Lema de Yoneda - Yoneda lemma

En matemáticas , el lema de Yoneda es posiblemente el resultado más importante en la teoría de categorías . Es un resultado abstracto de functores del tipo morfismos en un objeto fijo . Es una gran generalización del teorema de Cayley a partir de la teoría de grupos (ver un grupo como una categoría en miniatura con un solo objeto y solo isomorfismos). Permite la incrustación de cualquier categoría localmente pequeña en una categoría de functores ( functores con valores de conjunto contravariantes) definidos en esa categoría. También aclara cómo la categoría incrustada, de functores representables y sus transformaciones naturales , se relaciona con los otros objetos en la categoría de functor más grande. Es una herramienta importante que subyace a varios desarrollos modernos en geometría algebraica y teoría de la representación . Lleva el nombre de Nobuo Yoneda .

Generalidades

El lema de Yoneda sugiere que en lugar de estudiar la categoría localmente pequeña , se debe estudiar la categoría de todos los functores de en (la categoría de conjuntos con funciones como morfismos ). es una categoría que creemos que entendemos bien, y un functor de en puede verse como una "representación" de en términos de estructuras conocidas. La categoría original está contenida en esta categoría de functor, pero aparecen nuevos objetos en la categoría de functor, que estaban ausentes y "ocultos" en . Tratar estos nuevos objetos como los viejos a menudo unifica y simplifica la teoría. ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Conjunto}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Conjunto}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Conjunto}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Este enfoque es similar (y de hecho generaliza) el método común de estudiar un anillo investigando los módulos sobre ese anillo. El anillo ocupa el lugar de la categoría , y la categoría de módulos sobre el anillo es una categoría de funciones definidas en . ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Declaración formal

Lema de Yoneda refiere funtores de una categoría fija a la categoría de conjuntos , . Si es una categoría localmente pequeña (es decir, los hom-sets son conjuntos reales y no clases propias), entonces cada objeto de da lugar a un funtor natural llamado hom-functor . Este functor se denota: ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Conjunto}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Conjunto}}$

${\ Displaystyle h_ {A} = \ mathrm {Hom} (A, -)}$.

El ( covariante ) hom-funtor envía al conjunto de morfismos y envía un morfismo (donde y son objetos en ) a la morfismo (composición con a la izquierda) que envía un morfismo en al morfismo en . Es decir, ${\ Displaystyle h_ {A}}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (A, X)}$${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle f \ circ -}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (A, X)}$${\ Displaystyle f \ circ g}$${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (A, Y)}$

${\ Displaystyle h_ {A} (f) = \ mathrm {Hom} (A, f) {\ mbox {, o}}}$

${\ Displaystyle h_ {A} (f) (g) = f \ circ g}$.

Sea un functor arbitrario de a . Entonces el lema de Yoneda dice que: ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Conjunto}}$

Aquí la notación denota la categoría de functores de a . ${\ Displaystyle \ mathbf {Conjunto} ^ {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Conjunto}}$

Dada una transformación natural de a , el elemento correspondiente de es ; y dado un elemento de , la transformación natural correspondiente viene dada por . ${\ Displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle h_ {A}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F (A)}$${\ Displaystyle u = \ Phi _ {A} (\ mathrm {id} _ {A})}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle F (A)}$${\ Displaystyle \ Phi (f) = F (f) (u)}$

Versión contravariante

Hay una versión contravariante del lema de Yoneda, que se refiere a los functores contravariantes de a . Esta versión involucra el hom-functor contravariante ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Conjunto}}$

${\ Displaystyle h ^ {A} = \ mathrm {Hom} (-, A),}$

que envía al hom-set . Dado un funtor contravariante arbitrario de a , el lema de Yoneda afirma que ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (X, A)}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Conjunto}}$

${\ Displaystyle \ mathrm {Nat} (h ^ {A}, G) \ cong G (A).}$

Convenciones de nombres

El uso de para el hom-functor covariante y para el hom-functor contravariante no es completamente estándar. Muchos textos y artículos utilizan la convención opuesta o símbolos completamente no relacionados para estos dos functores. Sin embargo, la mayoría de los textos modernos de geometría algebraica que comienzan con el EGA fundamental de Alexander Grothendieck usan la convención en este artículo. ${\ Displaystyle h_ {A}}$${\ Displaystyle h ^ {A}}$

El mnemónico "caer en algo" puede ser útil para recordar que es el hom-functor covariante. Cuando la carta está cayendo (es decir, un subíndice), atribuye a un objeto los morfismos de en . ${\ Displaystyle h_ {A}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle h_ {A}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle X}$

Prueba

Dado que es una transformación natural, tenemos el siguiente diagrama conmutativo : ${\ Displaystyle \ Phi}$

Este diagrama muestra que la transformación natural está completamente determinada por ya que para cada morfismo se tiene ${\ Displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle \ Phi _ {A} (\ mathrm {id} _ {A}) = u}$${\ Displaystyle f \ colon A \ to X}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {X} (f) = (Ff) u}$.

