Variedad afín - Affine variety

En geometría algebraica , una variedad afín , o variedad algebraica afín , sobre un campo algebraicamente cerrado k es el lugar geométrico cero en el espacio afín k ⁿ de alguna familia finita de polinomios de n variables con coeficientes en k que generan un ideal primo . Si se elimina la condición de generar un ideal primo, dicho conjunto se denomina conjunto algebraico (afín) . Una subvariedad abierta de Zariski de una variedad afín se denomina variedad cuasi afín .

Algunos textos no requieren un ideal primo y llaman irreductible a una variedad algebraica definida por un ideal primo. Este artículo se refiere a loci cero de ideales no necesariamente primos como conjuntos algebraicos afines .

En algunos contextos, es útil distinguir el campo k en el que se consideran los coeficientes, del campo K algebraicamente cerrado (que contiene k ) sobre el que se considera el lugar geométrico cero (es decir, los puntos de la variedad afín están en K ⁿ ). En este caso, la variedad se dice definida sobre k , y los puntos de la variedad que pertenecen a k ⁿ se dicen k -racionales o racionales sobre k . En el caso común donde k es el campo de números reales , un punto k -racional se llama punto real . Cuando no se especifica el campo k , un punto racional es un punto que es racional sobre los números racionales . Por ejemplo, el último teorema de Fermat afirma que la variedad algebraica afín (es una curva) definida por x ⁿ  +  y ⁿ  - 1 = 0 no tiene puntos racionales para ningún número entero n mayor que dos.

Introducción

Un conjunto algebraico afín es el conjunto de soluciones en un campo k algebraicamente cerrado de un sistema de ecuaciones polinómicas con coeficientes en k . Más precisamente, si son polinomios con coeficientes en k , definen un conjunto algebraico afín ${\ Displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {m}}$

${\ Displaystyle V (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}) = \ left \ {(a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ in k ^ {n} \; | \; f_ {1} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ ldots = f_ {m} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = 0 \ right \}.}$

Una variedad afín (algebraica) es un conjunto algebraico afín que no es la unión de dos subconjuntos algebraicos afines propios. A menudo se dice que un conjunto algebraico tan afín es irreducible .

Si X es un conjunto algebraico afín e I es el ideal de todos los polinomios que son cero en X , entonces el anillo del cociente se llama${\ Displaystyle R = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] / I}$ coordinar anillo deX. SiXes una variedad afín, entoncesIes primo, por lo que el anillo de coordenadas es un dominio integral. Los elementos del anillo de coordenadasRtambién se denominanfunciones regularesofunciones polinomialesde la variedad. Forman elanillo de funciones regulares en la variedad o, simplemente, elanillo de la variedad; en otras palabras (ver#structure gavilla), es el espacio de las secciones globales de la gavilla estructura de laX.

La dimensión de una variedad es un número entero asociado a cada variedad, e incluso a cada conjunto algebraico, cuya importancia depende del gran número de sus definiciones equivalentes (ver Dimensión de una variedad algebraica ).

Ejemplos de

• El complemento de una hipersuperficie en una variedad afín X (es decir, X - { f = 0} para algún polinomio f ) es afín. Sus ecuaciones que definen se obtienen por saturar por f el ideal de definición de X . El anillo de coordenadas es, por tanto, la localización .${\ Displaystyle k [X] [f ^ {- 1}]}$
• En particular, (la línea afín con el origen eliminado) es afín.${\ Displaystyle \ mathbb {C} -0}$
• Por otro lado, (el plano afín con el origen eliminado) no es una variedad afín; cf. Teorema de la extensión de Hartogs .${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2} -0}$
• Las subvariedades de la codimensión uno en el espacio afín son exactamente las hipersuperficies, es decir, las variedades definidas por un solo polinomio.${\ Displaystyle k ^ {n}}$
• La normalización de una variedad afín irreductible es afín; el anillo de coordenadas de la normalización es el cierre integral del anillo de coordenadas de la variedad. (De manera similar, la normalización de una variedad proyectiva es una variedad proyectiva).

