Espacio afín - Affine space

En el plano superior (en azul) no hay un subespacio vectorial, ya que y es un subespacio afín . Su dirección es el plano inferior (verde) que es un subespacio vectorial. Aunque y están en su diferencia es un vector de desplazamiento , que no pertenece sino que pertenece al espacio vectorial

{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3},}

{\ Displaystyle P_ {2}}

{\ Displaystyle \ mathbf {0} \ notin P_ {2}}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ notin P_ {2};}

{\ Displaystyle P_ {1},}

{\ Displaystyle \ mathbf {a}}

{\ Displaystyle \ mathbf {b}}

{\ Displaystyle P_ {2},}

{\ Displaystyle P_ {2},}

{\ Displaystyle P_ {1}.}

En matemáticas , un espacio afín es una estructura geométrica que generaliza algunas de las propiedades de los espacios euclidianos de tal manera que estos son independientes de los conceptos de distancia y medida de ángulos, manteniendo solo las propiedades relacionadas con el paralelismo y la razón de longitudes para paralelos. segmentos de línea .

En un espacio afín, no hay un punto diferenciado que sirva de origen. Por tanto, ningún vector tiene un origen fijo y ningún vector puede asociarse de forma única a un punto. En un espacio afín, hay vectores de desplazamiento , también llamados vectores de traducción o simplemente traducciones , entre dos puntos del espacio. Por tanto, tiene sentido restar dos puntos del espacio, dando un vector de traslación, pero no tiene sentido sumar dos puntos del espacio. Del mismo modo, tiene sentido agregar un vector de desplazamiento a un punto de un espacio afín, lo que da como resultado un nuevo punto trasladado desde el punto de partida por ese vector.

Cualquier espacio vectorial puede verse como un espacio afín; esto equivale a olvidar el papel especial que juega el vector cero . En este caso, los elementos del espacio vectorial pueden verse como puntos del espacio afín o como vectores de desplazamiento o traslaciones . Cuando se considera como un punto, el vector cero se llama origen . Agregar un vector fijo a los elementos de un subespacio lineal de un espacio vectorial produce un subespacio afín . Se suele decir que este subespacio afín se ha obtenido traduciendo (alejándose del origen) el subespacio lineal mediante el vector de traducción. En dimensiones finitas, tal subespacio afín es el conjunto de soluciones de un sistema lineal no homogéneo . Los vectores de desplazamiento para ese espacio afín son las soluciones del correspondiente sistema lineal homogéneo , que es un subespacio lineal. Los subespacios lineales, por el contrario, siempre contienen el origen del espacio vectorial.

La dimensión de un espacio afín se define como la dimensión del espacio vectorial de sus traslaciones. Un espacio afín de dimensión uno es una línea afín . Un espacio afín de dimensión 2 es un plano afín . Un subespacio afín de dimensión $n - 1$ en un espacio afín o un espacio vectorial de dimensión $n$ es un hiperplano afín .

Descripción informal

Orígenes de las perspectivas de Alice y Bob. El cálculo vectorial desde la perspectiva de Alice está en rojo, mientras que el de Bob está en azul.

La siguiente caracterización puede ser más fácil de entender que la definición formal habitual: un espacio afín es lo que queda de un espacio vectorial después de haber olvidado qué punto es el origen (o, en palabras del matemático francés Marcel Berger , "An el espacio afín no es más que un espacio vectorial cuyo origen intentamos olvidar, añadiendo traslaciones a los mapas lineales "). Imagina que Alice sabe que cierto punto es el origen real, pero Bob cree que otro punto, llámalo $p,$ es el origen. Dos vectores, $un$ y $b$ , que deben añadirse. Bob dibuja una flecha desde el punto $p$ para señalar $una$ y otra flecha desde el punto $p$ al punto $b$ , y completa el paralelogramo para encontrar lo que Bob piensa que es $un + b$ , pero Alice sabe que en realidad se ha calculado

p + (a - p) + (b - p)

.

Del mismo modo, Alice y Bob pueden evaluar cualquier combinación lineal de $un$ y $b$ , o de cualquier conjunto finito de vectores, y generalmente tendrán diferentes respuestas. Sin embargo, si la suma de los coeficientes en una combinación lineal es 1, Alice y Bob llegarán a la misma respuesta.

Si Alice viaja a

λ a + (1 - λ) b

entonces Bob puede viajar de manera similar a

p + λ (a - p) + (1 - λ) (segundo - p) = λ a + (1 - λ) b

.

Bajo esta condición, para todos los coeficientes $λ + (1 - λ) = 1$ , Alice y Bob describen el mismo punto con la misma combinación lineal, a pesar de usar diferentes orígenes.