Además, cualquier elemento define una transformación natural de esta manera. La prueba en el caso contravariante es completamente análoga. ${\ Displaystyle u \ en F (A)}$

La incrustación de Yoneda

Un caso especial importante del lema de Yoneda es cuando el functor de a es otro functor hom . En este caso, la versión covariante del lema de Yoneda establece que ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Conjunto}}$${\ Displaystyle h_ {B}}$

${\ Displaystyle \ mathrm {Nat} (h_ {A}, h_ {B}) \ cong \ mathrm {Hom} (B, A).}$

Es decir, las transformaciones naturales entre hom-functores están en correspondencia uno a uno con los morfismos (en la dirección inversa) entre los objetos asociados. Dado un morfismo se denota la transformación natural asociada . ${\ Displaystyle f \ colon B \ to A}$${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (f, -)}$

Mapeo de cada objeto en a su asociado hom-funtor y cada morfismo a la transformación natural correspondiente determina un funtor contravariante de a , la categoría funtor de todos (covariante) funtores de a . Se puede interpretar como un functor covariante : ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle h_ {A} = \ mathrm {Hom} (A, -)}$${\ Displaystyle f \ colon B \ to A}$${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (f, -)}$${\ Displaystyle h _ {\ bullet}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Conjunto} ^ {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Conjunto}}$${\ Displaystyle h _ {\ bullet}}$

${\ Displaystyle h _ {\ bullet} \ colon {\ mathcal {C}} ^ {\ text {op}} \ to \ mathbf {Set} ^ {\ mathcal {C}}.}$

El significado del lema de Yoneda en este contexto es que el functor es completamente fiel y, por lo tanto, da una inserción de en la categoría de functores a . La colección de todos los functores es una subcategoría de . Por lo tanto, la incrustación de Yoneda implica que la categoría es isomórfica a la categoría . ${\ Displaystyle h _ {\ bullet}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ mathrm {op}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Conjunto}}$${\ Displaystyle \ {h ^ {A} | A \ in C \}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Conjunto} ^ {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ mathrm {op}}}$${\ Displaystyle \ {h ^ {A} | A \ in C \}}$

La versión contravariante del lema de Yoneda establece que

${\ Displaystyle \ mathrm {Nat} (h ^ {A}, h ^ {B}) \ cong \ mathrm {Hom} (A, B).}$

Por tanto, da lugar a un functor covariante de la categoría de functores contravariantes a : ${\ Displaystyle h ^ {\ bullet}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Conjunto}}$

${\ Displaystyle h ^ {\ bullet} \ colon {\ mathcal {C}} \ to \ mathbf {Set} ^ {{\ mathcal {C}} ^ {\ mathrm {op}}}.}$

El lema de Yoneda luego establece que cualquier categoría localmente pequeña se puede incrustar en la categoría de functores contravariantes de a vía . Esto se llama incrustación de Yoneda . ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Conjunto}}$${\ Displaystyle h ^ {\ bullet}}$

La incrustación de Yoneda a veces se denota por よ, el Hiragana kana Yo .

Funtor representable

La incrustación de Yoneda esencialmente establece que para cada categoría (localmente pequeña), los objetos en esa categoría pueden ser representados por pre-despegues , de una manera completa y fiel. Es decir,

${\ Displaystyle \ mathrm {Nat} (h ^ {A}, P) \ cong P (A)}$

para un prehaz P . Muchas categorías comunes son, de hecho, categorías de pre-poleas, y en una inspección más cercana, resultan ser categorías de gavillas , y como tales ejemplos son comúnmente de naturaleza topológica, pueden verse como topoi en general. El lema de Yoneda proporciona un punto de influencia mediante el cual se puede estudiar y comprender la estructura topológica de una categoría.

