Equivalencia de categorías - Equivalence of categories

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas abstractas , una equivalencia de categorías es una relación entre dos categorías que establece que estas categorías son "esencialmente lo mismo". Existen numerosos ejemplos de equivalencias categóricas de muchas áreas de las matemáticas. Establecer una equivalencia implica demostrar fuertes similitudes entre las estructuras matemáticas en cuestión. En algunos casos, estas estructuras pueden parecer no relacionadas a un nivel superficial o intuitivo, lo que hace que la noción sea bastante poderosa: crea la oportunidad de "traducir" teoremas entre diferentes tipos de estructuras matemáticas, sabiendo que el significado esencial de esos teoremas se conserva. debajo de la traducción.

Si una categoría es equivalente al opuesto (o dual) de otra categoría, entonces se habla de una dualidad de categorías y se dice que las dos categorías son dualmente equivalentes .

Una equivalencia de categorías consiste en un funtor entre las categorías involucradas, que se requiere que tenga un funtor "inverso". Sin embargo, en contraste con la situación común para los isomorfismos en un entorno algebraico, la combinación del functor y su "inverso" no es necesariamente el mapeo de identidad. En cambio, es suficiente que cada objeto sea naturalmente isomórfico a su imagen bajo esta composición. Por tanto, se puede describir a los functores como "inversos hasta el isomorfismo". De hecho, existe un concepto de isomorfismo de categorías donde se requiere una forma estricta de funtor inverso, pero esto es de mucho menos uso práctico que el concepto de equivalencia .

Definición

Formalmente, dadas dos categorías C y D , una equivalencia de categorías consta de un funtor F  : C → D , un funtor G  : D → C y dos isomorfismos naturales ε: FG → I _D y η: I _C → GF . Aquí FG : D → D y GF : C → C denotan las respectivas composiciones de F y G , e I _C : C → C e I _D : D → D denotan los functores de identidad en C y D , asignando cada objeto y morfismo a sí mismo. Si F y G son functores contravariantes, se habla en cambio de una dualidad de categorías .

A menudo, no se especifican todos los datos anteriores. Por ejemplo, decimos que las categorías C y D son equivalentes (respectivamente dualmente equivalentes ) si existe una equivalencia (respectivamente dualidad) entre ellas. Además, decimos que F "es" una equivalencia de categorías si existen un functor inverso G e isomorfismos naturales como el anterior. Sin embargo, tenga en cuenta que el conocimiento de F generalmente no es suficiente para reconstruir G y los isomorfismos naturales: puede haber muchas opciones (vea el ejemplo a continuación).

Caracterizaciones alternativas

Un funtor F  : C → D produce una equivalencia de categorías si y solo si es simultáneamente:

• completo , es decir, para dos objetos cualesquiera c ₁ y c ₂ de C , el mapa Hom _C ( c ₁ , c ₂ ) → Hom _D ( Fc ₁ , Fc ₂ ) inducido por F es sobreyectivo ;
• fiel , es decir, para dos objetos cualesquiera c ₁ y c ₂ de C , el mapa Hom _C ( c ₁ , c ₂ ) → Hom _D ( Fc ₁ , Fc ₂ ) inducido por F es inyectivo ; y
• esencialmente sobreyectiva (denso) , es decir, cada objeto d en D es isomorfo a un objeto de la forma de Fc , por c en C .

Este es un criterio bastante útil y comúnmente aplicado, porque no es necesario construir explícitamente la G "inversa" y los isomorfismos naturales entre FG , GF y los functores de identidad. Por otro lado, aunque las propiedades anteriores garantizan la existencia de una equivalencia categórica (dada una versión suficientemente fuerte del axioma de elección en la teoría de conjuntos subyacente), los datos faltantes no están completamente especificados y, a menudo, hay muchas opciones. Es una buena idea especificar explícitamente las construcciones faltantes siempre que sea posible. Debido a esta circunstancia, un funtor con estas propiedades a veces se denomina equivalencia débil de categorías . (Desafortunadamente, esto entra en conflicto con la terminología de la teoría de tipos de homotopía ).