Aunque solo Alice conoce la "estructura lineal", tanto Alice como Bob conocen la "estructura afín", es decir, los valores de las combinaciones afines , definidas como combinaciones lineales en las que la suma de los coeficientes es 1. Un conjunto con una estructura afín es un espacio afín.

Definición

Un espacio afín es un conjunto $A$ , junto con un espacio vectorial , y una transitiva y libre de la acción del grupo aditivo de en el conjunto $A$ . Los elementos del espacio afín $A$ se denominan puntos . Se dice que el espacio vectorial está asociado al espacio afín y sus elementos se denominan vectores , traslaciones o, a veces, vectores libres . ${\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}$

Explícitamente, la definición anterior significa que la acción es un mapeo, generalmente denotado como una adición,

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} A \ times {\ overrightarrow {A}} & \ to A \\ (a, v) \; & \ mapsto a + v, \ end {alineado}}}

que tiene las siguientes propiedades.

Identidad correcta:
${\ Displaystyle \ forall a \ in A, \; a + 0 = a}$ , donde $0$ es el vector cero en ${\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}$
Asociatividad:
${\ Displaystyle \ forall v, w \ in {\ overrightarrow {A}}, \ forall a \ in A, \; (a + v) + w = a + (v + w)}$ (aquí el último $+$ es la adición en ) ${\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}$
Acción libre y transitiva:
Para todos , el mapeo es una biyección . ${\ Displaystyle a \ in A}$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {A}} \ to A \ colon v \ mapsto a + v}$

Las dos primeras propiedades simplemente definen propiedades de una acción de grupo (derecha). La tercera propiedad caracteriza las acciones libres y transitivas, el carácter on proviene de la transitividad, y luego el carácter inyectivo se deriva de la acción libre. Hay una cuarta propiedad que se sigue de 1, 2 arriba:

Existencia de traducciones uno a uno

Para todos , el mapeo es una biyección.

{\ displaystyle v \ in {\ overrightarrow {A}}}

{\ Displaystyle A \ to A \ colon a \ mapsto a + v}

La propiedad 3 se usa a menudo en la siguiente forma equivalente.

Sustracción:

Para cada

a, b

en

A

, existe un único , denotado

b

-

a

, tal que .

{\ displaystyle v \ in {\ overrightarrow {A}}}

{\ Displaystyle b = a + v}

Otra forma de expresar la definición es que un espacio afín es un espacio homogéneo principal para la acción del grupo aditivo de un espacio vectorial. Los espacios homogéneos están, por definición, dotados de una acción de grupo transitiva, y para un espacio homogéneo principal tal acción transitiva es por definición libre.

Resta y axiomas de Weyl

Las propiedades de la acción de grupo permiten la definición de resta para cualquier par ordenado dado $(b, a)$ de puntos en $A$ , produciendo un vector de . Este vector, denotado o , se define como el vector único en tal que ${\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}$ ${\ displaystyle ba}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {ab}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}$

{\ Displaystyle a + (ba) = b.}

La existencia se sigue de la transitividad de la acción y la unicidad se sigue porque la acción es libre.

Esta resta tiene las dos propiedades siguientes, llamadas axiomas de Weyl :

${\ Displaystyle \ forall a \ in A, \; \ forall v \ in {\ overrightarrow {A}}}$ , hay un punto único tal que ${\ Displaystyle b \ in A}$ ${\ Displaystyle ba = v.}$
${\ Displaystyle \ forall a, b, c \ in A, \; (cb) + (ba) = ca.}$

En geometría euclidiana , el segundo axioma de Weyl se denomina comúnmente regla del paralelogramo .

Los espacios afines se pueden definir de manera equivalente como un conjunto de puntos $A$ , junto con un espacio vectorial y una resta que satisfaga los axiomas de Weyl. En este caso, la adición de un vector a un punto se define a partir de los primeros axiomas de Weyl. ${\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}$

Subespacios afines y paralelismo

Un subespacio afín (también llamado, en algunos contextos, una variedad lineal , un plano o, sobre los números reales , una variedad lineal ) $B$ de un espacio afín $A$ es un subconjunto de $A$ tal que, dado un punto , el conjunto de vectores es un subespacio lineal de . Esta propiedad, que no depende de la elección de $a$ , implica que $B$ es un espacio afín, que tiene como su espacio vectorial asociado. ${\ Displaystyle a \ in B}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {B}} = \ {ba \ mid b \ in B \}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {B}}}$

Los subespacios afines de $A$ son los subconjuntos de $A$ de la forma

{\ Displaystyle a + V = \ {a + w: w \ in V \},}

donde $a$ es un punto de $A$ y $V$ un subespacio lineal de . ${\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}$

El subespacio lineal asociado con un subespacio afín a menudo se llama su dirección , y dos subespacios que comparten la misma dirección se dice que sonparalelos.

