Teorema fundamental del álgebra - Fundamental theorem of algebra

El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de variable única no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja . Esto incluye polinomios con coeficientes reales, ya que todo número real es un número complejo con su parte imaginaria igual a cero.

De manera equivalente (por definición), el teorema establece que el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado .

El teorema también se establece de la siguiente manera: todo polinomio de grado n de una sola variable diferente de cero con coeficientes complejos tiene, contado con multiplicidad , exactamente n raíces complejas. La equivalencia de los dos enunciados se puede probar mediante el uso de sucesivas divisiones polinómicas .

A pesar de su nombre, no existe una prueba puramente algebraica del teorema, ya que cualquier prueba debe usar alguna forma de completitud analítica de los números reales , que no es un concepto algebraico . Además, no es fundamental para el álgebra moderna ; su nombre se le dio en una época en que el álgebra era sinónimo de teoría de ecuaciones .

Historia

Peter Roth, en su libro Arithmetica Philosophica (publicado en 1608, en Nürnberg, por Johann Lantzenberger), escribió que una ecuación polinomial de grado n (con coeficientes reales) puede tener n soluciones. Albert Girard , en su libro L'invention nouvelle en l'Algèbre (publicado en 1629), afirmó que una ecuación polinomial de grado n tiene n soluciones, pero no afirmó que debían ser números reales. Además, agregó que su afirmación es válida "a menos que la ecuación esté incompleta", por lo que quiso decir que ningún coeficiente es igual a 0. Sin embargo, cuando explica en detalle lo que quiere decir, está claro que realmente cree que su afirmación es siempre cierto; por ejemplo, muestra que la ecuación, aunque incompleta, tiene cuatro soluciones (contando multiplicidades): 1 (dos veces), y

Como se mencionará nuevamente a continuación, del teorema fundamental del álgebra se deduce que todo polinomio no constante con coeficientes reales puede escribirse como un producto de polinomios con coeficientes reales cuyos grados son 1 o 2. Sin embargo, en 1702 Leibniz dijo erróneamente que ningún polinomio del tipo x 4 + a 4 (con un real y distinto de 0) puede escribirse de esa forma. Más tarde, Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación con respecto al polinomio x 4 - 4 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 4 , pero recibió una carta de Euler en 1742 en la que se demostró que este polinomio es igual a

con Además, Euler señaló que

D'Alembert hizo un primer intento de probar el teorema en 1746, pero su demostración estaba incompleta. Entre otros problemas, asumió implícitamente un teorema (ahora conocido como teorema de Puiseux ), que no sería probado hasta más de un siglo después y utilizando el teorema fundamental del álgebra. Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795) realizaron otros intentos . Estos últimos cuatro intentos asumieron implícitamente la afirmación de Girard; para ser más precisos, se supuso la existencia de soluciones y todo lo que quedaba a ser probado era que su forma era un  +  bi para algunos números reales a y b . En términos modernos, Euler, de Foncenex, Lagrange y Laplace estaban asumiendo la existencia de un campo de división del polinomio p ( z ).

A finales del siglo XVIII se publicaron dos nuevas pruebas que no asumían la existencia de raíces, pero ninguna de las cuales estaba completa. Uno de ellos, debido a James Wood y principalmente algebraico, fue publicado en 1798 y fue totalmente ignorado. La prueba de Wood tenía una brecha algebraica. El otro fue publicado por Gauss en 1799 y era principalmente geométrico, pero tenía un vacío topológico, solo cubierto por Alexander Ostrowski en 1920, como se analiza en Smale (1981). La primera prueba rigurosa fue publicada por Argand en 1806 (y revisada en 1813); También fue aquí donde, por primera vez, se estableció el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos, en lugar de solo coeficientes reales. Gauss produjo otras dos pruebas en 1816 y otra versión incompleta de su prueba original en 1849.

El primer libro de texto que contiene una prueba del teorema fue el Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique de Cauchy (1821). Contenía la prueba de Argand, aunque no se le atribuye a Argand .

