Espacio tangente - Tangent space

En matemáticas , el espacio tangente de una variedad generaliza a dimensiones superiores la noción de planos tangentes a superficies en tres dimensiones y de líneas tangentes a curvas en dos dimensiones. En el contexto de la física, el espacio tangente a una variedad en un punto puede verse como el espacio de posibles velocidades para una partícula que se mueve en la variedad.

Descripción informal

Una representación pictórica del espacio tangente de un solo punto en una esfera . Un vector en este espacio tangente representa una posible velocidad en . Después de moverse en esa dirección a un punto cercano, la velocidad vendría dada por un vector en el espacio tangente de ese punto, un espacio tangente diferente que no se muestra.${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$

En geometría diferencial , uno puede adjuntar a cada punto de una variedad diferenciable un espacio tangente, un espacio vectorial real que contiene intuitivamente las posibles direcciones en las que uno puede atravesar tangencialmente . Los elementos del espacio tangente en se denominan vectores tangentes en . Esta es una generalización de la noción de vector , basada en un punto inicial dado, en un espacio euclidiano . La dimensión del espacio tangente en cada punto de una variedad conectada es la misma que la de la variedad misma. ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$

Por ejemplo, si la variedad dada es una - esfera , entonces uno puede imaginar el espacio tangente en un punto como el plano que toca la esfera en ese punto y es perpendicular al radio de la esfera a través del punto. De manera más general, si se piensa en una variedad dada como una subvarietal incrustada del espacio euclidiano , entonces se puede imaginar un espacio tangente de esta manera literal. Este fue el enfoque tradicional para definir el transporte paralelo . Muchos autores de geometría diferencial y relatividad general lo utilizan. Más estrictamente, esto define un espacio tangente afín, que es distinto del espacio de vectores tangentes descrito por la terminología moderna. ${\ Displaystyle 2}$

En geometría algebraica , por el contrario, hay una definición intrínseca del espacio tangente en un punto de una variedad algebraica que da un espacio vectorial con dimensión al menos la de sí mismo. Los puntos en los que la dimensión del espacio tangente es exactamente la de se denominan puntos no singulares ; los otros se llaman puntos singulares . Por ejemplo, una curva que se cruza a sí misma no tiene una línea tangente única en ese punto. Los puntos singulares de son aquellos en los que falla la "prueba de ser un múltiple". Ver espacio tangente de Zariski . ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V}$

Una vez que se han introducido los espacios tangentes de una variedad, se pueden definir campos vectoriales , que son abstracciones del campo de velocidad de las partículas que se mueven en el espacio. Un campo vectorial adjunta a cada punto de la variedad un vector desde el espacio tangente en ese punto, de manera suave. Tal campo vectorial sirve para definir una ecuación diferencial ordinaria generalizada en una variedad: una solución a dicha ecuación diferencial es una curva diferenciable en la variedad cuya derivada en cualquier punto es igual al vector tangente adjunto a ese punto por el campo vectorial.

Todos los espacios tangentes de una variedad se pueden "pegar juntos" para formar una nueva variedad diferenciable con el doble de la dimensión de la variedad original, llamado haz tangente de la variedad.

Definiciones formales

La descripción informal anterior se basa en la capacidad de una variedad para integrarse en un espacio vectorial ambiental de modo que los vectores tangentes puedan "sobresalir" de la variedad en el espacio ambiental. Sin embargo, es más conveniente definir la noción de espacio tangente basándose únicamente en la variedad misma. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$

Hay varias formas equivalentes de definir los espacios tangentes de una variedad. Si bien la definición a través de la velocidad de las curvas es intuitivamente la más simple, también es la más engorrosa para trabajar. A continuación se describen enfoques más elegantes y abstractos.

Definición mediante curvas tangentes

En la imagen de la variedad embebida, se piensa que un vector tangente en un punto es la velocidad de una curva que pasa a través del punto . Por lo tanto, podemos definir un vector tangente como una clase de equivalencia de curvas que pasan mientras son tangentes entre sí en . ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$

Supongamos que es una variedad diferenciable (con suavidad ) y eso . Elija un gráfico de coordenadas , donde es un subconjunto abierto de contenedor . Supongamos además que se dan dos curvas con tales que ambas son diferenciables en el sentido ordinario (a estas curvas diferenciables las llamamos inicializadas en ). Entonces y se dice que son equivalentes en si y solo si las derivadas de y en coinciden. Esto define una relación de equivalencia en el conjunto de todas las curvas diferenciables inicializadas en , y las clases de equivalencia de tales curvas se conocen como vectores tangentes de en . La clase de equivalencia de cualquier curva de este tipo se indica mediante . El espacio tangente de en , denotado por , se define entonces como el conjunto de todos los vectores tangentes en ; no depende de la elección del gráfico de coordenadas . ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle C ^ {k}}$ ${\ Displaystyle k \ geq 1}$${\ Displaystyle x \ in M}$ ${\ Displaystyle \ varphi: U \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}: (- 1,1) \ a M}$${\ displaystyle {\ gamma _ {1}} (0) = x = {\ gamma _ {2}} (0)}$${\ Displaystyle \ varphi \ circ \ gamma _ {1}, \ varphi \ circ \ gamma _ {2}: (- 1,1) \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ gamma _ {1}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {2}}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle \ varphi \ circ \ gamma _ {1}}$${\ Displaystyle \ varphi \ circ \ gamma _ {2}}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ gamma '(0)}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle T_ {x} M}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ varphi: U \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$