Esto implica la siguiente generalización de axioma de Playfair : Dada una dirección $V$ , para cualquier punto $a$ de $A$ hay una y sólo una subespacio afín de dirección $V$ , que pasa por $una$ , a saber, el subespacio $un + V$ .

Cada traducción mapea cualquier subespacio afín a un subespacio paralelo. ${\ Displaystyle A \ a A: a \ mapsto a + v}$

El término paralelo también se usa para dos subespacios afines, de modo que la dirección de uno se incluye en la dirección del otro.

Mapa afín

Dados dos espacios afines $A$ y $B$ cuyos espacios vectoriales asociados son y , un mapa afín o un homomorfismo afín de $A$ a $B$ es un mapa ${\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {B}}}$

{\ Displaystyle f: A \ to B}

tal que

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ overrightarrow {f}}: {\ overrightarrow {A}} & \ to {\ overrightarrow {B}} \\ ba & \ mapsto f (b) -f (a) \ end {alineado}}}

es un mapa lineal bien definido. Por estar bien definido se quiere decir que $b$ $-$ $a$ $=$ $d$ $-$ $c$ implica $f$ $($ $b$ $) -$ $f$ $($ $a$ $) =$ $f$ $($ $d$ $) -$ $f$ $($ $c$ $)$ . ${\ Displaystyle f}$

Esto implica que, para un punto y un vector , uno tiene ${\ Displaystyle a \ in A}$ ${\ displaystyle v \ in {\ overrightarrow {A}}}$

{\ Displaystyle f (a + v) = f (a) + {\ overrightarrow {f}} (v).}

Por lo tanto, dado que para cualquier $b$ dado en $A$ , $b = a + v$ para un $v$ único , $f$ está completamente definida por su valor en un solo punto y el mapa lineal asociado . ${\ displaystyle {\ overrightarrow {f}}}$

Espacios vectoriales como espacios afines

Todo espacio vectorial $V$ puede considerarse como un espacio afín sobre sí mismo. Esto significa que cada elemento de $V$ puede considerarse como un punto o como un vector. Este espacio afín a veces se denota $(V, V)$ para enfatizar el doble papel de los elementos de $V$ . Cuando se considera como un punto, el vector cero comúnmente se denota $o$ (u $O$ , cuando se usan letras mayúsculas para los puntos) y se llama origen .

Si $A$ es otro espacio afín en el mismo espacio de vector (que es ) la elección de cualquier punto $una$ en $A$ define un isomorfismo afín único, que es la identidad de $V$ y los mapas de $un$ a $o$ . Es decir, la elección de un origen $a$ en $A$ nos permite identificar $A$ y $($ $V$ $,$ $V$ $)$ hasta un isomorfismo canónico . La contraparte de esta propiedad es que el espacio afín $A$ puede identificarse con el espacio vectorial $V$ en el que "se ha olvidado el lugar del origen". ${\ displaystyle V = {\ overrightarrow {A}}}$

Relación con los espacios euclidianos

Definición de espacios euclidianos

Los espacios euclidianos (incluida la línea unidimensional, el plano bidimensional y el espacio tridimensional comúnmente estudiado en geometría elemental, así como los análogos de dimensiones superiores) son espacios afines.

De hecho, en la mayoría de las definiciones modernas, un espacio euclidiano se define como un espacio afín, de modo que el espacio vectorial asociado es un espacio de producto interno real de dimensión finita, es decir, un espacio vectorial sobre los reales con una forma cuadrática definida positiva $q (x)$ . El producto interno de dos vectores $x$ y $y$ es el valor de la forma bilineal simétrica

{\ Displaystyle x \ cdot y = {\ frac {1} {2}} (q (x + y) -q (x) -q (y)).}

La distancia euclidiana habitual entre dos puntos $A$ y $B$ es

{\ Displaystyle d (A, B) = {\ sqrt {q (BA)}}.}

En la definición anterior de espacios euclidianos mediante geometría sintética , los vectores se definen como clases de equivalencia de pares ordenados de puntos bajo equipollencia (los pares $(A, B)$ y $(C, D)$ son equipollentes si los puntos $A, B, D, C$ ( en este orden) forman un paralelogramo ). Es sencillo verificar que los vectores forman un espacio vectorial, el cuadrado de la distancia euclidiana es una forma cuadrática en el espacio de vectores y las dos definiciones de espacios euclidianos son equivalentes.