Ninguna de las pruebas mencionadas hasta ahora es constructiva . Fue Weierstrass quien planteó por primera vez, a mediados del siglo XIX, el problema de encontrar una demostración constructiva del teorema fundamental del álgebra. Presentó su solución, que en términos modernos equivale a una combinación del método Durand-Kerner con el principio de continuación de homotopía , en 1891. Otra prueba de este tipo fue obtenida por Hellmuth Kneser en 1940 y simplificada por su hijo Martin Kneser en 1981.

Sin usar la opción contable , no es posible demostrar de manera constructiva el teorema fundamental del álgebra para números complejos basados ​​en los números reales de Dedekind (que no son constructivamente equivalentes a los números reales de Cauchy sin opción contable). Sin embargo, Fred Richman demostró una versión reformulada del teorema que sí funciona.

Pruebas

Todas las demostraciones siguientes implican algún análisis matemático , o al menos el concepto topológico de continuidad de funciones reales o complejas. Algunos también utilizan funciones diferenciables o incluso analíticas . Este hecho ha llevado a la observación de que el Teorema fundamental del álgebra no es fundamental ni un teorema del álgebra.

Algunas demostraciones del teorema solo demuestran que cualquier polinomio no constante con coeficientes reales tiene alguna raíz compleja. Esto es suficiente para establecer el teorema en el caso general porque, dado un polinomio no constante p ( z ) con coeficientes complejos, el polinomio

tiene solo coeficientes reales y, si z es un cero de q ( z ), entonces z o su conjugado es una raíz de p ( z ).

Un gran número de demostraciones no algebraicas del teorema utilizan el hecho (a veces llamado "lema de crecimiento") de que una función polinomial de grado n p ( z ) cuyo coeficiente dominante es 1 se comporta como z n cuando | z | es lo suficientemente grande. Una declaración más precisa es: hay un número real positivo R tal que:

cuando | z | >  R .

Pruebas analíticas complejas

Encuentre un disco cerrado D de radio r centrado en el origen tal que | p ( z ) | > | p (0) | siempre que | z | ≥  r . El mínimo de | p ( z ) | en D , que debe existir ya que D es compacto , se logra, por tanto, en algún punto z 0 en el interior de D , pero no en ningún punto de su límite. El principio de módulo máximo (aplicado a 1 / p ( z )) implica entonces que p ( z 0 ) = 0. En otras palabras, z 0 es un cero de p ( z ).

Una variación de esta prueba no requiere el uso del principio de módulo máximo (de hecho, el mismo argumento con cambios menores también da una prueba del principio de módulo máximo para funciones holomórficas). Si asumimos por contradicción que a  : = p ( z 0 ) ≠ 0, entonces, expandiendo p ( z ) en potencias de z - z 0 podemos escribir

Aquí, los c j son simplemente los coeficientes del polinomio zp ( z + z 0 ), y dejamos que k sea ​​el índice del primer coeficiente que sigue al término constante que no es cero. Pero ahora vemos que para z lo suficientemente cerca de z 0, esto tiene un comportamiento asintóticamente similar al polinomio más simple ,

en el sentido de que (como es fácil de comprobar) la función

está acotado por alguna constante positiva M en alguna vecindad de z 0 . Por lo tanto, si definimos y dejamos , entonces para cualquier número positivo suficientemente pequeño r (de modo que el límite M mencionado anteriormente se mantenga), usando la desigualdad del triángulo vemos que

Cuando r está lo suficientemente cerca de 0, este límite superior para | p ( z ) | es estrictamente menor que | a |, en contradicción con la definición de z 0 . (Geométricamente, hemos encontrado una dirección explícita θ 0 tal que si uno se acerca a z 0 desde esa dirección, se pueden obtener valores p ( z ) menores en valor absoluto que | p ( z 0 ) |.)

