Función continua - Continuous function

En matemáticas , una función continua es una función que no tiene cambios bruscos de valor , conocidos como discontinuidades . Más precisamente, una función es continua si se pueden asegurar cambios arbitrariamente pequeños en su salida restringiendo a cambios suficientemente pequeños en su entrada. Si no es continua, se dice que una función es discontinua . Hasta el siglo XIX, los matemáticos se basaron en gran medida en nociones intuitivas de continuidad, durante las cuales se hicieron intentos como la definición épsilon-delta para formalizarla.

La continuidad de las funciones es uno de los conceptos centrales de la topología , que se trata en su totalidad a continuación. La parte introductoria de este artículo se centra en el caso especial en el que las entradas y salidas de funciones son números reales . Una forma más fuerte de continuidad es la continuidad uniforme . Además, este artículo analiza la definición para el caso más general de funciones entre dos espacios métricos . En la teoría del orden , especialmente en la teoría del dominio , se considera una noción de continuidad conocida como continuidad de Scott . Existen otras formas de continuidad, pero no se tratan en este artículo.

Como ejemplo, la función H ( t ) que denota la altura de una flor en crecimiento en el tiempo t se consideraría continua. Por el contrario, la función M ( t ) que denota la cantidad de dinero en una cuenta bancaria en el momento t se consideraría discontinua, ya que "salta" en cada momento en el que se deposita o retira dinero.

Historia

Una forma de la definición épsilon-delta de continuidad fue dada por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Augustin-Louis Cauchy definió la continuidad de de la siguiente manera: un incremento infinitamente pequeño de la variable independiente x siempre produce un cambio infinitamente pequeño de la variable dependiente y ( véase, por ejemplo, Cours d'Analyse , p. 34). Cauchy definió cantidades infinitamente pequeñas en términos de cantidades variables, y su definición de continuidad se asemeja mucho a la definición infinitesimal utilizada hoy (ver microcontinuidad ). La definición formal y la distinción entre continuidad puntual y continuidad uniforme fueron dadas por primera vez por Bolzano en la década de 1830, pero el trabajo no se publicó hasta la década de 1930. Al igual que Bolzano, Karl Weierstrass negó la continuidad de una función en un punto c a menos que se definiera en y en ambos lados de c , pero Édouard Goursat permitió que la función se definiera solo en y en un lado de c , y Camille Jordan lo permitió incluso si la función se definió solo en c . Las tres definiciones no equivalentes de continuidad puntual todavía están en uso. Eduard Heine proporcionó la primera definición publicada de continuidad uniforme en 1872, pero basó estas ideas en conferencias dadas por Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1854.

Funciones reales

Definición

La función es continua en el dominio , pero no es continua en el dominio porque no está definida en

Una función real , es decir, una función de números reales a números reales, se puede representar mediante una gráfica en el plano cartesiano ; tal función es continua si, en términos generales, el gráfico es una única curva ininterrumpida cuyo dominio es la línea real completa. A continuación se ofrece una definición más rigurosa matemáticamente.

En un primer curso de cálculo se suele dar una definición rigurosa de la continuidad de las funciones reales en términos de la idea de límite . Primero, se dice que una función f con variable x es continua en el punto c de la línea real, si el límite de cuando x se acerca a ese punto c es igual al valor ; y segundo, se dice que la función (como un todo) es continua , si es continua en todos los puntos. Se dice que una función es discontinua (o que tiene una discontinuidad ) en algún punto cuando no es continua allí. Estos puntos en sí mismos también se tratan como discontinuidades .

Hay varias definiciones diferentes de continuidad de una función. A veces se dice que una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio. En este caso, la función con el dominio de todo real cualquier entero, es continua. A veces se hace una excepción para los límites del dominio. Por ejemplo, la gráfica de la función con el dominio de todos los reales no negativos tiene un punto final a la izquierda . En este caso, solo se requiere el límite de la derecha para igualar el valor de la función. Según esta definición, f es continua en el límite y, por lo tanto, para todos los argumentos no negativos. La definición más común y restrictiva es que una función es continua si es continua en todos los números reales. En este caso, los dos ejemplos anteriores no son continuos, pero cada función polinomial es continua, al igual que las funciones seno , coseno y exponencial . Se debe tener cuidado al usar la palabra continuo , de modo que quede claro en el contexto qué significado de la palabra se pretende.