Propiedades afines

En geometría euclidiana , la frase común " propiedad afín " se refiere a una propiedad que puede demostrarse en espacios afines, es decir, puede demostrarse sin utilizar la forma cuadrática y su producto interno asociado. En otras palabras, una propiedad afín es una propiedad que no implica longitudes ni ángulos. Los ejemplos típicos son el paralelismo y la definición de tangente . Un no ejemplo es la definición de normal .

De manera equivalente, una propiedad afín es una propiedad que es invariante bajo transformaciones afines del espacio euclidiano.

Combinaciones afines y baricentro

Dejar que $un 1, ..., un n$ ser una colección de $n$ puntos en un espacio afín, y ser $n$ elementos del campo de tierra . ${\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n}}$

Supongamos eso . Para cualquier par de puntos $o$ y $o'$ uno tiene ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} + \ puntos + \ lambda _ {n} = 0}$

{\ Displaystyle \ lambda _ {1} {\ overrightarrow {oa_ {1}}} + \ dots + \ lambda _ {n} {\ overrightarrow {oa_ {n}}} = \ lambda _ {1} {\ overrightarrow { o'a_ {1}}} + \ puntos + \ lambda _ {n} {\ overrightarrow {o'a_ {n}}}.}

Por tanto, esta suma es independiente de la elección del origen, y el vector resultante se puede denotar

{\ Displaystyle \ lambda _ {1} a_ {1} + \ dots + \ lambda _ {n} a_ {n}.}

Cuando , se recupera la definición de la resta de puntos. ${\ Displaystyle n = 2, \ lambda _ {1} = 1, \ lambda _ {2} = - 1}$

Supongamos ahora, en cambio, que los elementos de campo satisfacen . Para alguna elección de un origen $o$ , denotar por el punto único tal que ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} + \ puntos + \ lambda _ {n} = 1}$ ${\ Displaystyle g}$

{\ displaystyle \ lambda _ {1} {\ overrightarrow {oa_ {1}}} + \ dots + \ lambda _ {n} {\ overrightarrow {oa_ {n}}} = {\ overrightarrow {og}}.}

Se puede demostrar que es independiente de la elección de $o$ . Por tanto, si ${\ Displaystyle g}$

{\ Displaystyle \ lambda _ {1} + \ puntos + \ lambda _ {n} = 1,}

uno puede escribir

{\ Displaystyle g = \ lambda _ {1} a_ {1} + \ dots + \ lambda _ {n} a_ {n}.}

El punto se llama baricentro de los pesos . Se dice también que es una combinación afín de los coeficientes con . ${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle a_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {i}}$ ${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle a_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {i}}$

Ejemplos de

Cuando los niños encuentran las respuestas a sumas como $4 + 3$ o $4 - 2$ contando hacia la derecha o hacia la izquierda en una recta numérica , están tratando la recta numérica como un espacio afín unidimensional.
Cualquier clase lateral de un subespacio $V$ de un espacio vectorial es un espacio afín sobre ese subespacio.
Si $T$ es una matriz y $b se$ encuentra en su espacio columna , el conjunto de soluciones de la ecuación $T x = b$ es un espacio afín sobre el subespacio de soluciones de $T x = 0$ .
Las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea forman un espacio afín sobre las soluciones de la ecuación lineal homogénea correspondiente.
Generalizando todo lo anterior, si $T : V \to W$ es un mapeo lineal y $y$ está en su imagen, el conjunto de soluciones $x \in V$ a la ecuación $T x = y$ es una clase lateral del núcleo de $T$ , y por lo tanto es una espacio afín sobre $Ker T$ .
El espacio de subespacios complementarios (lineales) de un subespacio vectorial $V$ en un espacio vectorial $W$ es un espacio afín, sobre $Hom (W / V, V)$ . Es decir, si $0 \to V \to W \to X \to 0$ es una secuencia corta exacta de espacios vectoriales, entonces el espacio de todas las divisiones de la secuencia exacta lleva naturalmente la estructura de un espacio afín sobre $Hom (X, V)$ .

Alcance y bases afines

Para cualquier subconjunto $X$ de un espacio afín $A$ , hay un subespacio afín más pequeño que lo contiene, llamado el lapso afín de $X$ . Es la intersección de todos los subespacios afines que contienen $X$ , y su dirección es la intersección de las direcciones de los subespacios afines que contienen $X$ .

El lapso afín de $X$ es el conjunto de los (finito) afín combinaciones de puntos de $X$ , y su dirección es la envolvente lineal de la $x - y$ para $x$ y $y$ en $X$ . Si se elige un punto en particular $x 0$ , la dirección de la envergadura afín de $X$ es también la envolvente lineal de la $x - x 0$ para $x$ en $X$ .

Se dice también que el tramo afín de $X$ es generado por $X$ y que $X$ es un conjunto generador de su tramo afín.