También hay una estrecha relación con el concepto de funtores adjuntos , en los que nos dicen que es el adjunto izquierdo de , o así mismo, G es el adjunto derecho de F . Entonces C y D son equivalentes (como se definió anteriormente en el sentido de que hay isomorfismos naturales de FG a I _D e I _C a GF ) si y solo si y tanto F como G son completos y fieles. ${\ Displaystyle F \ dashv G}$${\ displaystyle F: C \ rightarrow D}$${\ Displaystyle G: D \ rightarrow C}$${\ Displaystyle F \ dashv G}$

Cuando los functores adjuntos no son a la vez plenos y fieles, entonces podemos considerar que su relación de adyacencia expresa una "forma más débil de equivalencia" de categorías. Suponiendo que se dan las transformaciones naturales para los adjuntos, todas estas formulaciones permiten una construcción explícita de los datos necesarios y no se necesitan principios de elección. La propiedad clave que uno tiene que probar aquí es que la cuenta de un adjunto es un isomorfismo si y solo si el adjunto correcto es un funtor fiel y pleno. ${\ Displaystyle F \ dashv G}$

Ejemplos de

• Considere la categoría que tiene un único objetivo y un único morfismo y la categoría con dos objetos , y cuatro morfismos: dos morfismos identidad , y dos isomorfismos y . Las categorías y son equivalentes; podemos (por ejemplo) tienen un mapa de y mapear los dos objetos de a y todos los morfismos a .${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle 1_ {c}}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle d_ {1}}$${\ Displaystyle d_ {2}}$${\ Displaystyle 1_ {d_ {1}}}$${\ Displaystyle 1_ {d_ {2}}}$${\ Displaystyle \ alpha \ colon d_ {1} \ to d_ {2}}$${\ Displaystyle \ beta \ colon d_ {2} \ to d_ {1}}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle d_ {1}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle 1_ {c}}$
• Por el contrario, la categoría con un solo objeto y un solo morfismo no es equivalente a la categoría con dos objetos y solo dos morfismos de identidad. Los dos objetos de no son isomorfos porque no hay morfismos entre ellos. Por tanto, cualquier funtor de a no será esencialmente sobreyectivo.${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle E}$
• Considere una categoría con un objeto y dos morfismos . Dejemos que el morfismo de la identidad se establezca . Por supuesto, es equivalente a sí mismo, lo que puede demostrarse sustituyendo los isomorfismos naturales requeridos entre el funtor y él mismo. Sin embargo, también es cierto que produce un isomorfismo natural de a sí mismo. Por lo tanto, dada la información de que los functores de identidad forman una equivalencia de categorías, en este ejemplo aún se puede elegir entre dos isomorfismos naturales para cada dirección.${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle 1_ {c}, f \ dos puntos c \ a c}$${\ Displaystyle 1_ {c}}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle f \ circ f = 1}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle 1_ {c}}$${\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {C}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {C}}$
• La categoría de conjuntos y funciones parciales es equivalente, pero no isomórfica, a la categoría de conjuntos puntiagudos y mapas que conservan puntos.
• Considere la categoría de espacios vectoriales reales de dimensión finita y la categoría de todas las matrices reales (la última categoría se explica en el artículo sobre categorías aditivas ). Entonces y son equivalentes: el funtor que mapea el objeto de en el espacio vectorial y las matrices en los mapas lineales correspondientes es completo, fiel y esencialmente sobreyectivo.${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle D = \ mathrm {Mat} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle G \ colon D \ to C}$${\ Displaystyle A_ {n}}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle D}$
• Uno de los temas centrales de la geometría algebraica es la dualidad de la categoría de esquemas afines y la categoría de anillos conmutativos . El funtor asocia a cada anillo conmutativo su espectro , el esquema definido por los ideales primos del anillo. Su adjunto asocia a cada esquema afín su anillo de secciones globales.${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle F}$
• En el análisis funcional, la categoría de álgebras C * conmutativas con identidad es contravariablemente equivalente a la categoría de espacios compactos de Hausdorff . Bajo esta dualidad, cada espacio compacto de Hausdorff está asociado con el álgebra de funciones continuas de valores complejos en , y cada álgebra C * conmutativa está asociada con el espacio de sus ideales máximos . Esta es la representación de Gelfand .${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$
• En la teoría de celosías , hay una serie de dualidades, basadas en teoremas de representación que conectan ciertas clases de celosías con clases de espacios topológicos . Probablemente el teorema más conocido de este tipo es el teorema de representación de Stone para álgebras de Boole , que es un ejemplo especial dentro del esquema general de la dualidad de Stone . Cada álgebra booleana se asigna a una topología específica en el conjunto de ultrafiltros de . A la inversa, para cualquier topología, los subconjuntos abiertos (es decir, cerrados y abiertos) producen un álgebra booleana. Se obtiene una dualidad entre la categoría de álgebras de Boole (con sus homomorfismos) y espacios de Stone (con mapeos continuos). Otro caso de dualidad de Stone es el teorema de representación de Birkhoff que establece una dualidad entre órdenes parciales finitos y retículas distributivas finitas.${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$
• En la topología sin sentido, se sabe que la categoría de lugares espaciales es equivalente al dual de la categoría de espacios sobrios.
• Para dos anillos R y S , la categoría de producto R - Mod × S - Mod es equivalente a ( R × S ) - Mod .
• Cualquier categoría equivale a su esqueleto .

