Anillo graduado - Graded ring

Estructuras algebraicas
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Como un módulo Módulo Grupo con operadores Espacio vectorial Álgebra lineal
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En matemáticas , en particular álgebra abstracta , un anillo graduado es un anillo tal que el grupo aditivo subyacente es una suma directa de grupos abelianos tales que . El conjunto de índices suele ser el conjunto de enteros no negativos o el conjunto de enteros, pero puede ser cualquier monoide . La descomposición de suma directa se suele denominar gradación o gradación . ${\ Displaystyle R_ {i}}$${\ Displaystyle R_ {i} R_ {j} \ subseteq R_ {i + j}}$

Un módulo graduado se define de manera similar (consulte a continuación para obtener la definición precisa). Generaliza espacios vectoriales graduados . Un módulo graduado que también es un anillo graduado se llama álgebra graduada . Un anillo graduado también podría verse como un álgebra graduada . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

La asociatividad no es importante (de hecho, no se usa en absoluto) en la definición de un anillo graduado; por tanto, la noción se aplica también a las álgebras no asociativas ; por ejemplo, se puede considerar un álgebra de Lie graduada .

Primeras propiedades

Generalmente, se supone que el conjunto de índices de un anillo graduado es el conjunto de enteros no negativos, a menos que se especifique explícitamente lo contrario. Este es el caso de este artículo.

Un anillo graduado es un anillo que se descompone en una suma directa.

${\ Displaystyle R = \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} R_ {n} = R_ {0} \ oplus R_ {1} \ oplus R_ {2} \ oplus \ cdots}$

de grupos aditivos , de manera que

${\ Displaystyle R_ {m} R_ {n} \ subseteq R_ {m + n}}$

para todos los enteros no negativos y . ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle n}$

Se dice que un elemento distinto de cero es homogéneo de grado . Por definición de una suma directa, cada elemento distinto de cero se puede escribir de forma única como una suma donde cada uno es 0 u homogéneo de grado . Los distintos de cero son los componentes homogéneos de  . ${\ Displaystyle R_ {n}}$ ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle a = a_ {0} + a_ {1} + \ cdots + a_ {n}}$${\ Displaystyle a_ {i}}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle a_ {i}}$${\ Displaystyle a}$

Algunas propiedades básicas son:

• ${\ Displaystyle R_ {0}}$ es un subanillo de ; en particular, la identidad multiplicativa es un elemento homogéneo de grado cero. ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle 1}$
• Para cualquier , es un módulo - de dos caras , y la descomposición de suma directa es una suma directa de -módulos. ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle R_ {n}}$${\ Displaystyle R_ {0}}$${\ Displaystyle R_ {0}}$
• ${\ Displaystyle R}$ es un álgebra asociativa ${\ Displaystyle R_ {0}}$ .

Un ideal es homogéneo , si para todos , los componentes homogéneos de también pertenecen a (De manera equivalente, si es un submódulo graduado de ; ver § Módulo graduado ). La intersección de un ideal homogéneo con es un submódulo de llamado la parte homogénea de grado de . Un ideal homogéneo es la suma directa de sus partes homogéneas. ${\ Displaystyle I \ subseteq R}$${\ Displaystyle a \ in I}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle I.}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle R_ {n}}$${\ Displaystyle R_ {0}}$${\ Displaystyle R_ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle I}$

Si es un ideal homogéneo de dos caras en , entonces también es un anillo graduado, descompuesto como ${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R / I}$

${\ Displaystyle R / I = \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} R_ {n} / I_ {n},}$

donde es la parte homogénea de grado de . ${\ Displaystyle I_ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle I}$