Se dice que un conjunto $X$ de puntos de un espacio afín esaffinely independiente o, simplemente,independiente, si el lapso afín de cualquiersubconjunto estrictode $X$ es un subconjunto estricto de la extensión afín de $X$ . UnLa base afín o elmarco baricéntrico(ver§ Coordenadas baricéntricas, más abajo) de un espacio afín es un conjunto generador que también es independiente (es decir, un conjunto generador mínimo).

Recuerde que la dimensión de un espacio afín es la dimensión de su espacio vectorial asociado. Las bases de un espacio afín de dimensión finita $n$ son los subconjuntos independientes de $n + 1$ elementos o, de manera equivalente, los subconjuntos generadores de $n + 1$ elementos. De manera equivalente, ${x 0, ..., x n$ } es una base afín de un espacio afín si y solo si ${x 1 - x 0, ..., x n - x 0$ } es una base lineal del vector asociado espacio.

Coordenadas

Hay dos tipos de sistemas de coordenadas fuertemente relacionados que pueden definirse en espacios afines.

Coordenadas baricéntricas

Deje que $A$ sea un espacio afín de dimensión $n$ sobre un campo $k$ , y sea una base afín de $A$ . Las propiedades de una base afín implican que por cada $x$ en $A$ hay un único $($ $n$ $+ 1)$ - tupla de elementos de $k$ de tal manera que ${\ Displaystyle \ {x_ {0}, \ dots, x_ {n} \}}$ ${\ Displaystyle (\ lambda _ {0}, \ dots, \ lambda _ {n})}$

{\ Displaystyle \ lambda _ {0} + \ puntos + \ lambda _ {n} = 1}

y

{\ Displaystyle x = \ lambda _ {0} x_ {0} + \ dots + \ lambda _ {n} x_ {n}.}

Se denominan coordenadas baricéntricas de $x$ sobre la base afín . Si las $x$ $i$ se ven como cuerpos que tienen pesos (o masas) , el punto $x$ es, por tanto, el baricentro de la $x$ $i$ , y esto explica el origen del término coordenadas baricéntricas . ${\ Displaystyle \ lambda _ {i}}$ ${\ Displaystyle \ {x_ {0}, \ dots, x_ {n} \}}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {i}}$

Las coordenadas baricéntricas definen un isomorfismo afín entre el espacio afín $A$ y el subespacio afín de $k n + 1$ definido por la ecuación . ${\ Displaystyle \ lambda _ {0} + \ puntos + \ lambda _ {n} = 1}$

Para espacios afines de dimensión infinita, se aplica la misma definición, utilizando solo sumas finitas. Esto significa que para cada punto, solo un número finito de coordenadas es distinto de cero.

Coordenadas afines

Un marco afín de un espacio afín consta de un punto, llamado origen , y una base lineal del espacio vectorial asociado. Más precisamente, para un espacio afín $A$ con espacio vectorial asociado , el origen $o$ pertenece a $A$ , y la base lineal es una base $($ $v$ $1$ $, ...,$ $v$ $n$ $)$ de (para simplificar la notación, consideramos solo el caso de dimensión finita, el caso general es similar). ${\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}$

Para cada punto $p$ de $A$ , hay una secuencia única de elementos del campo de tierra tal que ${\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n}}$

{\ Displaystyle p = o + \ lambda _ {1} v_ {1} + \ dots + \ lambda _ {n} v_ {n},}

o equivalente

{\ Displaystyle {\ overrightarrow {op}} = \ lambda _ {1} v_ {1} + \ dots + \ lambda _ {n} v_ {n}.}

Se denominan coordenadas afines de $p$ sobre el marco afín $($ $o$ $,$ $v$ $1$ $, ...,$ $v$ $n$ $)$ . ${\ Displaystyle \ lambda _ {i}}$

Ejemplo: En geometría euclidiana , las coordenadas cartesianas son coordenadas afines relativas a un marco ortonormal , es decir, un marco afín $(o, v 1, ..., v n)$ tal que $(v 1, ..., v n)$ es un base ortonormal .

Relación entre coordenadas baricéntricas y afines

Las coordenadas baricéntricas y las coordenadas afines están estrechamente relacionadas y pueden considerarse equivalentes.

