _ {Y_ {2}}] \ in K ({\ text {Coh (X)}})}$

donde son las poleas coherentes definidas por los -módulos dados por su estructura de las poleas . ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y_ {i}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

Sitios y topoi

Las conjeturas de Weil de André Weil establecían que existía una teoría de cohomología para variedades algebraicas sobre campos finitos que daría un análogo de la hipótesis de Riemann . La cohomología de una variedad compleja puede definirse como la cohomología de gavilla de la gavilla localmente constante en la topología euclidiana, lo que sugiere definir una teoría de cohomología de Weil en característica positiva como la cohomología de gavilla de una gavilla constante. Pero la única topología clásica en tal variedad es la topología de Zariski , y la topología de Zariski tiene muy pocos conjuntos abiertos, tan pocos que la cohomología de cualquier gavilla constante de Zariski en una variedad irreducible se desvanece (excepto en grado cero). Alexandre Grothendieck resolvió este problema introduciendo topologías de Grothendieck , que axiomatizan la noción de cobertura . La idea de Grothendieck fue que la definición de un haz depende solo de los conjuntos abiertos de un espacio topológico, no de los puntos individuales. Una vez que hubo axiomatizado la noción de cobertura, los conjuntos abiertos podrían ser reemplazados por otros objetos. Una gavilla lleva cada uno de estos objetos a datos, como antes, y una gavilla es una gavilla que satisface el axioma de pegado con respecto a nuestra nueva noción de cobertura. Esto permitió a Grothendieck definir la cohomología étale y la cohomología ℓ-ádica , que finalmente se utilizaron para probar las conjeturas de Weil. ${\ Displaystyle {\ underline {\ mathbf {C}}}}$

Una categoría con una topología de Grothendieck se denomina sitio . Una categoría de gavillas en un sitio se llama topos o topos de Grothendieck . William Lawvere y Miles Tierney resumieron más tarde la noción de topos para definir un topos elemental , que tiene conexiones con la lógica matemática .

Historia

Los primeros orígenes de la teoría de la gavilla son difíciles de precisar; pueden ser coextensivos con la idea de continuación analítica . Se necesitaron unos 15 años para que surgiera una teoría reconocible e independiente de las gavillas del trabajo fundamental sobre la cohomología .

1936 Eduard Čech introduce la construcción nerviosa , para asociar un complejo simplicial a una cubierta abierta.
1938 Hassler Whitney da una definición "moderna" de cohomología, resumiendo el trabajo desde que JW Alexander y Kolmogorov definieron por primera vez las cadenas .
1943 Norman Steenrod publica sobre homología con coeficientes locales .
1945 Jean Leray publica un trabajo realizado como prisionero de guerra , motivado por probar teoremas del punto fijo para su aplicación a la teoría PDE ; es el comienzo de la teoría de las gavillas y de las secuencias espectrales .
1947 Henri Cartan reprueba el teorema de De Rham mediante métodos de gavilla, en correspondencia con André Weil (véase el teorema de De Rham-Weil ). Leray da una definición de gavilla en sus cursos a través de conjuntos cerrados (los caparazones posteriores ).
1948 El seminario de Cartan redacta la teoría de la gavilla por primera vez.
1950 La teoría de la gavilla de la "segunda edición" del seminario de Cartan: se utiliza la definición del espacio de la gavilla ( espace étalé ), con estructura de tallo. Soportes se introducen, y cohomología con soportes. Las asignaciones continuas dan lugar a secuencias espectrales. Al mismo tiempo, Kiyoshi Oka introduce una idea (adyacente a esa) de un conjunto de ideales, en varias variables complejas .
1951 El seminario de Cartan demuestra los teoremas A y B , basados en el trabajo de Oka.
1953 Cartan y Jean-Pierre Serre prueban el teorema de la finitud para haces coherentes en la teoría analítica , al igual que la dualidad de Serre .
1954 El artículo de Serre Faisceaux algébriques cohérents (publicado en 1955) introduce gavillas en la geometría algebraica . Estas ideas son inmediatamente explotadas por Friedrich Hirzebruch , quien escribe un importante libro de 1956 sobre métodos topológicos.
1955 Alexander Grothendieck en conferencias en Kansas define la categoría abeliana y la gavilla previa , y mediante el uso de resoluciones inyectivas permite el uso directo de la cohomología de la gavilla en todos los espacios topológicos, como functores derivados .
1956 Oscar Zariski 's informe de la teoría algebraica gavilla
1957 El artículo de Grothendieck en Tohoku reescribe el álgebra homológica ; demuestra la dualidad de Grothendieck (es decir, la dualidad de Serre para variedades algebraicas posiblemente singulares ).
1957 en adelante: Grothendieck amplía la teoría de gavillas de acuerdo con las necesidades de la geometría algebraica, introduciendo: esquemas y gavillas generales sobre ellos, cohomología local , categorías derivadas (con Verdier) y topologías de Grothendieck . También surge su influyente idea esquemática de las " seis operaciones " en el álgebra homológica.
1958 Se publica el libro de Roger Godement sobre la teoría de la gavilla. Aproximadamente en esta época Mikio Sato propone sus hiperfunciones , que resultarán tener un carácter teórico de la gavilla.

En este punto, las gavillas se habían convertido en una parte principal de las matemáticas, y su uso no se limitaba de ninguna manera a la topología algebraica . Más tarde se descubrió que la lógica en las categorías de gavillas es lógica intuicionista (esta observación ahora se conoce como semántica de Kripke-Joyal , pero probablemente debería atribuirse a varios autores).

Ver también

Notas

Referencias

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