Fibra (matemáticas) - Fiber (mathematics)

En matemáticas , el término fibra ( inglés de EE . UU. ) O fibra ( inglés británico ) puede tener dos significados, según el contexto:

En la teoría de conjuntos ingenua , la fibra del elemento $y$ en el conjunto Y bajo un mapa $f : X \to Y$ es la imagen inversa del singleton bajo $f$ . ${\ Displaystyle \ {y \}}$
En geometría algebraica , la noción de fibra de un morfismo de esquemas debe definirse con más cuidado porque, en general, no todos los puntos están cerrados.

Definiciones

Fibra en la teoría de conjuntos ingenua

Sea $f : X \to Y$ un mapa . La fibra de un elemento comúnmente denotado por se define como ${\ Displaystyle y \ en Y,}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (y),}$

{\ Displaystyle f ^ {- 1} (y): = \ {x \ in X \ mid f (x) = y \}.}

Es decir, la fibra de

y

bajo f es el conjunto de elementos en el dominio de f que están mapeados

ay

.

La imagen inversa o preimagen generaliza el concepto de fibra a subconjuntos del codominio. La notación todavía se usa para referirse a la fibra, ya que la fibra de un elemento $y$ es la preimagen del conjunto singleton , como en . Es decir, la fibra se puede tratar como una función desde el codominio hasta el conjunto de potencias del dominio: mientras que la preimagen generaliza esto a una función entre conjuntos de potencia: ${\ displaystyle f ^ {- 1} (A)}$ ${\ Displaystyle A \ subseteq Y}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}$ ${\ Displaystyle \ {y \}}$ ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (\ {y \})}$ ${\ Displaystyle f ^ {- 1}: Y \ a {\ mathcal {P}} (X),}$ ${\ Displaystyle f ^ {- 1}: {\ mathcal {P}} (Y) \ a {\ mathcal {P}} (X).}$

Si f mapea en los números reales, por lo que es simplemente un número, a continuación, la fibra también se llama el conjunto de nivel de $y$ bajo f : Si f es una función continua y $Y$ está en la imagen de f , entonces el conjunto nivel de $y$ bajo f es una curva en 2D , una superficie en 3D y, de manera más general, una hipersuperficie de dimensión $d$ $- 1.$ ${\ Displaystyle y \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}$ ${\ Displaystyle L_ {y} (f).}$