De hecho, dado un marco baricéntrico

{\ Displaystyle (x_ {0}, \ dots, x_ {n}),}

se deduce inmediatamente el marco afín

{\ displaystyle (x_ {0}, {\ overrightarrow {x_ {0} x_ {1}}}, \ dots, {\ overrightarrow {x_ {0} x_ {n}}}) = \ left (x_ {0} , x_ {1} -x_ {0}, \ dots, x_ {n} -x_ {0} \ right),}

y si

{\ Displaystyle \ left (\ lambda _ {0}, \ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n} \ right)}

son las coordenadas baricéntricas de un punto sobre el marco baricéntrico, entonces las coordenadas afines del mismo punto sobre el marco afín son

{\ Displaystyle \ left (\ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n} \ right).}

Por el contrario, si

{\ Displaystyle \ left (o, v_ {1}, \ dots, v_ {n} \ right)}

es un marco afín, entonces

{\ Displaystyle \ left (o, o + v_ {1}, \ dots, o + v_ {n} \ right)}

es un marco baricéntrico. Si

{\ Displaystyle \ left (\ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n} \ right)}

son las coordenadas afines de un punto sobre el marco afín, entonces sus coordenadas baricéntricas sobre el marco baricéntrico son

{\ Displaystyle \ left (1- \ lambda _ {1} - \ dots - \ lambda _ {n}, \ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n} \ right).}

Por lo tanto, las coordenadas baricéntricas y afines son casi equivalentes. En la mayoría de las aplicaciones, se prefieren las coordenadas afines, ya que implican menos coordenadas independientes. Sin embargo, en las situaciones en las que los puntos importantes del problema estudiado son independientes de la afinidad, las coordenadas baricéntricas pueden conducir a un cálculo más simple, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo del triangulo

Los vértices de un triángulo no plano forman una base afín del plano euclidiano . Las coordenadas baricéntricas permiten una fácil caracterización de los elementos del triángulo que no involucran ángulos ni distancia:

Los vértices son los puntos de coordenadas baricéntricas $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ y $(0, 0, 1)$ . Las líneas que sostienen los bordes son los puntos que tienen una coordenada cero. Los propios bordes son los puntos que tienen una coordenada cero y dos coordenadas no negativas. El interior del triángulo son los puntos cuyas coordenadas son positivas. Las medianas son los puntos que tienen dos coordenadas iguales y el centroide es el punto de coordenadas $(.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1/3, 1/3, 1/3)$ .

Cambio de coordenadas

Caso de coordenadas afines

Caso de coordenadas baricéntricas

Propiedades de los homomorfismos afines

Representación matricial

Imagen y fibras

Dejar

{\ Displaystyle f \ colon E \ to F}

ser un homomorfismo afín, con

{\ displaystyle {\ overrightarrow {f}} \ colon {\ overrightarrow {E}} \ to {\ overrightarrow {F}}}

como mapa lineal asociado.

La imagen de $f$ es el subespacio afín $f (E)$ de $F$ , que tiene como espacio vectorial asociado. Como un espacio afín no tiene un elemento cero , un homomorfismo afín no tiene núcleo . Sin embargo, para cualquier punto $x$ de $f$ $($ $E$ $)$ , la imagen inversa $f$ $-1$ $($ $x$ $)$ de $x$ es un subespacio afín de $E$ , de dirección . Este subespacio afín se llama fibra de $x$ . ${\ displaystyle {\ overrightarrow {f}} ({\ overrightarrow {E}})}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {f}} ^ {- 1} ({\ overrightarrow {F}})}$

Proyección

Un ejemplo importante es la proyección paralela a alguna dirección en un subespacio afín. La importancia de este ejemplo radica en el hecho de que los espacios euclidianos son espacios afines, y que este tipo de proyecciones es fundamental en la geometría euclidiana .

Más precisamente, dado un espacio afín $E$ con espacio vectorial asociado , sea $F$ un subespacio afín de dirección y $D$ un subespacio complementario de in (esto significa que cada vector de puede descomponerse de una manera única como la suma de un elemento de y un elemento de $D$ ). Para cada punto $x$ de $E$ , su proyección a $F$ paralela a $D$ es el único punto $p$ $($ $x$ $)$ en $F$ tal que ${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$

{\ Displaystyle p (x) -x \ en D.}

Este es un homomorfismo afín cuyo mapa lineal asociado está definido por ${\ displaystyle {\ overrightarrow {p}}}$

{\ Displaystyle {\ overrightarrow {p}} (xy) = p (x) -p (y),}

para $x$ e $y$ en $E$ .

La imagen de esta proyección es $F$ , y sus fibras son los subespacios de dirección $D$ .

Espacio cociente

Aunque los núcleos no están definidos para espacios afines, los espacios de cociente sí están definidos. Esto resulta del hecho de que "pertenecer a la misma fibra de un homomorfismo afín" es una relación de equivalencia.