Ejemplos básicos

• Cualquier (no clasificado) anillo R se puede dar una gradación dejando , y para i ≠ 0. Esto se llama la gradación trivial en  R . ${\ Displaystyle R_ {0} = R}$${\ Displaystyle R_ {i} = 0}$
• El anillo polinomial se clasifica por grados : es una suma directa de polinomios homogéneos de grado i . ${\ Displaystyle R = k [t_ {1}, \ ldots, t_ {n}]}$${\ Displaystyle R_ {i}}$
• Deje S el conjunto de todos los elementos distintos de cero homogéneo en un graduada dominio integral R . Entonces la localización de R con respecto a S es un anillo graduado. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
• Si I es un ideal en un anillo conmutativo R , entonces es un anillo graduado llamado anillo graduado asociado de R a lo largo de I ; geométricamente, es el anillo de coordenadas del cono normales a lo largo de la subvariedad definido por I . ${\ Displaystyle \ bigoplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1}}$
• Deje X un espacio topológico, H ⁱ (X; R) el i -ésimo grupo cohomology con coeficientes en un anillo R . Entonces H ^* (X; R) , el anillo de cohomología de X con coeficientes en R , es un anillo graduado cuyo grupo subyacente está con la estructura multiplicativa dada por el producto de taza. ${\ Displaystyle \ bigoplus _ {i = 0} ^ {\ infty} H ^ {i} (X; R)}$

Módulo graduado

La idea correspondiente en la teoría de módulos es la de un módulo graduado , es decir, un módulo izquierdo M sobre un anillo graduado R tal que también

${\ Displaystyle M = \ bigoplus _ {i \ in \ mathbb {N}} M_ {i},}$

y

${\ Displaystyle R_ {i} M_ {j} \ subseteq M_ {i + j}.}$

Ejemplo : un espacio vectorial calificado es un ejemplo de un módulo calificado sobre un campo (el campo tiene una calificación trivial).

Ejemplo : un anillo graduado es un módulo graduado sobre sí mismo. Un ideal en un anillo escalonado es homogéneo si y solo si es un submódulo escalonado. El aniquilador de un módulo graduado es un ideal homogéneo.

Ejemplo : Dado un I ideal en un anillo conmutativo R y un módulo R M , la suma directa es un módulo graduado sobre el anillo graduado asociado . ${\ Displaystyle \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} I ^ {n} M / I ^ {n + 1} M}$${\ Displaystyle \ bigoplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1}}$

Un morfismo entre módulos graduados, llamado morfismo graduado , es un morfismo de módulos subyacentes que respeta la clasificación; es decir, . Un submódulo calificado es un submódulo que es un módulo calificado por derecho propio y tal que la inclusión de la teoría de conjuntos es un morfismo de los módulos graduados. Explícitamente, un módulo calificado N es un submódulo calificado de M si y solo si es un submódulo de M y satisface . El núcleo y la imagen de un morfismo de módulos graduados son submódulos graduados. ${\ Displaystyle f: N \ to M}$${\ Displaystyle f (N_ {i}) \ subseteq M_ {i}}$${\ Displaystyle N_ {i} = N \ cap M_ {i}}$

Observación: Dar un morfismo escalonado de un anillo escalonado a otro anillo escalonado con la imagen en el centro es lo mismo que dar la estructura de un álgebra escalonada al último anillo.

Dado un módulo calificado , el -twist de es un módulo calificado definido por . (cf. la gavilla retorcida de Serre en geometría algebraica). ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ ell}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M (\ ell) _ {n} = M_ {n + \ ell}}$

Sean M y N módulos graduados. Si es un morfismo de módulos, entonces se dice que f tiene grado d si . Una derivada exterior de formas diferenciales en geometría diferencial es un ejemplo de tal morfismo que tiene grado 1. ${\ Displaystyle f \ dos puntos M \ a N}$${\ Displaystyle f (M_ {n}) \ subseteq N_ {n + d}}$

Invariantes de módulos graduados

Dado un módulo graduado M sobre un anillo graduado conmutativo R , se puede asociar la serie de potencias formales : ${\ Displaystyle P (M, t) \ in \ mathbb {Z} [\! [t] \!]}$

${\ Displaystyle P (M, t) = \ sum \ ell (M_ {n}) t ^ {n}}$

(suponiendo que son finitos.) Se llama la serie Hilbert-Poincaré de M . ${\ Displaystyle \ ell (M_ {n})}$

Se dice que un módulo graduado se genera de manera finita si el módulo subyacente se genera de manera finita. Se puede considerar que los generadores son homogéneos (reemplazando los generadores por sus partes homogéneas).

