Grupo fundamental - Fundamental group

En el campo matemático de la topología algebraica , el grupo fundamental de un espacio topológico es el grupo de las clases de equivalencia bajo homotopía de los bucles contenidos en el espacio. Registra información sobre la forma básica, o agujeros, del espacio topológico . El grupo fundamental es el primer y más simple grupo de homotopía . El grupo fundamental es un invariante de homotopía : los espacios topológicos que son equivalentes de homotopía (o el caso más fuerte de homeomorfo ) tienen isomorfos grupos fundamentales.

Intuición

Comience con un espacio (por ejemplo, una superficie) y algún punto en él, y todos los bucles que comienzan y terminan en este punto: caminos que comienzan en este punto, deambulan y finalmente regresan al punto de partida. Se pueden combinar dos bucles de una manera obvia: viaje a lo largo del primer bucle y luego a lo largo del segundo. Dos bucles se consideran equivalentes si uno se puede deformar en el otro sin romperse. El conjunto de todos esos bucles con este método de combinación y esta equivalencia entre ellos es el grupo fundamental para ese espacio en particular.

Historia

Henri Poincaré definió el grupo fundamental en 1895 en su artículo " Analysis situs ". El concepto surgió en la teoría de las superficies de Riemann , en la obra de Bernhard Riemann , Poincaré y Felix Klein . Describe las propiedades de monodromía de funciones con valores complejos , además de proporcionar una clasificación topológica completa de superficies cerradas .

Definición

A lo largo de este artículo, X es un espacio topológico. Un ejemplo típico es una superficie como la que se muestra a la derecha. Además, es un punto en X llamado punto base . (Como se explica a continuación, su función es bastante auxiliar.) La idea de la definición del grupo de homotopía es medir cuántas (en términos generales) curvas en X pueden deformarse entre sí. La definición precisa depende de la noción de homotopía de bucles, que se explica primero. ${\ Displaystyle x_ {0}}$

Homotopía de bucles

Dado un espacio topológico X , un bucle basado en${\ Displaystyle x_ {0}}$ se define como una función continua (también conocida como mapa continuo )

${\ Displaystyle \ gamma \ colon [0,1] \ to X}$

de modo que el punto inicial y el punto final sean ambos iguales a . ${\ Displaystyle \ gamma (0)}$${\ Displaystyle \ gamma (1)}$${\ Displaystyle x_ {0}}$

Una homotopía es una interpolación continua entre dos bucles. Más precisamente, una homotopía entre dos bucles (basados ​​en el mismo punto ) es un mapa continuo ${\ Displaystyle \ gamma, \ gamma '\ colon [0,1] \ to X}$${\ Displaystyle x_ {0}}$

${\ Displaystyle h \ dos puntos [0,1] \ times [0,1] \ a X,}$

tal que

• ${\ Displaystyle h (0, t) = x_ {0}}$para todo lo que es, el punto de partida de la homotopía es para todo t (que a menudo se considera un parámetro de tiempo).${\ Displaystyle t \ in [0,1],}$${\ Displaystyle x_ {0}}$
• ${\ Displaystyle h (1, t) = x_ {0}}$para todo lo que es, de manera similar, el punto final permanece en todo t .${\ Displaystyle t \ in [0,1],}$${\ Displaystyle x_ {0}}$
• ${\ Displaystyle h (r, 0) = \ gamma (r), h (r, 1) = \ gamma '(r)}$para todos .${\ Displaystyle r \ en [0,1]}$

Si tal un homotopy h existe, y se dice que son homotopic . La relación " es homotópica de " es una relación de equivalencia de modo que el conjunto de clases de equivalencia puede considerarse: ${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ gamma '}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ gamma '}$

${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0}): = \ {{\ text {todos los bucles}} \ gamma {\ text {basado en}} x_ {0} \} / {\ text { homotopía}}}$.

Este conjunto (con la estructura de grupo que se describe a continuación) se denomina grupo fundamental del espacio topológico X en el punto base . El propósito de considerar las clases de equivalencia de los bucles hasta la homotopía, a diferencia del conjunto de todos los bucles (el llamado espacio de bucles de X ) es que este último, si bien es útil para varios propósitos, es un objeto bastante grande y difícil de manejar. . Por el contrario, el cociente anterior es, en muchos casos, más manejable y computable. ${\ Displaystyle x_ {0}}$

Estructura de grupo

Según la definición anterior, es solo un conjunto. Se convierte en un grupo (y por lo tanto merece el nombre de grupo fundamental ) mediante la concatenación de bucles. Más precisamente, dados dos bucles , su producto se define como el bucle ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$${\ Displaystyle \ gamma _ {0}, \ gamma _ {1}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ gamma _ {0} \ cdot \ gamma _ {1} \ colon [0,1] & \ to X \\ (\ gamma _ {0} \ cdot \ gamma _ {1 }) (t) & = {\ begin {cases} \ gamma _ {0} (2t) & 0 \ leq t \ leq {\ tfrac {1} {2}} \\\ gamma _ {1} (2t-1 ) & {\ tfrac {1} {2}} \ leq t \ leq 1. \ end {casos}} \ end {alineado}}}$

Por lo tanto, el bucle primero sigue al bucle con "el doble de velocidad" y luego lo sigue con "el doble de velocidad". ${\ Displaystyle \ gamma _ {0} \ cdot \ gamma _ {1}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {0}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {1}}$

El producto de dos clases de homotopía de bucles y luego se define como . Se puede demostrar que este producto no depende de la elección de los representantes y, por lo tanto, ofrece una operación bien definida en el conjunto . Esta operación se convierte en un grupo. Su elemento neutro es el bucle constante, que permanece en todo el tiempo t . La inversa de un bucle (clase de homotopía de a) es el mismo bucle, pero atravesado en la dirección opuesta. Más formalmente, ${\ Displaystyle [\ gamma _ {0}]}$${\ Displaystyle [\ gamma _ {1}]}$${\ Displaystyle [\ gamma _ {0} \ cdot \ gamma _ {1}]}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$${\ Displaystyle x_ {0}}$

${\ Displaystyle \ gamma ^ {- 1} (t): = \ gamma (1-t)}$.