Otra prueba analítica puede obtenerse en esta línea de pensamiento observando que, dado que | p ( z ) | > | p (0) | fuera de D , el mínimo de | p ( z ) | en todo el plano complejo se logra en z 0 . Si | p ( z 0 ) | > 0, entonces 1 / p es una función holomórfica acotada en todo el plano complejo ya que, para cada número complejo z , | 1 / p ( z ) | ≤ | 1 / p ( z 0 ) |. Aplicando el teorema de Liouville , que establece que una función completa acotada debe ser constante, esto implicaría que 1 / p es constante y, por lo tanto, que p es constante. Esto da una contradicción y, por lo tanto, p ( z 0 ) = 0.

Sin embargo, otra prueba analítica utiliza el principio de argumento . Sea R un número real positivo lo suficientemente grande como para que cada raíz de p ( z ) tenga un valor absoluto menor que R ; tal número debe existir porque toda función polinomial no constante de grado n tiene como máximo n ceros. Para cada r  >  R , considere el número

donde c ( r ) es el círculo centrado en 0 con radio r orientado en sentido antihorario; entonces el principio del argumento dice que este número es el número N de ceros de p ( z ) en la bola abierta centrada en 0 con radio r , que, como r  >  R , es el número total de ceros de p ( z ). Por otro lado, la integral de n / z a lo largo de c ( r ) dividida por 2π i es igual an . Pero la diferencia entre los dos números es

El numerador de la expresión racional que se integra tiene un grado como máximo n  - 1 y el grado del denominador es n  + 1. Por lo tanto, el número anterior tiende a 0 cuando r → + ∞. Pero el número también es igual a N  -  n, por lo que N  =  n .

Se puede dar otra demostración analítica compleja combinando el álgebra lineal con el teorema de Cauchy . Para establecer que todo polinomio complejo de grado n  > 0 tiene cero, basta con mostrar que toda matriz cuadrada compleja de tamaño n  > 0 tiene un valor propio (complejo) . La prueba de esta última afirmación es por contradicción .

Sea A una matriz cuadrada compleja de tamaño n  > 0 y sea I n la matriz unitaria del mismo tamaño. Suponga que A no tiene valores propios. Considere la función resolutiva

que es una función meromórfica en el plano complejo con valores en el espacio vectorial de matrices. Los autovalores de A son precisamente los polos de R ( z ). Dado que, por supuesto, A no tiene valores propios, la función R ( z ) es una función completa y el teorema de Cauchy implica que

Por otro lado, R ( z ) expandido como una serie geométrica da:

Esta fórmula es válida fuera del disco cerrado de radio (la norma de operador de A ). Deja entonces

(en el que solo el sumando k  = 0 tiene una integral distinta de cero). Esto es una contradicción, por lo que A tiene un valor propio.

Finalmente , el teorema de Rouché da quizás la prueba más corta del teorema.

Pruebas topológicas

Suponga el mínimo de | p ( z ) | en todo el plano complejo se logra en z 0 ; se vio en la demostración que usa el teorema de Liouville de que tal número debe existir. Podemos escribir p ( z ) como un polinomio en z  -  z 0 : hay algún número natural k y hay algunos números complejos c k , c k  + 1 , ..., c n tales que c k  ≠ 0 y:

Si p ( z 0 ) es distinto de cero, se deduce que si a es una k- ésima raíz de - p ( z 0 ) / c k y si t es positivo y suficientemente pequeño, entonces | p ( z 0  +  ta ) | <| p ( z 0 ) |, lo cual es imposible, ya que | p ( z 0 ) | es el mínimo de | p | en D .

Para otra prueba topológica por contradicción, suponga que el polinomio p ( z ) no tiene raíces y, en consecuencia, nunca es igual a 0. Piense en el polinomio como un mapa del plano complejo al plano complejo. Traza cualquier círculo | z | =  R en un circuito cerrado, una curva P ( R ). Consideraremos qué sucede con el número de bobinado de P ( R ) en los extremos cuando R es muy grande y cuando R = 0. Cuando R es un número suficientemente grande, entonces el término principal z n de p ( z ) domina a todos los demás. términos combinados; en otras palabras,

