Teoría de campos cuánticos topológicos - Topological quantum field theory

En la teoría de gauge y la física matemática , una teoría de campos cuánticos topológicos (o teoría de campos topológicos o TQFT ) es una teoría de campos cuánticos que calcula invariantes topológicos .

Aunque los TQFT fueron inventados por físicos, también son de interés matemático, ya que están relacionados, entre otras cosas, con la teoría de nudos y la teoría de cuatro variedades en topología algebraica , y con la teoría de espacios de módulos en geometría algebraica . Donaldson , Jones , Witten y Kontsevich han ganado las medallas Fields por su trabajo matemático relacionado con la teoría de campos topológicos.

En la física de la materia condensada , las teorías de campos cuánticos topológicos son las teorías efectivas de baja energía de estados ordenados topológicamente , como los estados de Hall cuánticos fraccionarios , los estados condensados de redes de cadenas y otros estados líquidos cuánticos fuertemente correlacionados .

En dinámica , todos de tiempo continuo sistemas dinámicos , con y sin ruido, son TQFTs de tipo Witten y el fenómeno de descomposición espontánea de la correspondiente topológica supersimetría engloba tales conceptos bien establecidos como caos , turbulencia , 1 / f y crepitantes ruidos, auto- criticidad organizada, etc.

Visión general

En una teoría de campos topológicos, las funciones de correlación no dependen de la métrica del espacio-tiempo . Esto significa que la teoría no es sensible a los cambios en la forma del espacio-tiempo; si el espacio-tiempo se deforma o se contrae, las funciones de correlación no cambian. En consecuencia, son invariantes topológicos.

Las teorías de campos topológicos no son muy interesantes en el espacio-tiempo plano de Minkowski utilizado en física de partículas. El espacio de Minkowski se puede contraer hasta un punto , por lo que un TQFT aplicado al espacio de Minkowski da como resultado invariantes topológicos triviales. En consecuencia, los TQFT se suelen aplicar a espaciotiempos curvos, como, por ejemplo, las superficies de Riemann . La mayoría de las teorías de campos topológicos conocidas se definen en espaciotiempo de dimensión inferior a cinco. Parece que existen algunas teorías de dimensiones superiores, pero no se comprenden muy bien.

Se cree que la gravedad cuántica es independiente del fondo (en algún sentido adecuado), y los TQFT proporcionan ejemplos de teorías de campos cuánticos independientes del fondo. Esto ha provocado investigaciones teóricas en curso sobre esta clase de modelos.

(Advertencia: a menudo se dice que los TQFT tienen solo un número finito de grados de libertad. Esta no es una propiedad fundamental. Sucede que es cierto en la mayoría de los ejemplos que estudian los físicos y matemáticos, pero no es necesario. Un modelo sigma topológico apunta al espacio proyectivo de dimensión infinita, y si tal cosa pudiera definirse, tendría infinitamente infinitos grados de libertad.)

Modelos específicos

Las teorías de campo topológico conocidas se dividen en dos clases generales: TQFT de tipo Schwarz y TQFT de tipo Witten. Las TQFT de Witten también se denominan a veces teorías de campo cohomológico. Ver ( Schwarz 2000 ).

TQFT de tipo Schwarz

En las TQFT de tipo Schwarz , las funciones de correlación o las funciones de partición del sistema se calculan mediante la integral de ruta de las funciones de acción independientes de la métrica. Por ejemplo, en el modelo BF , el espacio-tiempo es una variedad bidimensional M, los observables se construyen a partir de una F de dos formas, un escalar auxiliar B y sus derivados. La acción (que determina la integral de ruta) es

{\ Displaystyle S = \ int _ {M} BF}

La métrica del espacio-tiempo no aparece en ninguna parte de la teoría, por lo que la teoría es explícitamente topológicamente invariante. El primer ejemplo apareció en 1977 y se debe a A. Schwarz ; su acción funcional es:

{\ Displaystyle \ int _ {M} A \ wedge dA.}

Otro ejemplo más famoso es la teoría de Chern-Simons , que se puede aplicar a invariantes de nudos . En general, las funciones de partición dependen de una métrica, pero los ejemplos anteriores son independientes de la métrica.