Puntos racionales

Para una variedad afín sobre un campo K algebraicamente cerrado , y un subcampo k de K , un punto k - racional de V es un punto Es decir, un punto de V cuyas coordenadas son elementos de k . La colección de k -puntos racionales de una variedad afín V se denota a menudo con frecuencia, si el campo base son los números complejos C , los puntos que son R -racionales (donde R son los números reales ) se denominan puntos reales de la variedad, y Q puntos -racional ( Q los números racionales ) a menudo se llama simplemente puntos racionales . ${\ Displaystyle V \ subseteq K ^ {n}}$${\ Displaystyle p \ in V \ cap k ^ {n}.}$${\ Displaystyle V (k).}$

Por ejemplo, (1, 0) es un punto Q -racional y R -racional de la variedad tal como lo es en V y todas sus coordenadas son números enteros. El punto ( √ 2 /2, √ 2 /2) es un punto real de V que no es Q -racional, y es un punto de V que no es R -racional. Esta variedad se llama círculo , porque el conjunto de sus R -puntos racionales es el círculo unitario . Tiene infinitos puntos Q- racionales que son los puntos ${\ Displaystyle V = V (x ^ {2} + y ^ {2} -1) \ subseteq \ mathbf {C} ^ {2},}$${\ Displaystyle (i, {\ sqrt {2}})}$

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}, {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}} \ right)}$

donde t es un número racional.

El círculo es un ejemplo de una curva algebraica de grado dos que no tiene un punto Q- racional. Esto se puede deducir del hecho de que, módulo 4 , la suma de dos cuadrados no puede ser 3 . ${\ Displaystyle V (x ^ {2} + y ^ {2} -3) \ subseteq \ mathbf {C} ^ {2}}$

Puede demostrarse que una curva algebraica de grado dos con un punto Q -racional tiene infinitos otros puntos Q -racionales; cada uno de esos puntos es el segundo punto de intersección de la curva y una línea con una pendiente racional que pasa por el punto racional.

La variedad compleja no tiene puntos R -racionales, pero tiene muchos puntos complejos. ${\ Displaystyle V (x ^ {2} + y ^ {2} +1) \ subseteq \ mathbf {C} ^ {2}}$

Si V es una variedad afín en C ² definida sobre los números complejos C , los puntos R -racionales de V se pueden dibujar en una hoja de papel o con un software de gráficos. La figura de la derecha muestra los puntos R -racionales de${\ Displaystyle V (y ^ {2} -x ^ {3} + x ^ {2} + 16x) \ subseteq \ mathbf {C} ^ {2}.}$

Puntos singulares y espacio tangente

Deje V ser una variedad afín definida por los polinomios y ser un punto de V . ${\ Displaystyle f_ {1}, \ dots, f_ {r} \ in k [x_ {1}, \ dots, x_ {n}],}$${\ Displaystyle a = (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$

La matriz jacobiana J _V ( a ) de V en a es la matriz de las derivadas parciales

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial f_ {j}} {\ parcial {x_ {i}}}} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}).}$

El punto a es regular si el rango de J _V ( a ) es igual a la codimensión de V , y singular en caso contrario.

Si a es regular, el espacio tangente a V en a es el subespacio afín de definido por las ecuaciones lineales${\ Displaystyle k ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial f_ {j}} {\ parcial {x_ {i}}}} (a_ {1}, \ puntos, a_ {n} ) (x_ {i} -a_ {i}) = 0, \ quad j = 1, \ dots, r.}$

Si el punto es singular, el subespacio afín definido por estas ecuaciones también es llamado espacio tangente por algunos autores, mientras que otros autores dicen que no hay espacio tangente en un punto singular. Una definición más intrínseca, que no usa coordenadas, viene dada por el espacio tangente de Zariski .

La topología de Zariski

Los conjuntos algebraicos afines de k ⁿ forman los conjuntos cerrados de una topología sobre k ⁿ , denominada topología de Zariski . Esto se sigue del hecho de que y (de hecho, una intersección contable de conjuntos algebraicos afines es un conjunto algebraico afín). ${\ Displaystyle V (0) = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}],}$ ${\ Displaystyle V (1) = \ conjunto vacío,}$ ${\ Displaystyle V (S) \ taza V (T) = V (ST),}$${\ Displaystyle V (S) \ cap V (T) = V (S + T)}$