El espacio tangente y un vector tangente , a lo largo de una curva que lo atraviesa .${\ Displaystyle T_ {x} M}$${\ Displaystyle v \ en T_ {x} M}$${\ Displaystyle x \ in M}$

Para definir operaciones en el espacio vectorial , usamos un gráfico y definimos un mapa por dónde . Una vez más, es necesario comprobar que esta construcción no depende del gráfico en particular y de la curva que se esté utilizando, y de hecho no lo hace. ${\ Displaystyle T_ {x} M}$${\ Displaystyle \ varphi: U \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} {\ varphi} _ {x}: T_ {x} M \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ mathrm {d} {\ varphi} _ {x}} (\ gamma '(0)) \ mathrel {\ stackrel {\ text {df}} {=}} \ left. {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} {t}}} [(\ varphi \ circ \ gamma) (t)] \ right | _ {t = 0},}$${\ Displaystyle \ gamma \ in \ gamma '(0)}$${\ Displaystyle \ varphi: U \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ gamma}$

El mapa resulta ser biyectivo y se puede usar para transferir las operaciones del espacio vectorial a , convirtiendo así el último conjunto en un espacio vectorial real an- dimensional. ${\ Displaystyle \ mathrm {d} {\ varphi} _ {x}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle T_ {x} M}$${\ Displaystyle n}$

Definición vía derivaciones

Supongamos ahora que es una variedad. Se dice que una función de valor real pertenece a si y solo si para cada gráfico de coordenadas , el mapa es infinitamente diferenciable. Tenga en cuenta que es un álgebra asociativa real con respecto al producto puntual y la suma de funciones y la multiplicación escalar. ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle {C ^ {\ infty}} (M)}$${\ Displaystyle \ varphi: U \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle f \ circ \ varphi ^ {- 1}: \ varphi [U] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle {C ^ {\ infty}} (M)}$

Elija un punto . Una derivación en se define como un mapa lineal que satisface la identidad de Leibniz ${\ Displaystyle x \ in M}$${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle D: {C ^ {\ infty}} (M) \ to \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ forall f, g \ in {C ^ {\ infty}} (M): \ qquad D (fg) = D (f) \ cdot g (x) + f (x) \ cdot D (g) ,}$

que se basa en la regla del producto del cálculo.

(Para cada función idénticamente constante se sigue que ). ${\ displaystyle f = {\ text {const}},}$${\ Displaystyle D (f) = 0}$

Si definimos la suma y la multiplicación escalar en el conjunto de derivaciones en por ${\ Displaystyle x}$

• ${\ Displaystyle (D_ {1} + D_ {2}) (f) \ mathrel {\ stackrel {\ text {df}} {=}} {D} _ {1} (f) + {D} _ {2 }(F)}$ y
• ${\ Displaystyle (\ lambda \ cdot D) (f) \ mathrel {\ stackrel {\ text {df}} {=}} \ lambda \ cdot D (f)}$,

luego obtenemos un espacio vectorial real, que definimos como el espacio tangente de en . ${\ Displaystyle T_ {x} M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle x}$

Generalizaciones

Las generalizaciones de esta definición son posibles, por ejemplo, a variedades complejas y variedades algebraicas . Sin embargo, en lugar de examinar las derivaciones del álgebra completa de funciones, se debe trabajar en el nivel de los gérmenes de las funciones. La razón de esto es que la gavilla de estructura puede no estar bien para tales estructuras. Por ejemplo, sea ​​una variedad algebraica con estructura de gavilla . Entonces, el espacio tangente de Zariski en un punto es la colección de todas las derivaciones , donde es el campo de tierra y es el tallo de en . ${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ Displaystyle p \ en X}$${\ Displaystyle \ mathbb {k}}$${\ Displaystyle D: {\ mathcal {O}} _ {X, p} \ to \ mathbb {k}}$${\ Displaystyle \ mathbb {k}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, p}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ Displaystyle p}$

