Par ordenado - Ordered pair

En matemáticas , un par ordenado ( a , b ) es un par de objetos. El orden en el que aparecen los objetos en el par es significativo: el par ordenado ( a , b ) es diferente del par ordenado ( b , a ) a menos que a = b . (Por el contrario, el par desordenado { a , b } es igual al par desordenado { b , a }).

Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o secuencias (a veces, listas en un contexto de informática) de longitud 2. Los pares ordenados de escalares a veces se denominan vectores bidimensionales . (Técnicamente, esto es un abuso de terminología, ya que un par ordenado no necesita ser un elemento de un espacio vectorial ). Las entradas de un par ordenado pueden ser otros pares ordenados, lo que permite la definición recursiva de n -tuplas ordenadas (listas ordenadas de n objetos). Por ejemplo, el triple ordenado ( a , b , c ) se puede definir como ( a , ( b , c )), es decir, como un par anidado en otro.

En el par ordenado ( a , b ), el objeto a se llama la primera entrada y el objeto b la segunda entrada del par. Alternativamente, los objetos se denominan primer y segundo componentes , primera y segunda coordenadas , o proyecciones izquierda y derecha del par ordenado.

Los productos cartesianos y las relaciones binarias (y, por tanto, las funciones ) se definen en términos de pares ordenados.

Generalidades

Dejemos y seamos pares ordenados. Entonces la propiedad característica (o definitoria ) del par ordenado es: ${\ Displaystyle (a_ {1}, b_ {1})}$ ${\ Displaystyle (a_ {2}, b_ {2})}$

{\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}) = (a_ {2}, b_ {2}) {\ text {si y solo si}} a_ {1} = a_ {2} {\ text {y }} b_ {1} = b_ {2}.}

El conjunto de todos los pares ordenados cuya primera entrada está en algún conjunto A y cuya segunda entrada está en algún conjunto B se llama el producto cartesiano de A y B , y escrito A × B . Una relación binaria entre los conjuntos A y B es un subconjunto de A × B .

La notación $(a, b)$ se puede usar para otros propósitos, más notablemente para denotar intervalos abiertos en la recta numérica real . En tales situaciones, el contexto generalmente dejará claro qué significado se pretende. Para una aclaración adicional, el par ordenado puede denotarse mediante la notación variante , pero esta notación también tiene otros usos. ${\ textstyle \ langle a, b \ rangle}$

La proyección izquierda y derecha de un par p generalmente se denota por $π$ ₁ ( p ) y $π$ ₂ ( p ), o por $π$ _ℓ ( p ) y $π$ _r ( p ), respectivamente. En contextos donde se consideran n- tuplas arbitrarias , $π$ ⁿ
_yo( t ) es una notación común para la i -ésima componente de una n- tupla t .

Definiciones formales e informales

En algunos libros de texto de introducción a las matemáticas se da una definición informal (o intuitiva) de par ordenado, como

Para cualquier dos objetos $una$ y $b$ , el par ordenado $(un, b)$ es una notación que especifica los dos objetos $una$ y $b$ , en ese orden.

Esto suele ir seguido de una comparación con un conjunto de dos elementos; señalando que en un conjunto de $una$ y $b$ debe ser diferente, pero en un par ordenado que puede ser igual y que, si bien el orden de la lista de los elementos de un conjunto no importa, en un par ordenado cambiar el orden de las entradas cambios distintos el par ordenado.

Esta "definición" es insatisfactoria porque es sólo descriptiva y se basa en una comprensión intuitiva del orden . Sin embargo, como se señala a veces, no se producirá ningún daño al confiar en esta descripción y casi todo el mundo piensa en los pares ordenados de esta manera.

Un enfoque más satisfactorio es observar que la propiedad característica de los pares ordenados dada anteriormente es todo lo que se requiere para comprender el papel de los pares ordenados en matemáticas. Por tanto, el par ordenado puede tomarse como una noción primitiva , cuyo axioma asociado es la propiedad característica. Este fue el enfoque adoptado por el grupo de N. Bourbaki en su Teoría de conjuntos , publicada en 1954. Sin embargo, este enfoque también tiene sus inconvenientes, ya que tanto la existencia de pares ordenados como su propiedad característica deben asumirse axiomáticamente.