Propiedades

Como regla general, una equivalencia de categorías conserva todos los conceptos y propiedades "categóricos". Si F  : C → D es una equivalencia, entonces las siguientes afirmaciones son todas verdaderas:

• el objeto c de C es un objeto inicial (o un objeto terminal , o un objeto cero ), si y solo si Fc es un objeto inicial (o un objeto terminal , o un objeto cero ) de D
• la α morfismo en C es un monomorphism (o epimorfismo , o isomorfismo ), si y sólo si Fα es un monomorphism (o epimorfismo, o isomorfismo) en D .
• el functor H  : I → C tiene límite (o colimit) l si y solo si el functor FH  : I → D tiene límite (o colimit) Fl . Esto se puede aplicar a ecualizadores , productos y coproductos entre otros. Al aplicarlo a kernels y cokernels , vemos que la equivalencia F es un functor exacto .
• C es una categoría cerrada cartesiana (o un topos ) si y solo si D es cerrado cartesiano (o un topos).

Las dualidades "cambian todos los conceptos": convierten los objetos iniciales en objetos terminales, los monomorfismos en epimorfismos, los núcleos en cokernels, los límites en colimits, etc.

Si F  : C → D es una equivalencia de categorías, y G ₁ y G ₂ son dos inversas de F , entonces G ₁ y G ₂ son naturalmente isomorfos.

Si F  : C → D es una equivalencia de categorías, y si C es una categoría preaditiva (o categoría aditiva , o categoría abeliana ), entonces D puede convertirse en una categoría preaditiva (o categoría aditiva o categoría abeliana) en dicha categoría. forma en que F se convierte en un funtor aditivo . Por otro lado, cualquier equivalencia entre categorías aditivas es necesariamente aditiva. (Tenga en cuenta que la última afirmación no es cierta para las equivalencias entre categorías preaditivas).

Una auto-equivalencia de una categoría C es una equivalencia F  : C → C . Las autoequivalencias de C forman un grupo en composición si consideramos que dos autoequivalencias que son naturalmente isomórficas son idénticas. Este grupo captura el "simetrías" esenciales de C . (Una advertencia: si C no es una categoría pequeña, entonces las autoequivalencias de C pueden formar una clase adecuada en lugar de un conjunto ).

Ver también

• Definiciones equivalentes de estructuras matemáticas.

Referencias

• equivalencia de categorías en nLab
• "Equivalencia de categorías" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Nueva York: Springer. págs. xii + 314. ISBN 0-387-98403-8.