Colector - Manifold

${\ Displaystyle \ epsilon}$

Generalmente colectores se toman para tener una dimensión fija (el espacio debe ser localmente homeomorfo a un fijo n -ball), y un espacio tal que se llama un n -manifold ; sin embargo, algunos autores admiten múltiples donde diferentes puntos pueden tener diferentes dimensiones . Si una variedad tiene una dimensión fija, se llama variedad pura . Por ejemplo, la (superficie de una) esfera tiene una dimensión constante de 2 y, por lo tanto, es una variedad pura, mientras que la unión disjunta de una esfera y una línea en el espacio tridimensional no es una variedad pura. Dado que la dimensión es un invariante local (es decir, el mapa que envía cada punto a la dimensión de su vecindad sobre la que se define un gráfico, es localmente constante ), cada componente conectado tiene una dimensión fija.

En teoría de esquemas , una variedad es un espacio anillado localmente , cuya estructura de haz es localmente isomorfa al haz de funciones continuas (o diferenciables, o analíticas complejas, etc.) en el espacio euclidiano. Esta definición se usa principalmente cuando se habla de variedades analíticas en geometría algebraica .

Gráficos, atlas y mapas de transición

La Tierra esférica se navega utilizando mapas o gráficos planos, recopilados en un atlas. De manera similar, una variedad diferenciable se puede describir utilizando mapas matemáticos , llamados gráficos de coordenadas , recopilados en un atlas matemático . Generalmente, no es posible describir una variedad con un solo gráfico, porque la estructura global de la variedad es diferente de la estructura simple de los gráficos. Por ejemplo, ningún mapa plano puede representar toda la Tierra sin la separación de las entidades adyacentes a través de los límites del mapa o la duplicación de la cobertura. Cuando una variedad se construye a partir de múltiples gráficos superpuestos, las regiones donde se superponen contienen información esencial para comprender la estructura global.

Gráficos

Un mapa de coordenadas , un gráfico de coordenadas o simplemente un gráfico de una variedad es un mapa invertible entre un subconjunto de la variedad y un espacio simple de modo que tanto el mapa como su inverso conservan la estructura deseada. Para una variedad topológica, el espacio simple es un subconjunto de algún espacio euclidiano y el interés se centra en la estructura topológica. Esta estructura está preservada por

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

En el caso de una variedad diferenciable, un conjunto de gráficos llamado atlas nos permite hacer cálculos sobre variedades. Las coordenadas polares , por ejemplo, forman un gráfico para el plano menos el eje

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Atlas

La descripción de la mayoría de los colectores requiere más de un gráfico. Una colección específica de gráficos que cubre una variedad se llama atlas . Un atlas no es único, ya que todas las variedades se pueden cubrir de múltiples formas utilizando diferentes combinaciones de gráficos. Se dice que dos atlas son equivalentes si su unión es también un atlas.

El atlas que contiene todos los gráficos posibles consistentes con un atlas dado se llama atlas máximo (es decir, una clase de equivalencia que contiene ese atlas dado). A diferencia de un atlas ordinario, el atlas máximo de una variedad dada es único. Aunque es útil para las definiciones, es un objeto abstracto y no se utiliza directamente (por ejemplo, en los cálculos).

Mapas de transición

Los gráficos de un atlas pueden superponerse y un solo punto de una variedad puede estar representado en varios gráficos. Si dos cartas se superponen, partes de ellas representan la misma región de la variedad, así como un mapa de Europa y un mapa de Asia pueden contener a Moscú. Dados dos gráficos superpuestos, se puede definir una función de transición que va de una bola abierta hacia el colector y luego vuelve a otra (o quizás la misma) bola abierta hacia adentro . El mapa resultante, como el mapa

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Estructura adicional

También se puede utilizar un atlas para definir una estructura adicional en el colector. La estructura se define primero en cada gráfico por separado. Si todos los mapas de transición son compatibles con esta estructura, la estructura se transfiere a la variedad.

Esta es la forma estándar en que se definen las variedades diferenciables. Si las funciones de transición de un atlas para una variedad topológica conservan la estructura diferencial natural de (es decir, si son

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

La estructura de la variedad depende del atlas, pero a veces se puede decir que diferentes atlas dan lugar a la misma estructura. Estos atlas se denominan compatibles .

Estas nociones se precisan en general mediante el uso de pseudogrupos .