En términos de (co) cálculo final

Dadas dos categorías y con dos functores , las transformaciones naturales entre ellas se pueden escribir como el siguiente final . ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$${\ Displaystyle \ mathbf {D}}$${\ Displaystyle F, G: \ mathbf {C} \ to \ mathbf {D}}$

${\ Displaystyle \ mathrm {Nat} (F, G) = \ int _ {c \ in \ mathbf {C}} \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {D}} (Fc, Gc)}$

Para cualquier functor y las siguientes fórmulas son todas formulaciones del lema de Yoneda. ${\ Displaystyle K \ colon \ mathbf {C} ^ {op} \ to \ mathbf {Conjuntos}}$${\ Displaystyle H \ colon \ mathbf {C} \ to \ mathbf {Conjuntos}}$

${\ Displaystyle K \ cong \ int ^ {c \ in \ mathbf {C}} Kc \ times \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {C}} (-, c), \ qquad K \ cong \ int _ { c \ in \ mathbf {C}} (Kc) ^ {\ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {C}} (c, -)},}$

${\ Displaystyle H \ cong \ int ^ {c \ in \ mathbf {C}} Hc \ times \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {C}} (c, -), \ qquad H \ cong \ int _ { c \ in \ mathbf {C}} (Hc) ^ {\ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {C}} (-, c)}.}$

Categorías, anillos y módulos preditivos

Una categoría preaditiva es una categoría en la que los conjuntos de morfismos forman grupos abelianos y la composición de los morfismos es bilineal ; los ejemplos son categorías de grupos o módulos abelianos. En una categoría preaditiva, hay una "multiplicación" y una "adición" de morfismos, por lo que las categorías preaditivas se consideran generalizaciones de anillos . Los anillos son categorías preaditivas con un objeto.

El lema de Yoneda sigue siendo válido para las categorías preaditivas si elegimos como nuestra extensión la categoría de functores contravariantes aditivos de la categoría original a la categoría de grupos abelianos; estos son functores que son compatibles con la adición de morfismos y deben considerarse como que forman una categoría de módulo sobre la categoría original. El lema de Yoneda luego produce el procedimiento natural para ampliar una categoría preaditiva de modo que la versión ampliada siga siendo preaditiva; de hecho, la versión ampliada es una categoría abeliana , una condición mucho más poderosa. En el caso de un anillo , la categoría extendida es la categoría de todos los derechos módulos más , y la declaración del lema de Yoneda reduce a la isomorfismo conocida ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$

${\ Displaystyle M \ cong \ mathrm {Hom} _ {R} (R, M)}$   para todos los módulos rectos más .${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle R}$

Relación con el teorema de Cayley

Como se indicó anteriormente, el lema de Yoneda puede considerarse como una vasta generalización del teorema de Cayley a partir de la teoría de grupos . Para ver esto, sea ​​una categoría con un solo objeto tal que todo morfismo sea un isomorfismo (es decir, un grupoide con un objeto). Luego forma un grupo bajo la operación de composición, y cualquier grupo puede realizarse como una categoría de esta manera. ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle *}$${\ Displaystyle G = \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (*, *)}$

En este contexto, un functor covariante consta de un homomorfismo de conjunto y de grupo , donde es el grupo de permutaciones de ; en otras palabras, es un G-set . Una transformación natural entre tales functores es lo mismo que un mapa equivariante entre -sets: una función de conjunto con la propiedad que para todos en y en . (En el lado izquierdo de esta ecuación, denota la acción de on y en el lado derecho la acción de on ). ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} \ to \ mathbf {Set}}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle G \ to \ mathrm {Perm} (X)}$${\ Displaystyle \ mathrm {Perm} (X)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ alpha \ colon X \ to Y}$${\ Displaystyle \ alpha (g \ cdot x) = g \ cdot \ alpha (x)}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ cdot}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$

Ahora el hom-functor covariante corresponde a la acción de sobre sí mismo por multiplicación por la izquierda (la versión contravariante corresponde a la multiplicación por la derecha). El lema de Yoneda con afirma que ${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (*, -)}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle F = \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (*, -)}$

${\ Displaystyle \ mathrm {Nat} (\ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (*, -), \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (*, -)) \ cong \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (*, *)}$,

es decir, los mapas equivariantes de este conjunto a sí mismo están en biyección con . Pero es fácil ver que (1) estos mapas forman un grupo bajo composición, que es un subgrupo de , y (2) la función que da la biyección es un homomorfismo de grupo. (Yendo en la dirección inversa, se asocia a cada en el mapa equivariante de multiplicación por la derecha por ). Por lo tanto, es isomorfo a un subgrupo de , que es el enunciado del teorema de Cayley. ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathrm {Perm} (G)}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathrm {Perm} (G)}$

Historia

Yoshiki Kinoshita declaró en 1996 que el término "lema de Yoneda" fue acuñado por Saunders Mac Lane después de una entrevista que tuvo con Yoneda.

Ver también

• Teorema de representación

Notas

Referencias

• Yoneda lema en nLab

enlaces externos

• Prueba del sistema Mizar : http://www.mizar.org/JFM/pdf/yoneda_1.pdf