Categoría enriquecida - Enriched category

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría enriquecida generaliza la idea de una categoría reemplazando hom-sets con objetos de una categoría monoidal general . Está motivado por la observación de que, en muchas aplicaciones prácticas, el hom-set a menudo tiene una estructura adicional que debe respetarse, por ejemplo, la de ser un espacio vectorial de morfismos o un espacio topológico de morfismos. En una categoría enriquecida, el conjunto de morfismos (el hom-set) asociado con cada par de objetos es reemplazado por un objeto en alguna categoría monoidal fija de "hom-objetos". Para emular la composición (asociativa) de morfismos en una categoría ordinaria, la categoría hom debe tener un medio de componer hom-objetos de una manera asociativa: es decir, debe haber una operación binaria sobre objetos que nos dé al menos la estructura de una categoría monoidal , aunque en algunos contextos la operación también puede necesitar ser conmutativa y quizás también tener un adjunto derecho (es decir, hacer que la categoría sea monoidal simétrica o incluso monoidal cerrada simétrica , respectivamente).

Así pues, la teoría de categorías enriquecida engloba dentro del mismo marco una amplia variedad de estructuras que incluyen

categorías ordinarias donde el hom-set conlleva una estructura adicional más allá de ser un conjunto. Es decir, hay operaciones o propiedades de morfismos que deben ser respetadas por composición (por ejemplo, la existencia de 2 celdas entre morfismos y composición horizontal de los mismos en una categoría 2 , o la operación de adición de morfismos en una categoría abeliana )
entidades de tipo categoría que no tienen por sí mismas ninguna noción de morfismo individual pero cuyos hom-objetos tienen aspectos compositivos similares (por ejemplo, preordenes donde la regla de composición asegura la transitividad, o espacios métricos de Lawvere , donde los hom-objetos son distancias numéricas y el La regla de composición proporciona la desigualdad del triángulo).

En el caso de que la categoría hom-objeto sea la categoría de conjuntos con el producto cartesiano habitual, las definiciones de categoría enriquecida, functor enriquecido, etc ... se reducen a las definiciones originales de la teoría de categorías ordinarias.

Una categoría enriquecido con HOM-objetos de la categoría monoidal M se dice que es una categoría enriquece respecto de M o una categoría enriquecido en M , o simplemente una categoría M . Debido a la preferencia de Mac Lane por la letra V en referencia a la categoría monoidal, categorías enriquecidos también se refieren a veces generalmente como V-categorías .

Definición

Sea $(M, \otimes, I, α, λ, ρ)$ una categoría monoidal . Luego, una categoría C enriquecida (alternativamente, en situaciones en las que la elección de la categoría monoidal debe ser explícita, una categoría enriquecida sobre M , o M - categoría ), consiste en

una clase ob ( C ) de objetos de C ,
un objeto $C (a, b)$ de M para cada par de objetos a , b en C , usado para definir una flecha en C como una flecha en M , ${\ displaystyle f: a \ rightarrow b}$ ${\ Displaystyle f: I \ rightarrow C (a, b)}$
una flecha $id a : I \to C (a, a)$ en M designando una identidad para cada objeto a en C , y
una flecha $° abc : C (b, c) \otimes C (a, b) \to C (a, c)$ en M designando una composición para cada triple de objetos a , b , c en C , usada para definir la composición de y en C como junto con tres diagramas de desplazamiento, que se analizan a continuación. ${\ displaystyle f: a \ rightarrow b}$ ${\ Displaystyle g: b \ rightarrow c}$ ${\ Displaystyle g \ circ _ {\ textbf {C}} f = {^ {\ circ}} _ {abc} (g \ otimes f)}$

El primer diagrama expresa la asociatividad de la composición:

$Asociatividad de categoría enriquecida con matemáticas.svg$

Es decir, el requisito de la asociatividad es ahora asumida por el asociador de la categoría monoidal M .

Para el caso de que M es la categoría de conjuntos y $(\otimes, I, α, λ, ρ)$ es la estructura monoidal $(\times, {•},\dots)$ dada por el producto cartesiano , el conjunto terminal de un solo punto y el isomorfismos canónicos que inducen, entonces cada $C (a, b)$ es un conjunto cuyos elementos pueden considerarse como "morfismos individuales" de C , mientras que °, ahora una función, define cómo se componen los morfismos consecutivos. En este caso, cada camino que lleva a $C (a, d)$ en el primer diagrama corresponde a una de las dos formas de componer tres morfismos individuales consecutivos $a \to b \to c \to d$ , es decir, elementos de $C (a, b)$ , $C (b, c)$ y $C (c, d)$ . La conmutatividad del diagrama es entonces simplemente la afirmación de que ambos órdenes de composición dan el mismo resultado, exactamente como se requiere para las categorías ordinarias.