Sea $E$ un espacio afín y $D$ un subespacio lineal del espacio vectorial asociado . El cociente $E$ $/$ $D$ de $E$ por $D$ es el cociente de $E$ por la relación de equivalencia de tal manera que $x$ y $y$ son equivalentes si ${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}}$

{\ Displaystyle xy \ in D.}

Este cociente es un espacio afín, que tiene como espacio vectorial asociado. ${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}} / D}$

Para cada homomorfismo afín , la imagen es isomorfa al cociente de $E$ por el núcleo del mapa lineal asociado. Este es el primer teorema de isomorfismo para espacios afines. ${\ Displaystyle E \ a F}$

Transformacion afin

Axiomas

Los espacios afines generalmente se estudian mediante geometría analítica utilizando coordenadas o, de manera equivalente, espacios vectoriales. También se pueden estudiar como geometría sintética escribiendo axiomas, aunque este enfoque es mucho menos común. Hay varios sistemas diferentes de axiomas para el espacio afín.

Coxeter (1969 , p. 192) axiomatiza el caso especial de geometría afín sobre los reales como geometría ordenada junto con una forma afín del teorema de Desargues y un axioma que establece que en un plano hay como máximo una línea que pasa por un punto dado que no se encuentra con un línea dada.

Los planos afines satisfacen los siguientes axiomas ( Cameron 1991 , capítulo 2): (en el que dos líneas se denominan paralelas si son iguales o disjuntas):

Dos puntos distintos se encuentran en una línea única.
Dado un punto y una línea, hay una línea única que contiene el punto y es paralela a la línea.
Existen tres puntos no colineales.

Además de planos afines sobre campos (o anillos de división ), también hay muchos planos no desarguesianos que satisfacen estos axiomas. ( Cameron 1991 , capítulo 3) da axiomas para espacios afines de dimensiones superiores.

La geometría afín puramente axiomática es más general que los espacios afines y se trata en un artículo aparte .

Relación con los espacios proyectivos

Un espacio afín es un subespacio de un espacio proyectivo, que a su vez es el cociente de un espacio vectorial por una relación de equivalencia (no por un subespacio lineal)

Los espacios afines están contenidos en espacios proyectivos . Por ejemplo, un plano afín se puede obtener de cualquier plano proyectivo quitando una línea y todos los puntos en él, y a la inversa, cualquier plano afín se puede usar para construir un plano proyectivo como cierre agregando una línea en el infinito cuyos puntos corresponden a clases de equivalencia de líneas paralelas . Construcciones similares se mantienen en dimensiones más altas.

Además, las transformaciones del espacio proyectivo que preservan el espacio afín (de manera equivalente, que dejan el hiperplano en el infinito invariante como un conjunto ) producen transformaciones del espacio afín. Por el contrario, cualquier transformación lineal afín se extiende únicamente a una transformación lineal proyectiva, por lo que el grupo afín es un subgrupo del grupo proyectivo . Por ejemplo, las transformaciones de Möbius (transformaciones de la línea proyectiva compleja o esfera de Riemann ) son afines (transformaciones del plano complejo) si y solo si fijan el punto en el infinito .

Geometría algebraica afín

En geometría algebraica , una variedad afín (o, más generalmente, un conjunto algebraico afín ) se define como el subconjunto de un espacio afín que es el conjunto de ceros comunes de un conjunto de las llamadas funciones polinomiales sobre el espacio afín . Para definir una función polinomial sobre el espacio afín , uno tiene que elegir un marco afín . Entonces, una función polinomial es una función tal que la imagen de cualquier punto es el valor de alguna función polinomial multivariante de las coordenadas del punto. Como un cambio de coordenadas afines puede expresarse mediante funciones lineales (más precisamente funciones afines) de las coordenadas, esta definición es independiente de una elección particular de coordenadas.

La elección de un sistema de coordenadas afines para un espacio afín de dimensión $n$ sobre un campo $k$ induce un isomorfismo afín entre y el espacio de coordenadas afín $k$ $n$ . Esto explica por qué, para simplificar, muchos libros de texto escriben e introducen variedades algebraicas afines como ceros comunes de funciones polinomiales sobre $k$ $n$ . ${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {n} = k ^ {n}}$

Como todo el espacio afín es el conjunto de los ceros comunes del polinomio cero , los espacios afines son variedades algebraicas afines.

Anillo de funciones polinomiales

Según la definición anterior, la elección de un marco afín de un espacio afín permite identificar las funciones polinomiales con polinomios en $n$ variables, la i- ésima variable representa la función que asigna un punto a su $i-$ ésima coordenada. De ello se deduce que el conjunto de funciones polinomiales sobre es un $k$ -álgebra , denotado , que es isomorfo al anillo polinomial . ${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle k \ left [\ mathbb {A} _ {k} ^ {n} \ right]}$ ${\ Displaystyle k \ left [X_ {1}, \ dots, X_ {n} \ right]}$