Otra forma de tratar rigurosamente los pares ordenados es definirlos formalmente en el contexto de la teoría de conjuntos. Esto se puede hacer de varias formas y tiene la ventaja de que la existencia y la propiedad característica pueden probarse a partir de los axiomas que definen la teoría de conjuntos. Una de las versiones más citadas de esta definición se debe a Kuratowski (ver más abajo) y su definición se usó en la segunda edición de la Teoría de conjuntos de Bourbaki , publicada en 1970. Incluso aquellos libros de texto matemáticos que dan una definición informal de pares ordenados a menudo mencionar la definición formal de Kuratowski en un ejercicio.

Definición del par ordenado usando la teoría de conjuntos

Si uno está de acuerdo en que la teoría de conjuntos es una base atractiva de las matemáticas , entonces todos los objetos matemáticos deben definirse como conjuntos de algún tipo. Por tanto, si el par ordenado no se toma como primitivo, debe definirse como un conjunto. A continuación se dan varias definiciones de la teoría de conjuntos del par ordenado (véase también).

Definición de Wiener

Norbert Wiener propuso el primer conjunto de definición teórica del par ordenado en 1914:

{\ Displaystyle \ left (a, b \ right): = \ left \ {\ left \ {\ left \ {a \ right \}, \, \ emptyset \ right \}, \, \ left \ {\ left \ {b \ right \} \ right \} \ right \}.}

Observó que esta definición hizo posible definir los tipos de Principia Mathematica como conjuntos. Principia Mathematica había tomado los tipos, y por tanto las relaciones de todas las aridades, como primitivos .

Wiener usó {{ b }} en lugar de { b } para hacer la definición compatible con la teoría de tipos donde todos los elementos de una clase deben ser del mismo "tipo". Con b anidado dentro de un conjunto adicional, su tipo es igual a 's. ${\ Displaystyle \ {\ {a \}, \ emptyset \}}$

Definición de Hausdorff

Aproximadamente al mismo tiempo que Wiener (1914), Felix Hausdorff propuso su definición:

{\ Displaystyle (a, b): = \ left \ {\ {a, 1 \}, \ {b, 2 \} \ right \}}

"donde 1 y 2 son dos objetos distintos diferentes de ay b".

Definición de Kuratowski

En 1921, Kazimierz Kuratowski ofreció la definición ahora aceptada del par ordenado ( a , b ):

{\ Displaystyle (a, \ b) _ {K} \;: = \ \ {\ {a \}, \ \ {a, \ b \} \}.}

Tenga en cuenta que esta definición se utiliza incluso cuando la primera y la segunda coordenadas son idénticas:

{\ Displaystyle (x, \ x) _ {K} = \ {\ {x \}, \ {x, \ x \} \} = \ {\ {x \}, \ \ {x \} \} = \{\{X\}\}}

Dado algún par ordenado p , la propiedad " x es la primera coordenada de p " se puede formular como:

{\ Displaystyle \ forall Y \ in p: x \ in Y.}

La propiedad " x es la segunda coordenada de p " se puede formular como:

{\ Displaystyle (\ existe Y \ in p: x \ in Y) \ land (\ forall Y_ {1}, Y_ {2} \ in p: Y_ {1} \ neq Y_ {2} \ rightarrow (x \ notin Y_ {1} \ lor x \ notin Y_ {2})).}

En el caso de que las coordenadas izquierda y derecha sean idénticas, la conjunción derecha es trivialmente verdadera, ya que Y ₁ ≠ Y ₂ nunca es el caso. ${\ Displaystyle (\ forall Y_ {1}, Y_ {2} \ in p: Y_ {1} \ neq Y_ {2} \ rightarrow (x \ notin Y_ {1} \ lor x \ notin Y_ {2})) }$

Así es como podemos extraer la primera coordenada de un par (usando la notación para intersección arbitraria y unión arbitraria ):

{\ Displaystyle \ pi _ {1} (p) = \ bigcup \ bigcap p.}

Así es como se puede extraer la segunda coordenada:

{\ Displaystyle \ pi _ {2} (p) = \ bigcup \ left \ {\ left.x \ in \ bigcup p \, \ right | \, \ bigcup p \ neq \ bigcap p \ rightarrow x \ notin \ bigcap p \ right \}.}

