Producto tensor - Tensor product

En matemáticas , el producto tensorial de dos espacios vectoriales V y W (sobre el mismo campo ) es un espacio vectorial que se puede considerar como el espacio de todos los tensores que se pueden construir a partir de vectores de sus espacios constituyentes mediante una operación adicional que puede ser considerado como una generalización y abstracción del producto exterior . Debido a la conexión con los tensores, que son los elementos de un producto tensorial, los productos tensoriales encuentran usos en muchas áreas de aplicación, incluidas la física y la ingeniería, aunque la mecánica teórica completa de los mismos que se describe a continuación puede que no se cite comúnmente allí. Por ejemplo, en${\ Displaystyle V \ otimes W}$ relatividad general , el campo gravitacional se describe a través del tensor métrico , que es un campo (en el sentido de la física) de tensores, uno en cada punto de la variedad espacio-tiempo , y cada uno de los cuales vive en el autoproducto tensorial de espacios tangentes en su punto de residencia en la variedad (tal colección de productos tensoriales adjuntos a otro espacio se llama paquete tensorial ). ${\ Displaystyle T_ {x} M}$

Tensores en dimensiones finitas y el producto exterior

El concepto de producto tensorial generaliza la idea de formar tensores a partir de vectores usando el producto externo, que es una operación que se puede definir en espacios vectoriales de dimensión finita usando matrices : dados dos vectores y escritos en términos de componentes, es decir ${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ in V}$${\ Displaystyle \ mathbf {w} \ in W}$

y

su producto exterior o producto Kronecker viene dado por la matriz ${\ Displaystyle n \ times m}$

o, en términos de elementos, el -ésimo componente es ${\ Displaystyle ij}$

La matriz formada de esta manera corresponde naturalmente a un tensor , donde se entiende como un funcional multilineal en intercalando con la multiplicación de matrices entre un vector y su doble , o de transposición: ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle V ^ {*} \ times W ^ {*},}$

Es importante notar que el tensor, tal como está escrito, toma dos vectores duales ; este es un punto importante que se tratará más adelante. En el caso de dimensiones finitas, no hay una distinción fuerte entre un espacio y su dual, sin embargo, sí importa en dimensiones infinitas y, además, acertar la parte regular vs dual es esencial para asegurar que la idea de tensores que se están desarrollando aquí corresponde correctamente a otros sentidos en los que se ven, como en términos de transformaciones, que es común en la física.

Los tensores construidos de esta manera generan un espacio vectorial ellos mismos cuando los sumamos y escalamos de la manera natural por componentes y, de hecho, todos los funcionales multilineales del tipo dado pueden escribirse como una suma de productos externos, que podemos llamar tensores puros o tensores simples . Esto es suficiente para definir el producto tensorial cuando podemos escribir vectores y transformaciones en términos de matrices, sin embargo, para obtener una operación completamente general, se requerirá un enfoque más abstracto. Especialmente, nos gustaría aislar las "características esenciales" del producto tensorial sin tener que especificar una base particular para su construcción, y eso es lo que haremos en las siguientes secciones.

Resumen del producto tensorial

Para lograr ese objetivo, la forma más natural de proceder es intentar aislar una propiedad caracterizante esencial, que describirá, de todos los espacios vectoriales posibles que podríamos construir a partir de V y W , el que (hasta el isomorfismo ) es su tensor. producto, y que se aplicará sin tener en cuenta ninguna elección arbitraria, como la elección de la base. Y la forma de hacerlo es voltear el concepto de tensor "de adentro hacia afuera"; en lugar de ver los tensores como objetos que actúan sobre los vectores a la manera de un mapa bilineal, los veremos como objetos sobre los que se actuará para producir un mapa bilineal. El truco está en reconocer que el producto Kronecker " conserva toda la información " sobre qué vectores entraron en él: las proporciones de los componentes del vector se pueden derivar de

ya partir de esas proporciones, los propios componentes individuales se recuperaron (hasta un factor constante). Como resultado, se puede usar un solo producto externo de Kronecker en lugar del par de vectores que lo formaron, y viceversa. Más importante aún, esto significa que podemos escribir cualquier mapa bilineal para cualquier tercer espacio vectorial Z , como un mapa unilineal donde ${\ Displaystyle (v, w)}$${\ Displaystyle f: V \ times W \ to Z,}$${\ Displaystyle f _ {\ operatorname {T}}: V \ otimes W \ to Z}$

La propiedad universal , entonces, es que si tenemos la operación de combinación y se nos da ningún mapa bilineal de la forma mencionada, existe exactamente una tal que cumpla con este requisito. Esto no es difícil de ver si expandimos en términos de bases, pero el punto más importante es que puede usarse como una forma de caracterizar el producto tensorial, es decir, podemos usarlo para definir el producto tensorial axiomáticamente con ninguna referencia a tales. Sin embargo, antes de que podamos hacer eso, primero debemos mostrar que el producto tensorial existe y es único para todos los espacios vectoriales V y W y, para hacer eso, necesitamos una construcción. ${\ Displaystyle \, \ otimes, \,}$${\ displaystyle f _ {\ operatorname {T}}}$

El producto tensorial constructivo

El espacio vectorial libre

Para realizar tal construcción, el primer paso que consideraremos implica introducir algo llamado " espacio vectorial libre " sobre un conjunto dado. El impulso detrás de esta idea consiste básicamente en lo que dijimos en la primera sección anterior: dado que un tensor genérico se puede escribir por la suma doble ${\ Displaystyle T}$

la forma más natural de abordar este problema es de alguna manera averiguar cómo podemos "olvidarnos" de la elección específica de bases y que se utilizan aquí. En matemáticas, la forma en que nos "olvidamos" de los detalles representacionales de algo es establecer una identificación que nos diga que dos cosas diferentes que deben ser consideradas representaciones de la misma cosa son de hecho tales, es decir, que, dado que dicen "sí" , son "o" no, no lo son ", y luego" agrupan "todas las representaciones como constituyendo la" cosa representada "sin referencia a ninguna en particular, empaquetándolas todas juntas en un solo conjunto. En términos formales, primero construimos una relación de equivalencia y luego tomamos el cociente establecido por esa relación. ${\ Displaystyle \ mathbf {e}}$${\ Displaystyle \ mathbf {f}}$