Dados tres bucles basados ​​en el producto ${\ Displaystyle \ gamma _ {0}, \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2},}$

${\ Displaystyle (\ gamma _ {0} \ cdot \ gamma _ {1}) \ cdot \ gamma _ {2}}$

es la concatenación de estos bucles, atravesando y luego con velocidad cuádruple, y luego con velocidad doble. En comparación, ${\ Displaystyle \ gamma _ {0}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {1}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {2}}$

${\ Displaystyle \ gamma _ {0} \ cdot (\ gamma _ {1} \ cdot \ gamma _ {2})}$

recorre los mismos caminos (en el mismo orden), pero con el doble de velocidad y con el cuádruple de velocidad. Por lo tanto, debido a las diferentes velocidades, los dos caminos no son idénticos. El axioma de la asociatividad${\ Displaystyle \ gamma _ {0}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}}$

${\ Displaystyle [\ gamma _ {0}] \ cdot \ left ([\ gamma _ {1}] \ cdot [\ gamma _ {2}] \ right) = \ left ([\ gamma _ {0}] \ cdot [\ gamma _ {1}] \ derecha) \ cdot [\ gamma _ {2}]}$

por lo tanto, depende de manera crucial del hecho de que los caminos se consideren hasta la homotopía. De hecho, los dos compuestos anteriores son homotópicos, por ejemplo, al bucle que atraviesa los tres bucles con triple velocidad. El conjunto de bucles de base hasta la homotopía, equipados con la operación anterior, por lo tanto, se convierte en un grupo. ${\ Displaystyle \ gamma _ {0}, \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$

Dependencia del punto base

Aunque el grupo fundamental en general depende de la elección del punto base, resulta que, hasta el isomorfismo (en realidad, incluso hasta el isomorfismo interno ), esta elección no hace ninguna diferencia siempre que el espacio X esté conectado por una ruta . Por lo tanto, para espacios conectados con rutas, muchos autores escriben en lugar de . ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X)}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$

Ejemplos concretos

Esta sección enumera algunos ejemplos básicos de grupos fundamentales. Para empezar, en el espacio euclidiano ( ) o en cualquier subconjunto convexo de solo hay una clase de bucles de homotopía, y el grupo fundamental es, por lo tanto, el grupo trivial con un elemento. De manera más general, cualquier dominio estelar y, aún más generalmente, cualquier espacio contráctil tiene un grupo fundamental trivial. Así, el grupo fundamental no distingue entre tales espacios. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$

La 2-esfera

Un espacio conectado por caminos cuyo grupo fundamental es trivial se llama simplemente conectado . Por ejemplo, la esfera de 2 representada a la derecha y también todas las esferas de dimensiones superiores están simplemente conectadas. La figura ilustra una homotopía que contrae un bucle particular al bucle constante. Esta idea se puede adaptar a todos los bucles de manera que haya un punto que no está en la imagen de Sin embargo, dado que hay bucles de tal manera que (construidos a partir de la curva de Peano , por ejemplo), una prueba completa requiere un análisis más cuidadoso con herramientas de topología algebraica, como el teorema de Seifert-van Kampen o el teorema de aproximación celular . ${\ Displaystyle S ^ {2} = \ left \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ mid x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 \ right \}}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle (x, y, z) \ en S ^ {2}}$${\ Displaystyle \ gamma.}$${\ Displaystyle \ gamma ([0,1]) = S ^ {2}}$

El círculo

El círculo (también conocido como 1-esfera)

${\ Displaystyle S ^ {1} = \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid x ^ {2} + y ^ {2} = 1 \ right \}}$

no está simplemente conectado. En cambio, cada clase de homotopía consta de todos los bucles que se enrollan alrededor del círculo un número determinado de veces (que puede ser positivo o negativo, según la dirección del enrollamiento). El producto de un bucle que se enrolla alrededor de m veces y otro que se enrolla alrededor de n veces es un bucle que se enrolla alrededor de veces. Por tanto, el grupo fundamental del círculo es isomorfo al grupo aditivo de enteros . Este hecho se puede utilizar para dar demostraciones del teorema del punto fijo de Brouwer y del teorema de Borsuk-Ulam en la dimensión 2. ${\ Displaystyle m + n}$${\ Displaystyle (\ mathbb {Z}, +),}$

La figura ocho

El grupo fundamental de la figura ocho es el grupo libre de dos letras. La idea para demostrar esto es la siguiente: eligiendo el punto base para que sea el punto donde los dos círculos se unen (punteado en negro en la imagen de la derecha), cualquier bucle se puede descomponer como ${\ Displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle \ gamma = a ^ {n_ {1}} b ^ {m_ {1}} \ cdots a ^ {n_ {k}} b ^ {m_ {k}}}$

donde un y b son los dos bucles de devanado alrededor de cada medio de la figura tal como se representa, y los exponentes son números enteros. A diferencia del grupo fundamental de la figura de un ocho es no conmutativo : las dos formas de componer una y b no son homotópico el uno al otro: ${\ Displaystyle n_ {1}, \ dots, n_ {k}, m_ {1}, \ dots, m_ {k}}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} \ left (S ^ {1} \ right),}$

${\ Displaystyle [a] \ cdot [b] \ neq [b] \ cdot [a].}$

De manera más general, el grupo fundamental de un ramo de círculos r es el grupo libre de letras r .

El grupo fundamental de una suma en cuña de dos espacios conectados por caminos X e Y se puede calcular como el producto libre de los grupos fundamentales individuales:

${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X \ vee Y) \ cong \ pi _ {1} (X) * \ pi _ {1} (Y).}$

Esto generaliza las observaciones anteriores, ya que la figura ocho es la suma en cuña de dos círculos.