Cuando uno cambia de coordenadas, el isomorfismo entre y cambia en consecuencia, y esto induce un automorfismo de , que mapea cada indeterminado a un polinomio de grado uno. De ello se deduce que el grado total define una filtración de , que es independiente de la elección de coordenadas. El grado total también define una graduación , pero depende de la elección de coordenadas, ya que un cambio de coordenadas afines puede mapear indeterminados en polinomios no homogéneos . ${\ Displaystyle k \ left [\ mathbb {A} _ {k} ^ {n} \ right]}$ ${\ Displaystyle k [X_ {1}, \ dots, X_ {n}]}$ ${\ Displaystyle k \ left [X_ {1}, \ dots, X_ {n} \ right]}$ ${\ Displaystyle k \ left [\ mathbb {A} _ {k} ^ {n} \ right]}$

Topología de Zariski

Los espacios afines sobre campos topológicos , como los números reales o complejos, tienen una topología natural . La topología de Zariski, que se define para espacios afines sobre cualquier campo, permite el uso de métodos topológicos en cualquier caso. La topología de Zariski es la topología única en un espacio afín cuyos conjuntos cerrados son conjuntos algebraicos afines (es decir, conjuntos de ceros comunes de funciones polinomiales sobre el conjunto afín). Como, en un campo topológico, las funciones polinomiales son continuas, cada conjunto cerrado de Zariski está cerrado para la topología habitual, si existe. En otras palabras, en un campo topológico, la topología de Zariski es más burda que la topología natural.

Existe una función inyectiva natural de un espacio afín al conjunto de ideales primos (que es el espectro ) de su anillo de funciones polinomiales. Cuando se han elegido coordenadas afines, esta función asigna el punto de coordenadas al ideal máximo . Esta función es un homeomorfismo (para la topología de Zariski del espacio afín y del espectro del anillo de funciones polinomiales) del espacio afín sobre la imagen de la función. ${\ Displaystyle \ left (a_ {1}, \ dots, a_ {n} \ right)}$ ${\ Displaystyle \ left \ langle X_ {1} -a_ {1}, \ dots, X_ {n} -a_ {n} \ right \ rangle}$

El caso de un campo de suelo algebraicamente cerrado es especialmente importante en geometría algebraica, porque, en este caso, el homeomorfismo anterior es un mapa entre el espacio afín y el conjunto de todos los ideales máximos del anillo de funciones (este es el Nullstellensatz de Hilbert ).

Ésta es la idea de partida de la teoría de esquemas de Grothendieck , que consiste, para el estudio de las variedades algebraicas, en considerar como "puntos" no sólo los puntos del espacio afín, sino también todos los ideales primos del espectro. Esto permite pegar variedades algebraicas de una manera similar a como, para las variedades , los gráficos se pegan para construir una variedad.

Cohomología

Como todas las variedades afines, los datos locales sobre un espacio afín siempre se pueden unir globalmente: la cohomología del espacio afín es trivial. Más precisamente, para todas las poleas F coherentes y números enteros . Esta propiedad también la disfrutan todas las demás variedades afines . Pero también todos los grupos de étale cohomology sobre el espacio afín son triviales. En particular, cada paquete de líneas es trivial. De manera más general, el teorema de Quillen-Suslin implica que todo paquete de vectores algebraicos en un espacio afín es trivial. ${\ Displaystyle H ^ {i} \ left (\ mathbb {A} _ {k} ^ {n}, \ mathbf {F} \ right) = 0}$ ${\ Displaystyle i> 0}$

Ver también

Casco afín: subespacio afín más pequeño que contiene un subconjunto
Espacio afín complejo: espacio afín sobre los números complejos
Espacio afín exótico: espacio afín real de dimensión uniforme que no es isomorfo a un espacio afín complejo
Espacio (matemáticas) : conjunto matemático con alguna estructura agregada

Notas

Referencias

Berger, Marcel (1984), "Espacios afines" , Problemas de geometría , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90971-4
Berger, Marcel (1987), Geometry I , Berlín: Springer, ISBN 3-540-11658-3
Cameron, Peter J. (1991), espacios proyectivos y polares , QMW Maths Notes, 13 , Londres: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019
Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introducción a la geometría (2a ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
Dolgachev, IV ; Shirokov, AP (2001) [1994], "Affine space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90244-9. Zbl 0367.14001 .
Nomizu, K .; Sasaki, S. (1994), Affine Differential Geometry (Nueva ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3
Pargo, Ernst; Troyer, Robert J. (1989), Metric Affine Geometry (edición de Dover, publicada por primera vez en 1989 ed.), Publicaciones de Dover, ISBN 0-486-66108-3
Reventós Tarrida, Agustí (2011), "Espacios afines", Mapas afines, Movimientos euclidianos y cuadrículas , Springer, ISBN 978-0-85729-709-9

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