Suponga que R es un anillo polinomial , k un campo y M un módulo graduado generado finitamente sobre él. A continuación, la función se llama la función de Hilbert de H . Los coincide función con el valor entero polinomio para grandes n llamado el polinomio de Hilbert de M . ${\ Displaystyle k [x_ {0}, \ dots, x_ {n}]}$${\ Displaystyle n \ mapsto \ dim _ {k} M_ {n}}$

Álgebra graduada

Un álgebra A sobre un anillo R es un álgebra graduada si se califica como un anillo.

En el caso habitual en el que el anillo R no está clasificado (en particular si R es un campo), se le da la clasificación trivial (cada elemento de R es de grado 0). Por lo tanto, y las piezas graduadas son módulos R.${\ Displaystyle R \ subseteq A_ {0}}$${\ Displaystyle A_ {i}}$

En el caso de que el anillo R también sea un anillo graduado, entonces se requiere que

${\ Displaystyle R_ {i} A_ {j} \ subseteq A_ {i + j}}$

En otras palabras, se requiere un ser un módulo de izquierda graduada sobre R .

Los ejemplos de álgebras graduadas son comunes en matemáticas:

• Anillos polinomiales . Los elementos homogéneos de grado n son exactamente los polinomios homogéneos de grado n .
• El álgebra tensor de un espacio vectorial V . Los elementos homogéneos de grado n son los tensores de orden n , . ${\ Displaystyle T ^ {\ bullet} V}$ ${\ Displaystyle T ^ {n} V}$
• El álgebra exterior y el álgebra simétrica también son álgebras graduadas. ${\ Displaystyle \ textstyle \ bigwedge \ nolimits ^ {\ bullet} V}$ ${\ Displaystyle S ^ {\ bullet} V}$
• El anillo de cohomología en cualquier teoría de cohomología también se clasifica, siendo la suma directa de los grupos de cohomología . ${\ Displaystyle H ^ {\ bullet}}$${\ Displaystyle H ^ {n}}$

Las álgebras graduadas se utilizan mucho en álgebra conmutativa y geometría algebraica , álgebra homológica y topología algebraica . Un ejemplo es la estrecha relación entre polinomios homogéneos y variedades proyectivas (cf. anillo de coordenadas homogéneas ).

Anillos y álgebras de grado G

Las definiciones anteriores se han generalizado a anillos clasificados utilizando cualquier monoide G como conjunto de índices. Un anillo de grado G R es un anillo con una descomposición de suma directa

${\ Displaystyle R = \ bigoplus _ {i \ in G} R_ {i}}$

tal que

${\ Displaystyle R_ {i} R_ {j} \ subseteq R_ {i \ cdot j}.}$

Los elementos de R que se encuentran en el interior para algunos se dice que son homogéneos de grado i . ${\ Displaystyle R_ {i}}$${\ Displaystyle i \ in G}$

La noción previamente definida de "anillo graduado" ahora se convierte en lo mismo que un anillo graduado, donde es el monoide de los enteros no negativos bajo la suma. Las definiciones para los módulos y álgebras graduadas también se pueden ampliar de esta manera la sustitución del conjunto de indexación con cualquier monoid G . ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

Observaciones:

• Si no requerimos que el anillo tenga un elemento de identidad, los semigrupos pueden reemplazar a los monoides .

Ejemplos:

• Un grupo clasifica naturalmente el anillo de grupo correspondiente ; de manera similar, los anillos de monoide se clasifican por el monoide correspondiente.
• Una superalgebra (asociativa) es otro término para un álgebra graduada. Los ejemplos incluyen álgebras de Clifford . Aquí los elementos homogéneos son de grado 0 (par) o 1 (impar). ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

Anticommutatividad

Algunos anillos graduados (o álgebras) están dotados de una estructura anticomutativa . Esta noción requiere un homomorfismo del monoide de la gradación en el monoide aditivo de , el campo con dos elementos. Específicamente, un monoide con signo consta de un par donde es un monoide y es un homomorfismo de monoides aditivos. Un anticonmutativo anillo -graded es un anillo A clasifica con respecto a Γ tal que: ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle (\ Gamma, \ varepsilon)}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ varepsilon \ colon \ Gamma \ to \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ Gamma}$

${\ Displaystyle xy = (- 1) ^ {\ varepsilon (\ deg x) \ varepsilon (\ deg y)} yx,}$

para todos los elementos homogéneos x y y .