Equivalencia de las definiciones

For y una curva diferenciable tal que define (donde la derivada se toma en el sentido ordinario porque es una función de a ). Se puede determinar que es una derivación en el punto y que las curvas equivalentes dan la misma derivación. Por tanto, para una clase de equivalencia podemos definir dónde se ha elegido la curva arbitrariamente. El mapa es un isomorfismo de espacio vectorial entre el espacio de las clases de equivalencia y el de las derivaciones en el punto${\ Displaystyle x \ in M}$${\ Displaystyle \ gamma: (- 1,1) \ a M}$${\ Displaystyle \ gamma (0) = x,}$${\ Displaystyle {D _ {\ gamma}} (f) \ mathrel {\ stackrel {\ text {df}} {=}} (f \ circ \ gamma) '(0)}$${\ Displaystyle f \ circ \ gamma}$${\ displaystyle (-1,1)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle D _ {\ gamma} (f)}$${\ Displaystyle x,}$${\ Displaystyle \ gamma '(0),}$${\ Displaystyle {D _ {\ gamma '(0)}} (f) \ mathrel {\ stackrel {\ text {df}} {=}} (f \ circ \ gamma)' (0),}$${\ Displaystyle \ gamma \ in \ gamma '(0)}$${\ Displaystyle \ gamma '(0) \ mapsto D _ {\ gamma' (0)}}$${\ Displaystyle \ gamma '(0)}$${\ Displaystyle x.}$

Definición a través de espacios cotangentes

Nuevamente, comenzamos con una variedad y un punto . Considere la ideales de que consta de todas las funciones suaves de fuga a , es decir, . Entonces y son ambos espacios vectoriales reales, y se puede demostrar que el espacio del cociente es isomorfo al espacio cotangente mediante el uso del teorema de Taylor . El espacio tangente puede definirse entonces como el espacio dual de . ${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle x \ in M}$ ${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M)}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle f (x) = 0}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle I ^ {2}}$ ${\ Displaystyle I / I ^ {2}}$ ${\ Displaystyle T_ {x} ^ {*} M}$${\ Displaystyle T_ {x} M}$${\ Displaystyle I / I ^ {2}}$

Si bien esta definición es la más abstracta, también es la que se puede transferir más fácilmente a otros entornos, por ejemplo, a las variedades consideradas en geometría algebraica .

Si es una derivación en , entonces para cada , lo que significa que da lugar a un mapa lineal . Por el contrario, si es un mapa lineal, define una derivación en . Esto produce una equivalencia entre los espacios tangentes definidos mediante derivaciones y los espacios tangentes definidos mediante espacios cotangentes. ${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle D (f) = 0}$${\ Displaystyle f \ in I ^ {2}}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle I / I ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle r: I / I ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle D (f) \ mathrel {\ stackrel {\ text {def}} {=}} r \ left ((ff (x)) + I ^ {2} \ right)}$${\ Displaystyle x}$

Propiedades

Si es un subconjunto abierto de , entonces es una variedad de manera natural (tome los gráficos de coordenadas como mapas de identidad en subconjuntos abiertos de ), y los espacios tangentes se identifican naturalmente con . ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Vectores tangentes como derivadas direccionales

Otra forma de pensar en los vectores tangentes es como derivadas direccionales . Dado un vector en , se define la derivada direccional correspondiente en un punto por ${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ forall f \ in {C ^ {\ infty}} (\ mathbb {R} ^ {n}): \ qquad (D_ {v} f) (x) \ mathrel {\ stackrel {\ text {df }} {=}} \ left. {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} {t}}} [f (x + tv)] \ right | _ {t = 0} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} v ^ {i} {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x ^ {i}}} (x).}$

Este mapa es, naturalmente, una derivación de . Además, cada derivación en un punto es de esta forma. Por tanto, existe una correspondencia biunívoca entre vectores (pensados ​​como vectores tangentes en un punto) y derivaciones en un punto. ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Como los vectores tangentes a una variedad general en un punto pueden definirse como derivaciones en ese punto, es natural pensar en ellos como derivadas direccionales. Específicamente, si es un vector tangente a en un punto (considerado como una derivación), entonces defina la derivada direccional en la dirección por ${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle D_ {v}}$${\ Displaystyle v}$

${\ Displaystyle \ forall f \ in {C ^ {\ infty}} (M): \ qquad {D_ {v}} (f) \ mathrel {\ stackrel {\ text {df}} {=}} v (f ).}$

Si pensamos en la velocidad inicial de una curva diferenciable inicializada en , es decir , entonces, en cambio, defina por ${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle v = \ gamma '(0)}$${\ Displaystyle D_ {v}}$

${\ Displaystyle \ forall f \ in {C ^ {\ infty}} (M): \ qquad {D_ {v}} (f) \ mathrel {\ stackrel {\ text {df}} {=}} (f \ circ \ gamma) '(0).}$

