Filtración (matemáticas) - Filtration (mathematics)

En matemáticas , una filtración es una familia indexada de subobjetos de una estructura algebraica dada , con el índice corriendo sobre un conjunto de índices totalmente ordenado , sujeto a la condición de que ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle (S_ {i}) _ {i \ in I}}$ ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle I}$

si está dentro , entonces .${\ Displaystyle i \ leq j}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle S_ {i} \ subseteq S_ {j}}$

Si el índice es el parámetro de tiempo de algún proceso estocástico , entonces la filtración puede interpretarse como la representación de toda la información histórica pero no futura disponible sobre el proceso estocástico, y la estructura algebraica gana en complejidad con el tiempo. Por lo tanto, un proceso que se adapta a una filtración también se denomina no anticipado , porque no puede "ver el futuro". ${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle S_ {i}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

A veces, como en un álgebra filtrada , existe en cambio el requisito de que sean subálgebras con respecto a algunas operaciones (digamos, suma de vectores ), pero no con respecto a otras operaciones (digamos, multiplicación) que satisfacen solo , donde el conjunto de índices es los números naturales ; esto es por analogía con un álgebra graduada . ${\ Displaystyle S_ {i}}$${\ Displaystyle S_ {i} \ cdot S_ {j} \ subseteq S_ {i + j}}$

A veces, se supone que las filtraciones satisfacen el requisito adicional de que la unión del ser el todo , o (en casos más generales, cuando la noción de unión no tiene sentido) que el homomorfismo canónico desde el límite directo del a es un isomorfismo . Si este requisito se asume o no, generalmente depende del autor del texto y, a menudo, se establece explícitamente. Este artículo no impone este requisito. ${\ Displaystyle S_ {i}}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S_ {i}}$${\ Displaystyle S}$

También existe la noción de una filtración descendente , que se requiere para satisfacer en lugar de (y, ocasionalmente, en lugar de ). Una vez más, depende del contexto cómo debe entenderse exactamente la palabra "filtración". Las filtraciones descendentes no deben confundirse con la noción dual de cofiltraciones (que consisten en objetos cocientes en lugar de subobjetos ). ${\ Displaystyle S_ {i} \ supseteq S_ {j}}$${\ Displaystyle S_ {i} \ subseteq S_ {j}}$${\ Displaystyle \ bigcap _ {i \ in I} S_ {i} = 0}$${\ Displaystyle \ bigcup _ {i \ in I} S_ {i} = S}$

Las filtraciones se utilizan ampliamente en álgebra abstracta , álgebra homológica (donde están relacionadas de manera importante con secuencias espectrales ) y en teoría de medidas y teoría de probabilidad para secuencias anidadas de σ-álgebras . En análisis funcional y análisis numérico , se suele utilizar otra terminología, como escala de espacios o espacios anidados .

Ejemplos de

Álgebra

Álgebras

Ver: álgebra filtrada

Grupos

En álgebra, las filtraciones normalmente están indexadas por el conjunto de números naturales. Una filtración de un grupo , es entonces una secuencia anidada de subgrupos normales de (es decir, para cualquiera que tengamos ). Tenga en cuenta que este uso de la palabra "filtración" corresponde a nuestra "filtración descendente". ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G_ {n}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle G_ {n + 1} \ subseteq G_ {n}}$

Dado un grupo y una filtración , no hay una manera natural para definir una topología en , dice que está asociado a la filtración. Una base para esta topología es el conjunto de todas las clases laterales de subgrupos que aparecen en la filtración, es decir, un subconjunto de se define como abierto si es una unión de conjuntos de la forma , donde y es un número natural. ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G_ {n}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle aG_ {n}}$${\ Displaystyle a \ in G}$${\ Displaystyle n}$

La topología asociada a una filtración en un grupo se convierte en un grupo topológico . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$

La topología asociada a una filtración en un grupo es Hausdorff si y solo si . ${\ Displaystyle G_ {n}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ bigcap G_ {n} = \ {1 \}}$

Si dos filtraciones y se definen en un grupo , entonces el mapa de identidad de a , donde a la primera copia de se le da la -topología y a la segunda la -topología, es continuo si y solo si para alguna hay tal que , es decir , si y solo si el mapa de identidad es continuo en 1. En particular, las dos filtraciones definen la misma topología si y solo si para cualquier subgrupo que aparece en uno hay uno más pequeño o igual que aparece en el otro. ${\ Displaystyle G_ {n}}$${\ Displaystyle G '_ {n}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G_ {n}}$${\ Displaystyle G '_ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle G_ {m} \ subseteq G '_ {n}}$

Anillos y módulos: filtraciones descendentes

Dado un anillo y un módulo , una filtración descendente de es una secuencia decreciente de submódulos . Este es, por tanto, un caso especial de la noción de grupos, con la condición adicional de que los subgrupos sean submódulos. La topología asociada se define como para grupos. ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle M_ {n}}$

Un caso especial importante se conoce como topología -ádica (o -ádica, etc.). Sea un anillo conmutativo y un ideal de . ${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle R}$

Dado un -módulo , la secuencia de submódulos de forma una filtración de . La topología -ádica en es entonces la topología asociada a esta filtración. Si es solo el anillo en sí, hemos definido la topología -adic en . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle I ^ {n} M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle R}$

Cuando se le da la topología -ádica, se convierte en un anillo topológico . Si a un -module se le da la topología -adic, se convierte en un -module topológico , en relación con la topología dada en . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$

