Transformacion afin - Affine transformation

Una imagen de un fractal similar a un helecho ( helecho de Barnsley ) que exhibe una auto-semejanza afín . Cada una de las hojas del helecho está relacionada entre sí mediante una transformación afín. Por ejemplo, la hoja roja se puede transformar tanto en la hoja azul oscuro como en cualquiera de las hojas azul claro mediante una combinación de reflexión, rotación, escala y traslación.

En geometría euclidiana , una transformación afín , o una afinidad (del latín, affinis , "conectado con"), es una transformación geométrica que conserva las líneas y el paralelismo (pero no necesariamente distancias y ángulos ).

De manera más general, una transformación afín es un automorfismo de un espacio afín (los espacios euclidianos son espacios afines específicos), es decir, una función que mapea un espacio afín sobre sí mismo mientras conserva la dimensión de cualquier subespacio afín (lo que significa que envía puntos a puntos, líneas a líneas, planos a planos, etc.) y las proporciones de las longitudes de los segmentos de líneas paralelas . En consecuencia, los conjuntos de subespacios afines paralelos permanecen paralelos después de una transformación afín. Una transformación afín no conserva necesariamente los ángulos entre líneas o las distancias entre puntos, aunque conserva las proporciones de las distancias entre los puntos que se encuentran en una línea recta.

Si X es el conjunto de puntos de un espacio afín, entonces cada transformación afín en X se puede representar como la composición de una transformación lineal en X y una traducción de X . A diferencia de una transformación puramente lineal, una transformación afín no necesita preservar el origen del espacio afín. Por tanto, toda transformación lineal es afín, pero no toda transformación afín es lineal.

Los ejemplos de transformaciones afines incluyen traducción, escalado , homotecia , similitud , reflexión , rotación , mapeo de cizallamiento y composiciones de las mismas en cualquier combinación y secuencia.

Viendo un espacio afín como el complemento de un hiperplano en el infinito de un espacio proyectivo , las transformaciones afines son las transformaciones proyectivas de ese espacio proyectivo que dejan el hiperplano en el infinito invariante , restringido al complemento de ese hiperplano.

Una generalización de una transformación afín es un mapa afín (o homomorfismo afín o mapeo afín ) entre dos espacios afines (potencialmente diferentes) sobre el mismo campo k . Sean ( X , V , k ) y ( Z , W , k ) dos espacios afines con X y Z los conjuntos de puntos y V y W los respectivos espacios vectoriales asociados sobre el campo k . Un mapa f : XZ es un mapa afín si existe un mapa lineal m f  : VW tal que m f ( x - y ) = f ( x ) - f ( y ) para todo x, y en X .

Definición

Sea ( X , V , k ) un espacio afín de dimensión al menos dos, con X el conjunto de puntos y V el espacio vectorial asociado sobre el campo k . Una transformación semiafina f de X es una biyección de X sobre sí misma que satisface:

  1. Si S es un d -dimensional afín subespacio de X , f ( S ) es también un d -dimensional afín subespacio de X .
  2. Si S y T son subespacios afines paralelos de X , entonces f ( S ) || f ( T ) .

Estas dos condiciones expresan lo que se entiende precisamente por la expresión " f preserva el paralelismo".

Estas condiciones no son independientes ya que la segunda se sigue de la primera. Además, si el campo k tiene al menos tres elementos, la primera condición se puede simplificar a: f es una colineación , es decir, mapea líneas a líneas.

Si la dimensión del espacio afín ( X , V , k ) es al menos dos, entonces una transformación afín es una transformación semiafina f que satisface la condición: Si xy y pq son puntos de X tales que la recta segmenta xy y pq son paralelos, entonces

Líneas afines

Si la dimensión del espacio afín es uno, es decir, el espacio es una línea afín, entonces cualquier permutación de X satisfaría automáticamente las condiciones para ser una transformada semiafina. Entonces, una transformación afín de una línea afín se define como cualquier permutación f de los puntos de X tal que si xy y pq son puntos de X , entonces

Estructura

Por la definición de un espacio afín, V actúa en X , de modo que, para cada par ( x , v ) en X × V está asociado un punto y en X . Podemos denotar esta acción por v ( x ) = y . Aquí se utiliza la convención de que v = v son dos notaciones intercambiables para un elemento de V . Al fijar un punto c en X se puede definir una función m c  : XV por m c ( x ) = cx . Para cualquier c , esta función es uno a uno, por lo que tiene una función inversa m c −1  : VX dada por m c −1 ( v ) = v ( c ) . Estas funciones se pueden utilizar para convertir X en un espacio vectorial (con respecto al punto c ) definiendo:

  • y

Este espacio vectorial tiene origen cy necesita ser distinguido formalmente del espacio afín X , pero la práctica común es denotarlo con el mismo símbolo y mencionar que es un espacio vectorial después de que se ha especificado un origen. Esta identificación permite que los puntos se vean como vectores y viceversa.