Cuando z atraviesa el círculo una vez en sentido antihorario, luego se enrolla n veces en sentido antihorario alrededor del origen (0,0), y P ( R ) de la misma manera. En el otro extremo, con | z | = 0, la curva P (0) es simplemente el punto único p (0), que debe ser distinto de cero porque p ( z ) nunca es cero. Por tanto, p (0) debe ser distinto del origen (0,0), que denota 0 en el plano complejo. El número de devanado de P (0) alrededor del origen (0,0) es entonces 0. Ahora, cambiando R continuamente deformará el bucle continuamente . En algún R, el número de bobinado debe cambiar. Pero eso sólo puede suceder si la curva P ( R ) incluye el origen (0,0) para algunos R . Pero luego para algo de z en ese círculo | z | =  R tenemos p ( z ) = 0, contradiciendo nuestra suposición original. Por lo tanto, p ( z ) tiene al menos un cero.

Pruebas algebraicas

Estas demostraciones del teorema fundamental del álgebra deben hacer uso de los siguientes dos hechos sobre números reales que no son algebraicos pero que requieren solo una pequeña cantidad de análisis (más precisamente, el teorema del valor intermedio en ambos casos):

  • todo polinomio con grado impar y coeficientes reales tiene alguna raíz real;
  • cada número real no negativo tiene una raíz cuadrada.

El segundo hecho, junto con la fórmula cuadrática , implica el teorema para polinomios cuadráticos reales. En otras palabras, las demostraciones algebraicas del teorema fundamental realmente muestran que si R es cualquier campo cerrado real , entonces su extensión C = R ( −1 ) es algebraicamente cerrada.

Por inducción

Como se mencionó anteriormente, basta con verificar el enunciado "todo polinomio no constante p ( z ) con coeficientes reales tiene una raíz compleja". Esta afirmación se puede demostrar por inducción sobre el mayor entero no negativo k tal que 2 k divide el grado n de p ( z ). Sea a el coeficiente de z n en p ( z ) y sea F un campo de división de p ( z ) sobre C ; en otras palabras, el campo F contiene C y hay elementos z 1 , z 2 , ..., z n en F tales que

Si k  = 0, entonces n es impar y, por lo tanto, p ( z ) tiene una raíz real. Ahora, suponga que n  = 2 k m (con m impar y k  > 0) y que el teorema ya está probado cuando el grado del polinomio tiene la forma 2 k  - 1 m ′ con m ′ impar. Para un número real t , defina:

Entonces los coeficientes de q t ( z ) son polinomios simétricos en el z i con coeficientes reales. Por tanto, pueden expresarse como polinomios con coeficientes reales en los polinomios simétricos elementales , es decir, en - a 1 , a 2 , ..., (−1) n a n . Entonces q t ( z ) tiene coeficientes reales . Además, el grado de q t ( z ) es n ( n  - 1) / 2 = 2 k −1 m ( n  - 1), y m ( n  - 1) es un número impar. Entonces, usando la hipótesis de inducción, q t tiene al menos una raíz compleja; en otras palabras, z i  +  z j  +  tz i z j es complejo para dos elementos distintos i y j de {1, ..., n }. Dado que hay más números reales que pares ( i , j ), se pueden encontrar números reales distintos t y s tales que z i  +  z j  +  tz i z j y z i  +  z j  +  sz i z j son complejos (por lo mismo i y j ). Entonces, tanto z i  +  z j como z i z j son números complejos. Es fácil comprobar que cada número complejo tiene una raíz cuadrada compleja, por lo que cada polinomio complejo de grado 2 tiene una raíz compleja por la fórmula cuadrática. De ello se deduce que z i y z j son números complejos, ya que son raíces del polinomio cuadrático z 2  - ( z i  +  z j ) z  +  z i z j .

