Homomorfismo de grupo - Group homomorphism

Imagen de un homomorfismo de grupo ( h ) de G (izquierda) a H (derecha). El óvalo más pequeño dentro de H es la imagen de h . N es el núcleo de h y aN es una clase lateral de N .

En matemáticas , dados dos grupos , ( G , ∗) y ( H , ·), un homomorfismo de grupo de ( G , ∗) a ( H , ·) es una función h  : G H tal que para todo u y v en G tiene eso

donde la operación del grupo en el lado izquierdo de la ecuación es la de G y en el lado derecho la de H .

De esta propiedad, se puede deducir que h mapea el elemento identidad e G de G al elemento identidad e H de H ,

y también mapea inversos a inversos en el sentido de que

Por tanto, se puede decir que h "es compatible con la estructura del grupo".

Las notaciones más antiguas para el homomorfismo h ( x ) pueden ser x h o x h , aunque esto puede confundirse con un índice o un subíndice general. En la teoría de autómatas , a veces los homomorfismos se escriben a la derecha de sus argumentos sin paréntesis, de modo que h ( x ) se convierte simplemente en xh .

En las áreas de las matemáticas donde se consideran grupos dotados de estructura adicional, un homomorfismo a veces significa un mapa que respeta no solo la estructura del grupo (como arriba) sino también la estructura extra. Por ejemplo, a menudo se requiere que un homomorfismo de grupos topológicos sea ​​continuo.

Intuición

El propósito de definir un homomorfismo de grupo es crear funciones que preserven la estructura algebraica. Una definición equivalente de homomorfismo de grupo es: La función h  : G H es un homomorfismo de grupo si siempre

a b = c   tenemos   h ( a ) ⋅ h ( b ) = h ( c ).

En otras palabras, el grupo H en cierto sentido tiene una estructura algebraica similar a G y el homomorfismo h lo conserva.

Tipos

Monomorfismo
Un homomorfismo de grupo que es inyectivo (o uno a uno); es decir, conserva la distinción.
Epimorfismo
Un homomorfismo grupal que es sobreyectivo (o sobre); es decir, llega a todos los puntos del codominio.
Isomorfismo
Un homomorfismo de grupo que es biyectivo ; es decir, inyectiva y sobreyectiva. Su inverso es también un homomorfismo de grupo. En este caso, los grupos G y H se denominan isomorfos ; difieren sólo en la notación de sus elementos y son idénticos a todos los efectos prácticos.
Endomorfismo
Un homomorfismo, h : G G ; el dominio y el codominio son iguales. También se llama un endomorfismo de G .
Automorfismo
Un endomorfismo que es biyectivo y, por tanto, un isomorfismo. El conjunto de todos los automorfismos de un grupo G , con la composición funcional como el funcionamiento, se forma en sí un grupo, el grupo de automorfismos de G . Se denota por Aut ( G ). Como ejemplo, el grupo de automorfismos de ( Z , +) contiene solo dos elementos, la transformación de identidad y la multiplicación con -1; es isomorfo a Z / 2 Z .

Imagen y kernel

Definimos el núcleo de h como el conjunto de elementos en G que se asignan a la identidad en H

y la imagen de h to be

El núcleo y la imagen de un homomorfismo se pueden interpretar como una medida de lo cerca que está de ser un isomorfismo. El primer teorema del isomorfismo establece que la imagen de un homomorfismo de grupo, h ( G ) es isomorfa al cociente grupo G / ker h .

El núcleo de h es un subgrupo normal de G y la imagen de h es un subgrupo de H :

Si y solo si ker ( h ) = { e G }, el homomorfismo, h , es un monomorfismo de grupo ; es decir, h es inyectivo (uno a uno). La inyección da directamente que hay un elemento único en el kernel, y un elemento único en el kernel da inyección:

Ejemplos

  • Considere el grupo cíclico Z / 3 Z = {0, 1, 2} y el grupo de números enteros Z con suma. El mapa h  : Z Z / 3 Z con h ( u ) = u mod 3 es un homomorfismo de grupo. Es sobreyectiva y su núcleo se compone de todos los números enteros que son divisibles por 3.
  • Considere el grupo

    Para cualquier número complejo u la función f u  : G C * definida por:

    es un homomorfismo de grupo.
  • Considere el grupo multiplicativo de números reales positivos ( R + , ⋅) para cualquier número complejo u la función f u  : R + C definida por:
    es un homomorfismo de grupo.
  • El mapa exponencial produce un homomorfismo de grupo del grupo de números reales R con adición al grupo de números reales distintos de cero R * con multiplicación. El núcleo es {0} y la imagen consta de números reales positivos.
  • El mapa exponencial también produce un homomorfismo de grupo del grupo de números complejos C con suma al grupo de números complejos distintos de cero C * con multiplicación. Este mapa es sobreyectivo y tiene el núcleo {2π ki  : k Z }, como se puede ver en la fórmula de Euler . Los campos como R y C que tienen homomorfismos de su grupo aditivo a su grupo multiplicativo se denominan campos exponenciales .

La categoría de grupos

Si h  : G H y k  : H K son homomorfismo de grupos, entonces también lo es k h  : G K . Esto muestra que la clase de todos los grupos, junto con los homomorfismos de grupo como morfismos, forma una categoría .

Homomorfismos de grupos abelianos

Si G y H son grupos abelianos (es decir, conmutativos), entonces el conjunto Hom ( G , H ) de todos los homomorfismos de grupo de G a H es en sí mismo un grupo abeliano: la suma h + k de dos homomorfismos se define por

( H + k ) ( u ) = h ( u ) + k ( u ) para todo u en G .

La conmutatividad de H es necesaria para demostrar que h + k es nuevamente un homomorfismo de grupo.

La adición de homomorfismos es compatible con la composición de homomorfismos en el siguiente sentido: si f está en Hom ( K , G ) , h , k son elementos de Hom ( G , H ) y g está en Hom ( H , L ) , entonces

( h + k ) ∘ f = ( h f ) + ( k f )    y    g ∘ ( h + k ) = ( g h ) + ( g k ) .

Puesto que la composición es asociativa , esto demuestra que el extremo de ajuste ( G ) de todos los endomorfismos de un grupo abeliano forma un anillo , el anillo endomorphism de G . Por ejemplo, el anillo endomorphism del grupo abeliano que consiste en la suma directa de m copias de Z / n Z es isomorfo al anillo de m -by- m matrices con entradas en Z / n Z . La compatibilidad anterior también muestra que la categoría de todos los grupos abelianos con homomorfismos de grupo forma una categoría preaditiva ; la existencia de sumas directas y núcleos de buen comportamiento hace de esta categoría el ejemplo prototípico de una categoría abeliana .

Ver también

Referencias

  • Dummit, DS; Foote, R. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). Wiley. págs. 71–72. ISBN   978-0-471-43334-7 .
  • Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-95385-4 , MR   1878556 , Zbl   0.984,00001

enlaces externos