Para cualquier transformación lineal λ de V , podemos definir la función L ( c , λ ): XX por

Entonces L ( c , λ ) es una transformación afín de X que deja el punto c fijo. Es una transformación lineal de X , visto como un espacio vectorial con origen c .

Dejar que σ ser cualquier afín transformación de X . Elija un punto c en X y considere la traslación de X por el vector , denotado por T w . Las traducciones son transformaciones afines y la composición de las transformaciones afines es una transformación afín. Para esta elección de c , existe una transformación lineal única λ de V tal que

Esto es, una transformación afín arbitraria de X es la composición de una transformación lineal de X (visto como un espacio vectorial) y una traducción de X .

Esta representación de transformaciones afines a menudo se toma como la definición de una transformación afín (con la elección del origen implícita).

Representación

Como se muestra arriba, un mapa afín es la composición de dos funciones: una traducción y un mapa lineal. El álgebra de vectores ordinarios utiliza la multiplicación de matrices para representar mapas lineales y la suma de vectores para representar las traducciones. Formalmente, en el caso de dimensión finita, si el mapa lineal se representa como una multiplicación por una matriz invertible y la traslación como la suma de un vector , un mapa afín que actúa sobre un vector se puede representar como

Matriz aumentada

Las transformaciones afines en el plano 2D se pueden realizar mediante transformaciones lineales en tres dimensiones. La traslación se realiza cortando a lo largo del eje z, y la rotación se realiza alrededor del eje z.

Usando una matriz aumentada y un vector aumentado, es posible representar tanto la traslación como el mapa lineal usando una única multiplicación de matrices . La técnica requiere que todos los vectores se aumenten con un "1" al final, y todas las matrices se aumenten con una fila adicional de ceros en la parte inferior, una columna adicional (el vector de traducción) a la derecha y un "1" en la esquina inferior derecha. Si es una matriz,

es equivalente a lo siguiente

La matriz aumentada mencionada anteriormente se denomina matriz de transformación afín . En el caso general, cuando el último vector de fila no está restringido , la matriz se convierte en una matriz de transformación proyectiva (ya que también se puede utilizar para realizar transformaciones proyectivas ).

Esta representación exhibe el conjunto de todas las transformaciones afines invertibles como el producto semidirecto de y . Este es un grupo bajo la operación de composición de funciones, llamado grupo afín .

La multiplicación ordinaria de matriz-vector siempre asigna el origen al origen y, por lo tanto, nunca podría representar una traducción, en la que el origen debe necesariamente asignarse a algún otro punto. Al agregar la coordenada adicional "1" a cada vector, esencialmente se considera que el espacio a ser mapeado como un subconjunto de un espacio con una dimensión adicional. En ese espacio, el espacio original ocupa el subconjunto en el que la coordenada adicional es 1. Por lo tanto, el origen del espacio original se puede encontrar en . Entonces es posible una traslación dentro del espacio original por medio de una transformación lineal del espacio de dimensiones superiores (específicamente, una transformación de corte). Las coordenadas en el espacio de dimensiones superiores son un ejemplo de coordenadas homogéneas . Si el espacio original es euclidiano , el espacio dimensional superior es un espacio proyectivo real .

La ventaja de utilizar coordenadas homogéneas es que se puede combinar cualquier número de transformaciones afines en una multiplicando las matrices respectivas. Esta propiedad se utiliza ampliamente en gráficos por computadora , visión por computadora y robótica .

Ejemplo de matriz aumentada

Si los vectores son una base del espacio vectorial proyectivo del dominio y si son los vectores correspondientes en el espacio vectorial del codominio , entonces la matriz aumentada que logra esta transformación afín

es

Esta formulación funciona independientemente de si alguno de los espacios de dominio, codominio y vector de imagen tiene el mismo número de dimensiones.