Joseph Shipman demostró en 2007 que la suposición de que los polinomios de grado impar tienen raíces es más fuerte de lo necesario; cualquier campo en el que los polinomios de grado primo tengan raíces es algebraicamente cerrado (por lo que "impar" puede ser reemplazado por "primo impar" y esto es válido para campos de todas las características). Para la axiomatización de campos algebraicamente cerrados, esto es lo mejor posible, ya que existen contraejemplos si se excluye un solo primo. Sin embargo, estos contraejemplos se basan en que -1 tiene una raíz cuadrada. Si tomamos un campo donde −1 no tiene raíz cuadrada, y cada polinomio de grado n  ∈  I tiene una raíz, donde I es cualquier conjunto infinito fijo de números impares, entonces todo polinomio f ( x ) de grado impar tiene una raíz ( ya que ( x 2 + 1) k f ( x ) tiene una raíz, donde k se elige de modo que deg ( f ) + 2 kI ). Mohsen Aliabadi generalizó el resultado de Shipman en 2013, proporcionando una prueba independiente de que una condición suficiente para que un campo arbitrario (de cualquier característica) sea algebraicamente cerrado es que tenga una raíz para cada polinomio de grado primo.

De la teoría de Galois

Se puede dar otra prueba algebraica del teorema fundamental usando la teoría de Galois . Basta mostrar que C no tiene una extensión de campo finito adecuada . Sea K / C una extensión finita. Dado que el cierre normal de K sobre R todavía tiene un grado finito sobre C (o R ), podemos suponer sin pérdida de generalidad que K es una extensión normal de R (por lo tanto, es una extensión de Galois , ya que toda extensión algebraica de un campo de característica 0 es separable ). Sea G el grupo de Galois de esta extensión y sea H un subgrupo 2 de Sylow de G , de modo que el orden de H es una potencia de 2 y el índice de H en G es impar. Por el teorema fundamental de la teoría de Galois , existe una subextension L de K / R de tal manera que Gal ( K / L ) =  H . Como [ L : R ] = [ G : H ] es impar, y no hay polinomios reales irreducibles no lineales de grado impar, debemos tener L  = R , por lo que [ K : R ] y [ K : C ] son ​​potencias de 2 . Suponiendo por contradicción que [ K : C ]> 1, concluimos que el grupo 2 Gal ( K / C ) contiene un subgrupo de índice 2, por lo que existe una subextensión M de C de grado 2. Sin embargo, C no tiene extensión de grado 2, porque cada polinomio complejo cuadrático tiene una raíz compleja, como se mencionó anteriormente. Esto muestra que [ K : C ] = 1, y por lo tanto K = C , lo que completa la demostración.

Pruebas geométricas

Existe todavía otra forma de abordar el teorema fundamental del álgebra, debido a JM Almira y A. Romero: mediante argumentos geométricos de Riemann . La idea principal aquí es demostrar que la existencia de un polinomio no constante p ( z ) sin ceros implica la existencia de una métrica de Riemann plana sobre la esfera S 2 . Esto conduce a una contradicción ya que la esfera no es plana.

Se dice que una superficie de Riemann ( M , g ) es plana si su curvatura gaussiana, que denotamos por K g , es idénticamente nula. Ahora, el teorema de Gauss-Bonnet , cuando se aplica a la esfera S 2 , afirma que

lo que prueba que la esfera no es plana.

Supongamos ahora que n > 0 y

para cada número complejo z . Definamos

Obviamente, p * ( z ) ≠ 0 para todo z en C . Considere el polinomio f ( z ) =  p ( z ) p * ( z ). Entonces f ( z ) ≠ 0 para cada z en C . Es más,

Podemos usar esta ecuación funcional para demostrar que g , dada por

para w en C , y

para w  ∈  S 2 \ {0}, es una métrica de Riemann bien definida sobre la esfera S 2 (que identificamos con el plano complejo extendido C  ∪ {∞}).

Ahora, un simple cálculo muestra que

ya que la parte real de una función analítica es armónica. Esto prueba que K g  = 0.