El grupo fundamental del plano perforado en n puntos es también el grupo libre con n generadores. El i -ésimo generador es la clase de bucle que rodea el i -ésimo pinchazo sin rodear ningún otro pinchazo.

Gráficos

El grupo fundamental también se puede definir para estructuras discretas. En particular, considere un grafo conexo G = ( V , E ) , con un vértice designado v ₀ en V . Los bucles en G son los ciclos que comienzan y terminan en v ₀ . Deje que T sea un árbol de expansión de G . Cada bucle simple en G contiene exactamente una arista en E \ T ; cada bucle en G es una concatenación de bucles tan simples. Por lo tanto, el grupo fundamental de un grafo es un grupo libre , en el que el número de generadores es exactamente el número de aristas en E \ T . Este número es igual a | E | - | V | + 1 .

Por ejemplo, suponga que G tiene 16 vértices dispuestos en 4 filas de 4 vértices cada una, con bordes que conectan vértices adyacentes horizontal o verticalmente. Entonces G tiene 24 aristas en total, y el número de aristas en cada árbol de expansión es 16 - 1 = 15 , por lo que el grupo fundamental de G es el grupo libre con 9 generadores. Tenga en cuenta que G tiene 9 "agujeros", de manera similar a un ramo de 9 círculos, que tiene el mismo grupo fundamental.

Grupos de nudos

Los grupos de nudos son, por definición, el grupo fundamental del complemento de un nudo K incrustado en.Por ejemplo, se sabe que el grupo de nudos del nudo de trébol es el grupo de trenzas, lo que da otro ejemplo de un grupo fundamental no abeliano. La presentación de Wirtinger describe explícitamente los grupos de nudos en términos de generadores y relaciones basadas en un diagrama del nudo. Por lo tanto, los grupos de nudos tienen algún uso en la teoría de nudos para distinguir entre nodos: sino es isomorfo a algún otro grupode nudos de otro nudo K ' , entonces K no se puede transformar enPor lo tanto, el nudo de trébol no se puede transformar continuamente en el círculo ( también conocido como el desanudo ), ya que este último tiene un grupo de nudos. Sin embargo, hay nudos que no se pueden deformar entre sí, pero tienen grupos de nudos isomorfos. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}.}$ ${\ Displaystyle B_ {3},}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} \ left (\ mathbb {R} ^ {3} \ setminus K \ right)}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} \ left (\ mathbb {R} ^ {3} \ setminus K '\ right)}$${\ Displaystyle K '.}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Superficies orientadas

El grupo fundamental de una superficie orientable género n se puede calcular en términos de generadores y relaciones como

${\ Displaystyle \ left \ langle A_ {1}, B_ {1}, \ ldots, A_ {n}, B_ {n} \ left | A_ {1} B_ {1} A_ {1} ^ {- 1} B_ {1} ^ {- 1} \ cdots A_ {n} B_ {n} A_ {n} ^ {- 1} B_ {n} ^ {- 1} \ right. \ Right \ rangle.}$

Esto incluye al toro , siendo el caso del género 1, cuyo grupo fundamental es

${\ Displaystyle \ left \ langle A_ {1}, B_ {1} \ left | A_ {1} B_ {1} A_ {1} ^ {- 1} B_ {1} ^ {- 1} \ right. \ right \ rangle \ cong \ mathbb {Z} ^ {2}.}$

Grupos topológicos

El grupo fundamental de un grupo topológico X (con respecto a que el punto base es el elemento neutro) es siempre conmutativo. En particular, el grupo fundamental de un grupo de Lie es conmutativo. De hecho, la estructura de grupo en X dota de otra estructura de grupo: dados dos bucles y en X , se puede definir otro bucle usando la multiplicación de grupo en X : ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X)}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ gamma '}$${\ Displaystyle \ gamma \ star \ gamma '}$

${\ Displaystyle \ left (\ gamma \ star \ gamma '\ right) (x) = \ gamma (x) \ cdot \ gamma' (x).}$

Esta operación binaria sobre el conjunto de todos los bucles es a priori independiente de la descrita anteriormente. Sin embargo, el argumento de Eckmann-Hilton muestra que de hecho está de acuerdo con la concatenación de bucles anterior y, además, que la estructura de grupo resultante es abeliana. ${\ Displaystyle \ star}$

Una inspección de la demostración muestra que, más generalmente, es abeliano para cualquier espacio H X , es decir, la multiplicación no necesita tener una inversa, ni tiene que ser asociativa. Por ejemplo, esto muestra que el grupo fundamental de un espacio de bucle de otro espacio topológico Y , es abeliano. Ideas relacionadas conducen al cálculo de Heinz Hopf de la cohomología de un grupo de Lie . ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X)}$ ${\ Displaystyle X = \ Omega (Y),}$

Functorialidad

Si es un mapa continuo, y con entonces cada bucle en X con punto base se puede componer con f para producir un bucle en Y con punto base. Esta operación es compatible con la relación de equivalencia de homotopía y con la composición de bucles. El homomorfismo de grupo resultante , llamado homomorfismo inducido , se escribe como o, más comúnmente, ${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$${\ Displaystyle x_ {0} \ in X}$${\ Displaystyle y_ {0} \ in Y}$${\ Displaystyle f (x_ {0}) = y_ {0},}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle y_ {0}.}$${\ Displaystyle \ pi (f)}$

${\ Displaystyle f _ {*} \ colon \ pi _ {1} (X, x_ {0}) \ to \ pi _ {1} (Y, y_ {0}).}$

Este mapeo de mapas continuos a homomorfismos de grupo es compatible con la composición de mapas y morfismos de identidad. En el lenguaje de la teoría de categorías , la formación de asociar a un espacio topológico su grupo fundamental es, por tanto, un funtor.