TQFT de tipo Witten

El primer ejemplo de TQFT de tipo Witten apareció en el artículo de Witten en 1988 ( Witten 1988a ), es decir, la teoría topológica de Yang-Mills en cuatro dimensiones. Aunque su acción funcional contiene la métrica del espacio-tiempo g _αβ , después de un giro topológico resulta ser métrica independiente. La independencia del tensor de tensión-energía T ^αβ del sistema de la métrica depende de si el operador BRST está cerrado. Siguiendo el ejemplo de Witten, se pueden encontrar muchos otros ejemplos en la teoría de cuerdas .

Los TQFT de tipo Witten surgen si se cumplen las siguientes condiciones:

La acción del TQFT tiene una simetría, es decir, si denota una transformación de simetría (por ejemplo, una derivada de Lie ), entonces se mantiene. ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle \ delta}$ ${\ Displaystyle \ delta S = 0}$
La transformación de simetría es exacta , es decir ${\ Displaystyle \ delta ^ {2} = 0}$
Hay observables existentes que satisfacen a todos . ${\ Displaystyle O_ {1}, \ dots, O_ {n}}$ ${\ Displaystyle \ delta O_ {i} = 0}$ ${\ Displaystyle i \ in \ {1, \ dots, n \}}$
El tensor de tensión-energía (o cantidades físicas similares) tiene la forma de un tensor arbitrario . ${\ Displaystyle T ^ {\ alpha \ beta} = \ delta G ^ {\ alpha \ beta}}$ ${\ Displaystyle G ^ {\ alpha \ beta}}$

Como ejemplo ( Linker 2015 ): Dado un campo de 2 formas con el operador diferencial que satisface , entonces la acción tiene una simetría si desde ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle \ delta}$ ${\ Displaystyle \ delta ^ {2} = 0}$ ${\ Displaystyle S = \ int _ {M} B \ wedge \ delta B}$ ${\ Displaystyle \ delta B \ wedge \ delta B = 0}$

{\ Displaystyle \ delta S = \ int _ {M} \ delta (B \ wedge \ delta B) = \ int _ {M} \ delta B \ wedge \ delta B + \ int _ {M} B \ wedge \ delta ^ {2} B = 0}

.

Además, se cumple lo siguiente (bajo la condición de que sea independiente y actúe de manera similar a una derivada funcional ): ${\ Displaystyle \ delta}$ ${\ Displaystyle B}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} S = \ int _ {M} {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}} } B \ cuña \ delta B + \ int _ {M} B \ cuña \ delta {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B = \ int _ {M} {\ frac { \ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B \ cuña \ delta B- \ int _ {M} \ delta B \ cuña {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B = -2 \ int _ {M} \ delta B \ wedge {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} B}

.

La expresión es proporcional a con otra forma 2 . ${\ Displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta B ^ {\ alpha \ beta}}} S}$ ${\ Displaystyle \ delta G}$ ${\ Displaystyle G}$

Ahora, cualquier promedio de observables para la medida de Haar correspondiente es independiente del campo "geométrico" y, por lo tanto, es topológico: ${\ Displaystyle \ left \ langle O_ {i} \ right \ rangle: = \ int d \ mu O_ {i} e ^ {iS}}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle B}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta B}} \ left \ langle O_ {i} \ right \ rangle = \ int d \ mu O_ {i} i {\ frac {\ delta} {\ delta B }} Se ^ {iS} \ propto \ int d \ mu O_ {i} \ delta Ge ^ {iS} = \ delta \ left (\ int d \ mu O_ {i} Ge ^ {iS} \ right) = 0 }

.