La topología de Zariski también se puede describir mediante conjuntos abiertos básicos , donde los conjuntos abiertos de Zariski son uniones contables de conjuntos de la forma para. Estos conjuntos abiertos básicos son los complementos en k ⁿ de los loci cero de conjuntos cerrados de un solo polinomio. Si k es noetheriano (por ejemplo, si k es un campo o un dominio ideal principal ), entonces cada ideal de k se genera finitamente, por lo que cada conjunto abierto es una unión finita de conjuntos abiertos básicos. ${\ Displaystyle U_ {f} = \ {p \ in k ^ {n}: f (p) \ neq 0 \}}$${\ Displaystyle f \ in k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}].}$${\ Displaystyle V (f) = D_ {f} = \ {p \ in k ^ {n}: f (p) = 0 \},}$

Si V es una subvariedad afín de k ^n, la topología de Zariski en V es simplemente la topología subespacial heredada de la topología de Zariski en k ⁿ .

Correspondencia geometría-álgebra

La estructura geométrica de una variedad afín está ligada de manera profunda a la estructura algebraica de su anillo de coordenadas. Let I y J ser ideales de k [V] , el anillo de una variedad afín de coordenadas V . Let I (V) como el conjunto de todos los polinomios en que desaparecen en V , y dejar que denotan el radical del ideal I , el conjunto de polinomios f para los que alguna potencia de f es en I . La razón por la que se requiere que el campo base esté algebraicamente cerrado es que las variedades afines satisfacen automáticamente el nullstellensatz de Hilbert : para un ideal J en donde k es un campo algebraicamente cerrado,${\ Displaystyle k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}],}$${\ Displaystyle {\ sqrt {I}}}$${\ Displaystyle k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}],}$${\ Displaystyle I (V (J)) = {\ sqrt {J}}.}$

Ideales radicales (ideales que son su propio radical) de k [V] se corresponden con subconjuntos algebraicas de V . De hecho, para los ideales radicales I y J , si y sólo si Por lo tanto V (I) = V (J) si y sólo si I = J . Además, la función que toma un conjunto algebraico afín W y devuelve I (W) , el conjunto de todas las funciones que también desaparecen en todos los puntos de W , es la inversa de la función que asigna un conjunto algebraico a un ideal radical, por el nullstellensatz. Por tanto, la correspondencia entre conjuntos algebraicos afines e ideales radicales es una biyección. El anillo de coordenadas de un conjunto algebraico afín se reduce (libre de nilpotentes), ya que un I ideal en un anillo R es radical si y solo si el cociente del anillo R / I se reduce. ${\ Displaystyle I \ subseteq J}$${\ Displaystyle V (J) \ subseteq V (I).}$

Los ideales primos del anillo de coordenadas corresponden a subvariedades afines. Un conjunto algebraico afín V (I) puede escribirse como la unión de otros dos conjuntos algebraicos si y solo si I = JK para los ideales propios J y K no son iguales a I (en cuyo caso ). Este es el caso si y solo si no soy primo. Las subvariedades afines son precisamente aquellas cuyo anillo de coordenadas es un dominio integral. Esto se debe a que un ideal es primo si y solo si el cociente del anillo por el ideal es un dominio integral. ${\ Displaystyle V (I) = V (J) \ cup V (K)}$

Ideales maximales de k [V] corresponden a puntos de V . Si I y J son ideales radicales, a continuación, si y sólo si Como ideales maximales son radicales, ideales maximales corresponden a conjuntos mínimos algebraicas (aquellos que no contienen subconjuntos algebraicos apropiados), que son puntos en V . Si V es una variedad afín con anillo de coordenadas, esta correspondencia se vuelve explícita a través del mapa donde denota la imagen en el álgebra cociente R del polinomio Un subconjunto algebraico es un punto si y solo si el anillo de coordenadas del subconjunto es un campo, como el El cociente de un anillo por un ideal máximo es un campo. ${\ Displaystyle V (J) \ subseteq V (I)}$${\ Displaystyle I \ subseteq J.}$${\ Displaystyle R = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] / \ langle f_ {1}, \ ldots, f_ {m} \ rangle,}$${\ Displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ mapsto \ langle {\ overline {x_ {1} -a_ {1}}}, \ ldots, {\ overline {x_ {n} -a_ {n}}} \ rangle,}$${\ Displaystyle {\ overline {x_ {i} -a_ {i}}}}$${\ Displaystyle x_ {i} -a_ {i}.}$