Variantes

La definición anterior de Kuratowski del par ordenado es "adecuada" en el sentido de que satisface la propiedad característica que un par ordenado debe satisfacer, es decir, esa . En particular, expresa adecuadamente "orden", en el sentido de que es falso a menos que . Existen otras definiciones, de similar o menor complejidad, que son igualmente adecuadas: ${\ Displaystyle (a, b) = (x, y) \ leftrightarrow (a = x) \ land (b = y)}$ ${\ Displaystyle (a, b) = (b, a)}$ ${\ Displaystyle b = a}$

${\ Displaystyle (a, b) _ {\ text {reverse}}: = \ {\ {b \}, \ {a, b \} \};}$
${\ Displaystyle (a, b) _ {\ text {short}}: = \ {a, \ {a, b \} \};}$
${\ Displaystyle (a, b) _ {\ text {01}}: = \ {\ {0, a \}, \ {1, b \} \}.}$

La definición inversa es simplemente una variante trivial de la definición de Kuratowski y, como tal, no tiene ningún interés independiente. La definición corta se llama así porque requiere dos pares de tirantes en lugar de tres . Probar que corto satisface la propiedad característica requiere el axioma de regularidad de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Además, si se utiliza la construcción teórica de conjuntos de von Neumann de los números naturales , entonces 2 se define como el conjunto {0, 1} = {0, {0}}, que es indistinguible del par (0, 0) _corto . Sin embargo, otra desventaja de la corta par es el hecho, de que incluso si un y b son del mismo tipo, los elementos de la corto par no lo son. (Sin embargo, si a = b, entonces la versión corta sigue teniendo cardinalidad 2, que es algo que uno podría esperar de cualquier "par", incluido cualquier "par ordenado". También tenga en cuenta que la versión corta se usa en la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck , sobre el que se basa el sistema Mizar ).

Demostrar que las definiciones satisfacen la propiedad característica

Demuestre: ( a , b ) = ( c , d ) si y solo si a = c y b = d .

Kuratowski :
Si . Si a = c y b = d , entonces {{ a }, { a, b }} = {{ c }, { c, d }}. De este modo ( a, b ) _K = ( c, d ) _K .

Solo si . Dos casos: un = b , y un ≠ b .

Si a = b :

( a, b ) _K = {{ a }, { a, b }} = {{ a }, { a, a }} = {{ a }}.

( c, d ) _K = {{ c }, { c, d }} = {{ a }}.

Por tanto, { c } = { c, d } = { a }, lo que implica a = c y a = d . Por hipótesis, a = b . Por tanto, b = d .

Si a ≠ b , entonces ( a, b ) _K = ( c, d ) _K implica {{ a }, { a, b }} = {{ c }, { c, d }}.

Suponga que { c, d } = { a }. Entonces c = d = a , y entonces {{ c }, { c, d }} = {{ a }, { a, a }} = {{ a }, { a }} = {{ a }}. Pero entonces {{ a }, { a, b }} también sería igual a {{ a }}, de modo que b = a lo cual contradice a ≠ b .

Suponga { c } = { a, b }. Entonces a = b = c , lo que también contradice a ≠ b .

Por lo tanto { c } = { a }, de modo que c = ay { c, d } = { a, b }.

Si d = a fuera cierto, entonces { c, d } = { a, a } = { a } ≠ { a, b }, una contradicción. Por tanto, d = b es el caso, de modo que a = c y b = d .

Invertir :
( a, b ) _inversa = {{ b }, { a, b }} = {{ b }, { b, a }} = ( b, a ) _K .

Si . Si ( a, b ) _inversa = ( c, d ) _inversa , ( b, a ) _K = ( d, c ) _K . Por lo tanto, b = d y a = c .

Solo si . Si a = c y b = d , entonces {{ b }, { a, b }} = {{ d }, { c, d }}. Así ( a, b ) _reverse = ( c, d ) _reverse .

Pequeño:

Si : Si a = c y b = d , entonces { a , { a, b }} = { c , { c, d }}. Así ( a, b ) _corto = ( c, d ) _corto .