Colector con límite

Una variedad con límite es una variedad con borde. Por ejemplo, una hoja de papel es una variedad bidimensional con un límite unidimensional. El límite de un colector n con límite es un colector ( n −1) . Un disco (círculo más interior) es una variedad de 2 con límite. Su límite es un círculo, una variedad 1 . Un cuadrado con interior también es un 2-múltiple con límite. Una bola (esfera más interior) es una variedad de 3 con límite. Su límite es una esfera, una variedad de 2. (Consulte también Límite (topología) ).

En lenguaje técnico, una variedad con límite es un espacio que contiene tanto puntos interiores como puntos límite. Cada punto interior tiene un homeomorfo vecino a la n- bola abierta {( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) | Σ x _i ² <1}. Cada punto límite tiene un homeomorfo vecino a la "mitad" n -ball {( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) | Σ x _i ² <1 y x ₁ ≥ 0} . El homeomorfismo debe enviar cada punto límite a un punto con x ₁  = 0.

Límite e interior

Sea M una variedad con límite. El interior de M , denotado Int M , es el conjunto de puntos en M que tienen vecindarios homeomorfos a un subconjunto abierto de . El

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$

Si M es una variedad con límite de dimensión n , entonces Int

Construcción

Un solo colector se puede construir de diferentes maneras, cada una de las cuales enfatiza un aspecto diferente del colector, lo que conduce a un punto de vista ligeramente diferente.

Gráficos

El gráfico mapea la parte de la esfera con coordenada z positiva a un disco.

Quizás la forma más sencilla de construir una variedad es la que se usa en el ejemplo anterior del círculo. Primero, se identifica un subconjunto de , y luego se construye un atlas que cubre este subconjunto. El concepto de

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Esfera con gráficos

Una esfera se puede tratar casi de la misma manera que el círculo. En matemáticas, una esfera es solo la superficie (no el interior sólido), que se puede definir como un subconjunto de : ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

$${\ Displaystyle S = \ left \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ mid x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 \ right \}.}$$

La esfera es bidimensional, por lo que cada gráfico asignará parte de la esfera a un subconjunto abierto de . Considere el hemisferio norte, que es la parte con la coordenada

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

$${\ Displaystyle \ chi (x, y, z) = (x, y), \}$$

mapea el hemisferio norte al disco de la unidad abierta proyectándolo en el plano ( x , y ). Existe un gráfico similar para el hemisferio sur. Junto con dos cartas que se proyectan en el plano ( x , z ) y dos cartas que se proyectan en el plano ( y , z ), se obtiene un atlas de seis cartas que cubre toda la esfera.

Esto se puede generalizar fácilmente a esferas de dimensiones superiores.

Labor de retazos

Se puede construir un colector pegando piezas juntas de manera consistente, convirtiéndolas en gráficos superpuestos. Esta construcción es posible para cualquier variedad y, por lo tanto, se utiliza a menudo como caracterización, especialmente para variedades diferenciables y de Riemann. Se centra en un atlas, ya que los parches proporcionan gráficos de forma natural y, dado que no hay espacio exterior involucrado, conduce a una vista intrínseca de la variedad.

La variedad se construye especificando un atlas, que a su vez se define mediante mapas de transición. Por tanto, un punto de la variedad es una clase de

Esto se puede ilustrar con el mapa de transición t = ¹ ⁄ _s de la segunda mitad del ejemplo del círculo. Comience con dos copias de la línea. Utilice las coordenadas s para la primera copia yt para la segunda copia. Ahora, pegue ambas copias identificando el punto t en la segunda copia con el punto s = ¹ ⁄ _t en la primera copia (los puntos t = 0 y s = 0 no se identifican con ningún punto en la primera y segunda copia, respectivamente). Esto da un círculo.

Vista intrínseca y extrínseca

La primera construcción y esta construcción son muy similares, pero representan puntos de vista bastante diferentes. En la primera construcción, el colector se ve incrustado en algún espacio euclidiano. Esta es la vista extrínseca . Cuando una variedad se ve de esta manera, es fácil usar la intuición de los espacios euclidianos para definir una estructura adicional. Por ejemplo, en un espacio euclidiano, siempre está claro si un vector en algún punto es tangencial o normal a alguna superficie a través de ese punto.

La construcción de mosaico no utiliza ninguna incrustación, sino que simplemente ve el colector como un espacio topológico en sí mismo. Este punto de vista abstracto se llama vista intrínseca . Puede hacer que sea más difícil imaginar lo que podría ser un vector tangente, y no existe una noción intrínseca de un paquete normal, sino que hay un paquete normal estable intrínseco .

n- Esfera como mosaico

La n -esfera S ⁿ es una generalización de la idea de un círculo (1-esfera) y una esfera (2-esferas) a dimensiones superiores. Se puede construir una n -esfera S ⁿ pegando dos copias de . El mapa de transición entre ellos es la

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \} \ to \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \}: x \ mapsto x / \ | x \ | ^ { 2}.}$$

Esta función es su propia inversa y, por lo tanto, se puede utilizar en ambas direcciones. Como el mapa de transición es una función suave , este atlas define una variedad suave. En el caso n = 1, el ejemplo se simplifica al ejemplo del círculo dado anteriormente.