Base del espacio tangente en un punto

Para una variedad , si un gráfico se da con , entonces se puede definir una base ordenada de por ${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ varphi = (x ^ {1}, \ ldots, x ^ {n}): U \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle p \ in U}$${\ estilo de visualización \ izquierda \ {\ izquierda ({\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {1}}} \ derecha) _ {p}, \ puntos, \ izquierda ({\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {n}}} \ right) _ {p} \ right \}}$${\ Displaystyle T_ {p} M}$

${\ Displaystyle \ forall i \ in \ {1, \ ldots, n \}, ~ \ forall f \ in {C ^ {\ infty}} (M): \ qquad {\ left ({\ frac {\ partial} {\ parcial x ^ {i}}} \ derecha) _ {p}} (f) \ mathrel {\ stackrel {\ text {df}} {=}} \ left ({\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {i}}} {\ Big (} f \ circ \ varphi ^ {- 1} {\ Big)} \ right) {\ Big (} \ varphi (p) {\ Big)}.}$

Entonces, para cada vector tangente , uno tiene ${\ Displaystyle v \ in T_ {p} M}$

${\ Displaystyle v = \ sum _ {i = 1} ^ {n} v ^ {i} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} \ right) _ {p }.}$

Por lo tanto, esta fórmula se expresa como una combinación lineal de los vectores tangentes básicos definidos por el gráfico de coordenadas . ${\ Displaystyle v}$${\ estilo de visualización \ izquierda ({\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {i}}} \ derecha) _ {p} \ en T_ {p} M}$${\ Displaystyle \ varphi: U \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$

La derivada de un mapa

Cada mapa suave (o diferenciable) entre variedades suaves (o diferenciables) induce mapas lineales naturales entre sus correspondientes espacios tangentes: ${\ Displaystyle \ varphi: M \ a N}$

${\ Displaystyle \ mathrm {d} {\ varphi} _ {x}: T_ {x} M \ a T _ {\ varphi (x)} N.}$

Si el espacio tangente se define mediante curvas diferenciables, este mapa se define mediante

${\ displaystyle {\ mathrm {d} {\ varphi} _ {x}} (\ gamma '(0)) \ mathrel {\ stackrel {\ text {df}} {=}} (\ varphi \ circ \ gamma) '(0).}$

Si, en cambio, el espacio tangente se define mediante derivaciones, entonces este mapa se define por

${\ Displaystyle [\ mathrm {d} {\ varphi} _ {x} (D)] (f) \ mathrel {\ stackrel {\ text {df}} {=}} D (f \ circ \ varphi).}$

El mapa lineal se denomina de diversas formas derivada , derivada total , diferencial o avance de en . Se expresa con frecuencia utilizando una variedad de otras notaciones: ${\ Displaystyle \ mathrm {d} {\ varphi} _ {x}}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle D \ varphi _ {x}, \ qquad (\ varphi _ {*}) _ {x}, \ qquad \ varphi '(x).}$

En cierto sentido, la derivada es la mejor aproximación lineal a cerca . Tenga en cuenta que cuando , entonces el mapa coincide con la noción habitual de diferencial de la función . En coordenadas locales, la derivada de viene dada por el jacobiano . ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle N = \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathrm {d} {\ varphi} _ {x}: T_ {x} M \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle \ varphi}$

Un resultado importante con respecto al mapa derivado es el siguiente:

Teorema . Si es un difeomorfismo local en in , entonces es un isomorfismo lineal . Por el contrario, si es continuamente diferenciable y es un isomorfismo, entonces hay una vecindad abierta de tal que se mapea de manera difeomórfica en su imagen.${\ Displaystyle \ varphi: M \ a N}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ mathrm {d} {\ varphi} _ {x}: T_ {x} M \ a T _ {\ varphi (x)} N}$${\ Displaystyle \ varphi: M \ a N}$${\ Displaystyle \ mathrm {d} {\ varphi} _ {x}}$ ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle U}$

Esta es una generalización del teorema de la función inversa a mapas entre variedades.

Ver también

• Base inducida por coordenadas
• Espacio cotangente
• Geometría diferencial de curvas
• Mapa exponencial
• Espacio vectorial

Notas

Referencias

• Lee, Jeffrey M. (2009), Manifolds and Differential Geometry , Estudios de posgrado en matemáticas , 107 , Providence: American Mathematical Society.
• Michor, Peter W. (2008), Temas de Geometría Diferencial , Estudios de Posgrado en Matemáticas, 93 , Providence: American Mathematical Society.
• Spivak, Michael (1965), Cálculo de múltiples: un enfoque moderno de los teoremas clásicos del cálculo avanzado , WA Benjamin, Inc., ISBN 978-0-8053-9021-6.

enlaces externos

• Planos tangentes en MathWorld