Solo si : Supongamos { a , { a, b }} = { c , { c, d }}. Entonces a está en el lado izquierdo y, por lo tanto, en el lado derecho. Debido a que conjuntos iguales tienen elementos iguales, uno de a = c o a = { c, d } debe ser el caso.

Si a = { c, d }, entonces por un razonamiento similar al anterior, { a, b } está en el lado derecho, entonces { a, b } = c o { a, b } = { c, d }.

Si { a, b } = c entonces c es en { c, d } = un y una se encuentra en c , y esta combinación contradice el axioma de regularidad, como { a, c } no tiene elemento mínimo bajo la relación "elemento de . "

Si { a, b } = { c, d }, entonces a es un elemento de a , de a = { c, d } = { a, b }, lo que contradice de nuevo la regularidad.

Por tanto, a = c debe mantenerse.

Nuevamente, vemos que { a, b } = c o { a, b } = { c, d }.

La opción { a, b } = c y a = c implica que c es un elemento de c , contradiciendo la regularidad.

Entonces tenemos a = c y { a, b } = { c, d }, y entonces: { b } = { a, b } \ { a } = { c, d } \ { c } = { d }, entonces b = d .

Definición de Quine-Rosser

Rosser (1953) empleó una definición del par ordenado debido a Quine que requiere una definición previa de los números naturales . Sea el conjunto de números naturales y defina primero ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

{\ Displaystyle \ sigma (x): = {\ begin {cases} x, & {\ text {if}} x \ not \ in \ mathbb {N}, \\ x + 1, & {\ text {if} } x \ in \ mathbb {N}. \ end {cases}}}

La función incrementa su argumento si es un número natural y lo deja como está de otra manera; el número 0 no aparece como valor funcional de . Como es el conjunto de los elementos de no continuar con ${\ Displaystyle \ sigma}$ ${\ Displaystyle \ sigma}$ ${\ Displaystyle x \ smallsetminus \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

{\ Displaystyle \ varphi (x): = \ sigma [x] = \ {\ sigma (\ alpha) \ mid \ alpha \ in x \} = (x \ smallsetminus \ mathbb {N}) \ cup \ {n + 1: n \ in (x \ cap \ mathbb {N}) \}.}

Esta es la imagen de conjunto de un conjunto inferior , a veces también denotado por . Aplicar la función a un conjunto x simplemente incrementa cada número natural en él. En particular, no nunca contienen el número 0, de modo que para cualquier conjunto de x y y , ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle \ sigma}$ ${\ Displaystyle \ sigma '' x}$ ${\ Displaystyle \ varphi}$ ${\ Displaystyle \ varphi (x)}$

{\ Displaystyle \ varphi (x) \ neq \ {0 \} \ cup \ varphi (y).}

Además, defina

{\ Displaystyle \ psi (x): = \ sigma [x] \ cup \ {0 \} = \ varphi (x) \ cup \ {0 \}.}

Por esto, siempre contiene el número 0. ${\ Displaystyle \ psi (x)}$

Finalmente, defina el par ordenado ( A , B ) como la unión disjunta

{\ Displaystyle (A, B): = \ varphi [A] \ cup \ psi [B] = \ {\ varphi (a): a \ in A \} \ cup \ {\ varphi (b) \ cup \ { 0 \}: b \ in B \}.}

(que está en notación alternativa). ${\ Displaystyle \ varphi '' A \ cup \ psi '' B}$

La extracción de todos los elementos del par que no contienen 0 y deshacer rendimientos A . Asimismo, B se puede recuperar de los elementos del par que sí contienen 0. ${\ Displaystyle \ varphi}$

Por ejemplo, el par se codifica como se proporciona . ${\ Displaystyle (\ {\ {a, 0 \}, \ {b, c, 1 \} \}, \ {\ {d, 2 \}, \ {e, f, 3 \} \})}$ ${\ Displaystyle \ {\ {a, 1 \}, \ {b, c, 2 \}, \ {d, 3,0 \}, \ {e, f, 4,0 \} \}}$ ${\ Displaystyle a, b, c, d, e, f \ notin \ mathbb {N}}$