Usando la notación matemática, hay varias formas de definir funciones continuas en cada uno de los tres sentidos mencionados anteriormente.

Dejar

ser una función definida en un subconjunto del conjunto de números reales.

Este subconjunto es el dominio de f . Algunas opciones posibles incluyen

( Es todo el conjunto de números reales), o, para una y b números reales,
( es un intervalo cerrado ), o
( es un intervalo abierto ).

En caso de que el dominio se defina como un intervalo abierto, y no pertenecen a , y los valores de y no importan para la continuidad .

Definición en términos de límites de funciones

La función f es continua en algún punto c de su dominio si el límite de cuando x se acerca a c a través del dominio de f , existe y es igual a En notación matemática, esto se escribe como

En detalle, esto significa tres condiciones: primero, f debe definirse en c (garantizado por el requisito de que c esté en el dominio de f ). En segundo lugar, tiene que existir el límite en el lado izquierdo de esa ecuación. En tercer lugar, el valor de este límite debe ser igual a

(Aquí, hemos asumido que el dominio de f no tiene puntos aislados ).

Definición en términos de barrios

Una vecindad de un punto c es un conjunto que contiene, al menos, todos los puntos dentro de una distancia fija de c . Intuitivamente, una función es continua en un punto c si el rango de f sobre la vecindad de c se reduce a un solo punto cuando el ancho de la vecindad alrededor de c se reduce a cero. Más precisamente, una función f es continua en un punto c de su dominio si, para cualquier vecindario, hay un vecindario en su dominio tal que siempre

Esta definición solo requiere que el dominio y el codominio sean espacios topológicos y, por lo tanto, es la definición más general. De esta definición se deduce que una función f es automáticamente continua en cada punto aislado de su dominio. Como ejemplo específico, cada función de valor real en el conjunto de números enteros es continua.

Definición en términos de límites de sucesiones

La secuencia converge a exp (0)

En lugar Uno puede requerir que para cualquier secuencia de puntos en el dominio que converge a c , los correspondientes de secuencia converge a En notación matemática,

Definiciones de Weierstrass y Jordan (épsilon-delta) de funciones continuas

Ilustración de la -definición: porque el valor satisface la condición de la definición.

Incluyendo explícitamente la definición del límite de una función, obtenemos una definición autocontenida: Dada una función como la anterior y un elemento del dominio D , se dice que f es continua en el punto en que se cumple lo siguiente: Para cualquier número sin embargo pequeño, existe algún número tal que para todo x en el dominio de f con el valor de satisface

Escrito alternativamente, la continuidad de en significa que para cada existe un tal que para todos :

De manera más intuitiva, podemos decir que si queremos que todos los valores permanezcan en algún vecindario pequeño alrededor , simplemente tenemos que elegir un vecindario lo suficientemente pequeño para los valores x alrededor. Si podemos hacer eso sin importar cuán pequeño sea el vecindario, entonces f es continua en

En términos modernos, esto se generaliza mediante la definición de continuidad de una función con respecto a una base para la topología , aquí la topología métrica .

Weierstrass había requerido que el intervalo estuviera completamente dentro del dominio D , pero Jordan eliminó esa restricción.

Definición en términos de control del resto

En las pruebas y el análisis numérico, a menudo necesitamos saber qué tan rápido están convergiendo los límites, o en otras palabras, el control del resto. Podemos formalizar esto en una definición de continuidad. Una función se llama función de control si

  • C no es decreciente

Una función es C -continua en si

Una función es continua en si es C -Continua para alguna función de control C .