Por ejemplo, la transformación afín de un plano vectorial se determina únicamente a partir del conocimiento de dónde se asignan los tres vértices ( ) de un triángulo no degenerado a ( ), independientemente del número de dimensiones del codominio e independientemente de si el triángulo es no degenerado en el codominio.

Propiedades

Propiedades conservadas

Una transformación afín conserva:

  1. colinealidad entre puntos: tres o más puntos que se encuentran en la misma línea (llamados puntos colineales) continúan siendo colineales después de la transformación.
  2. paralelismo : dos o más líneas que son paralelas, continúan siendo paralelas después de la transformación.
  3. convexidad de conjuntos: un conjunto convexo sigue siendo convexo después de la transformación. Además, los puntos extremos del conjunto original se asignan a los puntos extremos del conjunto transformado.
  4. razones de longitudes de segmentos de líneas paralelas: para distintos segmentos paralelos definidos por puntos y , y , la razón de y es la misma que la de y .
  5. baricentros de colecciones ponderadas de puntos.

Grupos

Una transformación afín es invertible , por lo tanto, es invertible. En la representación matricial, la inversa es:

Las transformaciones afines invertibles (de un espacio afín sobre sí mismo) forman el grupo afín , que tiene el grupo lineal general de grado como subgrupo y es en sí mismo un subgrupo del grupo lineal general de grado .

Las transformaciones de similitud forman el subgrupo donde es un escalar por una matriz ortogonal . Por ejemplo, si la transformación afín actúa en el plano y si el determinante de es 1 o −1, entonces la transformación es un mapeo equiareal . Tales transformaciones forman un subgrupo llamado grupo equi-afín . Una transformación que es tanto equi-afín como una similitud es una isometría del plano tomado con la distancia euclidiana .

Cada uno de estos grupos tiene un subgrupo de transformaciones afines positivas o conservadoras de la orientación : aquellas en las que el determinante de es positivo. En el último caso es en 3D el grupo de transformaciones rígidas ( rotaciones propias y traslaciones puras).

Si hay un punto fijo, podemos tomarlo como origen, y la transformación afín se reduce a una transformación lineal. Esto puede facilitar la clasificación y la comprensión de la transformación. Por ejemplo, describir una transformación como una rotación en un cierto ángulo con respecto a un cierto eje puede dar una idea más clara del comportamiento general de la transformación que describirla como una combinación de una traslación y una rotación. Sin embargo, esto depende de la aplicación y el contexto.

Mapas afines

Un mapa afín entre dos espacios afines es un mapa de los puntos que actúa linealmente sobre los vectores (es decir, los vectores entre puntos del espacio). En símbolos, determina una transformación lineal tal que, para cualquier par de puntos :

o

.

Podemos interpretar esta definición de algunas otras formas, como sigue.

Si se elige un origen y denota su imagen , esto significa que para cualquier vector :

.

Si también se elige un origen , este se puede descomponer como una transformación afín que envía , es decir

,

seguido de la traducción por un vector .

La conclusión es que, intuitivamente, consta de una traducción y un mapa lineal.

Definición alternativa

Dados dos espacios afines y , sobre el mismo campo, una función es un mapa afín si y solo si para cada familia de puntos ponderados en tal que

,

tenemos

.

En otras palabras, conserva los baricentros .

Historia

La palabra "afín" como término matemático se define en conexión con las tangentes a las curvas en la Introductio in analysin infinitorum de Euler de 1748 . Felix Klein atribuye el término "transformación afín" a Möbius y Gauss .

Transformación de imagen

En sus aplicaciones al procesamiento de imágenes digitales , las transformaciones afines son análogas a imprimir en una hoja de caucho y estirar los bordes de la hoja paralelos al plano. Esta transformación reubica los píxeles que requieren una interpolación de intensidad para aproximarse al valor de los píxeles movidos, la interpolación bicúbica es el estándar para las transformaciones de imágenes en las aplicaciones de procesamiento de imágenes. Las transformaciones afines escalan, rotan, trasladan, reflejan y cortan imágenes como se muestra en los siguientes ejemplos:

Nombre de transformación Matriz afín Ejemplo
Identidad (transformar a imagen original) Identidad de tablero de ajedrez.svg
Traducción Identidad de tablero de ajedrez.svg
Reflexión Reflexión de tablero de ajedrez.svg
Escala Tablero de ajedrez scale.svg
Girar Tablero de ajedrez rotate.svg
donde θ = π/6 = 30 °
Cortar Tablero de ajedrez shear.svg

Las transformaciones afines son aplicables al proceso de registro donde se alinean (registran) dos o más imágenes. Un ejemplo de registro de imágenes es la generación de imágenes panorámicas que son el producto de varias imágenes cosidas juntas.