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ pi _ {1} \ colon \ mathbf {Top} _ {*} & \ to \ mathbf {Grp} \\ (X, x_ {0}) & \ mapsto \ pi _ {1} (X, x_ {0}) \ end {alineado}}}$

de la categoría de espacios topológicos junto con un punto base a la categoría de grupos . Resulta que este functor no distingue mapas que son homotópicos en relación con el punto base: si f , g  : X → Y son mapas continuos con f ( x ₀ ) = g ( x ₀ ) = y ₀ , y f y g son homotópicos en relación con { x ₀ }, entonces f _∗ = g _∗ . Como consecuencia, dos espacios conectados por caminos equivalentes de homotopía tienen grupos fundamentales isomórficos:

${\ Displaystyle X \ simeq Y \ Rightarrow \ pi _ {1} (X, x_ {0}) \ cong \ pi _ {1} (Y, y_ {0}).}$

Por ejemplo, la inclusión del círculo en el plano perforado

${\ Displaystyle S ^ {1} \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ {0 \}}$

es una equivalencia de homotopía y por tanto produce un isomorfismo de sus grupos fundamentales.

El grupo fundamental functor lleva productos a productos y coproductos a coproductos. Es decir, si X e Y están conectados por caminos, entonces

${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X \ times Y, (x_ {0}, y_ {0})) \ cong \ pi _ {1} (X, x_ {0}) \ times \ pi _ {1 } (Y, y_ {0}).}$

Resultados abstractos

Como se mencionó anteriormente, calcular el grupo fundamental de espacios topológicos incluso relativamente simples tiende a no ser del todo trivial, pero requiere algunos métodos de topología algebraica.

Relación con el primer grupo de homología

La abelianización del grupo fundamental se puede identificar con el primer grupo de homología del espacio.

Un caso especial del teorema de Hurewicz afirma que el primer grupo de homología singular es, coloquialmente hablando, la aproximación más cercana al grupo fundamental por medio de un grupo abeliano. Más detalladamente, mapear la clase de homotopía de cada bucle con la clase de homología del bucle da un homomorfismo de grupo${\ Displaystyle H_ {1} (X)}$

${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X) \ to H_ {1} (X)}$

desde el grupo fundamental de un espacio topológico X hasta su primer grupo de homología singular Este homomorfismo no es en general un isomorfismo ya que el grupo fundamental puede ser no abeliano, pero el grupo de homología es, por definición, siempre abeliano. Esta diferencia es, sin embargo, la única: si X está conectado por camino, este homomorfismo es sobreyectivo y su núcleo es el subgrupo conmutador del grupo fundamental, por lo que es isomorfo a la abelianización del grupo fundamental. ${\ Displaystyle H_ {1} (X).}$${\ Displaystyle H_ {1} (X)}$

Pegado de espacios topológicos

Generalizando el enunciado anterior, para una familia de espacios conectados por caminos, el grupo fundamental es el producto libre de los grupos fundamentales del Este hecho es un caso especial del teorema de Seifert-van Kampen , que permite calcular, de manera más general, grupos fundamentales de espacios que están pegados entre sí de otros espacios. Por ejemplo, la 2-esfera se puede obtener pegando dos copias de semiesferas ligeramente superpuestas a lo largo de una vecindad del ecuador . En este caso el teorema cede es trivial, ya que las dos medias esferas son contractibles y por tanto tienen grupo fundamental trivial. Los grupos fundamentales de superficies, como se mencionó anteriormente, también se pueden calcular usando este teorema. ${\ Displaystyle X_ {i},}$${\ textstyle \ pi _ {1} \ left (\ bigvee _ {i \ in I} X_ {i} \ right)}$${\ Displaystyle X_ {i}.}$${\ Displaystyle S ^ {2}}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} \ left (S ^ {2} \ right)}$

En el lenguaje de la teoría de categorías, el teorema se puede enunciar de manera concisa diciendo que el functor de grupo fundamental lleva los desplazamientos (en la categoría de espacios topológicos) a lo largo de las inclusiones hasta los desplazamientos (en la categoría de grupos).

Revestimientos

Dado un espacio topológico B , un mapa continuo

${\ Displaystyle f: E \ to B}$

se llama cobertura o E se llama espacio de cobertura de B si cada punto b en B admite una vecindad abierta U tal que existe un homeomorfismo entre la preimagen de U y una unión disjunta de copias de U (indexadas por algún conjunto I ) ,

${\ Displaystyle \ varphi: \ bigsqcup _ {i \ in I} U \ to f ^ {- 1} (U)}$

de tal manera que es el mapa de proyección estándar${\ Displaystyle \ pi \ circ \ varphi}$${\ Displaystyle \ bigsqcup _ {i \ en I} U \ a U.}$

Revestimiento universal

Una cubierta se llama cubierta universal si E , además de la condición anterior, está simplemente conectado. Es universal en el sentido de que todos los demás revestimientos se pueden construir mediante la identificación adecuada puntos en E . Conociendo una cobertura universal

${\ Displaystyle p: {\ widetilde {X}} \ to X}$

de un espacio topológico X es útil para comprender su grupo fundamental de varias maneras: primero, se identifica con el grupo de transformaciones de cubierta , es decir, el grupo de homeomorfismos que conmuta con el mapa a X , es decir, otra relación con el grupo fundamental es que se puede identificar con la fibra Por ejemplo, el mapa ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X)}$ ${\ Displaystyle \ varphi: {\ widetilde {X}} \ to {\ widetilde {X}}}$${\ Displaystyle p \ circ \ varphi = p.}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$${\ displaystyle p ^ {- 1} (x).}$

${\ Displaystyle p: \ mathbb {R} \ to S ^ {1}, t \ mapsto \ exp (2 \ pi it)}$

(o, de manera equivalente, ) es una cobertura universal. Las transformaciones de la plataforma son los mapas para Esto está en línea con la identificación en particular, esto prueba la afirmación anterior${\ Displaystyle \ pi: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}, \ t \ mapsto [t]}$${\ Displaystyle t \ mapsto t + n}$${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {Z}.}$${\ displaystyle p ^ {- 1} (1) = \ mathbb {Z},}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} \ left (S ^ {1} \ right) \ cong \ mathbb {Z}.}$