En la teoría de tipos y en sus consecuencias, como la teoría de conjuntos axiomáticos NF , el par de Quine-Rosser tiene el mismo tipo que sus proyecciones y, por lo tanto, se denomina par ordenado "tipo-nivel". Por lo tanto, esta definición tiene la ventaja de permitir que una función , definida como un conjunto de pares ordenados, tenga un tipo solo 1 más alto que el tipo de sus argumentos. Esta definición solo funciona si el conjunto de números naturales es infinito. Este es el caso en NF , pero no en la teoría de tipos o en NFU . J. Barkley Rosser demostró que la existencia de tal par ordenado a nivel de tipo (o incluso un par ordenado de "elevación de tipo por 1") implica el axioma del infinito . Para una discusión extensa del par ordenado en el contexto de las teorías de conjuntos quinianos, ver Holmes (1998).

Definición de Cantor-Frege

Al principio del desarrollo de la teoría de conjuntos, antes de que se descubrieran las paradojas, Cantor siguió a Frege al definir el par ordenado de dos conjuntos como la clase de todas las relaciones que se mantienen entre estos conjuntos, asumiendo que la noción de relación es primitiva:

{\ Displaystyle (x, y) = \ {R: xRy \}.}

Esta definición es inadmisible en la mayoría de las teorías de conjuntos formalizadas modernas y es metodológicamente similar a definir el cardinal de un conjunto como la clase de todos los conjuntos equipotentes con el conjunto dado.

Definición morse

La teoría de conjuntos de Morse-Kelley hace uso libre de clases adecuadas . Morse definió el par ordenado para que sus proyecciones pudieran ser clases apropiadas así como conjuntos. (La definición de Kuratowski no permite esto). Primero definió pares ordenados cuyas proyecciones son conjuntos a la manera de Kuratowski. Luego redefinió el par

{\ Displaystyle (x, y) = (\ {0 \} \ times s (x)) \ cup (\ {1 \} \ times s (y))}

donde los productos cartesianos componentes son pares de conjuntos Kuratowski y donde

{\ Displaystyle s (x) = \ {\ juego vacío \} \ taza \ {\ {t \} \ mid t \ in x \}}

Esto genera posibles pares cuyas proyecciones son clases adecuadas. La definición de Quine-Rosser anterior también admite clases adecuadas como proyecciones. De manera similar, el triple se define como una tupla de 3 de la siguiente manera:

{\ Displaystyle (x, y, z) = (\ {0 \} \ times s (x)) \ cup (\ {1 \} \ times s (y)) \ cup (\ {2 \} \ times s (z))}

El uso del conjunto singleton que tiene un conjunto vacío insertado permite que las tuplas tengan la propiedad de unicidad de que si a es una n -tupla yb es una m -tupla y a = b entonces n = m . Los triples ordenados que se definen como pares ordenados no tienen esta propiedad con respecto a los pares ordenados. ${\ Displaystyle s (x)}$

Definición axiomática

Los pares ordenados también se pueden introducir en la teoría de conjuntos (ZF) de Zermelo-Fraenkel axiomáticamente simplemente agregando a ZF un nuevo símbolo de función de arity 2 (generalmente se omite) y un axioma definitorio para : ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f}$

{\ Displaystyle f (a_ {1}, b_ {1}) = f (a_ {2}, b_ {2}) {\ text {si y solo si}} a_ {1} = a_ {2} {\ text {y}} b_ {1} = b_ {2}.}

Esta definición es aceptable porque esta extensión de ZF es una extensión conservadora .

La definición ayuda a evitar los llamados teoremas accidentales como (a, a) = {{a}}, {a} ∈ (a, b), si la definición de Kuratowski (a, b) = {{a}, {a, b }} se utilizó.

Teoría de categorías

Diagrama conmutativo para el producto establecido X ₁ × X ₂ .

Una categoría de teoría de producto A × B en una categoría de conjuntos representa el conjunto de pares ordenados, con el primer elemento procedente de A y la segunda procedente de B . En este contexto, la propiedad característica anterior es una consecuencia de la propiedad universal del producto y el hecho de que elementos de un conjunto X pueden ser identificados con morfismos de 1 (un conjunto un elemento) a X . Si bien diferentes objetos pueden tener la propiedad universal, todos son naturalmente isomórficos .

Languages

In other projects