Identificando puntos de una variedad

Es posible definir diferentes puntos de una variedad para que sean iguales. Esto se puede visualizar pegando estos puntos juntos en un solo punto, formando un espacio de cociente . Sin embargo, no hay razón para esperar que tales espacios de cociente sean múltiples. Entre los posibles espacios de cociente que no son necesariamente múltiples, se considera que los

Un método para identificar puntos (pegarlos juntos) es mediante una acción de derecha (o izquierda) de un grupo , que actúa sobre la variedad. Se identifican dos puntos si algún elemento del grupo mueve uno sobre el otro. Si M es la variedad y G es el grupo, el espacio del cociente resultante se denota por M / G (o G \ M ).

Los colectores que se pueden construir identificando puntos incluyen toros y espacios proyectivos reales (comenzando con un plano y una esfera, respectivamente).

Pegando a lo largo de los límites

Se pueden pegar dos colectores con límites a lo largo de un límite. Si esto se hace de la manera correcta, el resultado también es múltiple. De manera similar, se pueden pegar dos límites de un solo colector.

Formalmente, el encolado se define por una biyección entre los dos límites. Se identifican dos puntos cuando se mapean entre sí. Para una variedad topológica, esta biyección debería ser un homeomorfismo, de lo contrario el resultado no será una variedad topológica. De manera similar, para una variedad diferenciable, tiene que ser un difeomorfismo. Para otros colectores, se deben conservar otras estructuras.

Un cilindro finito puede construirse como un colector comenzando con una tira [0,1] × [0,1] y pegando un par de bordes opuestos en el límite mediante un difeomorfismo adecuado. Se puede obtener un plano proyectivo pegando una esfera con un agujero a una tira de Möbius a lo largo de sus respectivos límites circulares.

Productos cartesianos

El producto cartesiano de las variedades también es una variedad.

La dimensión de la variedad de productos es la suma de las dimensiones de sus factores. Su topología es la topología del producto y un producto cartesiano de gráficos es un gráfico para la variedad de productos. Por lo tanto, se puede construir un atlas para la variedad de productos utilizando atlas para sus factores. Si estos atlas definen una estructura diferencial en los factores, el atlas correspondiente define una estructura diferencial en la variedad de productos. Lo mismo es cierto para cualquier otra estructura definida en los factores. Si uno de los factores tiene un límite, la variedad de productos también tiene un límite. Los productos cartesianos se pueden utilizar para construir cilindros tori y finitos , por ejemplo, como S ¹  ×  S ¹ y S ¹  × [0,1], respectivamente.

Un cilindro finito es una variedad con límite.

Historia

El estudio de variedades combina muchas áreas importantes de las matemáticas: generaliza conceptos como curvas y superficies, así como ideas del álgebra lineal y la topología.

Desarrollo temprano

Antes del concepto moderno de colector, hubo varios resultados importantes.

La geometría no euclidiana considera espacios donde Euclides 's postulado paralelo falla. Saccheri estudió por primera vez tales geometrías en 1733, pero solo buscó refutarlas. Gauss , Bolyai y Lobachevsky los descubrieron independientemente 100 años después. Su investigación descubrió dos tipos de espacios cuyas estructuras geométricas difieren de las del espacio euclidiano clásico; estos dieron lugar a la geometría hiperbólica y la geometría elíptica . En la teoría moderna de variedades, estas nociones corresponden a variedades de Riemann con curvatura constante negativa y positiva , respectivamente.

Carl Friedrich Gauss puede haber sido el primero en considerar los espacios abstractos como objetos matemáticos por derecho propio. Su teorema egregium proporciona un método para calcular la curvatura de una superficie sin considerar el espacio ambiental en el que se encuentra la superficie. Tal superficie, en la terminología moderna, se llamaría multiplicidad; y en términos modernos, el teorema demostró que la curvatura de la superficie es una propiedad intrínseca . La teoría de las variedades ha llegado a centrarse exclusivamente en estas propiedades intrínsecas (o invariantes), ignorando en gran medida las propiedades extrínsecas del espacio ambiental.