Cualquier espacio topológico X conectado por camino, conectado localmente por camino y conectado simplemente localmente admite una cobertura universal. Una construcción abstracta procede de manera análoga al grupo fundamental tomando pares ( x , γ), donde x es un punto en X y γ es una clase de homotopía de caminos desde x ₀ hasta x . El paso de un espacio topológico a su recubrimiento universal puede ser utilizado en la comprensión de la geometría de X . Por ejemplo, el teorema de uniformización muestra que cualquier superficie de Riemann simplemente conectada es (isomorfa a) uno o el semiplano superior . Las superficies generales de Riemann surgen entonces como cocientes de acciones grupales en estas tres superficies. ${\ Displaystyle S ^ {2},}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C},}$

El cociente de una acción de un grupo ( discreto ) G en un espacio Y simplemente conectado tiene grupo fundamental

${\ Displaystyle \ pi _ {1} (Y / G) \ cong G.}$

Como ejemplo, el espacio proyectivo real n- dimensional real se obtiene como el cociente de la esfera n- dimensional por la acción antípoda del grupo que envía a As simplemente se conecta para n ≥ 2, es una cobertura universal de en estos casos , lo que implica para n ≥ 2. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ mathrm {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle S ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2}$${\ Displaystyle x \ en S ^ {n}}$${\ Displaystyle -x.}$${\ Displaystyle S ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ mathrm {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} \ left (\ mathbb {R} \ mathrm {P} ^ {n} \ right) \ cong \ mathbb {Z} / 2}$

Grupos de mentiras

Deje que G sea una conectada, simplemente conectado grupo de Lie compacto , por ejemplo, el grupo unitario especial SU ( n ), y dejar que Γ un subgrupo finito de G . Entonces el espacio homogéneo X  =  G / Γ tiene Γ grupo fundamental, que actúa por la multiplicación a la derecha en el espacio recubrimiento universal G . Entre las muchas variantes de esta construcción, una de las más importantes está dada por los espacios localmente simétricos X  = Γ \ G / K , donde

• G es un grupo de Lie no compacto simplemente conectado, conectado (a menudo semisimple ),
• K es un subgrupo compacto máximo de G
• Γ es un contable discreto libre de torsión subgrupo de G .

En este caso, el grupo fundamental es Γ y el espacio de cobertura universal G / K es realmente contráctil (por la descomposición de Cartan para los grupos de Lie ).

Como ejemplo, tome G  = SL (2, R ), K  = SO (2) y Γ cualquier subgrupo de congruencia libre de torsión del grupo modular SL (2, Z ).

Desde la realización explícita, se desprende también que el espacio de cobertura universal de un camino conectado topológico grupo H es de nuevo un grupo topológico camino conectado G . Además, el mapa de cobertura es un homomorfismo abierto continuo de G sobre H con kernel Γ, un subgrupo normal discreto cerrado de G :

${\ Displaystyle 1 \ to \ Gamma \ to G \ to H \ to 1.}$

Desde G es un grupo conectado con una acción continua por conjugación en un Γ grupo discreto, debe actuar trivialmente, de modo que Γ tiene que ser un subgrupo de la centro de G . En particular, π ₁ ( H ) = Γ es un grupo abeliano ; esto también se puede ver fácilmente directamente sin usar espacios de cobertura. El grupo G se llama el grupo recubrimiento universal de  H .

Como sugiere el grupo de cobertura universal, existe una analogía entre el grupo fundamental de un grupo topológico y el centro de un grupo; esto se elabora en Lattice de grupos de cobertura .

Fibraciones

Las fibraciones proporcionan un medio muy poderoso para calcular grupos de homotopía. A fibración f el llamado espacio total , y el espacio de base B tiene, en particular, la propiedad de que todos sus fibrasson homotopy equivalente y por lo tanto no pueden distinguirse utilizando grupos fundamentales (y los grupos de homotopía superior), a condición de que B es camino -conectado. Por lo tanto, el espacio E puede considerarse como un "producto retorcido " del espacio base B y la fibra. La gran importancia de las fibraciones para el cálculo de los grupos de homotopía proviene de una secuencia larga y exacta.${\ Displaystyle f ^ {- 1} (b)}$ ${\ Displaystyle F = f ^ {- 1} (b).}$

${\ Displaystyle \ puntos \ a \ pi _ {2} (B) \ a \ pi _ {1} (F) \ a \ pi _ {1} (E) \ a \ pi _ {1} (B) \ a \ pi _ {0} (F) \ a \ pi _ {0} (E)}$

siempre que B esté conectado con la ruta. El término es el segundo grupo de homotopía de B , que se define como el conjunto de clases de homotopía de mapas de a B , en analogía directa con la definición de${\ Displaystyle \ pi _ {2} (B)}$${\ Displaystyle S ^ {2}}$${\ Displaystyle \ pi _ {1}.}$

Si E pasa a estar conectado por camino y simplemente conectado, esta secuencia se reduce a un isomorfismo

${\ Displaystyle \ pi _ {1} (B) \ cong \ pi _ {0} (F)}$

que generaliza el hecho anterior sobre la cobertura universal (que equivale al caso en el que la fibra F también es discreta). Si en cambio F está conectado y simplemente conectado, se reduce a un isomorfismo

${\ Displaystyle \ pi _ {1} (E) \ cong \ pi _ {1} (B).}$

Es más, la secuencia se puede continuar a la izquierda con los grupos de homotopía más altos de los tres espacios, lo que da cierto acceso a calcular dichos grupos en la misma línea. ${\ Displaystyle \ pi _ {n}}$

Grupos de Mentira clásica

Dichas secuencias de fibras se pueden utilizar para calcular inductivamente grupos fundamentales de grupos de Lie clásicos compactos como el grupo unitario especial con Este grupo actúa transitivamente en la esfera unitaria interior El estabilizador de un punto en la esfera es isomorfo a Entonces se puede demostrar que este produce una secuencia de fibras ${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (n),}$${\ Displaystyle n \ geq 2.}$${\ Displaystyle S ^ {2n-1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} = \ mathbb {R} ^ {2n}.}$${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (n-1).}$