Este enfoque conduce naturalmente a refinar la noción de continuidad al restringir el conjunto de funciones de control admisibles. Para un conjunto dado de funciones de control, una función es -continua si es -continua para algunas Por ejemplo, las funciones continuas de Lipschitz y Hölder del exponente α a continuación están definidas por el conjunto de funciones de control

respectivamente

Definición mediante oscilación

La falla de una función para ser continua en un punto se cuantifica por su oscilación .

La continuidad también se puede definir en términos de oscilación : una función f es continua en un punto si y solo si su oscilación en ese punto es cero; en símbolos, un beneficio de esta definición es que cuantifica la discontinuidad: la oscilación da forma tanto la función es discontinua en un punto.

Esta definición es útil en la teoría descriptiva de conjuntos para estudiar el conjunto de discontinuidades y puntos continuos - los puntos continuos son la intersección de los conjuntos donde la oscilación es menor que (por lo tanto, un conjunto ) - y da una prueba muy rápida de una dirección de la Condición de integrabilidad de Lebesgue .

La oscilación es equivalente a la definición por una simple reordenación, y usando un límite ( lim sup , lim inf ) para definir la oscilación: si (en un punto dado) para un dado no hay que satisfaga la definición, entonces el la oscilación es al menos y viceversa si para cada que hay un deseado, la oscilación es 0. La definición de oscilación se puede generalizar naturalmente a mapas de un espacio topológico a un espacio métrico.

Definición usando los hiperreal

Cauchy definió la continuidad de una función en los siguientes términos intuitivos: un cambio infinitesimal en la variable independiente corresponde a un cambio infinitesimal de la variable dependiente (ver Cours d'analyse , página 34). El análisis no estándar es una forma de hacer esto matemáticamente riguroso. La línea real se aumenta mediante la adición de números infinitos e infinitesimales para formar los números hiperreales . En el análisis no estándar, la continuidad se puede definir de la siguiente manera.

Una función de valor real f es continua en x si su extensión natural a los hiperreal tiene la propiedad de que para todo infinitesimal dx , es infinitesimal

(ver microcontinuidad ). En otras palabras, un incremento infinitesimal de la variable independiente siempre produce un cambio infinitesimal de la variable dependiente, dando una expresión moderna a la definición de continuidad de Augustin-Louis Cauchy .

Construcción de funciones continuas

La gráfica de una función cúbica no tiene saltos ni huecos. La función es continua.

La verificación de la continuidad de una función dada se puede simplificar al verificar una de las propiedades definitorias anteriores para los bloques de construcción de la función dada. Es sencillo demostrar que la suma de dos funciones, continua en algún dominio, también es continua en este dominio. Dado

entonces la suma de funciones continuas
(definido por para todos ) es continuo en

Lo mismo vale para el producto de funciones continuas ,

(definido por para todos ) es continuo en

Combinando las anteriores preservaciones de continuidad y la continuidad de funciones constantes y de la función identidad en , se llega a la continuidad de todas las funciones polinómicas en , como

(en la foto de la derecha).
La gráfica de una función racional continua . La función no está definida para Las líneas verticales y horizontales son asíntotas .

De la misma manera se puede demostrar que el recíproco de una función continua

(definido por para todos los que ) es continuo en

Esto implica que, con exclusión de las raíces de la cociente de funciones continuas

(definido por para todos , tal que ) también es continuo .

Por ejemplo, la función (en la imagen)

se define para todos los números reales y es continuo en cada uno de esos puntos. Por tanto, es una función continua. La cuestión de la continuidad en no surge, ya que no está en el dominio de No hay función continua que concuerde con para todos
Las funciones sinc y cos

Dado que la función seno es continua en todos los reales, la función sinc está definida y es continua para todos los reales.Sin embargo, a diferencia del ejemplo anterior, G puede extenderse a una función continua en todos los números reales, definiendo el valor como 1, que es el límite de cuando x se acerca a 0, es decir,

Por lo tanto, estableciendo

la función sinc se convierte en una función continua en todos los números reales. El término singularidad removible se usa en tales casos, cuando (re) definir valores de una función para que coincidan con los límites apropiados hacen que una función sea continua en puntos específicos.