Pero antes de que podamos hacer eso, primero debemos desarrollar de qué vamos a asumir la relación de equivalencia. La forma en que lo hacemos es abordar esto al revés, desde "de abajo hacia arriba": dado que no se nos garantiza una base, al menos constructible, cuando partimos de espacios vectoriales arbitrarios, podríamos intentar comenzar garantizando que tenemos uno, es decir, comenzaremos primero considerando una "base", por sí sola, como dada, y luego construiremos el espacio vectorial en la parte superior. Con ese fin, logramos lo siguiente: supongamos que es algún conjunto, que podríamos llamar un conjunto de bases abstractas . Ahora considere todas las expresiones formales de la forma ${\ Displaystyle B}$

de longitud arbitraria, pero finita y para los cuales son escalares y son miembros de Intuitivamente, se trata de una combinación lineal de los vectores base en el sentido habitual de expandir un elemento de un espacio vectorial. A esto lo llamamos una "expresión formal" porque técnicamente es ilegal multiplicar, ya que no hay una operación de multiplicación definida por defecto en un conjunto arbitrario y un campo arbitrario de escalares. En su lugar, "fingiremos" (similar a la definición de los números imaginarios ) que esto se refiere a algo, y luego lo manipularemos de acuerdo con las reglas que esperamos para un espacio vectorial, por ejemplo, la suma de dos cadenas de este tipo usando la misma secuencia. de miembros de es ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle a_ {j}}$${\ Displaystyle \ beta _ {j}}$${\ Displaystyle B.}$${\ Displaystyle a_ {j} \ beta _ {j}}$${\ Displaystyle B}$

donde hemos utilizado las leyes asociativas , conmutativas y distributivas para reordenar la primera suma en la segunda. Continuar de esta manera para los múltiplos escalares y todas las combinaciones de vectores de diferentes longitudes nos permite construir una suma vectorial y una multiplicación escalar en este conjunto de expresiones formales, y lo llamamos el espacio vectorial libre sobre escritura Tenga en cuenta que los elementos de considerado como longitud -una expresión formal con coeficiente 1 al frente, forma una base de Hamel para este espacio. ${\ Displaystyle B,}$${\ Displaystyle F (B).}$${\ Displaystyle B,}$

La expresión producto tensorial es entonces abstraído por teniendo en cuenta que si y representan "vectores de la base abstractas" a partir de dos conjuntos y es decir que " " y " ", entonces pares de éstos en el producto cartesiano es decir, se toman como de pie para los productos tensoriales (Nota que los productos tensoriales en la expresión son en cierto sentido "atómicos", es decir, las adiciones y multiplicaciones escalares no los dividen en nada más, por lo que podemos reemplazarlos con algo diferente sin alterar la estructura matemática.) Con tal identificación, podemos así definir el producto tensorial de dos espacios vectoriales libres y como algo (aún por decidir) que es isomorfo a${\ Displaystyle \ beta _ {j}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {j}}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle G,}$${\ Displaystyle \ beta _ {j} = \ mathbf {e} _ {j}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {j} = \ mathbf {f} _ {j}}$${\ Displaystyle B \ times G,}$${\ Displaystyle (\ beta _ {i}, \ gamma _ {j})}$${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {f} _ {j}.}$${\ Displaystyle F (B)}$${\ Displaystyle F (G)}$${\ Displaystyle F (B \ times G).}$

La relación de equivalencia

La definición anterior funcionará para cualquier espacio vectorial en el que podemos especificar una base, ya que sólo podemos reconstruir como el espacio vectorial libre sobre esa base: la construcción anterior refleja exactamente la forma de representarse a través de vectores de la construcción base de Hamel por diseño. En efecto, no hemos ganado nada ... hasta que hacemos esto.

Ahora, no estamos asumiendo acceso a bases para espacios vectoriales y que queremos formar el producto tensorial de. En su lugar, vamos a tomar todo de y como "base" para construir los tensores. Esta es la mejor opción y la única cosa que estamos garantizados que podremos hacer, independientemente de cualquier preocupación por encontrar una base específica; esto corresponde a sumar productos externos arbitrarios de vectores arbitrarios. La única diferencia aquí es que si usamos la construcción de espacio vectorial libre y formamos lo obvio , tendremos muchas versiones redundantes de lo que debería ser el mismo tensor; volviendo a nuestro caso base si consideramos el ejemplo donde en la base estándar, podemos considerar que el tensor formado por los vectores y ie ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle V \ otimes W}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}}$${\ Displaystyle F (V) \ otimes F (W) = F (V \ times W),}$${\ Displaystyle V = W = \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ begin {bmatrix} 0 y 3 \ end {bmatrix}} ^ {\ mathsf {T}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {y} = {\ begin {bmatrix} 5 & -3 \ end {bmatrix}} ^ {\ mathsf {T}},}$

podría también ser representado por otras sumas, tales como la suma usando individuo tensores básicos por ejemplo, ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {j},}$

Estos, aunque son expresiones iguales en el caso concreto, corresponderían a elementos distintos del espacio vectorial libre, a saber ${\ Displaystyle F (V \ multiplicado por W),}$

en el primer caso y

en el segundo caso. Por tanto, debemos condensarlos; aquí es donde entra en juego la relación de equivalencia. El truco para construirlo es notar que dado cualquier vector en un espacio vectorial, siempre es posible representarlo como la suma de otros dos vectores y no igual al original. Si nada más, sea ​​cualquier vector y luego tome, lo que también muestra que si se nos da un vector y luego un segundo vector, podemos escribir el primer vector en términos del segundo junto con un tercer vector adecuado (de hecho, de muchas maneras —Simplemente considere los múltiplos escalares del segundo vector en la misma resta.). ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$${\ Displaystyle \ mathbf {a}}$${\ Displaystyle \ mathbf {b}}$${\ Displaystyle \ mathbf {a}}$${\ Displaystyle \ mathbf {b}: = \ mathbf {x} - \ mathbf {a}}$

Esto es útil para nosotros porque el producto externo satisface las siguientes propiedades de linealidad, que pueden probarse mediante álgebra simple en las expresiones matriciales correspondientes:

Si queremos relacionar el producto externo con, digamos, podemos usar la primera relación anterior junto con una expresión adecuada de como una suma de algún vector y algún múltiplo escalar de${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}}$${\ Displaystyle \ mathbf {e_ {1}} \ otimes \ mathbf {w},}$${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ mathbf {e_ {1}}.}$

Entonces se obtiene la igualdad entre dos tensores concretos si el uso de las reglas anteriores nos permite reordenar una suma de productos externos en el otro mediante la descomposición adecuada de vectores, independientemente de si tenemos un conjunto de vectores base reales. Aplicando eso a nuestro ejemplo anterior, vemos que, por supuesto, tenemos

para qué sustitución en

Nos da

y el uso juicioso de las propiedades de distributividad nos permite reordenar a la forma deseada. Del mismo modo, hay una correspondiente manipulación "espejo" en términos de los elementos de espacio de vector libre y etc., y esto finalmente nos lleva a la definición formal del producto tensorial. ${\ Displaystyle (x, y)}$${\ Displaystyle (e_ {1}, e_ {1}),}$ ${\ Displaystyle (e_ {1}, e_ {2}),}$