La tercera igualdad utiliza el hecho de que y la invariancia de la medida de Haar bajo transformaciones de simetría. Dado que es solo un número, su derivada de Lie se desvanece. ${\ Displaystyle \ delta O_ {i} = \ delta S = 0}$ ${\ Displaystyle \ int d \ mu O_ {i} Ge ^ {iS}}$

Formulaciones matematicas

Los axiomas originales de Atiyah-Segal

Atiyah sugirió un conjunto de axiomas para la teoría de campos cuánticos topológicos, inspirados por los axiomas propuestos por Segal para la teoría de campos conforme (posteriormente, la idea de Segal se resumió en Segal (2001) ), y el significado geométrico de supersimetría de Witten en Witten (1982) . Los axiomas de Atiyah se construyen pegando el límite con una transformación diferenciable (topológica o continua), mientras que los axiomas de Segal son para transformaciones conformes. Estos axiomas han sido relativamente útiles para los tratamientos matemáticos de las QFT de tipo Schwarz, aunque no está claro que capturen la estructura completa de las QFT de tipo Witten. La idea básica es que un TQFT es un funtor de una determinada categoría de cobordismos a la categoría de espacios vectoriales .

De hecho, hay dos conjuntos diferentes de axiomas que razonablemente podrían llamarse axiomas de Atiyah. Estos axiomas difieren básicamente en si se aplican o no a un TQFT definido en un único espacio-tiempo fijo n- dimensional Riemanniano / Lorentziano M o un TQFT definido en todos los espaciotiempos n -dimensionales a la vez.

Sea Λ un anillo conmutativo con 1 (para casi todos los propósitos del mundo real tendremos Λ = Z , R o C ). Atiyah propuso originalmente los axiomas de una teoría de campo cuántico topológico (TQFT) en la dimensión d definida sobre un anillo de tierra Λ de la siguiente manera:

Un Λ-módulo Z (Σ) finitamente generado asociado a cada variedad d-dimensional lisa cerrada orientada Σ (correspondiente al axioma de homotopía ),
Un elemento Z ( M ) ∈ Z (∂ M ) asociado a cada variedad orientada suave ( d + 1) -dimensional (con límite) M (correspondiente a un axioma aditivo ).

Estos datos están sujetos a los siguientes axiomas (4 y 5 fueron agregados por Atiyah):

Z es funtorial con respecto a la orientación preservar difeomorfismos de Σ y M ,
Z es involutivo , es decir, Z (Σ *) = Z (Σ) * donde Σ * es Σ con orientación opuesta y Z (Σ) * denota el módulo dual,
Z es multiplicativo .
Z ( ) = Λ para la variedad vacía d-dimensional y Z ( ) = 1 para la variedad vacía ( d + 1) -dimensional. ${\ Displaystyle \ emptyset}$ ${\ Displaystyle \ emptyset}$
Z ( M * ) = Z ( M ) (el axioma hermitiano ). Si es así que Z ( M ) puede verse como una transformación lineal entre espacios vectoriales hermitianos, entonces esto es equivalente a que Z ( M * ) sea el adjunto de Z ( M ). ${\ Displaystyle \ parcial M = \ Sigma _ {0} ^ {*} \ cup \ Sigma _ {1}}$

Observación. Si para una variedad cerrada M vemos Z ( M ) como un invariante numérico, entonces para una variedad con un límite deberíamos pensar en Z ( M ) ∈ Z (∂ M ) como un invariante "relativo". Sea f : Σ → Σ un difeomorfismo que conserva la orientación, e identifique los extremos opuestos de Σ × I por f . Esto da una variedad Σ _f y nuestros axiomas implican

{\ Displaystyle Z (\ Sigma _ {f}) = \ operatorname {Trace} \ \ Sigma (f)}

donde Σ ( f ) es el automorfismo inducido de Z (Σ).

Observación. Para una variedad M con límite Σ siempre podemos formar el doble que es una variedad cerrada. El quinto axioma muestra que ${\ Displaystyle M \ cup _ {\ Sigma} M ^ {*}}$

{\ Displaystyle Z \ left (M \ cup _ {\ Sigma} M ^ {*} \ right) = | Z (M) | ^ {2}}

donde a la derecha calculamos la norma en la métrica hermitiana (posiblemente indefinida).

La relación con la física

Físicamente (2) + (4) están relacionados con la invariancia relativista, mientras que (3) + (5) son indicativos de la naturaleza cuántica de la teoría.