${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (n-1) \ to \ mathrm {SU} (n) \ to S ^ {2n-1}.}$

Dado que la esfera tiene dimensión al menos 3, lo que implica ${\ Displaystyle n \ geq 2,}$${\ Displaystyle S ^ {2n-1}}$

${\ Displaystyle \ pi _ {1} \ left (S ^ {2n-1} \ right) \ cong \ pi _ {2} \ left (S ^ {2n-1} \ right) = 1.}$

La secuencia larga exacta muestra un isomorfismo

${\ Displaystyle \ pi _ {1} (\ mathrm {SU} (n)) \ cong \ pi _ {1} (\ mathrm {SU} (n-1)).}$

Dado que es un solo punto, por lo que es trivial, esto muestra que está simplemente conectado para todos${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (1)}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} (\ mathrm {SU} (1))}$${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (n)}$${\ Displaystyle n.}$

El grupo fundamental de grupos de Lie no compactos se puede reducir al caso compacto, ya que dicho grupo es homotópico a su subgrupo compacto máximo. Estos métodos dan los siguientes resultados:

Grupo de Lie clásico compacto G	Grupo de Lie no compacto	${\ Displaystyle \ pi _ {1}}$
grupo unitario especial ${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (n)}$	${\ Displaystyle \ mathrm {SL} (n, \ mathbb {C})}$	1
grupo unitario ${\ Displaystyle \ mathrm {U} (n)}$	${\ Displaystyle \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {C}), \ mathrm {Sp} (n, \ mathbb {R})}$	${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
grupo ortogonal especial ${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (n)}$	${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (n, \ mathbb {C})}$	${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2}$para y para${\ Displaystyle n \ geq 3}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle n = 2}$
grupo simpléctico compacto ${\ Displaystyle \ mathrm {Sp} (n)}$	${\ Displaystyle \ mathrm {Sp} (n, \ mathbb {C})}$	1

Un segundo método de cálculo de grupos fundamentales se aplica a todos los grupos de Lie compactos conectados y utiliza la maquinaria del toro máximo y el sistema de raíces asociado . En concreto, vamos a ser un toro máxima en un grupo de Lie compacto conectado y dejar que sea el álgebra de Lie de la función exponencial${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle K,}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {t}}}$${\ Displaystyle T.}$

${\ Displaystyle \ exp: {\ mathfrak {t}} \ to T}$

es una fibración y por lo tanto su núcleo se identifica con el mapa ${\ Displaystyle \ Gamma \ subconjunto {\ mathfrak {t}}}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} (T).}$

${\ Displaystyle \ pi _ {1} (T) \ to \ pi _ {1} (K)}$

puede demostrarse que es sobreyectiva con kernel dado por el conjunto I de combinación lineal entera de coroots . Esto conduce al cálculo

${\ Displaystyle \ pi _ {1} (K) \ cong \ Gamma / I.}$

Este método muestra, por ejemplo, que cualquier grupo de Lie compacto conectado para el que el sistema raíz asociado es de tipo${\ Displaystyle G_ {2}}$ está simplemente conectado. Por tanto, hay (hasta el isomorfismo) sólo un grupo de Lie compacto conectado que tiene álgebra de Lie de tipo ; este grupo está simplemente conectado y tiene un centro trivial. ${\ Displaystyle G_ {2}}$

Grupo de camino de borde de un complejo simplicial

Cuando el espacio topológico es homeomorfo a un complejo simplicial , su grupo fundamental puede describirse explícitamente en términos de generadores y relaciones .

Si X es un conectado complejo simplicial , un -recorrido de borde en X se define para ser una cadena de vértices conectados por bordes en X . Dos de borde caminos se dice que son borde equivalente si uno se puede obtener de la otra por conmutación sucesivamente entre un borde y los dos bordes opuestos de un triángulo en X . Si v es un vértice fijo en X , un bucle de borde en v es un camino de borde que comienza y termina en v . El grupo de trayectoria de borde E ( X ,  v ) se define como el conjunto de clases de equivalencia de borde de bucles de borde en v , con el producto y la inversa definidos por concatenación e inversión de bucles de borde.

El grupo de trayectoria de borde es naturalmente isomorfo a π ₁ (| X |,  v ), el grupo fundamental de la realización geométrica | X | de X . Dado que depende solo del 2-esqueleto X ² de X (es decir, los vértices, aristas y triángulos de X ), los grupos π ₁ (| X |, v ) y π ₁ (| X ² |,  v ) son isomorfos.

El grupo de ruta de borde se puede describir explícitamente en términos de generadores y relaciones . Si T es un árbol de expansión máximo en el esqueleto 1 de X , entonces E ( X ,  v ) es canónicamente isomorfo al grupo con generadores (las rutas de borde orientadas de X no ocurren en T ) y relaciones (las equivalencias de borde correspondiente a los triángulos en X ). Un resultado similar es válido si T se reemplaza por cualquier subcomplejo de X simplemente conectado, en particular contráctil . Esto a menudo proporciona una forma práctica de calcular grupos fundamentales y puede usarse para mostrar que cada grupo presentado de forma finita surge como el grupo fundamental de un complejo simplicial finito. También es uno de los métodos clásicos utilizados para superficies topológicas , que se clasifican por sus grupos fundamentales.

El espacio de cobertura universal de un complejo simplicial conectado finito X también se puede describir directamente como un complejo simplicial utilizando caminos de borde. Sus vértices son pares ( w , γ) donde w es un vértice de X y γ es una clase de caminos de equivalencia de aristas desde v hasta w . Los k -simplices que contienen ( w , γ) corresponden naturalmente a los k -simplices que contienen w . Cada nuevo vértice u del k -simplex da una arista wu y, por tanto, por concatenación, una nueva trayectoria γ _u de v a u . Los puntos ( w , γ) y ( u , γ _u ) son los vértices del simplex "transportado" en el espacio de cobertura universal. El grupo borde-path actúa naturalmente por concatenación, la preservación de la estructura simplicial, y el espacio cociente es sólo X .