Juntando toda la construcción

El producto tensorial abstracto de dos espacios vectoriales y sobre un campo base común es el espacio vectorial cociente${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle K}$

donde es la relación de equivalencia de igualdad formal generada asumiendo que, para cada uno y tomados como expresiones formales en el espacio vectorial libre, se cumple lo siguiente: ${\ Displaystyle \ sim}$${\ Displaystyle (v, w)}$${\ Displaystyle (v ', w')}$${\ Displaystyle F (V \ multiplicado por W),}$

Identidad

${\ Displaystyle (v, w) \ sim (v, w).}$

Simetría

${\ Displaystyle (v, w) \ sim (v ', w')}$ implica ${\ Displaystyle (v ', w') \ sim (v, w).}$

Transitividad

${\ Displaystyle (v, w) \ sim (v ', w')}$e implica${\ Displaystyle (v ', w') \ sim (v '', w '')}$${\ Displaystyle (v, w) \ sim (v '', w '').}$

Distributividad

${\ Displaystyle (v, w) + (v ', w) \ sim (v + v', w)}$ y ${\ Displaystyle (v, w) + (v, w ') \ sim (v, w + w').}$

Múltiplos escalares

${\ Displaystyle c (v, w) \ sim (v, cw)}$ y ${\ Displaystyle c (v, w) \ sim (cv, w).}$

y luego probar la equivalencia de expresiones formales genéricas a través de manipulaciones adecuadas basadas en ellas. La aritmética se define en el producto tensorial eligiendo elementos representativos, aplicando las reglas aritméticas y finalmente tomando la clase de equivalencia. Además, dados dos vectores cualesquiera y la clase de equivalencia se denota${\ Displaystyle v \ in V}$${\ Displaystyle w \ in W,}$${\ Displaystyle [(v, w)]}$${\ Displaystyle v \ otimes w.}$

Propiedades

Notación

Los elementos de a menudo se denominan tensores , aunque este término también se refiere a muchos otros conceptos relacionados. Si v pertenece a V y w pertenece a W , entonces la clase de equivalencia de ( v , w ) se denota mediante la cual se llama el producto tensorial de v con w . En física e ingeniería, este uso del símbolo se refiere específicamente al funcionamiento externo del producto ; el resultado del producto externo es una de las formas estándar de representar la clase de equivalencia. Un elemento de que se puede escribir en la forma se llama tensor puro o simple . En general, un elemento del espacio del producto tensorial no es un tensor puro, sino una combinación lineal finita de tensores puros. Por ejemplo, si y son linealmente independientes , y y también son linealmente independientes, entonces no se puede escribir como un tensor puro. El número de tensores simples requeridos para expresar un elemento de un producto tensorial se llama rango tensorial (que no debe confundirse con el orden tensorial , que es el número de espacios de los que se ha tomado el producto, en este caso 2; en notación, el número de índices), y para operadores lineales o matrices, pensados ​​como (1, 1) tensores (elementos del espacio ), concuerda con el rango de la matriz . ${\ Displaystyle V \ otimes W}$${\ Displaystyle v \ otimes w,}$${\ Displaystyle \, \ otimes \,}$${\ Displaystyle v \ otimes w}$${\ Displaystyle v \ otimes w.}$${\ Displaystyle V \ otimes W}$${\ Displaystyle v \ otimes w}$${\ Displaystyle v_ {1}}$${\ Displaystyle v_ {2}}$${\ Displaystyle w_ {1}}$${\ Displaystyle w_ {2}}$${\ Displaystyle v_ {1} \ otimes w_ {1} + v_ {2} \ otimes w_ {2}}$${\ Displaystyle V \ otimes V ^ {*}}$

Dimensión

Dadas las bases y para V y W respectivamente, los tensores forman una base para. Por lo tanto, si V y W son de dimensión finita, la dimensión del producto del tensor es el producto de las dimensiones de los espacios originales; por ejemplo es isomorfo a${\ Displaystyle \ left \ {v_ {i} \ right \}}$${\ Displaystyle \ left \ {w_ {j} \ right \}}$${\ Displaystyle \ left \ {v_ {i} \ otimes w_ {j} \ right \}}$${\ Displaystyle V \ otimes W.}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m} \ otimes \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {mn}.}$

Producto tensorial de mapas lineales

El producto tensorial también opera en mapas lineales entre espacios vectoriales. Específicamente, dados dos mapas lineales y entre espacios vectoriales, el producto tensorial de los dos mapas lineales S y T es un mapa lineal ${\ Displaystyle S: V \ a X}$${\ Displaystyle T: W \ a Y}$

definido por

De esta forma, el producto tensorial se convierte en un bifunctor de la categoría de espacios vectoriales a sí mismo, covariante en ambos argumentos.

Si S y T son ambos inyectivos , sobreyectivos o (en el caso de que V , X , W e Y sean espacios vectoriales normativos o espacios vectoriales topológicos ) continuos , entonces es inyectivo, sobreyectivo o continuo, respectivamente. ${\ Displaystyle S \ otimes T}$

Al elegir las bases de todos los espacios vectoriales involucrados, los mapas lineales S y T se pueden representar mediante matrices . Luego, dependiendo de cómo se vectorice el tensor , la matriz que describe el producto del tensor es el producto de Kronecker de las dos matrices. Por ejemplo, si V , X , W e Y anteriores son todos bidimensionales y se han fijado las bases para todos ellos, y S y T están dados por las matrices ${\ Displaystyle v \ otimes w}$${\ Displaystyle S \ otimes T}$

respectivamente, entonces el producto tensorial de estas dos matrices es

El rango resultante es como máximo 4, y por lo tanto la dimensión resultante es 4. Note que rango aquí denota el rango tensorial, es decir, el número de índices requeridos (mientras que el rango de la matriz cuenta el número de grados de libertad en la matriz resultante). Nota${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} A \ otimes B = \ operatorname {Tr} A \ times \ operatorname {Tr} B.}$

Un producto diádico es el caso especial del producto tensorial entre dos vectores de la misma dimensión.