Ejemplos de

• Un álgebra exterior es un ejemplo de un álgebra anticomutativa, graduada con respecto a la estructura donde está el mapa de cocientes. ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z}, \ varepsilon)}$${\ Displaystyle \ varepsilon \ colon \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$
• Un álgebra superconmutativa (a veces llamado anillo asociativo conmutativo sesgado ) es lo mismo que un álgebra de grado anticomutativo , donde está el endomorfismo de identidad de la estructura aditiva de . ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z}, \ varepsilon)}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$

Monoide graduado

Intuitivamente, un monoide graduado es el subconjunto de un anillo graduado , generado por los 's, sin usar la parte aditiva. Es decir, el conjunto de elementos del monoide graduado es . ${\ Displaystyle \ bigoplus _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}} R_ {n}}$${\ Displaystyle R_ {n}}$${\ Displaystyle \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}} R_ {n}}$

Formalmente, un monoide graduado es un monoide , con una función de gradación tal que . Nótese que la gradación de es necesariamente 0. Algunos autores solicitan además que cuando m no sea la identidad. ${\ Displaystyle (M, \ cdot)}$${\ Displaystyle \ phi: M \ to \ mathbb {N} _ {0}}$${\ Displaystyle \ phi (m \ cdot m ') = \ phi (m) + \ phi (m')}$${\ Displaystyle 1_ {M}}$${\ Displaystyle \ phi (m) \ neq 0}$

Suponiendo que las gradaciones de los elementos que no son de identidad no son cero, el número de elementos de la gradación n es como máximo, donde g es la cardinalidad de un grupo generador G del monoide. Por lo tanto el número de elementos de gradación n o menos es como máximo (para ) o más. De hecho, cada uno de estos elementos es el producto de como máximo n elementos de G , y solo existen tales productos. Del mismo modo, el elemento de identidad no se puede escribir como el producto de dos elementos que no son de identidad. Es decir, no hay divisor de unidades en tal monoide graduado. ${\ Displaystyle g ^ {n}}$ ${\ Displaystyle n + 1}$${\ Displaystyle g = 1}$${\ Displaystyle {\ frac {g ^ {n + 1} -1} {g-1}}}$${\ Displaystyle {\ frac {g ^ {n + 1} -1} {g-1}}}$

Serie de potencia indexada por un monoide graduado

Esta noción permite ampliar la noción de anillo en serie de potencias . En lugar de tener la familia de indexación , la familia de indexación podría ser cualquier monoide graduado, asumiendo que el número de elementos de grado n es finito, para cada número entero n . ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

Más formalmente, sea ​​un semiring arbitrario y un monoide graduado. Entonces denota la semiring de series de potencia con coeficientes en K indexado por R . Sus elementos son funciones de R a K . La suma de dos elementos se define el punto-sabio, que es la función de envío a . Y el producto es la función que envía a la suma infinita . Esta suma está correctamente definida (es decir, finita) porque, para cada m , sólo existe un número finito de pares ( p , q ) tal que pq = m . ${\ Displaystyle (K, + _ {K}, \ times _ {K})}$${\ Displaystyle (R, \ cdot, \ phi)}$${\ Displaystyle K \ langle \ langle R \ rangle \ rangle}$${\ Displaystyle s, s '\ en K \ langle \ langle R \ rangle \ rangle}$${\ Displaystyle m \ in R}$${\ Displaystyle s (m) + _ {K} s '(m)}$${\ Displaystyle m \ in R}$${\ Displaystyle \ sum _ {p, q \ in R, p \ cdot q = m} s (p) \ times _ {K} s '(q)}$

Ejemplo

En la teoría del lenguaje formal , dado un alfabeto A , el monoide libre de palabras sobre A puede considerarse como un monoide graduado, donde la gradación de una palabra es su longitud.

Ver también

• Anillo graduado asociado
• Álgebra diferencial graduada
• Álgebra filtrada , una generalización
• Calificado (matemáticas)
• Categoría calificada
• Espacio vectorial graduado
• Álgebra tensorial
• Módulo graduado diferencial

Referencias