Una construcción más complicada de funciones continuas es la composición de funciones . Dadas dos funciones continuas

su composición, denotada y definida por, es continua.

Esta construcción permite afirmar, por ejemplo, que

es continuo para todos

Ejemplos de funciones discontinuas

Gráfico de la función signum. Demuestra eso . Por tanto, la función signum es discontinua en 0 (ver sección 2.1.3 ).

Un ejemplo de una función discontinua es la función escalón Heaviside , definida por

Elija, por ejemplo . Entonces no hay -neighborhood alrededor , es decir, no hay intervalo abierto con que forzará a todos los valores a estar dentro del -neighborhood de , es decir, dentro . Intuitivamente podemos pensar en este tipo de discontinuidad como un salto repentino en los valores de las funciones.

Del mismo modo, la función signum o sign

es discontinua en pero continua en todas partes. Otro ejemplo más: la función

es continuo en todas partes excepto en .

Gráfico de puntos de la función de Thomae en el intervalo (0,1). El punto más alto en el medio muestra f (1/2) = 1/2.

Además de las continuidades y discontinuidades plausibles como las anteriores, también hay funciones con un comportamiento, a menudo acuñado como patológico , por ejemplo, la función de Thomae ,

es continuo en todos los números irracionales y discontinuo en todos los números racionales. De manera similar, la función de Dirichlet , la función indicadora para el conjunto de números racionales,

no es continuo en ninguna parte.

Propiedades

Un lema útil

Sea una función que sea continua en un punto y sea ​​un valor como Entonces a lo largo de alguna vecindad de

Prueba: según la definición de continuidad, toma , entonces existe tal que

Supongamos que hay un punto en el vecindario para el cual tenemos la contradicción

Teorema del valor intermedio

El teorema del valor intermedio es un teorema de existencia , basado en la propiedad de completitud del número real , y establece:

Si la función de valor real f es continua en el intervalo cerrado y k es un número entre y entonces hay un número tal que

Por ejemplo, si un niño crece de 1 ma 1,5 m entre las edades de dos y seis años, entonces, en algún momento entre los dos y los seis años, la altura del niño debe haber sido de 1,25 m.

Como consecuencia, si f es continua en y y difieren en signo , a continuación, en algún momento debe ser igual a cero .

Teorema del valor extremo

El teorema del valor extremo establece que si una función f se define en un intervalo cerrado (o cualquier conjunto cerrado y acotado) y es continua allí, entonces la función alcanza su máximo, es decir, existe con para todos Lo mismo es cierto para el mínimo de f . Estas declaraciones no son, en general, verdaderas si la función se define en un intervalo abierto (o cualquier conjunto que no sea cerrado y acotado), como, por ejemplo, la función continua definida en el intervalo abierto (0,1), no alcanza un máximo, siendo ilimitado por encima.

Relación con la diferenciabilidad y la integrabilidad

Cada función diferenciable

es continuo, como se puede demostrar. Lo contrario no se cumple: por ejemplo, la función de valor absoluto

es continuo en todas partes. Sin embargo, no es diferenciable en (pero lo es en todas partes). La función de Weierstrass también es continua en todas partes, pero no diferenciable en ninguna parte.

No es necesario que la derivada de una función diferenciable f ( x ) sea continua. Si f ′ ( x ) es continua, se dice que f ( x ) es continuamente diferenciable. El conjunto de tales funciones se denota De manera más general, el conjunto de funciones

(de un intervalo abierto (o subconjunto abierto de ) a los reales) tal que f es diferenciable por tiempos y tal que la derivada -ésima de f es continua se denota Ver clase de diferenciabilidad . En el campo de los gráficos por computadora, las propiedades relacionadas (pero no idénticas) a se denominan a veces (continuidad de posición), (continuidad de tangencia) y (continuidad de curvatura); consulte Suavidad de curvas y superficies .

Cada función continua

es integrable (por ejemplo, en el sentido de la integral de Riemann ). Lo contrario no se cumple, como muestra la función de signo (integrable, pero discontinua) .

