Cierre (matemáticas) - Closure (mathematics)

Para otros usos, consulte Cierre (desambiguación) .

En matemáticas, un conjunto se cierra bajo una operación si realizar esa operación en miembros del conjunto siempre produce un miembro de ese conjunto. Por ejemplo, los enteros positivos se cierran bajo suma, pero no bajo resta: 1 - 2 no es un entero positivo aunque tanto 1 como 2 son enteros positivos. Otro ejemplo es el conjunto que contiene solo cero, que se cierra bajo suma, resta y multiplicación (porque0 + 0 = 0, 0-0 = 0, y 0 × 0 = 0).

De manera similar, se dice que un conjunto está cerrado bajo una colección de operaciones si está cerrado bajo cada una de las operaciones individualmente.

Propiedades básicas

Se dice que un conjunto que está cerrado bajo una operación o colección de operaciones satisface una propiedad de cierre . A menudo, una propiedad de cierre se introduce como axioma , que por lo general se denomina axioma de cierre . Las definiciones modernas de la teoría de conjuntos generalmente definen operaciones como mapas entre conjuntos, por lo que agregar cierre a una estructura como axioma es superfluo; sin embargo, en la práctica, las operaciones a menudo se definen inicialmente en un superconjunto del conjunto en cuestión y se requiere una prueba de cierre para establecer que la operación aplicada a pares de ese conjunto solo produce miembros de ese conjunto. Por ejemplo, el conjunto de enteros pares se cierra bajo suma, pero el conjunto de enteros impares no.

Cuando un conjunto S no está cerrado en algunas operaciones, normalmente se puede encontrar el conjunto más pequeño que contiene S que está cerrado. Este conjunto cerrado más pequeño se llama cierre de S (con respecto a estas operaciones). Por ejemplo, el cierre bajo sustracción del conjunto de números naturales, visto como un subconjunto de los números reales, es el conjunto de números enteros . Un ejemplo importante es el del cierre topológico . La noción de cierre es generalizada por la conexión de Galois , y más adelante por las mónadas .

El conjunto S debe ser un subconjunto de un conjunto cerrado para que se defina el operador de cierre. En el ejemplo anterior, es importante que los reales se cierren mediante sustracción; en el dominio de los números naturales la resta no siempre está definida.

Los dos usos de la palabra "cierre" no deben confundirse. El primer uso se refiere a la propiedad de estar cerrado, y el segundo se refiere al conjunto cerrado más pequeño que contiene uno que no puede estar cerrado. En resumen, el cierre de un conjunto satisface una propiedad de cierre.

Conjuntos cerrados

Un conjunto se cierra en una operación si la operación devuelve un miembro del conjunto cuando se evalúa en miembros del conjunto. En ocasiones se establece explícitamente el requisito de que la operación se valore en un conjunto, en cuyo caso se lo conoce como axioma de cierre . Por ejemplo, se puede definir un grupo como un conjunto con un operador de producto binario que obedece a varios axiomas, incluido el axioma de que el producto de dos elementos cualesquiera del grupo es nuevamente un elemento. Sin embargo, la definición moderna de una operación hace que este axioma sea superfluo; una operación n -aria en S es solo un subconjunto de S n +1 . Por su propia definición, un operador en un conjunto no puede tener valores fuera del conjunto.

Sin embargo, la propiedad de cierre de un operador en un set todavía tiene alguna utilidad. El cierre de un conjunto no implica necesariamente el cierre de todos los subconjuntos. Así, un subgrupo de un grupo es un subconjunto en el que el producto binario y la operación unaria de inversión satisfacen el axioma de cierre.

Una operación de diferente tipo es la de encontrar los puntos límite de un subconjunto de un espacio topológico . Un conjunto cerrado en esta operación se suele denominar conjunto cerrado en el contexto de la topología . Sin más matices, la frase suele significar cerrado en este sentido. Los intervalos cerrados como [1,2] = { x  : 1 ≤ x ≤ 2} son cerrados en este sentido.

Un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es un conjunto cerrado hacia abajo (también llamado conjunto inferior ) si para cada elemento del subconjunto, todos los elementos más pequeños también están en el subconjunto. Esto se aplica, por ejemplo, a los intervalos reales (−∞,  p ) y (−∞,  p ], y para un número ordinal p representado como intervalo [0,  p ). Todo conjunto cerrado descendente de números ordinales es en sí mismo un número ordinal. Los conjuntos cerrados hacia arriba (también llamados conjuntos superiores) se definen de manera similar.

Ejemplos de

Operador de cierre

Artículo principal: operador de cierre

Dada una operación en un conjunto X , se puede definir el cierre C ( S ) de un subconjunto S de X como el subconjunto más pequeño cerrado bajo esa operación que contiene S como un subconjunto, si existen tales subconjuntos. En consecuencia, C ( S ) es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen S . Por ejemplo, el cierre de un subconjunto de un grupo es el subgrupo generado por ese conjunto.