La siguiente tabla resume esta correspondencia, para subconjuntos algebraicos de una variedad afín e ideales del anillo de coordenadas correspondiente:

Tipo de conjunto algebraico	Tipo de ideal	Tipo de anillo de coordenadas
subconjunto algebraico afín	ideal radical	anillo reducido
subvariedad afín	ideal principal	dominio integral
punto	ideal máximo	campo

Productos de variedades afines

Un producto de variedades afines se puede definir usando el isomorfismo A ⁿ  ×  A ^m  =  A ^{n + m} , luego incrustando el producto en este nuevo espacio afín. Supongamos que A ⁿ y A ^m tienen anillos de coordenadas k [ x ₁ , ...,  x _n ] y k [ y ₁ , ...,  y _m ] respectivamente, de modo que su producto A ^{n + m} tiene un anillo de coordenadas k [ x ₁ , ...,  x _n ,  y ₁ , ...,  y _m ] . Sea V  =  V (  f ₁ , ...,  f _N ) un subconjunto algebraico de A ⁿ , y W  =  V (  g ₁ , ...,  g _M ) un subconjunto algebraico de A ^m . Entonces cada f _i es un polinomio en k [ x ₁ , ...,  x _n ] , y cada g _j está en k [ y ₁ , ...,  y _m ] . El producto de V y W se define como el conjunto algebraico V  ×  W  =  V (  f ₁ , ...,  f _N ,  g ₁ , ...,  g _M ) en A ^{n + m} . El producto es irreducible si cada V , W es irreducible.

Es importante señalar que la topología de Zariski en A ⁿ  ×  A ^m  no es el producto topológico de las topologías de Zariski en los dos espacios. De hecho, la topología del producto se genera mediante productos de los conjuntos abiertos básicos U _f  =  A ⁿ  -  V (  f  ) y T _g  =  A ^m  -  V (  g  ). Por lo tanto, los polinomios que se encuentran en k [ x ₁ , ...,  x _n ,  y ₁ , ...,  y _m ] , pero no en k [ x ₁ , ...,  x _n ] o k [ y ₁ ,. ..,  y _m ] definirá conjuntos algebraicos que están en la topología de Zariski en A ⁿ  ×  A ^m  , pero no en la topología del producto.

Morfismos de variedades afines

Un morfismo, o mapa regular, de variedades afines es una función entre variedades afines que es polinomial en cada coordenada: más precisamente, para las variedades afines V ⊆ k ⁿ y W ⊆ k ^m , un morfismo de V a W es un mapa φ  : V → W de la forma φ ( a ₁ , ..., a _n ) = ( f ₁ ( a ₁ , ..., a _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., a _n )), donde f _i ∈ k [ X ₁ , ..., X _n ] para cada i = 1, ..., m . Estos son los morfismos en la categoría de variedades afines.

Existe una correspondencia uno-a-uno entre morfismos de variedades afines sobre un campo algebraicamente cerrado k , y homomorfismos de coordinar anillos de variedades afines más de k que van en la dirección opuesta. Debido a esto, junto con el hecho de que existe una correspondencia uno a uno entre las variedades afines sobre k y sus anillos coordinados, la categoría de variedades afines sobre k es dual con la categoría de anillos coordinados de las variedades afines sobre k . La categoría de anillos coordinados de variedades afines sobre k es precisamente la categoría de álgebras libres nilpotentes generadas finitamente sobre k .