Límites puntuales y uniformes

Secuencia de funciones continuas cuya función límite (puntual) es discontinua. La convergencia no es uniforme.

Dada una secuencia

de funciones tales que el límite
existe para todos , la función resultante se conoce como el
límite puntual de la secuencia de funciones. La función límite puntual no necesita ser continua, incluso si todas las funciones son continuas, como muestra la animación de la derecha. Sin embargo, f es continua si todas las funciones son continuas y la secuencia converge uniformemente , según el teorema de convergencia uniforme . Este teorema se puede utilizar para demostrar que las funciones exponenciales , los logaritmos , la función raíz cuadrada y las funciones trigonométricas son continuas.

Direccional y semicontinuidad

Las funciones discontinuas pueden ser discontinuas de forma restringida, dando lugar al concepto de continuidad direccional (o funciones continuas derecha e izquierda) y semicontinuidad . En términos generales, una función es continua a la derecha si no se produce ningún salto cuando se llega al punto límite desde la derecha. Formalmente, se dice que f es continua a la derecha en el punto c si se cumple lo siguiente: Para cualquier número, por pequeño que sea, existe un número tal que para todo

x en el dominio con el valor de va a satisfacer

Esta es la misma condición que para las funciones continuas, excepto que se requiere mantener para x estrictamente mayor que c solamente. Requerirlo en su lugar para todo x con produce la noción de funciones

continuas por la izquierda . Una función es continua si y solo si es tanto continua a la derecha como continua a la izquierda.

Una función f es semicontinua más baja si, aproximadamente, los saltos que puedan ocurrir solo van hacia abajo, pero no hacia arriba. Es decir, para cualquier existe algún número tal que para todo

x en el dominio con el valor de satisface
La condición inversa es la semicontinuidad superior .

Funciones continuas entre espacios métricos

El concepto de funciones continuas de valor real se puede generalizar a funciones entre espacios métricos . Un espacio métrico es un conjunto X equipado con una función (llamada métrica ) que puede ser pensado como una medida de la distancia de cualesquiera dos elementos en

X . Formalmente, la métrica es una función
que satisface una serie de requisitos, en particular la desigualdad del triángulo . Dados dos espacios métricos y y una función
entonces f es continua en el punto (con respecto a las métricas dadas) si para cualquier número real positivo existe un número real positivo tal que todos los satisfactorios también satisfarán Como en el caso de las funciones reales anteriores, esto es equivalente a la condición de que para cada secuencia en
X con límite tenemos La última condición puede debilitarse de la siguiente manera: f es continua en el punto c si y solo si para cada secuencia convergente en X con límite c , la secuencia es una secuencia de Cauchy , yc está en el dominio de f .

El conjunto de puntos en los que una función entre espacios métricos es continua es un

conjunto  ; esto se deriva de la definición de continuidad.

Esta noción de continuidad se aplica, por ejemplo, en el análisis funcional . Una declaración clave en esta área dice que un operador lineal

entre los espacios vectoriales normativos V y W (que son espacios vectoriales equipados con una norma compatible , denotada ) es continua si y solo si está
acotada , es decir, hay una constante K tal que
para todos

Continuidad de Uniform, Hölder y Lipschitz

Para una función continua de Lipschitz, hay un cono doble (mostrado en blanco) cuyo vértice se puede trasladar a lo largo del gráfico, de modo que el gráfico siempre permanece completamente fuera del cono.

El concepto de continuidad de funciones entre espacios métricos se puede reforzar de varias maneras mediante la limitación de la forma depende de y

c en la definición anterior. Intuitivamente, una función f como la anterior es uniformemente continua si no depende del punto c . Más precisamente, se requiere que para cada número real exista tal que para cada con tengamos eso. Por lo tanto, cualquier función uniformemente continua es continua. Lo contrario no se cumple en general, pero sí cuando el espacio de dominio X es compacto . Los mapas uniformemente continuos se pueden definir en la situación más general de espacios uniformes .