Lo nuevo aquí es que lo anterior expresa el requisito de asociatividad sin ninguna referencia explícita a morfismos individuales en la categoría enriquecida C ; nuevamente, estos diagramas son para morfismos en la categoría monoidal M , y no en C , lo que hace que el concepto de asociatividad de composición significativa en el caso general donde los hom-objetos $C (a, b)$ son abstractos, y el propio C ni siquiera necesita tener ninguna noción de morfismo individual.

La noción de que una categoría ordinaria debe tener morfismos de identidad es reemplazada por el segundo y tercer diagramas, que expresan la identidad en términos de unitarios de izquierda y derecha :

$Identidad de categoría enriquecida con matemáticas1.svg$

y

$Identidad de categoría enriquecida con matemáticas2.svg$

Volviendo al caso donde M es la categoría de conjuntos con producto cartesiano, los morfismos $id a : I \to C (a, a) se$ convierten en funciones del conjunto de un punto I y deben entonces, para cualquier objeto dado a , identificar un determinado elemento de cada conjunto $C (a, a)$ , algo que podemos considerar como el "morfismo de identidad para a en C ". La conmutatividad de los dos últimos diagramas es entonces la afirmación de que las composiciones (definidas por las funciones °) que involucran estos "morfismos de identidad en C " individuales distinguidos se comportan exactamente según las reglas de identidad para categorías ordinarias.

Tenga en cuenta que aquí se hace referencia a varias nociones distintas de "identidad":

el objeto de identidad monoidal $I$ de M , siendo una identidad para ⊗ solo en el sentido teórico- monoide , e incluso entonces solo hasta el isomorfismo canónico $(λ, ρ)$ .
el morfismo de identidad $1 C (a, b) : C (a, b) \to C (a, b)$ que M tiene para cada uno de sus objetos en virtud de ser (al menos) una categoría ordinaria.
la identidad de categoría enriquecida $id a : I \to C (a, a)$ para cada objeto a en C , que es de nuevo un morfismo de M que, incluso en el caso en el que se considera que C tiene morfismos individuales propios, no es necesariamente identificando uno específico.

Ejemplos de categorías enriquecidas

Las categorías ordinarias son categorías enriquecidas con ( Conjunto , ×, {•}), la categoría de conjuntos con el producto cartesiano como operación monoidal, como se indicó anteriormente.
2-Categorías son categorías enriquecidas sobre Cat , la categoría de categorías pequeñas , con estructura monoidal dada por producto cartesiano. En este caso las 2 celdas entre los morfismos a → by la regla de composición vertical que los relaciona corresponden a los morfismos de la categoría ordinaria C ( a , b ) y su propia regla de composición.
Las categorías localmente pequeñas son categorías enriquecidas sobre ( SmSet , ×), la categoría de conjuntos pequeños con producto cartesiano como operación monoidal. (Una categoría localmente pequeña es aquella cuyos hom-objetos son conjuntos pequeños).
Las categorías localmente finitas , por analogía, son categorías enriquecidas sobre ( FinSet , ×), la categoría de conjuntos finitos con el producto cartesiano como operación monoidal.
Los conjuntos preordenados son categorías enriquecidas sobre una determinada categoría monoidal, 2 , que consta de dos objetos y una sola flecha de no identidad entre ellos que podemos escribir como FALSO → VERDADERO , conjunción como la operación monoide y VERDADERO como su identidad monoidal. Los hom-objetos 2 ( a , b ) simplemente niegan o afirman una relación binaria particular en el par dado de objetos ( a , b ); para tener una notación más familiar, podemos escribir esta relación como $a \leq b$ . La existencia de las composiciones y la identidad requeridas para una categoría enriquecida sobre 2 se traducen inmediatamente en los siguientes axiomas respectivamente

un ≤ b y b ≤ c ⇒ un ≤ c (transitividad)

VERDADERO ⇒ a ≤ a (reflexividad)

que no son otros que los axiomas para que ≤ sea un preorden. Y dado que todos los diagramas en 2 se desplazan, este es el único contenido de los axiomas de categoría enriquecida para las categorías enriquecidas en 2 .