Propiedad universal

En el contexto de los espacios vectoriales, el producto tensorial y el mapa bilineal asociado se caracterizan hasta el isomorfismo por una propiedad universal con respecto a los mapas bilineales . (Recuerde que un mapa bilineal es una función que es lineal por separado en cada uno de sus argumentos). De manera informal, es el mapa bilineal más general de${\ Displaystyle V \ otimes W}$${\ Displaystyle \ varphi: V \ times W \ a V \ otimes W}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle V \ times W.}$

El espacio vectorial y el mapa bilineal asociado tienen la propiedad de que cualquier mapa bilineal desde cualquier espacio vectorial se factoriza de forma única. Al decir " factores a través de forma única", queremos decir que existe un mapa lineal único tal que${\ Displaystyle V \ otimes W}$${\ Displaystyle \ varphi: V \ times W \ a V \ otimes W}$${\ Displaystyle h: V \ times W \ to Z}$${\ Displaystyle V \ times W}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle {\ tilde {h}}: V \ otimes W \ to Z}$${\ Displaystyle h = {\ tilde {h}} \ circ \ varphi.}$

Esta caracterización puede simplificar las pruebas sobre el producto tensorial. Por ejemplo, el producto del tensor es simétrico, lo que significa que hay un isomorfismo canónico :

Para construir, digamos, un mapa de a es suficiente para dar un mapa bilineal que se mapea a Entonces la propiedad universal de los factores de medias en un mapa Un mapa en la dirección opuesta se define de manera similar, y se comprueba que los dos mapas lineales y son inversos entre sí utilizando de nuevo sus propiedades universales. ${\ Displaystyle V \ otimes W}$${\ Displaystyle W \ otimes V,}$${\ Displaystyle h: V \ times W \ to W \ otimes V}$${\ Displaystyle (v, w)}$${\ Displaystyle w \ otimes v.}$${\ Displaystyle V \ otimes W}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle {\ tilde {h}}: V \ otimes W \ a W \ otimes V.}$${\ Displaystyle {\ tilde {g}}: W \ otimes V \ a V \ otimes W}$${\ Displaystyle {\ tilde {h}}}$${\ Displaystyle {\ tilde {g}}}$

La propiedad universal es extremadamente útil para mostrar que un mapa de un producto tensorial es inyectivo. Por ejemplo, supongamos que queremos mostrar que es isomorfo a Dado que todos los tensores simples tienen la forma y, por lo tanto, todos los elementos del producto del tensor tienen la forma por aditividad en la primera coordenada, tenemos un candidato natural para un isomorfismo dado por el mapeo a y este mapa es trivialmente sobreyectiva. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ otimes \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ Displaystyle a \ otimes b = (ab) \ otimes 1,}$${\ Displaystyle x \ otimes 1}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} \ otimes \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x \ otimes 1,}$

Mostrar directamente la inyectividad implicaría mostrar de alguna manera que no existen relaciones no triviales entre y para lo que parece abrumador. Sin embargo, sabemos que hay un mapa bilineal dada multiplicando las coordenadas juntos, y la propiedad universal del producto tensorial proporciona a continuación un mapa de espacios vectoriales que se asigna a y por lo tanto es una inversa de la homomorfismo previamente construido, de inmediato lo que implica la deseada resultado. Tenga en cuenta que, a priori, ni siquiera está claro que este mapa inverso esté bien definido, pero la propiedad universal y el mapa bilineal asociado juntos implican que este es el caso. ${\ Displaystyle x \ otimes 1}$${\ Displaystyle y \ otimes 1}$${\ Displaystyle x \ neq y,}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ otimes \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle x \ otimes 1}$${\ Displaystyle x,}$

Se puede usar un razonamiento similar para mostrar que el producto tensorial es asociativo, es decir, hay isomorfismos naturales

$${\ Displaystyle V_ {1} \ otimes \ left (V_ {2} \ otimes V_ {3} \ right) \ cong \ left (V_ {1} \ otimes V_ {2} \ right) \ otimes V_ {3}. }$$

Por lo tanto, se acostumbra omitir los paréntesis y escribir , por lo que el componente ijk-th de es ${\ Displaystyle V_ {1} \ otimes V_ {2} \ otimes V_ {3}}$${\ Displaystyle U \ otimes V \ otimes W}$

$${\ Displaystyle (\ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}) _ {ijk} = u_ {i} v_ {j} w_ {k},}$$

similar al primer ejemplo de esta página.

La categoría de espacios vectoriales con producto tensorial es un ejemplo de una categoría monoidal simétrica .

La definición de propiedad universal de un producto tensorial es válida en más categorías que solo la categoría de espacios vectoriales. En lugar de utilizar mapas multilineales (bilineales), la definición del producto tensorial general utiliza multimorfismos.

Tensores y trenzado

Sea n un número entero no negativo. La n- ésima potencia tensorial del espacio vectorial V es el producto tensorial n- veces de V consigo mismo. Es decir

$${\ Displaystyle V ^ {\ otimes n} \; {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} \; \ underbrace {V \ otimes \ cdots \ otimes V} _ {n}.}$$

Una permutación del conjunto determina un mapeo de la

n ésima potencia cartesiano de V como sigue: ${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ {1,2, \ ldots, n \}}$

$${\ Displaystyle {\ begin {cases} \ sigma: V ^ {n} \ to V ^ {n} \\\ sigma \ left (v_ {1}, v_ {2}, \ ldots, v_ {n} \ right ) = \ left (v _ {\ sigma (1)}, v _ {\ sigma (2)}, \ ldots, v _ {\ sigma (n)} \ right) \ end {cases}}}$$

Dejar

$${\ Displaystyle \ varphi: V ^ {n} \ to V ^ {\ otimes n}}$$

ser el multilineal natural de la incrustación de la potencia cartesiana de V en la fuente de tensor de V . Entonces, por la propiedad universal, hay un isomorfismo único

$${\ Displaystyle \ tau _ {\ sigma}: V ^ {\ otimes n} \ to V ^ {\ otimes n}}$$

tal que

$${\ Displaystyle \ varphi \ circ \ sigma = \ tau _ {\ sigma} \ circ \ varphi.}$$

El isomorfismo se denomina

mapa de trenzado asociado a la permutación.${\ Displaystyle \ tau _ {\ sigma}}$${\ Displaystyle \ sigma.}$

Producto de tensores

Ver también: Tratamiento clásico de tensores.