Anillos y módulos: filtraciones ascendentes

Dado un anillo y un módulo , una filtración ascendente de es una secuencia creciente de submódulos . En particular, si es un campo, entonces una filtración ascendente del espacio -vector es una secuencia creciente de subespacios vectoriales de . Las banderas son una clase importante de tales filtraciones. ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M_ {n}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$

Conjuntos

Una filtración máxima de un conjunto equivale a un ordenamiento (una permutación ) del conjunto. Por ejemplo, la filtración corresponde al pedido . Desde el punto de vista del campo con un elemento , un ordenamiento en un conjunto corresponde a una bandera máxima (una filtración en un espacio vectorial), considerando un conjunto como un espacio vectorial sobre el campo con un elemento. ${\ Displaystyle \ {0 \} \ subseteq \ {0,1 \} \ subseteq \ {0,1,2 \}}$${\ Displaystyle (0,1,2)}$

Teoría de la medida

En la teoría de la medida , en particular en la teoría de la martingala y la teoría de los procesos estocásticos , una filtración es una secuencia creciente de -álgebras en un espacio medible . Es decir, dado un espacio medible , una filtración es una secuencia de -álgebras con donde cada uno es un no negativo número real y ${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \} _ {t \ geq 0}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t} \ subseteq {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle t}$

${\ Displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ implica {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}.}$

El rango exacto de los "tiempos" generalmente dependerá del contexto: el conjunto de valores para puede ser discreto o continuo, limitado o ilimitado. Por ejemplo, ${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle t}$

${\ Displaystyle t \ in \ {0,1, \ dots, N \}, \ mathbb {N} _ {0}, [0, T] {\ mbox {o}} [0, + \ infty).}$

De manera similar, un espacio de probabilidad filtrado (también conocido como base estocástica ) , es un espacio de probabilidad equipado con la filtración de su -álgebra . Se dice que un espacio de probabilidad filtrado satisface las condiciones habituales si es completo (es decir, contiene todos - conjuntos nulos ) y continuo a la derecha (es decir, para todos los tiempos ). ${\ Displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}, \ mathbb {P} \ Derecha)}$${\ Displaystyle \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {0}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t} = {\ mathcal {F}} _ {t +}: = \ bigcap _ {s> t} {\ mathcal {F}} _ {s}}$${\ Displaystyle t}$

También es útil (en el caso de un conjunto de índices ilimitado) definir como el -álgebra generado por la unión infinita de los 's, que está contenido en : ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ right) \ subseteq {\ mathcal { F}}.}$

Un σ- álgebra define el conjunto de eventos que se pueden medir, que en un contexto de probabilidad es equivalente a eventos que se pueden discriminar, o "preguntas que se pueden responder en el momento ". Por lo tanto, una filtración se usa a menudo para representar el cambio en el conjunto de eventos que se pueden medir, a través de la ganancia o pérdida de información . Un ejemplo típico es en finanzas matemáticas , donde una filtración representa la información disponible hasta e incluyendo cada vez , y es cada vez más precisa (el conjunto de eventos medibles permanece igual o aumenta) a medida que más información de la evolución del stock el precio está disponible. ${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle t}$

Relación con los tiempos de parada: tiempo de parada sigma-álgebras

Sea un espacio de probabilidad filtrado. Una variable aleatoria es un tiempo de parada con respecto a la filtración , en todo caso . El álgebra del tiempo de parada ahora se define como ${\ Displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}, \ mathbb {P} \ Derecha)}$${\ Displaystyle \ tau: \ Omega \ rightarrow [0, \ infty]}$ ${\ Displaystyle \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}}$${\ Displaystyle \ {\ tau \ leq t \} \ in {\ mathcal {F}} _ {t}}$${\ Displaystyle t \ geq 0}$ ${\ Displaystyle \ sigma}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}: = \ left \ {A \ in {\ mathcal {F}}: A \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ in {\ mathcal { F}} _ {t}, \ \ forall t \ geq 0 \ right \}}$.

No es difícil demostrar que de hecho es un -álgebra . El conjunto de información codifica al azar tiempo en el sentido de que, si el espacio de probabilidad filtrado se interpreta como un experimento aleatorio, el máximo de información que se puede encontrar información sobre él desde arbitrariamente a menudo repitiendo el experimento hasta que el tiempo aleatorio es . En particular, si el espacio de probabilidad subyacente es finito ( es decir, es finito), los conjuntos mínimos de (con respecto a la inclusión de conjuntos) vienen dados por la unión de todos los conjuntos de conjuntos mínimos de que se encuentran . ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\ Displaystyle t \ geq 0}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$${\ Displaystyle \ {\ tau = t \}}$

Se puede demostrar que es medible. Sin embargo, ejemplos simples muestran que, en general ,. Si y son tiempos de parada en , y casi con toda seguridad , a continuación,${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\ Displaystyle \ sigma (\ tau) \ neq {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\ Displaystyle \ tau _ {1}}$${\ Displaystyle \ tau _ {2}}$${\ Displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}, \ mathbb {P} \ Derecha)}$${\ Displaystyle \ tau _ {1} \ leq \ tau _ {2}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau _ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {\ tau _ {2}}.}$

Ver también

• Filtración natural
• Filtración (teoría de la probabilidad)
• Filtro (matemáticas)

Referencias

• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones . Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2.