Σ está destinado a indicar el espacio físico (normalmente, d = 3 para la física estándar) y la dimensión extra en Σ × I es el tiempo "imaginario". El espacio Z ( M ) es el espacio de Hilbert de la teoría cuántica y una teoría física, con un hamiltoniano H , tendrá un operador de evolución temporal e ^itH o un operador de "tiempo imaginario" e ^−tH . La característica principal de topológicas QFTs es que H = 0, lo que implica que no hay dinámica real o propagación, a lo largo del cilindro Σ × I . Sin embargo, puede haber una "propagación" no trivial (o amplitudes de efecto túnel) de Σ ₀ a Σ _{1 a} través de un colector intermedio M con ; esto refleja la topología de M . ${\ Displaystyle \ parcial M = \ Sigma _ {0} ^ {*} \ cup \ Sigma _ {1}}$

Si ∂ M = Σ, entonces el vector distinguido Z ( M ) en el espacio de Hilbert Z (Σ) se considera como el estado de vacío definido por M . Para un colector cerrado M, el número Z ( M ) es el valor esperado de vacío . En analogía con la mecánica estadística , también se denomina función de partición .

La razón por la que una teoría con un hamiltoniano cero puede formularse con sensatez reside en el enfoque integral de trayectoria de Feynman para QFT. Esto incorpora invariancia relativista (que se aplica a los "espaciotiempos" generales ( d + 1) -dimensionales) y la teoría es definida formalmente por un lagrangiano adecuado, un funcional de los campos clásicos de la teoría. Una función de Lagrange que implica sólo primeras derivadas en el tiempo formalmente conduce a un hamiltoniano cero, pero la propia función de Lagrange pueden tener características no triviales que se refieren a la topología de M .

Ejemplos de Atiyah

En 1988, M. Atiyah publicó un artículo en el que describía muchos ejemplos nuevos de teoría de campos cuánticos topológicos que se consideraron en ese momento ( Atiyah 1988 ) . Contiene algunos nuevos invariantes topológicos junto con algunas ideas nuevas: invariante de Casson , invariante de Donaldson , teoría de Gromov , homología de Floer y teoría de Jones-Witten .

d = 0

En este caso, Σ consta de un número finito de puntos. Para un único punto asociamos un espacio vectorial V = Z (punto) y para n -puntos el n -fold producto tensorial: V ^{⊗ n} = V ⊗ ... ⊗ V . El grupo simétrico S _n actúa sobre V ^{⊗ n} . Una forma estándar de obtener el espacio cuántico de Hilbert es comenzar con una variedad simpléctica clásica (o espacio de fase ) y luego cuantificarla. Extendamos S _n a un grupo de Lie compacto G y consideramos órbitas "integrables" para los cuales la estructura simpléctica proviene de una línea paquete , luego de cuantificación conduce a las representaciones irreducibles V de G . Ésta es la interpretación física del teorema de Borel-Weil o del teorema de Borel-Weil-Bott . El lagrangiano de estas teorías es la acción clásica ( holonomía del haz de líneas). Por lo tanto, las QFT topológicas con d = 0 se relacionan naturalmente con la teoría de representación clásica de los grupos de Lie y el grupo de simetría .

d = 1

Debemos tener en cuenta las condiciones de contorno periódicas dadas por bucles cerrados, en un compacto simpléctico colector X . Junto con la holonomía de Witten (1982) , los bucles utilizados en el caso de d = 0 como lagrangiano se utilizan para modificar el hamiltoniano. Para una superficie cerrada M, el invariante Z ( M ) de la teoría es el número de mapas pseudo holomórficos f : M → X en el sentido de Gromov (son mapas holomórficos ordinarios si X es una variedad de Kähler ). Si este número se vuelve infinita es decir, si hay "módulos", entonces debemos fijar más datos sobre M . Esto se puede hacer eligiendo algunos puntos P _i y luego mirando mapas holomórficos f : M → X con f ( P _i ) restringido a estar en un hiperplano fijo. Witten (1988b) ha escrito el lagrangiano relevante para esta teoría. Floer ha dado un tratamiento riguroso, es decir , homología de Floer , basado en las ideas de la teoría Morse de Witten ; en el caso de que las condiciones de contorno superen el intervalo en lugar de ser periódicas, los puntos inicial y final de la ruta se encuentran en dos subvariedades lagrangianas fijas . Esta teoría se ha desarrollado como teoría invariante de Gromov-Witten .