Para no negativo números enteros r y s un tipo de

tensor en un espacio vectorial V es un elemento de ${\ Displaystyle (r, s)}$

$${\ Displaystyle T_ {s} ^ {r} (V) = \ underbrace {V \ otimes \ cdots \ otimes V} _ {r} \ otimes \ underbrace {V ^ {*} \ otimes \ cdots \ otimes V ^ { *}} _ {s} = V ^ {\ otimes r} \ otimes \ left (V ^ {*} \ right) ^ {\ otimes s}.}$$

Aquí está el

espacio vectorial dual (que consta de todos los mapas lineales f desde V al campo terrestre K ). ${\ Displaystyle V ^ {*}}$

Hay un mapa de productos, llamado producto (tensor) de tensores

$${\ Displaystyle T_ {s} ^ {r} (V) \ otimes _ {K} T_ {s '} ^ {r'} (V) \ to T_ {s + s '} ^ {r + r'} ( V).}$$

Se define agrupando todos los "factores" V que ocurren juntos: escribiendo para un elemento de

V y para un elemento del espacio dual, ${\ Displaystyle v_ {i}}$${\ Displaystyle f_ {i}}$

$${\ Displaystyle (v_ {1} \ otimes f_ {1}) \ otimes (v '_ {1}) = v_ {1} \ otimes v' _ {1} \ otimes f_ {1}.}$$

Elegir una base de V y la base dual correspondiente de naturalmente induce una base para (esta base se describe en el

artículo sobre los productos Kronecker ). En términos de estas bases, se pueden calcular los componentes de un (tensor) producto de dos (o más) tensores . Por ejemplo, si F y G son dos covariantes tensores de órdenes de m y n , respectivamente (es decir, y ), entonces los componentes de su producto de tensor están dadas por ${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ Displaystyle T_ {s} ^ {r} (V)}$${\ Displaystyle F \ en T_ {m} ^ {0}}$${\ Displaystyle G \ en T_ {n} ^ {0}}$

$${\ Displaystyle (F \ otimes G) _ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {m + n}} = F_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {m}} G_ {i_ { m + 1} i_ {m + 2} i_ {m + 3} \ cdots i_ {m + n}}.}$$

Por tanto, las componentes del producto tensorial de dos tensores son el producto ordinario de las componentes de cada tensor. Otro ejemplo: sea U un tensor de tipo (1, 1) con componentes y sea

V un tensor de tipo con componentes Entonces ${\ Displaystyle U _ {\ beta} ^ {\ alpha},}$${\ displaystyle (1,0)}$${\ Displaystyle V ^ {\ gamma}.}$

$${\ Displaystyle \ left (U \ otimes V \ right) ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} {} ^ {\ gamma} = U ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} V ^ {\ gamma}}$$

y

$${\ Displaystyle (V \ otimes U) ^ {\ mu \ nu} {} _ {\ sigma} = V ^ {\ mu} U ^ {\ nu} {} _ {\ sigma}.}$$

Los tensores equipados con su operación de producto forman un álgebra , llamada álgebra tensorial .

Mapa de evaluación y contracción tensorial

Para tensores de tipo (1, 1) hay un

mapa de evaluación canónico

$${\ Displaystyle V \ otimes V ^ {*} \ to K}$$

definido por su acción sobre tensores puros:

$${\ Displaystyle v \ otimes f \ mapsto f (v).}$$

Más generalmente, para tensores de tipo con

r , s > 0 , existe un mapa, llamado contracción tensorial , ${\ Displaystyle (r, s),}$

$${\ Displaystyle T_ {s} ^ {r} (V) \ to T_ {s-1} ^ {r-1} (V).}$$

(Se deben especificar las copias de y sobre las que se aplicará este mapa). ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$

Por otro lado, si es

de dimensión finita , hay un mapa canónico en la otra dirección (llamado mapa de coevaluación ) ${\ Displaystyle V}$

$${\ Displaystyle {\ begin {cases} K \ to V \ otimes V ^ {*} \\\ lambda \ mapsto \ sum _ {i} \ lambda v_ {i} \ otimes v_ {i} ^ {*} \ end {casos}}}$$

donde es cualquier base de y es su

base dual . Este mapa no depende de la elección de la base. ${\ Displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}$${\ Displaystyle V,}$${\ Displaystyle v_ {i} ^ {*}}$

La interacción de evaluación y coevaluación se puede utilizar para caracterizar espacios vectoriales de dimensión finita sin hacer referencia a bases.

Representación adjunta

El producto tensorial puede verse naturalmente como un módulo para el

álgebra de Lie por medio de la acción diagonal: por simplicidad supongamos entonces, para cada${\ Displaystyle T_ {s} ^ {r} (V)}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Fin} (V)}$${\ Displaystyle r = s = 1,}$${\ Displaystyle u \ in \ mathrm {Fin} (V),}$

$${\ Displaystyle u (a \ otimes b) = u (a) \ otimes ba \ otimes u ^ {*} (b),}$$

¿Dónde está la

transposición de u , es decir, en términos del apareamiento obvio en${\ Displaystyle u ^ {*} \ in \ mathrm {End} \ left (V ^ {*} \ right)}$${\ Displaystyle V \ otimes V ^ {*},}$

$${\ Displaystyle \ langle u (a), b \ rangle = \ langle a, u ^ {*} (b) \ rangle.}$$

Hay un isomorfismo canónico dado por ${\ Displaystyle T_ {1} ^ {1} (V) \ to \ mathrm {End} (V)}$

$${\ Displaystyle (a \ otimes b) (x) = \ langle x, b \ rangle a.}$$

Bajo este isomorfismo, cada u en puede verse primero como un endomorfismo de y luego como un endomorfismo de De hecho, es la

representación adjunta ad ( u ) de${\ Displaystyle \ mathrm {Fin} (V)}$${\ Displaystyle T_ {1} ^ {1} (V)}$${\ Displaystyle \ mathrm {Fin} (V).}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Fin} (V).}$

Relación del producto tensorial con Hom

Dados dos espacios vectoriales de dimensión finita U , V sobre el mismo campo K , denote el espacio dual de U como U * , y el espacio vectorial K de todos los mapas lineales de U a V como Hom ( U , V ) . Hay un isomorfismo,

$${\ Displaystyle U ^ {*} \ otimes V \ cong \ mathrm {Hom} (U, V),}$$

definido por una acción del tensor puro sobre un elemento de${\ Displaystyle f \ otimes v \ in U ^ {*} \ otimes V}$${\ Displaystyle U,}$

$${\ Displaystyle (f \ otimes v) (u) = f (u) v.}$$

Su "inverso" se puede definir utilizando una base y su base dual como en la sección "

Mapa de evaluación y contracción del tensor " anterior: ${\ Displaystyle \ {u_ {i} \}}$${\ Displaystyle \ {u_ {i} ^ {*} \}}$

$${\ Displaystyle {\ begin {cases} \ mathrm {Hom} (U, V) \ to U ^ {*} \ otimes V \\ F \ mapsto \ sum _ {i} u_ {i} ^ {*} \ otimes F (u_ {i}). \ End {cases}}}$$

Este resultado implica

$${\ Displaystyle \ dim (U \ otimes V) = \ dim (U) \ dim (V),}$$

que da automáticamente el hecho importante de que forma una base para donde son bases de

U y V . ${\ Displaystyle \ {u_ {i} \ otimes v_ {j} \}}$${\ Displaystyle U \ otimes V}$${\ Displaystyle \ {u_ {i} \}, \ {v_ {j} \}}$

Además, dados tres espacios vectoriales U , V , W , el producto del tensor está vinculado al espacio vectorial de todos los mapas lineales, de la siguiente manera:

$${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (U \ otimes V, W) \ cong \ mathrm {Hom} (U, \ mathrm {Hom} (V, W)).}$$

Este es un ejemplo de functores adjuntos : el producto tensorial es "adjunto izquierdo" a Hom.