Una función es Hölder continua con exponente α (un número real) si hay una constante K tal que para toda la desigualdad

sostiene. Cualquier función continua de Hölder es uniformemente continua. El caso particular se conoce como
continuidad de Lipschitz . Es decir, una función es continua de Lipschitz si hay una constante K tal que la desigualdad
Se cumple para cualquier La condición de Lipschitz ocurre, por ejemplo, en el
teorema de Picard-Lindelöf relativo a las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias .

Funciones continuas entre espacios topológicos

Otra noción de continuidad, más abstracta, es la continuidad de funciones entre espacios topológicos en los que generalmente no existe una noción formal de distancia, como ocurre en el caso de los espacios métricos . Un espacio topológico es un conjunto X junto con una topología en X , que es un conjunto de subconjuntos de X que satisfacen algunos requisitos con respecto a sus uniones e intersecciones que generalizan las propiedades de las bolas abiertas en espacios métricos al mismo tiempo que permiten hablar sobre los vecindarios de un punto dado. Los elementos de una topología se denominan subconjuntos abiertos de X (con respecto a la topología).

Una función

entre dos espacios topológicos X e Y es continuo si para cada conjunto abierto la
imagen inversa
es un subconjunto abierto de X . Es decir, f es una función entre los conjuntos de X y de Y (no en los elementos de la topología ), pero la continuidad de f depende de las topologías utilizadas en X y Y .

Esto es equivalente a la condición de que los preimages de los conjuntos cerrados (que son los complementos de los subconjuntos abiertos) en Y están cerrados en X .

Un ejemplo extremo: si a un conjunto X se le da la topología discreta (en la que cada subconjunto está abierto), todas las funciones

a cualquier espacio topológico T son continuas. Por otro lado, si X está equipado con la topología indiscreta (en la que los únicos subconjuntos abiertos son el conjunto vacío y X ) y el espacio T conjunto es al menos T 0 , entonces las únicas funciones continuas son las funciones constantes. Por el contrario, cualquier función cuyo alcance sea indiscreto es continua.

Continuidad en un punto

Continuidad en un punto: Para cada vecindario V de , hay un vecindario U de x tal que

La traducción al lenguaje de vecindarios de la

definición de continuidad conduce a la siguiente definición de continuidad en un punto:
Una función es continua en un punto si y solo si para cualquier vecindario V de en Y , hay un vecindario U de x tal que

Esta definición es equivalente a la misma declaración con vecindarios restringidos a vecindarios abiertos y puede reformularse de varias maneras usando preimágenes en lugar de imágenes.

Además, como todo conjunto que contiene una vecindad es también una vecindad, y es el subconjunto más grande

U de X, de modo que esta definición se puede simplificar en:
Una función es continua en un punto si y sólo si es una vecindad de x para cada barrio V de en Y .

Como un conjunto abierto es un conjunto que es una vecindad de todos sus puntos, una función es continua en cada punto de

X si y solo si es una función continua.

Si X y Y son espacios métricos, es equivalente a considerar la base de entornos de bolas abiertas centradas en x y f ( x ) en lugar de todos los barrios. Esto devuelve la definición anterior de continuidad en el contexto de los espacios métricos. En los espacios topológicos generales, no existe la noción de cercanía o distancia. Sin embargo, si el espacio objetivo es un

espacio de Hausdorff , sigue siendo cierto que f es continua en a si y solo si el límite de f cuando x se acerca a a es f ( a ). En un punto aislado, cada función es continua.

Dado un mapa es continuo en si y solo si siempre hay un filtro en que

converge a en lo que se expresa escribiendo entonces necesariamente en Si denota el filtro de vecindad en entonces es continuo en si y solo si en Además, esto sucede si y solo si el prefiltro es una base de filtro para el filtro de vecindad de en

Definiciones alternativas

Existen varias definiciones equivalentes para una estructura topológica y, por lo tanto, hay varias formas equivalentes de definir una función continua.