Otro ejemplo es la teoría del campo conformal holomórfico . Esto podría no haberse considerado estrictamente una teoría de campos cuánticos topológica en ese momento porque los espacios de Hilbert son de dimensión infinita. Las teorías de campo conforme también están relacionadas con el grupo compacto de Lie G en el que la fase clásica consiste en una extensión central del grupo de bucles (LG) . Cuantizar estos produce los espacios de Hilbert de la teoría de las representaciones irreductibles (proyectivas) de LG . El grupo Diff ₊ ( S ¹ ) ahora sustituye al grupo simétrico y juega un papel importante. Como resultado, la función de partición en tales teorías depende de una estructura compleja , por lo que no es puramente topológica.

d = 2

La teoría de Jones-Witten es la teoría más importante en este caso. Aquí el espacio de fase clásico, asociado con una superficie cerrada Σ es el espacio de módulos de un paquete G plano sobre Σ. El lagrangiano es un múltiplo entero de la función de Chern-Simons de una conexión G en una variedad 3 (que tiene que ser "enmarcada"). El múltiplo entero k , llamado nivel, es un parámetro de la teoría y k → ∞ da el límite clásico. Esta teoría se puede acoplar naturalmente con la teoría d = 0 para producir una teoría "relativa". Los detalles han sido descritos por Witten, quien muestra que la función de partición para un enlace (enmarcado) en la 3-esfera es solo el valor del polinomio de Jones para una raíz de unidad adecuada. La teoría se puede definir sobre el campo ciclotómico relevante , ver Atiyah (1988) . Al considerar una superficie de Riemann con límite, podemos acoplarla a la teoría conforme d = 1 en lugar de acoplar la teoría d = 2 a d = 0. Esto se ha convertido en la teoría de Jones-Witten y ha llevado al descubrimiento de conexiones profundas entre nudos teoría y teoría cuántica de campos.

d = 3

Donaldson ha definido el invariante entero de 4 variedades suaves mediante el uso de espacios de módulo de instancias SU (2). Estos invariantes son polinomios en la segunda homología. Por lo tanto, las variedades 4 deberían tener datos adicionales que consisten en el álgebra simétrica de H ₂ . Witten (1988a) ha producido un lagrangiano supersimétrico que reproduce formalmente la teoría de Donaldson. La fórmula de Witten podría entenderse como un análogo de dimensión infinita del teorema de Gauss-Bonnet . En una fecha posterior, esta teoría se desarrolló aún más y se convirtió en la teoría del calibre de Seiberg-Witten que reduce SU (2) a U (1) en N = 2, d = 4 teoría del calibre. La versión hamiltoniana de la teoría ha sido desarrollada por Floer en términos del espacio de conexiones en una variedad tridimensional. Floer utiliza la función de Chern-Simons , que es la teoría lagrangiana de Jones-Witten para modificar la hamiltoniana. Para obtener más información, consulte Atiyah (1988) . Witten (1988a) también ha mostrado cómo se pueden acoplar las teorías d = 3 yd = 1: esto es bastante análogo al acoplamiento entre d = 2 yd = 0 en la teoría de Jones-Witten.

Ahora, la teoría de campos topológicos se ve como un funtor , no en una dimensión fija sino en todas las dimensiones al mismo tiempo.

El caso de un espacio-tiempo fijo

Sea Bord _M la categoría cuyos morfismos son subvariedades n- dimensionales de M y cuyos objetos son componentes conectados de los límites de tales subvariedades. Considere dos morfismos como equivalentes si son homotópicos a través de subvariedades de M , y así forman la categoría de cociente hBord _M : Los objetos en hBord _M son los objetos de Bord _M , y los morfismos de hBord _M son clases de equivalencia de homotopía de morfismos en Bord _M . Un TQFT en M es un funtor monoidal simétrico de hBord _M a la categoría de espacios vectoriales.