Productos tensores de módulos sobre un anillo

Artículo principal: Producto tensorial de módulos

El producto tensorial de dos módulos A y B sobre un

anillo conmutativo R se define exactamente de la misma manera que el producto tensorial de espacios vectoriales sobre un campo:

$${\ Displaystyle A \ otimes _ {R} B: = F (A \ times B) / G}$$

donde ahora es el módulo R libre generado por el producto cartesiano y G es el módulo R generado por las mismas relaciones que arriba . ${\ Displaystyle F (A \ times B)}$

De manera más general, el producto tensorial se puede definir incluso si el anillo no es

conmutativo . En este caso, A tiene que ser un módulo R derecho y B es un módulo R izquierdo , y en lugar de las dos últimas relaciones anteriores, la relación

$${\ Displaystyle (ar, b) \ sim (a, rb)}$$

es impuesto. Si R no es conmutativo, ya no es un módulo R , sino simplemente un grupo abeliano .

La propiedad universal también se traslada, ligeramente modificada: el mapa definido por es un

mapa lineal medio (denominado "el mapa lineal medio canónico"); es decir, satisface: ${\ Displaystyle \ varphi: A \ times B \ to A \ otimes _ {R} B}$${\ Displaystyle (a, b) \ mapsto a \ otimes b}$

$${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ phi (a + a ', b) & = \ phi (a, b) + \ phi (a', b) \\\ phi (a, b + b ') & = \ phi (a, b) + \ phi (a, b ') \\\ phi (ar, b) & = \ phi (a, rb) \ end {alineado}}}$$

Las dos primeras propiedades hacen φ un mapa bilineal del grupo abeliano. Para cualquier mapa lineal medio de un grupo único, el homomorfismo

f de satisface y esta propiedad determina el isomorfismo dentro del grupo. Consulte el artículo principal para obtener más detalles. ${\ Displaystyle A \ times B.}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle A \ times B,}$${\ Displaystyle A \ otimes _ {R} B}$${\ Displaystyle \ psi = f \ circ \ varphi,}$${\ Displaystyle \ phi}$

Producto tensorial de módulos sobre un anillo no conmutativo

Sea A un módulo R derecho y B un módulo R izquierdo . Entonces el producto tensorial de A y B es un grupo abeliano definido por

$${\ Displaystyle A \ otimes _ {R} B: = F (A \ times B) / G}$$

donde es un grupo abeliano libre encima y G es el subgrupo de generado por relaciones ${\ Displaystyle F (A \ times B)}$${\ Displaystyle A \ times B}$${\ Displaystyle F (A \ times B)}$

$${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ forall a, a_ {1}, a_ {2} \ in A, \ forall b, b_ {1}, b_ {2} \ in B, {\ text {para todos }} r \ en R: \\ & (a_ {1}, b) + (a_ {2}, b) - (a_ {1} + a_ {2}, b), \\ & (a, b_ { 1}) + (a, b_ {2}) - (a, b_ {1} + b_ {2}), \\ & (ar, b) - (a, rb). \\\ end {alineado}} }$$

La propiedad universal se puede enunciar de la siguiente manera. Sea G un grupo abeliano con un mapa bilineal, en el sentido de que ${\ Displaystyle q: A \ times B \ to G}$

$${\ Displaystyle {\ begin {alineado} q (a_ {1} + a_ {2}, b) & = q (a_ {1}, b) + q (a_ {2}, b), \\ q (a , b_ {1} + b_ {2}) & = q (a, b_ {1}) + q (a, b_ {2}), \\ q (ar, b) & = q (a, rb). \ end {alineado}}}$$

Luego hay un mapa único tal que para todos y${\ Displaystyle {\ overline {q}}: A \ a veces B \ a G}$${\ Displaystyle {\ overline {q}} (a \ otimes b) = q (a, b)}$${\ Displaystyle a \ in A}$${\ Displaystyle b \ in B.}$

Además, podemos dar una estructura de módulo bajo algunas condiciones adicionales: ${\ Displaystyle A \ otimes _ {R} B}$

1. Si A es un ( S , R ) -bimodule, entonces es un

S -module izquierdo donde${\ Displaystyle A \ otimes _ {R} B}$${\ Displaystyle s (a \ otimes b): = (sa) \ otimes b.}$

Si B es un ( R , S ) -bimodule, entonces es un

S -module derecho donde${\ Displaystyle A \ otimes _ {R} B}$${\ Displaystyle (a \ otimes b) s: = a \ otimes (bs).}$

Si A es un bimódulo ( S , R ) y B es un bimódulo ( R , T ), entonces es un bimódulo (

S , T ), donde las acciones izquierda y derecha se definen de la misma manera que las dos anteriores. ejemplos.${\ Displaystyle A \ otimes _ {R} B}$

Si R es un anillo conmutativo, entonces A y B son ( R , R ) -bimódulos donde y By 3), podemos concluir que es un (

R , R ) -bimódulo.${\ Displaystyle ra: = ar}$${\ Displaystyle br: = rb.}$${\ Displaystyle A \ otimes _ {R} B}$

Calcular el producto tensorial

Para los espacios vectoriales, el producto tensorial se calcula rápidamente ya que las bases de

V de W determinan inmediatamente una base de como se mencionó anteriormente. Para módulos sobre un anillo general (conmutativo), no todos los módulos son gratuitos. Por ejemplo, Z / n Z no es un grupo abeliano libre ( módulo Z ). El producto tensorial con Z / n Z viene dado por ${\ Displaystyle V \ otimes W}$${\ Displaystyle V \ otimes W,}$

$${\ Displaystyle M \ otimes _ {\ mathbf {Z}} \ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z} = M / nM.}$$

De manera más general, dada una presentación de algún módulo R M , es decir, varios generadores junto con relaciones ${\ Displaystyle m_ {i} \ en M, i \ en I}$

$${\ Displaystyle \ sum _ {j \ in J} a_ {ji} m_ {i} = 0, \ qquad a_ {ij} \ in R,}$$

el producto tensorial se puede calcular como el siguiente cokernel :

$${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} N = \ operatorname {coker} \ left (N ^ {J} \ to N ^ {I} \ right)}$$