Los espacios métricos generalizados de William Lawvere , también conocidos como espacios pseudocuasimétricos , son categorías enriquecidas sobre los números reales extendidos no negativos $R + \infty$ , donde a este último se le da una estructura de categoría ordinaria a través de la inversa de su ordenamiento habitual (es decir, existe un morfismo r → s iff r ≥ s ) y una estructura monoidal por adición (+) y cero (0). Los hom-objetos $R + \infty (a, b)$ son esencialmente distancias d ( a , b ), y la existencia de composición e identidad se traduce en

d ( b , c ) + d ( a , b ) ≥ d ( a , c ) (desigualdad del triángulo)

0 ≥ d ( a , a )

Las categorías con morfismos cero son categorías enriquecidas sobre ( Set * , ∧), la categoría de sets puntiagudos con producto smash como operación monoidal; el punto especial de un hom-objeto Hom ( A , B ) corresponde a la morfismo cero de A a B .
La categoría Ab de grupos abelianos y la categoría R-Mod de módulos sobre un anillo conmutativo , y la categoría Vect de espacios vectoriales sobre un campo dado se enriquecen sobre sí mismos, donde los morfismos heredan la estructura algebraica "puntual". De manera más general, las categorías preaditivas son categorías enriquecidas sobre ( Ab , ⊗) con el producto tensorial como la operación monoidal (pensando en los grupos abelianos como módulos Z ).

Relación con functores monoidales

Si hay un funtor monoidal de una categoría monoidal M a una categoría monoidal N , entonces cualquier categoría enriquecido más de M puede ser reinterpretados como una categoría enriquecido sobre N . Cada categoría monoidal M tiene un functor monoidal M ( I , -) para la categoría de conjuntos, por lo que cualquier categoría enriquecida tiene una categoría ordinaria subyacente. En muchos ejemplos (como los anteriores) este functor es fiel , por lo que una categoría enriquecida sobre M puede describirse como una categoría ordinaria con cierta estructura o propiedades adicionales.

Functores enriquecidos

Un funtor enriquecido es la generalización apropiada de la noción de un funtor a categorías enriquecidas. Los functores enriquecidos son entonces mapas entre categorías enriquecidas que respetan la estructura enriquecida.

Si C y D son categorías M (es decir, categorías enriquecidas sobre la categoría monoidal M ), un funtor enriquecido M T : C → D es un mapa que asigna a cada objeto de C un objeto de D y para cada par de objetos una y b en C proporciona un morfismo en M T _ab : C ( un , b ) → D ( T ( un ), T ( b )) entre los HOM-objetos de C y D (que son objetos en M ), satisfaciendo versiones enriquecidas de los axiomas de un funtor, es decir, la preservación de la identidad y la composición.

Dado que los hom-objetos no necesitan ser conjuntos en una categoría enriquecida, no se puede hablar de un morfismo particular. Ya no existe la noción de un morfismo identitario, ni de una composición particular de dos morfismos. En cambio, los morfismos de la unidad a un hom-objeto deben considerarse como la selección de una identidad, y los morfismos del producto monoidal deben considerarse como composición. Los axiomas functoriales habituales se reemplazan con los diagramas conmutativos correspondientes que involucran estos morfismos.

En detalle, se tiene que el diagrama

conmuta, lo que equivale a la ecuación

{\ displaystyle T_ {aa} \ circ \ operatorname {id} _ {a} = \ operatorname {id} _ {T (a)},}

donde I es el objeto de unidad de M . Esto es análogo a la regla F (id _a ) = id _{F ( a )} para functores ordinarios. Además, se exige que el diagrama

conmuta, que es análoga a la regla F ( fg ) = F ( f ) F ( g ) para los functores ordinarios.

Ver también

Referencias

Kelly, GM (2005) [1982]. Conceptos básicos de la teoría de categorías enriquecida . Reimpresiones en teoría y aplicaciones de categorías. 10 .
Mac Lane, Saunders (septiembre de 1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas . 5 (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8.
Lawvere, FW (2002) [1973]. Espacios métricos, lógica generalizada y categorías cerradas . Reimpresiones en teoría y aplicaciones de categorías. 1 .
Categoría enriquecida en nLab

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