Secuencias y redes

En varios contextos, la topología de un espacio se especifica convenientemente en términos de puntos límite . En muchos casos, esto se logra especificando cuándo un punto es el límite de una secuencia , pero para algunos espacios que son demasiado grandes en algún sentido, se especifica también cuándo un punto es el límite de conjuntos más generales de puntos indexados por una

secuencia dirigida. conjunto , conocido como redes . Una función es (Heine-) continua sólo si lleva límites de secuencias a límites de secuencias. En el primer caso, la preservación de los límites también es suficiente; en el segundo, una función puede preservar todos los límites de las secuencias y aun así dejar de ser continua, y la preservación de las redes es una condición necesaria y suficiente.

En detalle, una función es secuencialmente continua si siempre que una secuencia en X converge a un límite x , la secuencia converge af ( x ). Por tanto, las funciones secuencialmente continuas "conservan los límites secuenciales". Cada función continua es secuencialmente continua. Si X es un primer espacio contable y la elección contable se cumple, entonces también se cumple lo contrario: cualquier función que preserve los límites secuenciales es continua. En particular, si X es un espacio métrico, la continuidad secuencial y la continuidad son equivalentes. Para los espacios que no se contabilizan en primer lugar, la continuidad secuencial puede ser estrictamente más débil que la continuidad. (Los espacios para los que las dos propiedades son equivalentes se denominan espacios secuenciales ). Esto motiva la consideración de redes en lugar de secuencias en los espacios topológicos generales. Las funciones continuas conservan los límites de las redes y, de hecho, esta propiedad caracteriza a las funciones continuas.

Por ejemplo, considere el caso de funciones de valor real de una variable real:

Teorema  :  una función es continua en si y solo si es secuencialmente continua en ese punto.

Prueba

Prueba. Suponga que es continuo en (en el sentido de continuidad ). Sea una secuencia que converge en (tal secuencia siempre existe, por ejemplo ); ya que es continuo en

Para cualquiera de ellos podemos encontrar un número natural tal que
ya que converge en ; combinando esto con obtenemos
Supongamos por el contrario que es secuencialmente continuo y procedemos por contradicción: supongamos que no es continuo en
entonces podemos tomar y llamar al punto correspondiente : de esta manera hemos definido una secuencia tal que
por construcción pero , lo que contradice la hipótesis de continuidad secuencial. ∎

Definiciones de operador de cierre y operador interior

En términos del operador interior , una función entre espacios topológicos es continua si y solo si para cada subconjunto

En términos del operador de cierre , es continuo si y solo si para cada subconjunto

Es decir, dado que cualquier elemento que pertenezca al cierre de un subconjunto pertenece necesariamente al cierre de en Si declaramos que un punto está cerca de un subconjunto si entonces esta terminología permite una descripción simple en inglés de la continuidad: es continuo si y solo si para cada subconjunto mapea puntos que están cerca de puntos que están cerca de De manera similar, es continuo en un punto dado fijo si y solo si siempre está cerca de un subconjunto, entonces está cerca de

En lugar de especificar espacios topológicos por sus subconjuntos abiertos , cualquier topología puede

ser determinada alternativamente por un operador de cierre o por un operador interior . Específicamente, el mapa que envía un subconjunto de un espacio topológico a su cierre topológico satisface los axiomas de cierre de Kuratowski y, a la inversa, para cualquier operador de cierre existe una topología única en (específicamente, ) tal que para cada subconjunto es igual al cierre topológico de en Si los conjuntos y están asociados con operadores de cierre (ambos indicados por ), entonces un mapa es continuo si y solo si para cada subconjunto

De manera similar, el mapa que envía un subconjunto de a su

interior topológico define un operador interior y, a la inversa, cualquier operador interior induce una topología única en (específicamente, ) tal que para cada es igual al interior topológico de en Si los conjuntos y son cada asociado con operadores interiores (ambos denotados por ) entonces un mapa es continuo si y solo si para cada subconjunto

Filtros y prefiltros

La continuidad también se puede caracterizar en términos de filtros . Una función es continua si y sólo si cada vez que un

filtro en converge en un punto entonces los prefiltro converge en a Esta caracterización sigue siendo cierto si la palabra "filtro" se sustituye por "prefiltro."