Aquí y el mapa se determina enviando algunos en la

j- ésima copia de to (in ). Coloquialmente, esto puede reformularse diciendo que una presentación de M da lugar a una presentación de Esto se refiere al decir que el producto tensorial es un funtor exacto derecho . En general, no es exacto a la izquierda, es decir, dado un mapa inyectivo de módulos R, el producto tensorial ${\ Displaystyle N ^ {J} = \ oplus _ {j \ in J} N,}$${\ Displaystyle N ^ {J} \ to N ^ {I}}$${\ Displaystyle n \ in N}$${\ Displaystyle N ^ {J}}$${\ Displaystyle a_ {ij} n}$${\ Displaystyle N ^ {I}}$${\ Displaystyle M \ oplus _ {R} N.}$${\ Displaystyle M_ {1} \ to M_ {2},}$

$${\ Displaystyle M_ {1} \ otimes _ {R} N \ to M_ {2} \ otimes _ {R} N}$$

no suele ser inyectable. Por ejemplo, tensar el mapa (inyectivo) dado por la multiplicación con n , n  : Z → Z con Z / n Z produce el mapa cero 0: Z / n Z → Z / n Z , que no es inyectivo. Los functores de Tor superiores miden el defecto del producto tensor no quedando exacto. Todos los functores Tor superiores se ensamblan en el producto tensorial derivado .

Producto tensorial de álgebras

Artículo principal: Producto tensorial de álgebras

Sea R un anillo conmutativo. El producto tensorial de los R -módulos se aplica, en particular, si A y B son R -álgebras . En este caso, el producto tensorial es una

R -álgebra en sí misma poniendo ${\ Displaystyle A \ otimes _ {R} B}$

$${\ Displaystyle (a_ {1} \ otimes b_ {1}) \ cdot (a_ {2} \ otimes b_ {2}) = (a_ {1} \ cdot a_ {2}) \ otimes (b_ {1} \ cdot b_ {2}).}$$

Por ejemplo,

$${\ Displaystyle R [x] \ otimes _ {R} R [y] \ cong R [x, y].}$$

Un ejemplo particular es cuando A y B son campos que contienen un subcampo R común . El producto tensorial de campos está estrechamente relacionado con la teoría de Galois : si, digamos, A = R [ x ] / f ( x ) , donde f es un polinomio irreducible con coeficientes en R , el producto tensorial se puede calcular como

$${\ Displaystyle A \ otimes _ {R} B \ cong B [x] / f (x)}$$

donde ahora f se interpreta como el mismo polinomio, pero con sus coeficientes considerados como elementos de B . En el campo más grande B , el polinomio puede volverse reducible, lo que trae la teoría de Galois. Por ejemplo, si A = B es una extensión de Galois de R , entonces

$${\ Displaystyle A \ otimes _ {R} A \ cong A [x] / f (x)}$$

es isomorfo (como un álgebra A ) a la${\ Displaystyle A ^ {\ operatorname {deg} (f)}.}$

Configuraciones propias de tensores

Las matrices cuadradas con entradas en un

campo representan mapas lineales de espacios vectoriales , por ejemplo , mapas lineales de espacios proyectivos sobre Si no es singular, entonces está bien definido en todas partes, y los autovectores de corresponden a los puntos fijos de La autoconfiguración de consiste en puntos en proporcionado es genérico y es algebraicamente cerrado . Los puntos fijos de los mapas no lineales son los vectores propios de los tensores. Sea un tensor de formato -dimensional con entradas que se encuentran en un campo algebraicamente cerrado de característica cero. Tal tensor define mapas polinomiales y con coordenadas ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K ^ {n} \ a K ^ {n},}$${\ Displaystyle \ psi: \ mathbb {P} ^ {n-1} \ to \ mathbb {P} ^ {n-1}}$${\ Displaystyle K.}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ psi.}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n-1},}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle A = (a_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {d}})}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle n \ times n \ times \ cdots \ times n}$${\ Displaystyle (a_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {d}})}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle A \ in (K ^ {n}) ^ {\ otimes d}}$ ${\ Displaystyle K ^ {n} \ a K ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n-1} \ to \ mathbb {P} ^ {n-1}}$

$${\ Displaystyle \ psi _ {i} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {j_ {2} = 1} ^ {n} \ sum _ {j_ {3} = 1} ^ {n} \ cdots \ sum _ {j_ {d} = 1} ^ {n} a_ {ij_ {2} j_ {3} \ cdots j_ {d}} x_ {j_ {2}} x_ {j_ {3 }} \ cdots x_ {j_ {d}} \; \; {\ mbox {para}} i = 1, \ ldots, n}$$

Así, cada una de las coordenadas de es un

polinomio homogéneo de grado en Los vectores propios de son las soluciones de la restricción ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ psi}$ ${\ Displaystyle \ psi _ {i}}$${\ displaystyle d-1}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right).}$${\ Displaystyle A}$

$${\ displaystyle {\ mbox {rank}} {\ begin {pmatrix} x_ {1} & x_ {2} & \ cdots & x_ {n} \\\ psi _ {1} (\ mathbf {x}) & \ psi _ {2} (\ mathbf {x}) & \ cdots & \ psi _ {n} (\ mathbf {x}) \ end {pmatrix}} \ leq 1}$$

y la configuración propia viene dada por la variedad de los

menores de esta matriz. ${\ Displaystyle 2 \ times 2}$

Otros ejemplos de productos tensoriales

Producto tensorial de los espacios de Hilbert

Artículo principal: Producto tensorial de espacios de Hilbert

Los espacios de Hilbert generalizan los espacios vectoriales de dimensión finita a dimensiones infinitas contables . El producto tensorial todavía está definido; es el producto tensorial de los espacios de Hilbert .

Producto tensor topológico

Artículo principal: Producto tensorial topológico

Cuando la base de un espacio vectorial ya no es contable, entonces la formalización axiomática apropiada para el espacio vectorial es la de un espacio vectorial topológico . El producto tensorial aún está definido, es el producto tensorial topológico .

Producto tensorial de espacios vectoriales graduados

Artículo principal: Espacio vectorial graduado § Operaciones en espacios vectoriales graduados

Algunos espacios vectoriales se pueden descomponer en sumas directas de subespacios. En tales casos, el producto tensorial de dos espacios se puede descomponer en sumas de productos de los subespacios (en analogía a la forma en que la multiplicación se distribuye sobre la suma).

Producto tensorial de representaciones

Artículo principal: Producto tensorial de representaciones

Los espacios vectoriales dotados de una estructura multiplicativa adicional se denominan álgebras . El producto tensorial de tales álgebras se describe mediante la regla de Littlewood-Richardson .

