Conjunto puntiagudo - Pointed set

En matemáticas , un conjunto de punta (también conjunto base o conjunto arraigada ) es un par ordenado , donde es un conjunto y un elemento de llamado el punto de base , también deletreado punto base . ${\ displaystyle (X, x_ {0})}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle X}$

Mapas de entre los conjuntos de punta y (llamados mapas basados , mapas puntiagudos , o mapas de puntos de preservación ) son funciones de a ese mapa un punto base a otra, es decir, un mapa de tal manera que . Esto generalmente se denota ${\ displaystyle (X, x_ {0})}$${\ Displaystyle (Y, y_ {0})}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$${\ Displaystyle f (x_ {0}) = y_ {0}}$

${\ Displaystyle f \ colon (X, x_ {0}) \ to (Y, y_ {0})}$ .

Los conjuntos puntiagudos son estructuras algebraicas muy simples . En el sentido del álgebra universal , un conjunto puntiagudo es un conjunto junto con una única operación nula que selecciona el punto base. Los mapas puntiagudos son los homomorfismos de estas estructuras algebraicas. ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle *: X ^ {0} \ to X,}$

La clase de todos los conjuntos puntiagudos junto con la clase de todos los mapas basados ​​forman una categoría . En esta categoría, los conjuntos singleton puntiagudos son objetos iniciales y objetos terminales , es decir, son objetos cero . Hay un funtor fiel desde conjuntos puntiagudos hasta conjuntos habituales, pero no está completo y estas categorías no son equivalentes . En particular, el conjunto vacío no es un conjunto puntiagudo porque no tiene ningún elemento que pueda elegirse como punto base. ${\ Displaystyle (\ {a \}, a)}$

La categoría de conjuntos puntiagudos y mapas basados ​​es equivalente a la categoría de conjuntos y funciones parciales . Un libro de texto señala que "Esta finalización formal de conjuntos y mapas parciales mediante la adición de elementos 'impropios' e 'infinitos' se reinventó muchas veces, en particular, en topología ( compactación de un punto ) y en informática teórica ".

La categoría de conjuntos puntiagudos y mapas puntiagudos es isomorfa a la categoría de cóslice , donde es un conjunto singleton. Esto coincide con la caracterización algebraica, ya que el mapa único extiende los triángulos conmutativos que definen las flechas de la categoría cóslice para formar los cuadrados conmutativos que definen los homomorfismos de las álgebras. ${\ Displaystyle \ mathbf {1} \ flecha hacia abajo \ mathbf {Set}}$${\ Displaystyle \ mathbf {1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {1} \ to \ mathbf {1}}$

La categoría de conjuntos puntiagudos y mapas puntiagudos tiene tanto productos como coproductos , pero no es una categoría distributiva . También es un ejemplo de una categoría en la que no es isomorfo . ${\ Displaystyle 0 \ times A}$${\ displaystyle 0}$

Muchas estructuras algebraicas son conjuntos puntiagudos de una manera bastante trivial. Por ejemplo, los grupos son conjuntos puntiagudos al elegir el elemento de identidad como punto base, de modo que los homomorfismos de grupo son mapas que conservan puntos. Esta observación puede reformularse en términos de teoría de categorías como la existencia de un funtor olvidadizo de grupos a conjuntos puntiagudos.

Un conjunto puntiagudo puede verse como un espacio puntiagudo bajo la topología discreta o como un espacio vectorial sobre el campo con un elemento .

Como "conjunto arraigado", la noción aparece naturalmente en el estudio de los antimatroides y los politopos de transporte.

Ver también

• Gráfico puntiagudo accesible
• Extensión de Alexandroff
• Recta numérica real extendida  - Extensión de los reales por + ∞ y −∞.
• Esfera de Riemann  - Modelo del plano complejo extendido más un punto en el infinito

Referencias

• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja (2ª ed.). Springer-Verlag. ISBN   0-387-98403-8 . Zbl   0906.18001 .

enlaces externos

• Pullbacks en categoría de conjuntos y funciones parciales
• Conjunto puntiagudo en PlanetMath .
• Objeto apuntado en nLab