Más precisamente, para cada morfismo φ  : V → W de variedades afines, hay un homomorfismo φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] entre los anillos de coordenadas (yendo en la dirección opuesta), y para cada uno de esos homomorfismos, hay es un morfismo de las variedades asociadas a los anillos coordinados. Esto se puede mostrar explícitamente: sean V ⊆ k ⁿ y W ⊆ k ^m variedades afines con anillos de coordenadas k [ V ] = k [ X ₁ , ..., X _n ] / I y k [ W ] = k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J respectivamente. Sea φ  : V → W un morfismo. De hecho, un homomorfismo entre anillos polinomiales θ  : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] / I factores de forma única a través del anillo k [ X ₁ , .. ., X _n ], y un homomorfismo ψ  : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] está determinado únicamente por las imágenes de Y ₁ , .. ., Y _m . Por lo tanto, cada homomorfismo φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] corresponde únicamente a una elección de imagen para cada Y _i . Entonces, dado cualquier morfismo φ = ( f ₁ , ..., f _m ) de V a W , se puede construir un homomorfismo φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] que envía Y _i a donde está la clase de equivalencia de f _i en k [ V ]. ${\ Displaystyle {\ overline {f_ {i}}},}$${\ Displaystyle {\ overline {f_ {i}}}}$

De manera similar, para cada homomorfismo de los anillos coordinados, se puede construir un morfismo de las variedades afines en la dirección opuesta. Reflejando el párrafo anterior, un homomorfismo φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] envía Y _i a un polinomio en k [ V ] . Esto corresponde al morfismo de las variedades φ  : V → W definido por φ ( a ₁ , ..., a _n ) = ( f ₁ ( a ₁ , ..., a _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., a _n )). ${\ Displaystyle f_ {i} (X_ {1}, \ dots, X_ {n})}$

Gavilla de estructura

Equipado con la estructura de gavilla que se describe a continuación, una variedad afín es un espacio anillado localmente .

Dada una variedad afín X con coordenadas anillo A , el fajo de k -álgebras se define por dejar que sea el anillo de funciones regulares sobre U . ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U) = \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

Sea D ( f ) = { x | f ( x ) ≠ 0} para cada f en A . Forman una base para la topología de X y, por lo tanto, están determinados por sus valores en los conjuntos abiertos D ( f ). (Ver también: haz de módulos # Gavilla asociada a un módulo ). ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

El hecho clave, que se basa esencialmente en Hilbert nullstellensatz , es el siguiente:

Prueba: La inclusión ⊃ es clara. Por el contrario, sea g en el lado izquierdo y , que es un ideal. Si x está en D ( f ), entonces, dado que g es regular cerca de x , hay algún vecindario afín abierto D ( h ) de x tal que ; es decir, h ^m g está en A y, por tanto, x no está en V ( J ). En otras palabras, y así Hilbert nullstellensatz implica que f está en el radical de J ; es decir, .${\ Displaystyle J = \ {h \ en A | hg \ en A \}}$${\ Displaystyle g \ in k [D (h)] = A [h ^ {- 1}]}$ ${\ Displaystyle V (J) \ subconjunto \ {x | f (x) = 0 \}}$${\ Displaystyle f ^ {n} g \ in A}$${\ Displaystyle \ cuadrado}$

La afirmación, en primer lugar, implica que X es un espacio "anillado localmente" ya que

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, x} = \ varinjlim _ {f (x) \ neq 0} A [f ^ {- 1}] = A _ {{\ mathfrak {m}} _ { X}}}$

donde . En segundo lugar, la afirmación implica que es una gavilla; de hecho, dice que si una función es regular (puntual) en D ( f ), entonces debe estar en el anillo de coordenadas de D ( f ); es decir, la "regularidad" se puede unir. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x} = \ {f \ en A | f (x) = 0 \}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

Por lo tanto, es un espacio anillado localmente. ${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

Teorema de Serre sobre la afinidad

Un teorema de Serre da una caracterización cohomológica de una variedad afín; se dice que es una variedad algebraica afín si y sólo si para cualquier y cualquier gavilla cuasi coherente F en X . (Véase el teorema B de Cartan .) Esto hace que el estudio cohomológico de una variedad afín sea inexistente, en marcado contraste con el caso proyectivo en el que los grupos de cohomología de haces de líneas son de interés central. ${\ Displaystyle H ^ {i} (X, F) = 0}$${\ Displaystyle i> 0}$

Grupos algebraicos afines

Una variedad afín G sobre un campo k algebraicamente cerrado se llama grupo algebraico afín si tiene:

• Una multiplicación μ :  G  ×  G  →  G , que es un morfismo regular que sigue el axioma de asociatividad , es decir, tal que μ ( μ ( f ,  g ),  h ) =  μ ( f ,  μ ( g ,  h )) para todos los puntos f , g y h en G ;
• Un elemento de identidad e tal que μ ( e ,  g ) =  μ ( g ,  e ) =  g para cada g en G ;
• Un morfismo inversa , una biyección regulares ι :  G  →  G tal que μ ( ι ( g ),  g ) =  μ ( ι ( g ),  g ) =  e por cada g en G .