Producto tensorial de formas cuadráticas

Artículo principal: Producto tensorial de formas cuadráticas

Producto tensorial de formas multilineales

Dadas dos formas multilineales y en un espacio vectorial sobre el campo, su producto tensorial es la forma multilineal ${\ Displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {k})}$${\ Displaystyle g (x_ {1}, \ dots, x_ {m})}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle K}$

$${\ Displaystyle (f \ otimes g) (x_ {1}, \ dots, x_ {k + m}) = f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) g (x_ {k + 1}, \ dots, x_ {k + m}).}$$

Este es un caso especial del producto de tensores si se ven como mapas multilineales (ver también tensores como mapas multilineales ). Por tanto, los componentes del producto tensorial de formas multilineales pueden calcularse mediante el producto de Kronecker .

Producto tensorial de haces de módulos

Artículo principal: Gavilla de módulos

Producto tensorial de paquetes de líneas

Artículo principal: Paquete de vectores § Operaciones sobre paquetes de vectores

Ver también: paquete de producto tensorial

Producto tensorial de campos

Artículo principal: Producto tensorial de campos

Producto tensorial de gráficas

Artículo principal: Producto tensorial de gráficos

Debe mencionarse que, aunque se llama "producto tensorial", no es un producto tensorial de gráficos en el sentido anterior; en realidad, es el producto de la

teoría de categorías en la categoría de gráficos y homomorfismos de gráficos . Sin embargo, en realidad es el producto del tensor de Kronecker de las matrices de adyacencia de los gráficos. Compare también la sección Producto tensorial de mapas lineales anterior.

Categorías monoidales

La configuración más general para el producto tensor es la categoría monoidal . Captura la esencia algebraica de la tensión, sin hacer ninguna referencia específica a lo que se tensa. Por tanto, todos los productos tensoriales pueden expresarse como una aplicación de la categoría monoidal a algún escenario particular, actuando sobre algunos objetos particulares.

Álgebras de cocientes

Se pueden construir varios subespacios importantes del álgebra tensorial como cocientes : estos incluyen el álgebra exterior , el álgebra simétrica , el álgebra de Clifford , el álgebra de Weyl y el álgebra envolvente universal en general.

El álgebra exterior se construye a partir del producto exterior . Dado un espacio vectorial V , el producto exterior se define como ${\ Displaystyle V \ wedge V}$

$${\ Displaystyle V \ wedge V: = V \ otimes V / \ {v \ otimes v \ mid v \ in V \}.}$$

Tenga en cuenta que cuando el campo subyacente de V no tiene la característica 2, esta definición es equivalente a

$${\ Displaystyle V \ wedge V: = V \ otimes V / \ {v_ {1} \ otimes v_ {2} + v_ {2} \ otimes v_ {1} \ mid (v_ {1}, v_ {2}) \ en V ^ {2} \}.}$$

La imagen de en el producto exterior se denota generalmente y satisface, por construcción, son posibles construcciones similares para ( n factores), dando lugar a la n º potencia exterior de V . La última noción es la base de n- formas diferenciales . ${\ Displaystyle v_ {1} \ otimes v_ {2}}$${\ Displaystyle v_ {1} \ wedge v_ {2}}$${\ Displaystyle v_ {1} \ wedge v_ {2} = - v_ {2} \ wedge v_ {1}.}$${\ Displaystyle V \ otimes \ dots \ otimes V}$${\ Displaystyle \ Lambda ^ {n} V,}$

El álgebra simétrica se construye de manera similar, a partir del producto simétrico

$${\ Displaystyle V \ odot V: = V \ otimes V / \ {v_ {1} \ otimes v_ {2} -v_ {2} \ otimes v_ {1} \ mid (v_ {1}, v_ {2}) \ en V ^ {2} \}.}$$

Más generalmente

$${\ Displaystyle \ operatorname {Sym} ^ {n} V: = \ underbrace {V \ otimes \ dots \ otimes V} _ {n} / (\ dots \ otimes v_ {i} \ otimes v_ {i + 1} \ veces \ puntos - \ puntos \ otimes v_ {i + 1} \ otimes v_ {i} \ otimes \ dots)}$$

Es decir, en el álgebra simétrica se pueden intercambiar dos vectores adyacentes (y por lo tanto todos ellos). Los objetos resultantes se denominan tensores simétricos .

Producto tensor en programación

Lenguajes de programación de matrices

Los lenguajes de programación de matrices pueden tener este patrón integrado. Por ejemplo, en APL el producto tensorial se expresa como ○.×(por ejemplo A ○.× Bo A ○.× B ○.× C). En J, el producto tensorial es la forma diádica de */(por ejemplo a */ bo a */ b */ c).

Tenga en cuenta que el tratamiento de J también permite la representación de algunos campos tensoriales, ya que ay bpueden ser funciones en lugar de constantes. Este producto de dos funciones es una función derivada, y si ay bson diferenciables , entonces a */ bes diferenciable.

Sin embargo, estos tipos de notación no están presentes universalmente en los lenguajes de matriz. Otros lenguajes de matriz pueden requerir un tratamiento explícito de índices (por ejemplo, MATLAB ) y / o pueden no admitir funciones de orden superior como la derivada jacobiana (por ejemplo, Fortran / APL).

Ver también

• Producto diádico
• Extensión de escalares
• Categoría monoidal  - Categoría que admite productos tensoriales
• Álgebra tensorial  : construcción universal en álgebra multilineal
• Contracción del tensor
• Producto de tensor topológico  : construcciones de productos de tensor para espacios vectoriales topológicos

Notas

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1989). Elementos de matemáticas, Algebra I . Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9.
• Gowers, Timothy . "Cómo perder el miedo a los productos tensores" . Archivado desde el original el 23 de julio de 2021.
• Grillet, Pierre A. (2007). Álgebra abstracta . Springer Science + Business Media, LLC. ISBN 978-0387715674.
• Halmos, Paul (1974). Espacios vectoriales de dimensión finita . Saltador. ISBN 0-387-90093-4.
• Hungerford, Thomas W. (2003). Álgebra . Saltador. ISBN 0387905189.
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556 , Zbl  0.984,00001
• Mac Lane, S .; Birkhoff, G. (1999). Álgebra . AMS Chelsea. ISBN 0-8218-1646-2.
• Aguiar, M .; Mahajan, S. (2010). Functores monoidales, especies y álgebras de Hopf . Serie de monografías CRM Vol 29. ISBN 978-0-8218-4776-3.
• "Bibliografía sobre el producto tensorial no beliano de grupos" .