Es bien sabido que este método también se puede utilizar para calcular el grupo fundamental de un espacio topológico arbitrario. Esto sin duda lo sabían Eduard Čech y Jean Leray y apareció explícitamente como un comentario en un artículo de André Weil ; varios otros autores como Lorenzo Calabi, Wu Wen-tsün y Nodar Berikashvili también han publicado pruebas. En el caso más simple de un espacio compacto X con una cubierta abierta finita en la que todas las intersecciones finitas no vacías de conjuntos abiertos en la cubierta son contraíbles, el grupo fundamental puede identificarse con el grupo de trayectoria de borde del complejo simplicial correspondiente al nervio de la cubierta .

Realizabilidad

• Cada grupo puede realizarse como el grupo fundamental de un complejo CW conectado de dimensión 2 (o superior). Sin embargo, como se señaló anteriormente, solo los grupos libres pueden ocurrir como grupos fundamentales de complejos CW unidimensionales (es decir, gráficos).
• Cada grupo finamente presentado se puede realizar como el grupo fundamental de una variedad compacta , conectada y suave de dimensión 4 (o superior). Pero existen severas restricciones sobre qué grupos ocurren como grupos fundamentales de variedades de baja dimensión. Por ejemplo, ningún grupo abeliano libre de rango 4 o superior se puede realizar como el grupo fundamental de una variedad de dimensión 3 o menos. Se puede demostrar que cada grupo puede realizarse como el grupo fundamental de un espacio compacto de Hausdorff si y solo si no hay un cardinal medible .

Conceptos relacionados

Grupos de homotopía superior

Hablando en términos generales, el grupo fundamental detecta la estructura de huecos unidimensionales de un espacio, pero no huecos en dimensiones más altas, como para las 2 esferas. Tales "agujeros de dimensiones superiores" pueden ser detectados utilizando los mayores grupos de homotopía , que se definen a consistir en clases de homotopía de (punto de base de preservación) mapas de a X . Por ejemplo, el teorema de Hurewicz implica que el n -ésimo grupo de homotopía de la n -esfera es (para todos ) ${\ Displaystyle \ pi _ {n} (X)}$${\ Displaystyle S ^ {n}}$${\ Displaystyle n \ geq 1}$

${\ Displaystyle \ pi _ {n} (S ^ {n}) = \ mathbb {Z}.}$

Como se mencionó en el cálculo anterior de grupos de Lie clásicos, los grupos de mayor homotopía pueden ser relevantes incluso para calcular grupos fundamentales. ${\ Displaystyle \ pi _ {1}}$

Espacio de bucle

El conjunto de bucles basados ​​(tal cual, es decir, no llevados a homotopía) en un espacio puntiagudo X , dotado de la topología abierta compacta , se conoce como el espacio de bucle , denotado El grupo fundamental de X está en biyección con el conjunto de componentes de ruta de su espacio de bucle: ${\ Displaystyle \ Omega X.}$

${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X) \ cong \ pi _ {0} (\ Omega X).}$

Groupoide fundamental

El grupo fundamental es una variante del grupo fundamental que es útil en situaciones en las que la elección de un punto base no es deseable. Se define considerando primero la categoría de caminos en , es decir, funciones continuas ${\ Displaystyle x_ {0} \ in X}$${\ Displaystyle X,}$

${\ Displaystyle \ gamma \ colon [0, r] \ to X}$,

donde r es un número real arbitrario no negativo. Dado que la longitud r es variable en este enfoque, tales caminos se pueden concatenar tal cual (es decir, no hasta la homotopía) y por lo tanto producir una categoría. Dos de estos caminos con los mismos puntos finales y longitud r , resp. r ' se consideran equivalentes si existen números reales tales que y son homotópicos en relación con sus puntos finales, donde${\ Displaystyle \ gamma, \ gamma '}$${\ Displaystyle u, v \ geqslant 0}$${\ Displaystyle r + u = r '+ v}$${\ Displaystyle \ gamma _ {u}, \ gamma '_ {v} \ colon [0, r + u] \ to X}$${\ Displaystyle \ gamma _ {u} (t) = {\ begin {cases} \ gamma (t), & t \ in [0, r] \\\ gamma (r), & t \ in [r, r + u ]. \ end {cases}}}$

La categoría de caminos hasta esta relación de equivalencia se denota. Cada morfismo en es un isomorfismo , con el inverso dado por el mismo camino atravesado en la dirección opuesta. Esta categoría se llama grupoide . Reproduce el grupo fundamental desde ${\ Displaystyle \ Pi (X).}$${\ Displaystyle \ Pi (X)}$

${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0}) = \ mathrm {Hom} _ {\ Pi (X)} (x_ {0}, x_ {0})}$.

De manera más general, se puede considerar el grupoide fundamental en un conjunto A de puntos base, elegidos de acuerdo con la geometría de la situación; por ejemplo, en el caso del círculo, que se puede representar como la unión de dos conjuntos abiertos conectados cuya intersección tiene dos componentes, se puede elegir un punto base en cada componente. El teorema de van Kampen admite una versión para grupos fundamentales que da, por ejemplo, otra forma de calcular el grupo fundamental (oid) de${\ Displaystyle S ^ {1}.}$

Sistemas locales

En términos generales, las representaciones pueden servir para exhibir características de un grupo mediante sus acciones sobre otros objetos matemáticos, a menudo espacios vectoriales . Las representaciones del grupo fundamental tienen un significado muy geométrico: cualquier sistema local (es decir, un haz en X con la propiedad de que localmente en un vecindario U suficientemente pequeño de cualquier punto en X , la restricción de F es un haz constante de la forma ) da lugar a la llamada representación monodromía , una representación del grupo fundamental en un espacio vectorial n - dimensional. A la inversa, cualquier representación de este tipo en un espacio X conectado con una trayectoria surge de esta manera. Esta equivalencia de categorías entre representaciones de y sistemas locales se utiliza, por ejemplo, en el estudio de ecuaciones diferenciales , como las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov . ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} | _ {U} = \ mathbb {Q} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X)}$

