Preheaf (teoría de categorías) - Presheaf (category theory)

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una gavilla previa en una categoría es un funtor . Si es el conjunto de conjuntos abiertos en un espacio topológico , interpretado como una categoría, entonces se recupera la noción habitual de pregajo en un espacio topológico. ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle F \ colon C ^ {\ mathrm {op}} \ to \ mathbf {Set}}$${\ Displaystyle C}$

Un morfismo de prehecho se define como una transformación natural de los functores. Esto convierte la recopilación de todos los prehechos en una categoría y es un ejemplo de una categoría de functor . A menudo se escribe como . Un functor en a veces se llama profunctor . ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle {\ widehat {C}} = \ mathbf {Set} ^ {C ^ {\ mathrm {op}}}}$${\ Displaystyle {\ widehat {C}}}$

Una gavilla que es naturalmente isomórfica al hom-functor contravariante Hom (-, A ) para algún objeto A de C se llama una gavilla representable .

Algunos autores se refieren a un funtor como una pregama valorada . ${\ Displaystyle F \ dos puntos C ^ {\ mathrm {op}} \ to \ mathbf {V}}$${\ Displaystyle \ mathbf {V}}$

Ejemplos de

• Un conjunto simplicial es un conjunto -valued prehaz en la categoría de simple . ${\ Displaystyle C = \ Delta}$

Propiedades

• Cuando es una categoría pequeña , la categoría de functor es cerrada cartesiana . ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle {\ widehat {C}} = \ mathbf {Set} ^ {C ^ {\ mathrm {op}}}}$
• El conjunto parcialmente ordenado de subobjetos de forma un álgebra de Heyting , siempre que sea ​​un objeto de por pequeño . ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle {\ widehat {C}} = \ mathbf {Set} ^ {C ^ {\ mathrm {op}}}}$${\ Displaystyle C}$
• Para cualquier morfismo de , el funtor retirada de subobjetos tiene un adjunto derecho, denotado , y un adjunto izquierdo, . Estos son los cuantificadores universales y existenciales. ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ Displaystyle {\ widehat {C}}}$${\ Displaystyle f ^ {*}: \ mathrm {Sub} _ {\ widehat {C}} (Y) \ to \ mathrm {Sub} _ {\ widehat {C}} (X)}$${\ Displaystyle \ forall _ {f}}$${\ Displaystyle \ existe _ {f}}$
• Una categoría localmente pequeña se inserta completa y fielmente en la categoría de pre-despegue valorado por conjuntos a través de la inserción de Yoneda, que a cada objeto de los asociados asocia el functor hom . ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle {\ widehat {C}}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle C (-, A)}$
• La categoría admite pequeños límites y pequeños colimits. Consulte el límite y el colimit de las ondas previas para una discusión más detallada . ${\ Displaystyle {\ widehat {C}}}$
• El teorema de la densidad establece que cada pregañado es un colímite de prehojas representables; de hecho, es la finalización colimita de (consulte la propiedad #Universal a continuación). ${\ Displaystyle {\ widehat {C}}}$${\ Displaystyle C}$

Propiedad universal

La construcción se denomina finalización colimita de C debido a la siguiente propiedad universal: ${\ Displaystyle C \ mapsto {\ widehat {C}} = \ mathbf {Fct} (C ^ {\ text {op}}, \ mathbf {Set})}$

Prueba : Dado un prehaz F , por el teorema de densidad , podemos escribir donde están los objetos en C . Entonces, dejemos lo que existe por suposición. Dado que es functorial, esto determina el functor . De manera sucinta, es la extensión Kan izquierda de a lo largo de y ; de ahí el nombre "extensión Yoneda". Para ver los desplazamientos con colimits pequeños, mostramos es un adjunto a la izquierda (a algún functor). Definir como el funtor dado por: para cada objeto M en D y cada objeto U en C , ${\ Displaystyle F = \ varinjlim yU_ {i}}$${\ Displaystyle U_ {i}}$${\ Displaystyle {\ widetilde {\ eta}} F = \ varinjlim \ eta U_ {i},}$${\ Displaystyle \ varinjlim -}$${\ displaystyle {\ widetilde {\ eta}}: {\ widehat {C}} \ to D}$${\ displaystyle {\ widetilde {\ eta}}}$${\ Displaystyle \ eta}$${\ displaystyle {\ widetilde {\ eta}}}$${\ displaystyle {\ widetilde {\ eta}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} om (\ eta, -): D \ a {\ widehat {C}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} om (\ eta, M) (U) = \ operatorname {Hom} _ {D} (\ eta U, M).}$

Entonces, para cada objeto M en D , ya que por el lema de Yoneda, tenemos: ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} om (\ eta, M) (U_ {i}) = \ operatorname {Hom} (yU_ {i}, {\ mathcal {H}} om (\ eta, M)) }$

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {Hom} _ {D} ({\ widetilde {\ eta}} F, M) & = \ operatorname {Hom} _ {D} (\ varinjlim \ eta U_ {i }, M) = \ varprojlim \ operatorname {Hom} _ {D} (\ eta U_ {i}, M) = \ varprojlim {\ mathcal {H}} om (\ eta, M) (U_ {i}) \ \ & = \ operatorname {Hom} _ {\ widehat {C}} (F, {\ mathcal {H}} om (\ eta, M)), \ end {alineado}}}$

es decir, es un adjunto a la izquierda de . ${\ displaystyle {\ widetilde {\ eta}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} om (\ eta, -)}$${\ Displaystyle \ cuadrado}$

La proposición arroja varios corolarios. Por ejemplo, la proposición implica que la construcción es functorial: es decir, cada funtor determina el funtor . ${\ displaystyle C \ mapsto {\ widehat {C}}}$${\ Displaystyle C \ a D}$${\ displaystyle {\ widehat {C}} \ to {\ widehat {D}}}$

Variantes

Un haz de espacios en una categoría ∞ C es un funtor contravariante de C a la categoría ∞ de espacios (por ejemplo, el nervio de la categoría de complejos CW ). Es una versión de categoría ∞ de un haz de conjuntos previo. , ya que un "conjunto" se reemplaza por un "espacio". La noción se usa, entre otras cosas, en la formulación de la categoría ∞ del lema de Yoneda que dice: es completamente fiel (aquí C puede ser solo un conjunto simple ). ${\ Displaystyle C \ a PShv (C)}$

Ver también

• Topos
• Categoría de elementos
• Pregavilla simple (esta noción se obtiene reemplazando "conjunto" por "conjunto simplicial")
• Preheaf con transferencias

Notas

Referencias

• Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2005). Categorías y gavillas . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 332 . Saltador. ISBN   978-3-540-27950-1 .
• Lurie, J. Teoría de Topos superior .
• Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (1992). Gavillas en Geometría y Lógica . Saltador. ISBN   0-387-97710-4 .

Otras lecturas

• Preheaf en nLab
• Cocompletado gratuito en nLab
• Daniel Dugger, Sheaves and Homotopy Theory , el archivo pdf proporcionado por nlab.