Tenga en cuenta que los cobordismos, si sus límites coinciden, se pueden coser para formar un nuevo bordismo. Esta es la ley de composición para morfismos en la categoría de cobordismo. Dado que se requieren functores para preservar la composición, esto dice que el mapa lineal correspondiente a un morfismo cosido es solo la composición del mapa lineal para cada pieza.

Existe una equivalencia de categorías entre la categoría de teorías de campos cuánticos topológicos bidimensionales y la categoría de álgebras conmutativas de Frobenius .

Todos los espaciotiempos n -dimensionales a la vez

El par de pantalones es un bordismo (1 + 1) -dimensional, que corresponde a un producto o coproducto en un TQFT bidimensional.

Para considerar todos los espaciotiempos a la vez, es necesario reemplazar hBord _M por una categoría más grande. Por tanto, sea Bord _n la categoría de bordismos, es decir, la categoría cuyos morfismos son variedades n- dimensionales con límite, y cuyos objetos son los componentes conectados de los límites de las variedades n-dimensionales. (Tenga en cuenta que cualquier variedad ( n −1) -dimensional puede aparecer como un objeto en Bord _n .) Como se indicó anteriormente, considere dos morfismos en Bord _n como equivalentes si son homotópicos, y forme la categoría de cociente hBord _n . Bord _n es una categoría monoidal bajo la operación que mapea dos bordismos al bordismo hecho de su unión disjunta. Un TQFT en variedades n- dimensionales es entonces un funtor de hBord _n a la categoría de espacios vectoriales, que mapea uniones disjuntas de bordismos a su producto tensorial.

Por ejemplo, para bordismos (1 + 1) -dimensionales (bordismos bidimensionales entre variedades unidimensionales), el mapa asociado con un par de pantalones da un producto o coproducto, dependiendo de cómo se agrupen los componentes de la frontera, que es conmutativo o coconmutativo, mientras que el mapa asociado con un disco da un recuento (traza) o una unidad (escalares), dependiendo de la agrupación de componentes de frontera, y por lo tanto, las TQFT de dimensión (1 + 1) corresponden a las álgebras de Frobenius .

Además, podemos considerar simultáneamente variedades tetradimensionales, tridimensionales y bidimensionales relacionadas por los bordismos anteriores, y de ellos podemos obtener amplios e importantes ejemplos.

Desarrollo en un momento posterior

Al observar el desarrollo de la teoría de campos cuánticos topológicos, deberíamos considerar sus muchas aplicaciones a la teoría de gauge de Seiberg-Witten , la teoría de cuerdas topológicas , la relación entre la teoría de nudos y la teoría de campos cuánticos, y los invariantes de nudos cuánticos . Además, ha generado temas de gran interés tanto en matemáticas como en física. También son de importante interés los operadores no locales en TQFT ( Gukov & Kapustin (2013) ). Si la teoría de cuerdas se considera fundamental, las TQFT no locales pueden verse como modelos no físicos que proporcionan una aproximación computacionalmente eficiente a la teoría de cuerdas local.

TQFT tipo Witten y sistemas dinámicos

Las ecuaciones diferenciales estocásticas (parciales) (SDE) son la base para los modelos de todo en la naturaleza por encima de la escala de degeneración cuántica y coherencia y son esencialmente TQFT de tipo Witten. Todos los SDE poseen supersimetría topológica o BRST , y en el operador la representación de la dinámica estocástica es la derivada exterior , que es conmutativa con el operador de evolución estocástica. Este supersimetría preserva la continuidad del espacio de fases por flujos continuos, y el fenómeno de ruptura espontánea supersimétrico por un estado fundamental no supersimétrico mundial abarca tales conceptos físicos bien establecidos como caos , turbulencia , 1 / f y crepitantes ruidos, criticidad auto-organizada etc. El sector topológico de la teoría para cualquier SDE puede reconocerse como un TQFT de tipo Witten. ${\ Displaystyle \ delta}$

Ver también

Referencias

Atiyah, Michael (1988a). "Nuevos invariantes de variedades tridimensionales y tetradimensionales" . La herencia matemática de Hermann Weyl . Actas de simposios en matemáticas puras. 48 . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 285-299 . doi : 10.1090 / pspum / 048/974342 . ISBN 9780821814826.
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