Étale grupo fundamental

En geometría algebraica , el llamado grupo fundamental étale se utiliza como reemplazo del grupo fundamental. Dado que la topología de Zariski en una variedad algebraica o esquema X es mucho más gruesa que, por ejemplo, la topología de subconjuntos abiertos en que ya no es significativa para considerar aplicaciones continuas de un intervalo de X . En cambio, el enfoque desarrollado por Grothendieck consiste en construir considerando todos los finitos cubiertas étalé de X . Estos sirven como un análogo álgebro-geométrico de revestimientos con fibras finitas. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} ^ {\ text {et}}}$

Esto produce una teoría aplicable en situaciones en las que no se dispone de ninguna intuición topológica clásica de gran generalidad, por ejemplo, para variedades definidas en un campo finito . Además, el grupo fundamental étale de un campo es su grupo (absoluto) de Galois . Por otro lado, para las variedades suaves X sobre los números complejos, el grupo fundamental étale retiene gran parte de la información inherente al grupo fundamental clásico: el primero es la compleción profinita del segundo.

Grupo fundamental de grupos algebraicos

El grupo fundamental de un sistema de raíces se define, de forma análoga al cálculo de los grupos de Lie. Esto permite definir y utilizar el grupo fundamental de un grupo algebraico lineal semisimple G , que es una herramienta básica útil en la clasificación de grupos algebraicos lineales.

Grupo fundamental de conjuntos simpliciales

La relación de homotopía entre 1-simples de un conjunto simplicial X es una relación de equivalencia si X es un complejo de Kan, pero no necesariamente en general. Por tanto, de un complejo de Kan se puede definir como el conjunto de clases de homotopía de 1-simplices. El grupo fundamental de un conjunto arbitrario simplicial X se definen como el grupo homotopy de su realización topológica , es decir, el espacio topológico obtenido por encolado simplices topológicos según lo prescrito por la estructura de conjunto simplicial de X . ${\ Displaystyle \ pi _ {1}}$${\ Displaystyle | X |,}$

Ver también

• Grupo fundamental Orbifold

Notas

Referencias

• Adams, John Frank (1978), Infinite loop spaces , Annals of Mathematics Studies, 90 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08207-3, MR  0505692
• Brown, Ronald (2006), Topología y grupos , Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8
• Bump, Daniel (2013), Grupos de mentiras , Textos de posgrado en matemáticas, 225 (2a ed.), Springer, doi : 10.1007 / 978-1-4614-8024-2 , ISBN 978-1-4614-8023-5
• Crowell, Richard H .; Fox, Ralph (1963), Introducción a la teoría de los nudos , Springer
• El Zein, Fouad; Suciu, Alejandro I .; Tosun, Meral; Uludağ, Muhammed; Yuzvinsky, Sergey (2010), Arreglos, sistemas locales y singularidades: Escuela de verano CIMPA, Universidad Galatasaray, Estambul, 2007 , ISBN 978-3-0346-0208-2
• Forster, Otto (1981), Conferencias sobre superficies de Riemann , ISBN 0-387-90617-7
• Fulton, William (1995), Topología algebraica: un primer curso , Springer, ISBN 9780387943275
• Goerss, Paul G .; Jardine, John F. (1999), Teoría de la homotopía simple , Progreso en matemáticas, 174 , Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1
• Grothendieck, Alexandre ; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) , París: Société Mathématique de France , págs. Xviii + 327 , ver Exp. V, IX, X., arXiv : matemáticas.AG / 0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica , Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0
• Peter Hilton y Shaun Wylie , Homology Theory , Cambridge University Press (1967) [advertencia: estos autores utilizan la contrahomología para la cohomología ]
• Humphreys, James E. (2004), Grupos algebraicos lineales , Textos de posgrado en matemáticas, Springer, ISBN 9780387901084
• Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de mentiras y la teoría de la representación , ISBN 0-387-90052-7
• Maunder, CRF (enero de 1996), Topología algebraica , Publicaciones de Dover , ISBN 0-486-69131-4
• Massey, William S. (1991), Un curso básico en topología algebraica , Springer, ISBN 038797430X
• Mayo, J. Peter (1999), Un curso conciso en topología algebraica , ISBN 9780226511832
• Deane Montgomery y Leo Zippin, Grupos de transformación topológica , Interscience Publishers (1955)
• Munkres, James R. (2000), Topología , Prentice Hall , ISBN 0-13-181629-2
• Rotman, Joseph (22 de julio de 1998), Introducción a la topología algebraica , Springer-Verlag , ISBN 0-387-96678-1
• Rubei, Elena (2014), Geometría algebraica, un diccionario conciso , Berlín / Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3
• Seifert, Herbert ; Threlfall, William (1980), A Textbook of Topology , traducido por Heil, Wolfgang, Academic Press , ISBN 0-12-634850-2
• Cantante, Isadore. M .; Thorpe, JA (10 de diciembre de 1976), Notas de la conferencia sobre topología y geometría elementales , ISBN 0-387-90202-3
• Spanier, Edwin H. (1989), Topología algebraica , Springer, ISBN 0-387-94426-5
• Strom, Jeffrey (2011), Teoría de la homotopía clásica moderna , AMS, ISBN 9780821852866

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Grupo fundamental" . MathWorld .
• Dylan GL Allegretti, Conjuntos simples y el teorema de van Kampen : una discusión del grupoide fundamental de un espacio topológico y el grupoide fundamental de un conjunto simplicial
• Animaciones para presentar grupo fundamental de Nicolas Delanoue
• Conjuntos de puntos base y grupos fundamentales: discusión de mathoverflow
• Groupoids en Matemáticas