Otro ejemplo más topológico de una propiedad intrínseca de una variedad es su característica de Euler . Leonhard Euler demostró que para un politopo convexo en el espacio euclidiano tridimensional con

$${\ Displaystyle V-E + F = 2. \}$$

Síntesis

Las investigaciones de Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi sobre la inversión de integrales elípticas en la primera mitad del siglo XIX los llevaron a considerar tipos especiales de variedades complejas, ahora conocidas como jacobianas . Bernhard Riemann contribuyó además a su teoría, aclarando el significado geométrico del proceso de continuación analítica de funciones de variables complejas.

Otra fuente importante de variedades en las matemáticas del siglo XIX fue la mecánica analítica , desarrollada por Siméon Poisson , Jacobi y William Rowan Hamilton . Se piensa que los posibles estados de un sistema mecánico son puntos de un espacio abstracto, espacio de fase en los formalismos lagrangianos y hamiltonianos de la mecánica clásica. Este espacio es, de hecho, una variedad de alta dimensión, cuya dimensión corresponde a los grados de libertad del sistema y donde los puntos están especificados por sus coordenadas generalizadas . Para un movimiento ilimitado de partículas libres, la variedad es equivalente al espacio euclidiano, pero varias leyes de conservación lo limitan a formaciones más complicadas, por ejemplo, Liouville tori . La teoría de un cuerpo sólido en rotación, desarrollada en el siglo XVIII por Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange , da otro ejemplo en el que la variedad no es trivial. Los aspectos geométricos y topológicos de la mecánica clásica fueron enfatizados por Henri Poincaré , uno de los fundadores de la topología.

Riemann fue el primero en hacer un trabajo extenso generalizando la idea de una superficie a dimensiones superiores. El nombre de variedad proviene del término alemán original de Riemann , Mannigfaltigkeit , que William Kingdon Clifford tradujo como "multiplicidad". En su conferencia inaugural de Göttingen, Riemann describió el conjunto de todos los valores posibles de una variable con ciertas restricciones como Mannigfaltigkeit , porque la variable puede tener muchos valores. Distingue entre stetige Mannigfaltigkeit y diskrete Mannigfaltigkeit ( multiplicidad continua y multiplicidad discontinua ), dependiendo de si el valor cambia continuamente o no. Como ejemplos continuos, Riemann se refiere no solo a los colores y las ubicaciones de los objetos en el espacio, sino también a las posibles formas de una figura espacial. Usando la inducción , Riemann construye un Mannigfaltigkeit ausgedehnte n-fach ( n veces la variedad extendida o la

Definición de poincaré

En su artículo muy influyente, Analysis Situs , Henri Poincaré dio una definición de variedad diferenciable ( variété ) que sirvió como precursor del concepto moderno de variedad.

En la primera sección de Analysis Situs, Poincaré define una variedad como el conjunto de niveles de una función continuamente diferenciable entre espacios euclidianos que satisface la hipótesis de no degeneración del teorema de la función implícita . En la tercera sección, comienza señalando que la gráfica de una función continuamente diferenciable es una variedad en el último sentido. Luego propone una definición nueva, más general, de multiplicidad basada en una "cadena de múltiples" ( une chaîne des variétés ).

La noción de Poincaré de una cadena de variedades es precursora de la noción moderna de atlas. En particular, considera dos variedades definidas respectivamente como gráficas de funciones y . Si estas variedades se superponen (

${\ Displaystyle \ theta (y)}$

${\ Displaystyle \ theta '\ left (y' \ right)}$

${\ Displaystyle y}$

${\ Displaystyle y '}$

${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle y '}$

Por ejemplo, el círculo unitario en el plano puede considerarse como la gráfica de la función o bien como la función en una vecindad de todos los puntos excepto los puntos (1, 0) y (-1, 0); y en una vecindad de esos puntos, se puede considerar como la gráfica de, respectivamente, y . El círculo se puede representar mediante un gráfico en la vecindad de cada punto porque el lado izquierdo de la ecuación que lo define tiene un gradiente distinto de cero en cada punto del círculo. Según el

${\ textstyle y = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$

${\ textstyle y = - {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$

${\ textstyle x = {\ sqrt {1-y ^ {2}}}}$

${\ textstyle x = - {\ sqrt {1-y ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0}$

Hermann Weyl dio una definición intrínseca de variedades diferenciables en su curso de conferencias sobre superficies de Riemann en 1911-1912, abriendo el camino al concepto general de un espacio topológico que siguió en breve. Durante la década de 1930, Hassler Whitney y otros aclararon los aspectos fundamentales del tema, por lo que las intuiciones que se remontan a la segunda mitad del siglo XIX se volvieron precisas y se desarrollaron a través de la geometría diferencial y la teoría de grupos de Lie . En particular, el teorema de inclusión de Whitney mostró que la definición intrínseca en términos de gráficos era equivalente a la definición de Poincaré en términos de subconjuntos del espacio euclidiano.