Propiedades

Si y son continuos, entonces también lo es la composición Si es continua y

Las topologías posibles en un conjunto fijo X están parcialmente ordenadas : se dice que una topología es

más burda que otra topología (notación :) si cada subconjunto abierto con respecto a también está abierto con respecto a Entonces, el mapa de identidad
es continuo si y solo si (ver también comparación de topologías ). De manera más general, una función continua
permanece continua si la topología se reemplaza por una
topología más burda y / o se reemplaza por una topología más fina .

Homeomorfismos

Simétrico al concepto de mapa continuo es un mapa abierto , para el cual se abren imágenes de conjuntos abiertos. De hecho, si un mapa abierto f tiene una función inversa , esa inversa es continua, y si un mapa continuo g tiene una inversa, esa inversa es abierta. Dada una función biyectiva f entre dos espacios topológicos, la función inversa no necesita ser continua. Una función continua biyectiva con función inversa continua se llama

homeomorfismo .

Si una biyección continua tiene como dominio un espacio compacto y su codominio es Hausdorff , entonces es un homeomorfismo.

Definición de topologías mediante funciones continuas

Dada una función

donde X es un espacio topológico y S es un conjunto (sin una topología especificada), la topología final en S se define por dejar que los conjuntos abiertos de S ser los subconjuntos A de S para el cual está abierto en
X . Si S tiene una topología existente, f es continua con respecto a esta topología si y sólo si la topología existente es más gruesa que la topología final sobre S . Por lo tanto, la topología final se puede caracterizar como la topología más fina en S que hace que f sea continua. Si f es sobreyectiva , esta topología se identifica canónicamente con la topología del cociente bajo la relación de equivalencia definida por f .

Dually, para una función f de un conjunto S de un espacio topológico X , la topología inicial en S se define mediante la designación como un conjunto abierto cada subconjunto A de S de tal manera que por algún subconjunto abierto

U de X . Si S tiene una topología existente, f es continua con respecto a esta topología si y sólo si la topología existente es más fina que la topología inicial en S . Por lo tanto, la topología inicial se puede caracterizar como la topología más burda en S que hace que f sea continua. Si f es inyectiva, esta topología se identifica canónicamente con la topología del subespacio de S , visto como un subconjunto de X .

Una topología en un conjunto S se determina de forma única por la clase de todas las funciones continuas en todos los espacios topológico

X . Dualmente , se puede aplicar una idea similar a los mapas.

Nociones relacionadas

Si es una función continua de algún subconjunto de un espacio topológico, entonces unaextensión continua deaes cualquier función continuade tal manera quepara cadacual es una condición que a menudo escrito comoen las palabras, es cualquier función continuaque

restringeaenEsta noción se utiliza, por ejemplo, en elteorema de extensión Tietzey elHahn-Banach teorema. Nofuerancontinuos, entonces no podría tener una extensión continua. Sies unespacio de Hausdorffyes unsubconjunto densodeentonces una extensión continua dequesi existe, será único.

Varios otros dominios matemáticos utilizan el concepto de continuidad en significados diferentes pero relacionados. Por ejemplo, en la teoría del orden , una función de preservación del orden entre tipos particulares de

conjuntos parcialmente ordenados X e Y es continua si para cada subconjunto dirigido A de X , tenemos Aquí está el supremo con respecto a los ordenamientos en X e Y , respectivamente . Esta noción de continuidad es la misma que la de continuidad topológica cuando los conjuntos parcialmente ordenados reciben la topología de Scott .

En la teoría de categorías , un funtor

entre dos categorías se llama continuo , si conmuta con pequeños límites . Es decir,
para cualquier
diagrama pequeño (es decir, indexado por un conjunto I , en contraposición a un diagrama de clases ) de objetos en .

Un espacio de continuidad es una generalización de espacios métricos y posets, que usa el concepto de quantales , y que puede usarse para unificar las nociones de espacios y dominios métricos .

Ver también

Referencias

Bibliografía