El cierre de los conjuntos con respecto a alguna operación define un operador cierre en los subconjuntos de X . Los conjuntos cerrados se pueden determinar a partir del operador de cierre; un conjunto está cerrado si es igual a su propio cierre. Las propiedades estructurales típicas de todas las operaciones de cierre son:

  • El cierre es creciente o extenso : el cierre de un objeto contiene al objeto.
  • El cierre es idempotente : el cierre del cierre es igual al cierre.
  • El cierre es monótono , es decir, si X está contenido en Y , entonces también C ( X ) está contenido en C ( Y ).

Un objeto que tiene su propio cierre se llama cerrado . Por idempotencia, un objeto se cierra si y solo si es el cierre de algún objeto.

Estas tres propiedades definen un operador de cierre abstracto . Normalmente, un cierre abstracto actúa sobre la clase de todos los subconjuntos de un conjunto.

Si X está contenido en un conjunto cerrado bajo la operación, entonces cada subconjunto de X tiene un cierre.

Cierres de relaciones binarias

Consideremos en primer lugar las relaciones homogéneas R ⊆ A × A . Si una relación S satisface aSb ⇒ bSa , entonces es una relación simétrica . Una relación homogénea arbitraria R puede no ser simétrica pero siempre está contenida en alguna relación simétrica: R ⊆ S . La operación de búsqueda de los más pequeños tales S corresponde a un operador de cierre llama clausura simétrica .

Una relación transitiva T satisface aTb ∧ bTc ⇒ aTc . Una relación homogénea arbitraria R puede no ser transitiva pero siempre está contenida en alguna relación transitiva: R ⊆ T . La operación de búsqueda de los más pequeños tales T corresponde a un operador de cierre llama clausura transitiva .

Entre las relaciones heterogéneas hay propiedades de difuncionalidad y contacto que conducen al cierre difuncional y al cierre del contacto . La presencia de estos operadores de cierre en relaciones binarias conduce a la topología, ya que los axiomas de conjunto abierto pueden ser reemplazados por axiomas de cierre de Kuratowski . Así, cada propiedad P , simetría, transitividad, difuncionalidad o contacto corresponde a una topología relacional.

En la teoría de los sistemas de reescritura , a menudo se utilizan nociones más verbosas como la clausura transitiva reflexiva R * , el preorden más pequeño que contiene R , o la clausura simétrica transitiva reflexiva R ≡ , la relación de equivalencia más pequeña que contiene R , y por lo tanto también conocida como la cierre de equivalencia . Cuando se considera un término álgebra en particular , una relación de equivalencia que es compatible con todas las operaciones del álgebra se llama relación de congruencia . El cierre de la congruencia de R se define como la relación de congruencia más pequeño que contiene R .

Para P y R arbitrarios , no es necesario que exista el cierre P de R. En los ejemplos anteriores, existen porque la reflexividad, la transitividad y la simetría están cerradas bajo intersecciones arbitrarias. En tales casos, el P de cierre puede estar directamente define como la intersección de todos los conjuntos con propiedad P que contiene R .

Algunos cierres particulares importantes se pueden obtener constructivamente de la siguiente manera:

  • cl ref ( R ) = R ∪ {⟨ x , x ⟩: x ∈ S } es la clausura reflexiva de R ,
  • cl sym ( R ) = R ∪ {⟨ y , x ⟩: ⟨ x , y ⟩ ∈ R } es su cierre simétrica,
  • cl trn ( R ) = R ∪ {⟨ x 1 , x n ⟩: n > 1 ∧ ⟨ x 1 , x 2 ⟩, ..., ⟨ x n -1 , x n ⟩ ∈ R } es su cierre transitivo ,
  • cl emb, Σ ( R ) = R ∪ {⟨ f ( x 1 , ..., x i -1 , x i , x i 1 , ..., xi n ), f ( x 1 , ..., x i -1 , y , xi i 1 , ..., x n )⟩: ⟨ x i , y ⟩ ∈ R ∧ f ∈ Σ n ary ∧ 1 ≤ i ≤ n ∧ x 1 , ..., x n ∈ S } es su incrustación de cierre con respecto a un conjunto dado Σ de operaciones en S , cada una con una aridad fija.

Se dice que la relación R tiene cierre bajo algún cl xxx , si R = cl xxx ( R ); por ejemplo, R se llama simétrico si R = cl sym ( R ).

Cualquiera de estos cuatro cierres conserva la simetría, es decir, si R es simétrico, también lo es cualquier cl xxx ( R ). Del mismo modo, los cuatro conservan la reflexividad. Además, cl trn conserva el cierre bajo cl emb, Σ para Σ arbitrario. Como consecuencia, el cierre de equivalencia de una relación binaria arbitraria R se puede obtener como cl trn ( cl sym ( cl ref ( R ))), y el cierre de congruencia con respecto a algunos Σ se puede obtener como cl trn ( cl emb, Σ ( cl sym ( cl ref ( R )))). En el último caso, el orden de anidación sí importa; por ejemplo, si S es el conjunto de términos sobre Σ = { a , b , c , f } y R = {⟨ un , b ⟩, ⟨ f ( b ), c ⟩}, entonces el par ⟨ f ( un ), c ⟩ Está contenido en el cierre de congruencia cl trn ( cl emb, Σ ( cl sym ( cl ref ( R )))) de R , pero no en la relación cl emb, Σ ( cl trn ( cl sym ( cl ref ( R ) ))).

Ver también

Notas

Referencias