Topología de variedades: aspectos destacados

Las variedades bidimensionales, también conocidas como superficies 2D incrustadas en nuestro espacio 3D común, fueron consideradas por Riemann bajo la apariencia de superficies de

Estructura adicional

Variedades topológicas

El tipo de variedad más simple de definir es la variedad topológica, que localmente se parece a un espacio euclidiano "ordinario" . Por definición, todas las variedades son variedades topológicas, por lo que la frase "variedad topológica" se usa generalmente para enfatizar que una variedad carece de estructura adicional, o que solo se están considerando sus propiedades topológicas. Formalmente, una variedad topológica es un espacio topológico

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Una variedad topológica se parece localmente a un espacio euclidiano de una manera bastante débil: mientras que para cada carta individual es posible distinguir funciones diferenciables o medir distancias y ángulos, simplemente en virtud de ser una variedad topológica, un espacio no tiene ninguna característica particular y consistente. elección de tales conceptos. Para discutir tales propiedades para una variedad, es necesario especificar una estructura adicional y considerar las variedades diferenciables y las variedades de Riemann que se analizan a continuación. En particular, la misma variedad topológica subyacente puede tener varias clases mutuamente incompatibles de funciones diferenciables y un número infinito de formas de especificar distancias y ángulos.

Por lo general, se realizan supuestos técnicos adicionales sobre el espacio topológico para excluir casos patológicos. Es costumbre exigir que el espacio sea Hausdorff y un segundo contable .

La dimensión de la variedad en un punto determinado es la dimensión del espacio euclidiano al que se asignan las cartas en ese punto (número n en la definición). Todos los puntos de un colector conectado tienen la misma dimensión. Algunos autores requieren que todos los gráficos de una variedad topológica se asignen a espacios euclidianos de la misma dimensión. En ese caso, toda variedad topológica tiene un invariante topológico, su dimensión.

Variedades diferenciables

Para la mayoría de las aplicaciones , se utiliza un tipo especial de variedad topológica, a saber, una variedad diferenciable . Si las cartas locales en una variedad son compatibles en cierto sentido, se pueden definir direcciones, espacios tangentes y funciones diferenciables en esa variedad. En particular, es posible utilizar el cálculo en una variedad diferenciable. Cada punto de una variedad diferenciable n- dimensional tiene un espacio tangente . Este es un espacio euclidiano n- dimensional que consta de los vectores tangentes de las curvas a través del punto.

Dos clases importantes de variedades diferenciables son las variedades suaves y analíticas . Para variedades suaves, los mapas de transición son suaves, es decir, infinitamente diferenciables. Las variedades analíticas son variedades suaves con la condición adicional de que los mapas de transición sean analíticos (pueden expresarse como series de potencias ). A la esfera se le puede dar una estructura analítica, al igual que la mayoría de las curvas y superficies familiares.

Un conjunto rectificable generaliza la idea de una curva a trozos suave o

Variedades de Riemann

Para medir distancias y ángulos en colectores, el colector debe ser de Riemann. Una variedad de Riemann es una variedad diferenciable en la que cada espacio tangente está equipado con un producto interno ⟨⋅, ⋅⟩ de una manera que varía suavemente de un punto a otro. Dados dos vectores tangentes u y v , el producto interno ⟨ u , v ⟩ da un número real. El producto de puntos (o escalar) es un ejemplo típico de un producto interno. Esto permite definir varias nociones como longitud, ángulos , áreas (o volúmenes ), curvatura y divergencia de campos vectoriales .

A todas las variedades diferenciables (de dimensión constante) se les puede dar la estructura de una variedad de Riemann. El propio espacio euclidiano lleva una estructura natural de variedad riemanniana (los espacios tangentes se identifican naturalmente con el espacio euclidiano mismo y llevan el producto escalar estándar del espacio). Muchas curvas y superficies familiares, incluidas, por ejemplo, todas las n- esferas, se especifican como subespacios de un espacio euclidiano y heredan una métrica de su incrustación en él.

Colectores de Finsler

Un colector de Finsler permite la definición de distancia pero no requiere el concepto de ángulo; es una variedad analítica en la que cada espacio tangente está equipado con una norma , || · ||, de una manera que varía suavemente de un punto a otro. Esta norma se puede extender a una métrica , definiendo la longitud de una curva; pero, en general, no se puede utilizar para definir un producto interior.

Cualquier variedad de Riemann es una variedad de Finsler.

Grupos de mentiras

Los grupos de Lie , que llevan el nombre de Sophus Lie , son variedades diferenciables que llevan también la estructura de un grupo que es tal que las operaciones de grupo están definidas por mapas suaves.

Un espacio vectorial euclidiano con la operación de grupo de suma vectorial es un ejemplo de un grupo de Lie no compacto. Un ejemplo simple de un grupo de Lie compacto es el círculo: la operación de grupo es simplemente rotación. Este grupo, conocido como U (1), también se puede caracterizar como el grupo de números complejos de módulo 1 con la multiplicación como la operación de grupo.

Otros ejemplos de grupos de Lie incluyen grupos especiales de matrices , que son todos subgrupos del grupo lineal general , el grupo de n por n matrices con determinante distinto de cero. Si las entradas de la matriz son números reales , este será un n ² colector desconectado -dimensional. Los grupos ortogonales , los grupos de

Otros tipos de colectores

• Una variedad compleja es una variedad cuyos gráficos toman valores y cuyas funciones de transición son

${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

Una variedad CR es una variedad modelada en límites de dominios en .${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

Clasificación e invariantes

Las diferentes nociones de variedades tienen diferentes nociones de clasificación e invariante; en esta sección nos centraremos en los colectores cerrados lisos.

La clasificación de variedades cerradas lisas se entiende bien en principio , excepto en la dimensión 4 : en dimensiones bajas (2 y 3) es geométrica, a través del teorema de uniformización y la solución de la conjetura de Poincaré , y en dimensión alta (5 y más) es algebraico, a través de la teoría de la cirugía . Esta es una clasificación en principio: la cuestión general de si dos variedades suaves son difeomórficas no es computable en general. Además, los cálculos específicos siguen siendo difíciles y hay muchas preguntas abiertas.

Las superficies orientables se pueden visualizar y sus clases de difeomorfismo enumeradas, por género. Dadas dos superficies orientables, se puede determinar si son difeomórficas calculando sus respectivos géneros y comparando: son difeomórficas si y solo si los géneros son iguales, por lo que el género forma un conjunto completo de invariantes .

Esto es mucho más difícil en dimensiones superiores: las variedades de dimensiones superiores no se pueden visualizar directamente (aunque la intuición visual es útil para comprenderlas), ni se pueden enumerar sus clases de difeomorfismo, ni se puede determinar en general si dos descripciones diferentes de una dimensión superior. colector se refieren al mismo objeto.

Sin embargo, se puede determinar si dos variedades son diferentes si hay alguna característica intrínseca que las diferencia. Estos criterios se conocen comúnmente como invariantes , porque, si bien pueden definirse en términos de alguna presentación (como el género en términos de triangulación), son los mismos en relación con todas las descripciones posibles de una variedad particular: son invariantes bajo diferentes descripciones.

Ingenuamente, uno podría esperar desarrollar un arsenal de criterios invariantes que clasificaría definitivamente todas las variedades hasta el isomorfismo. Desafortunadamente, se sabe que para variedades de dimensión 4 y superiores, no existe ningún programa que pueda decidir si dos variedades son difeomórficas.

Las variedades suaves tienen un rico conjunto de invariantes , provenientes de la topología de conjuntos de puntos , la topología algebraica clásica y la topología geométrica . Los invariantes más familiares, que son visibles para las superficies, son la orientabilidad (un invariante normal, también detectado por homología ) y el género (un invariante homológico).

Las variedades cerradas lisas no tienen invariantes locales (aparte de la dimensión), aunque las variedades geométricas tienen invariantes locales, en particular la curvatura de una variedad de Riemann y la torsión de una variedad equipada con una conexión afín . Esta distinción entre invariantes locales y no invariantes locales es una forma común de distinguir entre geometría y topología . Todos los invariantes de una variedad cerrada suave son, por tanto, globales.

La topología algebraica es una fuente de varias propiedades invariantes globales importantes. Algunos criterios clave incluyen la propiedad simplemente conectada y la orientabilidad (ver más abajo). De hecho, varias ramas de las matemáticas, como la homología y la teoría de la

Superficies

Orientabilidad

En las dimensiones dos y superiores, un criterio invariante simple pero importante es la cuestión de si una variedad admite una orientación significativa. Considere una variedad topológica con gráficos mapeados a . Dada una

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Algunos ejemplos ilustrativos de variedades no orientables incluyen: (1) la tira de Möbius , que es una variedad con límite, (2) la botella de Klein , que debe intersecarse en su representación de 3 espacios, y (3) el plano proyectivo real , que surge naturalmente en la geometría.

Cinta de Moebius

Cinta de Moebius

Comience con un cilindro circular infinito en posición vertical, un colector sin límite. Córtelo por arriba y por abajo para producir dos límites circulares y la tira cilíndrica entre ellos. Se trata de un colector orientable con límite, sobre el que se realizará la "cirugía". Corta la tira para que se desenrolle y se convierta en un rectángulo, pero sujeta los extremos cortados. Gire un extremo 180 °, haciendo que la superficie interior mire hacia afuera, y pegue los extremos nuevamente juntos sin problemas. Esto da como resultado una tira con una media torsión permanente: la tira de Möbius. Su límite ya no es un par de círculos, sino (topológicamente) un solo círculo; y lo que una vez fue su "interior" se ha fusionado con su "exterior", de modo que ahora tiene un solo lado. De manera similar a la botella de Klein que se muestra a continuación, esta superficie bidimensional debería intersecarse en dos dimensiones, pero se puede construir fácilmente en tres o más dimensiones.

Botella de klein

La botella de Klein inmersa en un espacio tridimensional

Tome dos tiras de Möbius; cada uno tiene un solo bucle como límite. Enderece esos bucles en círculos y deje que las tiras se distorsionen en tapones cruzados . Pegar los círculos juntos producirá un nuevo colector cerrado sin límite, la botella de Klein. Cerrar la superficie no mejora la falta de orientabilidad, simplemente elimina el límite. Así, la botella de Klein es una superficie cerrada sin distinción entre interior y exterior. En el espacio tridimensional, la superficie de una botella de Klein debe pasar a través de sí misma. La construcción de una botella de Klein que no se entrecruza por sí misma requiere cuatro o más dimensiones de espacio.

Plano proyectivo real

Comience con una esfera centrada en el origen. Cada línea que atraviesa el origen perfora la esfera en dos puntos opuestos llamados antípodas . Aunque no hay forma de hacerlo físicamente, es posible (considerando un espacio de cociente ) fusionar matemáticamente cada par de antípodas en un solo punto. La superficie cerrada así producida es el plano proyectivo real, otra superficie no orientable. Tiene una serie de descripciones y construcciones equivalentes, pero esta ruta explica su nombre: todos los puntos en cualquier línea dada a través del proyecto de origen al mismo "punto" en este "plano".

Género y característica de Euler

Para variedades bidimensionales, una propiedad invariante clave es el género , o "número de asas" presentes en una superficie. Un toro es una esfera con un asa, un doble toro es una esfera con dos asas, etc. De hecho, es posible caracterizar completamente variedades compactas bidimensionales sobre la base del género y la orientabilidad. En variedades de dimensiones superiores, el género se reemplaza por la noción de característica de

Mapas de colectores

Una superficie Morin , una inmersión utilizada en la eversión de esferas.

Así como hay varios tipos de variedades, existen varios tipos de mapas de variedades . Además de las funciones continuas y las funciones suaves en general, existen mapas con propiedades especiales. En la topología geométrica un tipo básico son incrustaciones , de las cuales la teoría de nudos es un ejemplo central, y generalizaciones tales como inmersiones , inmersiones , que cubren los espacios , y se ramificó espacios que cubren . Los resultados básicos incluyen el teorema de inclusión de Whitney y el

En la geometría de Riemann, uno puede pedir mapas para preservar la métrica de Riemann, lo que lleva a las nociones de inmersiones isométricas , inmersiones isométricas , y inmersiones de Riemann ; un resultado básico es el teorema de incrustación de Nash .

Funciones con valores escalares

Gráfico de color 3D de los armónicos esféricos de grado${\ Displaystyle n = 5}$

Un ejemplo básico de mapas entre variedades son funciones con valores escalares en una variedad,

$${\ Displaystyle f \ colon M \ to \ mathbb {R}}$$

$${\ Displaystyle f \ dos puntos M \ a \ mathbb {C},}$$

a veces llamadas funciones regulares o funcionales , por analogía con la geometría algebraica o el álgebra lineal. Estos son de interés tanto por derecho propio como para estudiar la variedad subyacente.