Corolarios

Dado que el teorema fundamental del álgebra puede verse como el enunciado de que el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado , se deduce que cualquier teorema relativo a los campos algebraicamente cerrados se aplica al campo de los números complejos. Aquí hay algunas consecuencias más del teorema, que se refieren al campo de los números reales o la relación entre el campo de los números reales y el campo de los números complejos:

  • El campo de los números complejos es el cierre algebraico del campo de los números reales.
  • Cada polinomio en una variable z con coeficientes complejos es el producto de una constante compleja y polinomios de la forma z  +  a con un complejo.
  • Cada polinomio en una variable x con coeficientes reales se puede escribir de forma única como el producto de una constante, polinomios de la forma x  +  una con un real, y los polinomios de la forma x 2  +  ax  +  b con un y b real y un 2  - 4 b  <0 (que es lo mismo que decir que el polinomio x 2  +  ax  +  b no tiene raíces reales). (Por el teorema de Abel-Ruffini , los números reales a y b no son necesariamente expresable en términos de los coeficientes del polinomio, las operaciones aritméticas básicas y la extracción de n raíces -ésimos.) Esto implica que el número de no real las raíces complejas son siempre uniformes y permanecen incluso cuando se cuentan con su multiplicidad.
  • Cada función racional en una variable x , con coeficientes reales, puede escribirse como la suma de una función polinómica con funciones racionales de la forma de un / ( x  -  b ) n (donde n es un número natural, y un y b son reales números), y funciones racionales de la forma ( ax  +  b ) / ( x 2  +  cx  +  d ) n (donde n es un número natural, y un , b , c , y d son números reales tales que c 2  - 4 d  <0). Un corolario de esto es que toda función racional en una variable y coeficientes reales tiene una primitiva elemental .
  • Toda extensión algebraica del campo real es isomórfica al campo real o al campo complejo.

Límites en los ceros de un polinomio

Si bien el teorema fundamental del álgebra establece un resultado de existencia general, es de cierto interés, tanto desde el punto de vista teórico como desde el práctico, tener información sobre la ubicación de los ceros de un polinomio dado. El resultado más simple en esta dirección es un límite en el módulo: todos los ceros ζ de un polinomio mónico satisfacen una desigualdad | ζ | ≤ R , donde

Observe que, como se dijo, esto todavía no es un resultado de existencia, sino más bien un ejemplo de lo que se llama un límite a priori : dice que si hay soluciones, entonces se encuentran dentro del disco cerrado del centro el origen y el radio R . Sin embargo, una vez acoplado con el teorema fundamental del álgebra, dice que el disco contiene de hecho al menos una solución. De manera más general, un límite se puede dar directamente en términos de cualquier p-norma del n -vector de coeficientes que es | ζ | ≤ R p , donde R p es precisamente la norma q del vector 2 q es el exponente conjugado de p , para cualquier 1 ≤ p ≤ ∞. Por tanto, el módulo de cualquier solución también está acotado por

para 1 < p <∞, y en particular

(donde definimos una n para que signifique 1, lo cual es razonable ya que 1 es de hecho el n -ésimo coeficiente de nuestro polinomio). El caso de un polinomio genérico de grado n ,

se reduce, por supuesto, al caso de un mónico, dividiendo todos los coeficientes por un n ≠ 0. Además, en caso de que 0 no sea una raíz, es decir, un 0 ≠ 0, los límites desde abajo en las raíces ζ siguen inmediatamente como límites desde arriba en , es decir, las raíces de

Finalmente, la distancia de las raíces ζ a cualquier punto se puede estimar desde abajo y arriba, viendo como ceros del polinomio , cuyos coeficientes son la expansión de Taylor de P ( z ) en

Sea ζ una raíz del polinomio

para probar la desigualdad | ζ | ≤ R p podemos asumir, por supuesto, | ζ | > 1. Escribir la ecuación como

y usando la desigualdad de Hölder encontramos

Ahora, si p = 1, esto es

por lo tanto

En el caso 1 < p ≤ ∞, teniendo en cuenta la fórmula de suma para una progresión geométrica , tenemos

por lo tanto

y simplificando,

Por lo tanto

se cumple, para todo 1 ≤ p ≤ ∞.

Ver también

Referencias

Citas

Fuentes históricas

Literatura reciente

enlaces externos