Juntos, estos definen una estructura de grupo en la variedad. Los morfismos anteriores se escriben a menudo utilizando grupo notación ordinaria: μ ( f ,  g ) puede escribirse como f  +  g , f ⋅ g , o fg ; la inversa ι ( g ) se puede escribir como - g o g ⁻¹ . Usando la notación multiplicativa, la asociatividad, la identidad y las leyes inversas se puede reescribir como: f ( gh ) = ( fg ) h , ge  =  por ejemplo  =  g y gg ^-1  =  g ^-1 g  =  e .

El ejemplo más destacado de un grupo algebraico afín es GL _n ( k ), el grupo lineal general de grado n . Este es el grupo de transformaciones lineales del espacio vectorial k ⁿ ; si una base de k ⁿ , es fija, esto equivale al grupo de n × n matrices invertibles con entradas en k . Se puede demostrar que cualquier grupo algebraico afín es isomorfo a un subgrupo de GL _n ( k ) . Por esta razón, los grupos algebraicos afines a menudo se denominan grupos algebraicos lineales .

Los grupos algebraicos afines juegan un papel importante en la clasificación de grupos simples finitos , ya que los grupos de tipo Lie son todos conjuntos de F _q -puntos racionales de un grupo algebraico afín, donde F _q es un campo finito.

Generalizaciones

• Si un autor requiere que el campo base de una variedad afín esté algebraicamente cerrado (como lo hace este artículo), entonces los conjuntos algebraicos afines irreductibles sobre campos no algebraicamente cerrados son una generalización de las variedades afines. Esta generalización incluye principalmente variedades afines sobre los números reales .

• Una variedad afín juega un papel de carta local para variedades algebraicas ; es decir, las variedades algebraicas generales, como las proyectivas, se obtienen pegando variedades afines. Las estructuras lineales unidas a las variedades también son (trivialmente) variedades afines; por ejemplo, espacios tangentes, fibras de haces de vectores algebraicos .

• Una variedad afín es un caso especial de un esquema afín , un espacio anillado localmente que es isomorfo al espectro de un anillo conmutativo (hasta una equivalencia de categorías ). Cada variedad afín tiene asociado un esquema afín: si V (I) es una variedad afín en k ⁿ con anillo de coordenadas R = k [ x ₁ , ..., x _n ] / I , entonces el esquema correspondiente a V ( I) es Spec ( R ), el conjunto de ideales primos de R . El esquema afín tiene "puntos clásicos" que se corresponden con los puntos de la variedad (y por lo tanto los ideales máximos del anillo de coordenadas de la variedad), y también un punto para cada subvariedad cerrada de la variedad (estos puntos corresponden a los puntos primos, no máximos ideales del anillo de coordenadas). Esto crea una noción más bien definida del "punto genérico" de una variedad afín, asignando a cada subvariedad cerrada un punto abierto que es denso en la subvariedad. De manera más general, un esquema afín es una variedad afín si es reducido , irreducible y de tipo finito sobre un campo k algebraicamente cerrado .

Notas

Ver también

• variedad algebraica
• esquema afín
• Representaciones en anillos de coordenadas

Referencias

El artículo original fue escrito como una traducción humana parcial del artículo francés correspondiente.

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157
• Fulton, William (1969). Curvas algebraicas (PDF) . Addison-Wesley. ISBN 0-201-510103.
• Milne, JS (2017). "Geometría algebraica" (PDF) . www.jmilne.org . Consultado el 16 de julio de 2021 .
• Milne, Conferencias sobre cohomología Étale
• Mumford, David (1999). El libro rojo de variedades y esquemas: incluye las conferencias de Michigan (1974) sobre curvas y sus jacobianos . Apuntes de clase en matemáticas. 1358 (2ª ed.). Springer-Verlag . doi : 10.1007 / b62130 . ISBN 354063293X.
• Reid, Miles (1988). Licenciatura en Geometría Algebraica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-35662-8.