En topología geométrica, las más comúnmente estudiadas son las funciones Morse , que producen descomposiciones del cuerpo del mango , mientras que en el análisis matemático , a menudo se estudia la solución de ecuaciones diferenciales parciales , un ejemplo importante del cual es el análisis armónico , donde se estudian funciones armónicas : el núcleo de Laplace. operador . Esto conduce a funciones como los armónicos esféricos y a calentar los métodos del

Generalizaciones de variedades

Colectores de dimensiones infinitas

La definición de variedad se puede generalizar eliminando el requisito de dimensionalidad finita. Así, una variedad de dimensión infinita es un espacio topológico localmente homeomórfico a un espacio vectorial topológico sobre los reales. Esto omite los axiomas de conjunto de puntos, lo que permite cardinalidades más altas y variedades que no son de Hausdorff ; y omite la dimensión finita, permitiendo que estructuras como las variedades de Hilbert se modelen en los espacios de Hilbert , las variedades de Banach en

Sea un conjunto no vacío. Supongamos que se elige alguna familia de funciones reales . Denotarlo por . Es un álgebra con respecto a la suma y multiplicación puntuales. Sea equipado con la topología inducida por . Suponga también que se cumplen las siguientes condiciones. Primero: para cada , dónde y arbitrariamente la composición . Segundo: toda función, que en cada punto de localmente coincide con alguna función de , también pertenece a . Un par para el que se cumplen las condiciones anteriores se denomina espacio diferencial de Sikorski.${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle C \ subseteq \ mathbb {R} ^ {M}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle H \ en C ^ {\ infty} \ left (\ mathbb {R} ^ {i} \ right)}$${\ Displaystyle i \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle f_ {1}, \ dots, f_ {n} \ in C}$${\ Displaystyle H \ circ \ left (f_ {1}, \ dots, f_ {n} \ right) \ in C}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle (M, C)}$

Ver también

• Geodésico  : camino más corto en una superficie curva o una variedad de Riemann.
• Estadísticas direccionales : estadísticas sobre variedades
• Lista de variedades  - artículo de la lista de Wikipedia
• Cronología de las variedades  -

Por dimensión

• 3-múltiple  : espacio que localmente se ve como un espacio euclidiano tridimensional
•  Colector de

Notas

Referencias

• Freedman, Michael H. y Quinn, Frank (1990) Topología de 4 colectores . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN  0-691-08577-3 .
• Guillemin, Victor y Pollack, Alan (1974) Topología diferencial . Prentice Hall. ISBN  0-13-212605-2 . Texto avanzado de pregrado / primer año de posgrado inspirado en Milnor.
• Hempel, John (1976) 3-Manifolds . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN  0-8218-3695-1 .
• Hirsch, Morris , (1997) Topología diferencial . Springer Verlag. ISBN  0-387-90148-5 . El relato más completo, con conocimientos históricos y problemas excelentes, pero difíciles. La referencia estándar para aquellos que deseen tener un conocimiento profundo del tema.
• Kirby, Robion C. y Siebenmann, Laurence C. (1977) Ensayos fundamentales sobre variedades topológicas. Suavizaciones y triangulaciones . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN  0-691-08190-5 . Un estudio detallado de la categoría de variedades topológicas.
• Lee, John M. (2000) Introducción a los colectores topológicos . Springer-Verlag. ISBN  0-387-98759-2 . Texto de posgrado de primer año detallado y completo.
• Lee, John M. (2003) Introducción a los colectores lisos . Springer-Verlag. ISBN  0-387-95495-3 . Texto de posgrado de primer año detallado y completo; secuela de Introducción a los colectores topológicos .
• Massey, William S. (1977) Topología algebraica: Introducción . Springer-Verlag. ISBN  0-387-90271-6 .
• Milnor, John (1997) Topología desde el punto de vista diferenciable . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN  0-691-04833-9 . Breve introducción clásica a la topología diferencial.
• Munkres, James R. (1991) Análisis de colectores . Addison-Wesley (reimpreso por Westview Press) ISBN  0-201-51035-9 . Texto de pregrado que trata variedades en .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$
• Munkres, James R. (2000) Topología . Prentice Hall. ISBN  0-13-181629-2 .
• Neuwirth, LP, ed. (1975) Nudos, grupos y 3 colectores. Artículos dedicados a la memoria de RH Fox . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN  978-0-691-08170-0 .
• Riemann, Bernhard , Gesammelte mathische

• Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. La tesis doctoral de 1851 en la queaparece por primera vez"múltiple" ( Mannigfaltigkeit ).
• Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. La conferencia inaugural de Göttingen de 1854 ( Habilitationsschrift ).

enlaces externos

• "Manifold" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Dimensions-math.org (Una película que explica y visualiza las variedades hasta la cuarta dimensión).
• El proyecto de atlas múltiple del Instituto Max Planck de Matemáticas en Bonn