Deformación afín

La transformación afín conserva las líneas paralelas. Sin embargo, las transformaciones de estiramiento y corte deforman las formas, como muestra el siguiente ejemplo:

Imagen de círculo blanco sobre negro 256 por 256.png Círculo cizallado por transformación afín.png

Este es un ejemplo de deformación de la imagen. Sin embargo, las transformaciones afines no facilitan la proyección sobre una superficie curva o las distorsiones radiales .

En el avión

Una dilatación central. Los triángulos A1B1Z, A1C1Z y B1C1Z se asignan a A2B2Z, A2C2Z y B2C2Z, respectivamente.

Las transformaciones afines en dos dimensiones reales incluyen:

  • traducciones puras,
  • escala en una dirección dada, con respecto a una línea en otra dirección (no necesariamente perpendicular), combinada con una traslación que no es puramente en la dirección de escala; tomando "escala" en un sentido generalizado incluye los casos en que el factor de escala es cero ( proyección ) o negativo; este último incluye la reflexión , y combinado con la traducción incluye la reflexión de deslizamiento ,
  • rotación combinada con una homotecia y una traslación,
  • mapeo de corte combinado con una homotecia y una traslación, o
  • mapeo de compresión combinado con una homotecia y una traducción.

Para visualizar la transformación afín general del plano euclidiano , tome los paralelogramos etiquetados ABCD y A′B′C′D ′ . Cualesquiera que sean las opciones de puntos, hay una transformación afín T del plano que lleva A a A ′ , y cada vértice de manera similar. Suponiendo que excluimos el caso degenerado en el que ABCD tiene área cero , existe una transformación afín T única . Dibujando una cuadrícula completa de paralelogramos basada en ABCD , la imagen T ( P ) de cualquier punto P se determina observando que T ( A ) = A ′ , T aplicado al segmento de línea AB es A′B ′ , T aplicado a el segmento de línea AC es A'C ' , y T respeta múltiplos escalares de los vectores basados en a . [Si A , E , F son colineales, entonces la relación longitud ( AF ) / longitud ( AE ) es igual a longitud ( AF ′) / longitud ( AE ′).] Geométricamente T transforma la cuadrícula basada en ABCD en el basado en A′B′C′D ′ .

Las transformaciones afines no respetan longitudes ni ángulos; multiplican el área por un factor constante

área de A′B′C′D ′ / área de ABCD .

Una T dada puede ser directa (respecto a la orientación) o indirecta (orientación inversa), y esto puede estar determinado por su efecto en áreas con signo (como se define, por ejemplo, por el producto cruzado de vectores).

Ejemplos de

Sobre los números reales

Las funciones con y en , son precisamente las transformaciones afines de la línea real .

Sobre un campo finito

La siguiente ecuación expresa una transformación afín de GF ( 28 ) visto como un espacio vectorial de 8 dimensiones sobre GF (2), que se utiliza en el algoritmo criptográfico Rijndael (AES) :

donde está la matriz de abajo, es un vector fijo y Específicamente,
y

Por ejemplo, la transformación afín del elemento en notación binaria big-endian se calcula de la siguiente manera:

Por lo tanto, .

En geometría plana

Una simple transformación afín en el plano real.
Efecto de aplicar varias matrices de transformación afín 2D en un cuadrado unitario. Tenga en cuenta que las matrices de reflexión son casos especiales de la matriz de escala.

En , la transformación que se muestra a la izquierda se logra usando el mapa dado por:

Transformar los tres puntos de las esquinas del triángulo original (en rojo) da tres nuevos puntos que forman el nuevo triángulo (en azul). Esta transformación sesga y traduce el triángulo original.

De hecho, todos los triángulos están relacionados entre sí mediante transformaciones afines. Esto también es cierto para todos los paralelogramos, pero no para todos los cuadriláteros.

Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos