Teorema de la función inversa - Inverse function theorem

En matemáticas , específicamente en cálculo diferencial , el teorema de la función inversa da una condición suficiente para que una función sea invertible en una vecindad de un punto en su dominio : es decir, que su derivada sea continua y no cero en el punto . El teorema también da una fórmula para la derivada de la función inversa . En cálculo multivariable , este teorema se puede generalizar a cualquier continuamente diferenciable , función vectorial cuyo determinante jacobiano es distinto de cero en un punto en su dominio, dando una fórmula para la matriz jacobiana de la inversa. También hay versiones del teorema de la función inversa para funciones holomórficas complejas , para mapas diferenciables entre variedades , para funciones diferenciables entre espacios de Banach , etc.

Declaración

Para funciones de una sola variable , el teorema establece que si es una función continuamente diferenciable con derivada distinta de cero en el punto a ; entonces es invertible en una vecindad de a , la inversa es continuamente diferenciable y la derivada de la función inversa en es el recíproco de la derivada de en : ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle b = f (a)}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle a}$

${\ Displaystyle {\ bigl (} f ^ {- 1} {\ bigr)} '(b) = {\ frac {1} {f' (a)}} = {\ frac {1} {f '(f ^ {- 1} (b))}}.}$

Una versión alternativa, que asume que es continua e inyectiva cerca de a , y diferenciable en a con una derivada distinta de cero, también resultará en ser invertible cerca de a , con una inversa que es igualmente continua e inyectiva, y donde se aplicaría la fórmula anterior. así como. ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$

Como corolario, vemos claramente que si es -ésima diferenciable, con derivada distinta de cero en el punto a , entonces es invertible en una vecindad de a , la inversa también es -ésima diferenciable. Aquí hay un número entero positivo o . ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle \ infty}$

Para funciones de más de una variable, el teorema establece que si F es una función continuamente diferenciable de un conjunto abierto de en , y la derivada total es invertible en un punto p (es decir, el determinante jacobiano de F en p es distinto de cero ), entonces F es invertible cerca de p : se define una función inversa a F en alguna vecindad de . Escribir , esto significa que el sistema de n ecuaciones tiene una solución única para en términos de , a condición de que se restrinja x y y a las pequeñas suficientes barrios de p y q , respectivamente. En el caso de dimensión infinita, el teorema requiere la hipótesis adicional de que la derivada de Fréchet de F en p tiene una inversa acotada . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle q = F (p)}$${\ Displaystyle F = (F_ {1}, \ ldots, F_ {n})}$${\ Displaystyle y_ {i} = F_ {i} (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$${\ Displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n}}$${\ Displaystyle y_ {1}, \ dots, y_ {n}}$

Finalmente, el teorema dice que la función inversa es continuamente diferenciable, y su derivada jacobiana en es la matriz inversa del jacobiano de F en p : ${\ displaystyle F ^ {- 1}}$${\ Displaystyle q = F (p)}$

${\ Displaystyle J_ {F ^ {- 1}} (q) = [J_ {F} (p)] ^ {- 1}.}$

La parte difícil del teorema es la existencia y diferenciabilidad de . Suponiendo esto, la fórmula de la derivada inversa se sigue de la regla de la cadena aplicada a : ${\ displaystyle F ^ {- 1}}$${\ displaystyle F ^ {- 1} \ circ F = {\ text {id}}}$

${\ Displaystyle I = J_ {F ^ {- 1} \ circ F} (p) \ = \ J_ {F ^ {- 1}} (F (p)) \ cdot J_ {F} (p) \ = \ J_ {F ^ {- 1}} (q) \ cdot J_ {F} (p).}$

Ejemplo

Considere la función con valores vectoriales definida por: ${\ Displaystyle F: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2} \!}$

${\ displaystyle F (x, y) = {\ begin {bmatrix} {e ^ {x} \ cos y} \\ {e ^ {x} \ sin y} \\\ end {bmatrix}}.}$

La matriz jacobiana es:

${\ Displaystyle J_ {F} (x, y) = {\ begin {bmatrix} {e ^ {x} \ cos y} & {- e ^ {x} \ sin y} \\ {e ^ {x} \ sin y} & {e ^ {x} \ cos y} \\\ end {bmatrix}}}$

con determinante jacobiano:

${\ Displaystyle \ det J_ {F} (x, y) = e ^ {2x} \ cos ^ {2} y + e ^ {2x} \ sin ^ {2} y = e ^ {2x}. \, \ !}$

El determinante es distinto de cero en todas partes. Por tanto, el teorema garantiza que, para cada punto p en , existe una vecindad alrededor de p sobre la cual F es invertible. Esto no significa que F es invertible en toda su dominio: en este caso F ni siquiera es inyectiva ya que es periódica: . ${\ Displaystyle e ^ {2x} \!}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \!}$${\ Displaystyle F (x, y) = F (x, y + 2 \ pi) \!}$

Contraejemplo

La función está acotada dentro de una envolvente cuadrática cerca de la línea , entonces . Sin embargo, tiene puntos máximos / mínimos locales que se acumulan en , por lo que no es uno a uno en ningún intervalo circundante.${\ Displaystyle f (x) = x + 2x ^ {2} \ sin ({\ tfrac {1} {x}})}$${\ Displaystyle y = x}$${\ Displaystyle f '(0) = 1}$${\ Displaystyle x = 0}$

Si se descarta la suposición de que la derivada es continua, la función ya no necesita ser invertible. Por ejemplo, y tiene derivada discontinua y , que desaparece arbitrariamente cerca de . Estos puntos críticos son puntos máximos / mínimos locales de , por lo que no es uno a uno (y no invertible) en ningún intervalo que contenga . Intuitivamente, la pendiente no se propaga a puntos cercanos, donde las pendientes se rigen por una oscilación débil pero rápida. ${\ Displaystyle f (x) = x + 2x ^ {2} \ sin ({\ tfrac {1} {x}})}$${\ Displaystyle f (0) = 0}$${\ Displaystyle f '\! (x) = 1-2 \ cos ({\ tfrac {1} {x}}) + 4x \ sin ({\ tfrac {1} {x}})}$${\ displaystyle f '\! (0) = 1}$${\ Displaystyle x = 0}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x = 0}$${\ displaystyle f '\! (0) = 1}$

Métodos de prueba

Como resultado importante, el teorema de la función inversa ha recibido numerosas demostraciones. La prueba que se ve con más frecuencia en los libros de texto se basa en el principio de mapeo de contracciones , también conocido como el teorema del punto fijo de Banach (que también se puede usar como el paso clave en la prueba de existencia y unicidad de las soluciones a las ecuaciones diferenciales ordinarias ).

Dado que el teorema del punto fijo se aplica en configuraciones de dimensión infinita (espacio de Banach), esta demostración se generaliza inmediatamente a la versión de dimensión infinita del teorema de la función inversa (ver Generalizaciones a continuación).

Una prueba alternativa en dimensiones finitas depende del teorema del valor extremo para funciones en un conjunto compacto .

Otra demostración más usa el método de Newton , que tiene la ventaja de proporcionar una versión efectiva del teorema: los límites en la derivada de la función implican una estimación del tamaño de la vecindad en la que la función es invertible.

Una demostración del teorema de la función inversa

El teorema de la función inversa establece que si es una función C ¹ con valores vectoriales en un conjunto abierto , entonces si y solo si hay una función C ¹ con valores vectoriales definida cerca con cerca y cerca . Esto fue establecido por primera vez por Picard y Goursat usando un esquema iterativo: la idea básica es probar un teorema de punto fijo usando el teorema de mapeo de contracciones . Tomando derivados, se sigue eso . ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ det f ^ {\ prime} (a) \ neq 0}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle b = f (a)}$${\ Displaystyle g (f (x)) = x}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle f (g (y)) = y}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle g ^ {\ prime} (y) = f ^ {\ prime} (g (y)) ^ {- 1}}$

La regla de la cadena implica que las matrices y son inversas. Continuidad de y significa que son homeomorfismos que son inversos localmente. Para probar la existencia, se puede suponer después de una transformación afín que y , para que . ${\ Displaystyle f ^ {\ prime} (a)}$${\ Displaystyle g ^ {\ prime} (b)}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle f (0) = 0}$${\ Displaystyle f ^ {\ prime} (0) = I}$${\ Displaystyle a = b = 0}$

Según el teorema fundamental del cálculo, si es una función C ¹ , de modo que . Configuración , se sigue que ${\ Displaystyle u}$${\ textstyle u (1) -u (0) = \ int _ {0} ^ {1} u ^ {\ prime} (t) \, dt}$${\ estilo de texto \ | u (1) -u (0) \ | \ leq \ sup _ {0 \ leq t \ leq 1} \ | u ^ {\ prime} (t) \ |}$${\ Displaystyle u (t) = f (x + t (x ^ {\ prime} -x)) - xt (x ^ {\ prime} -x)}$

${\ Displaystyle \ | f (x) -f (x ^ {\ prime}) - x + x ^ {\ prime} \ | \ leq \ | xx ^ {\ prime} \ | \, \ sup _ {0 \ leq t \ leq 1} \ | f ^ {\ prime} (x + t (x ^ {\ prime} -x)) - I \ |.}$

Ahora elige eso para . Suponga eso y defina inductivamente por y . Las suposiciones muestran que si entonces ${\ Displaystyle \ delta> 0}$${\ textstyle \ | f '(x) -I \ | <{1 \ over 2}}$${\ Displaystyle \ | x \ | <\ delta}$${\ Displaystyle \ | y \ | <\ delta / 2}$${\ Displaystyle x_ {n}}$${\ Displaystyle x_ {0} = 0}$${\ Displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} + yf (x_ {n})}$${\ Displaystyle \ | x \ |, \, \, \ | x ^ {\ prime} \ | <\ delta}$

${\ Displaystyle \ | f (x) -f (x ^ {\ prime}) - x + x ^ {\ prime} \ | \ leq \ | xx ^ {\ prime} \ | / 2}$.

En particular implica . En el esquema inductivo y . Por lo tanto, una secuencia de Cauchy tiende a . Por construcción según sea necesario. ${\ Displaystyle f (x) = f (x ^ {\ prime})}$${\ Displaystyle x = x ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle \ | x_ {n} \ | <\ delta}$${\ Displaystyle \ | x_ {n + 1} -x_ {n} \ | <\ delta / 2 ^ {n}}$${\ Displaystyle (x_ {n})}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle f (x) = y}$

Para comprobar que es C ¹ , escriba de modo que . Por las desigualdades anteriores, de modo que . Por otro lado si , entonces . Usando la serie geométrica para , sigue eso . Pero entonces ${\ Displaystyle g = f ^ {- 1}}$${\ Displaystyle g (y + k) = x + h}$${\ Displaystyle f (x + h) = f (x) + k}$${\ Displaystyle \ | hk \ | <\ | h \ | / 2}$${\ Displaystyle \ | h \ | / 2 <\ | k \ | <2 \ | h \ |}$${\ Displaystyle A = f ^ {\ prime} (x)}$${\ Displaystyle \ | AI \ | <1/2}$${\ Displaystyle B = IA}$${\ Displaystyle \ | A ^ {- 1} \ | <2}$

${\ Displaystyle {\ | g (y + k) -g (y) -f ^ {\ prime} (g (y)) ^ {- 1} k \ | \ sobre \ | k \ |} = {\ | hf ^ {\ prime} (x) ^ {- 1} [f (x + h) -f (x)] \ | \ sobre \ | k \ |} \ leq 4 {\ | f (x + h) -f (x) -f ^ {\ prime} (x) h \ | \ over \ | h \ |}}$

tiende a 0 como y tiende a 0, lo que demuestra que es C ¹ con . ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle g ^ {\ prime} (y) = f ^ {\ prime} (g (y)) ^ {- 1}}$

La prueba anterior se presenta para un espacio de dimensión finita, pero se aplica igualmente bien a los espacios de Banach . Si una función invertible es C ^k con , entonces también lo es su inversa. Esto se sigue por inducción utilizando el hecho de que el mapa de operadores es C ^k para cualquier (en el caso de dimensión finita este es un hecho elemental porque la inversa de una matriz se da como la matriz adjunta dividida por su determinante ). El método de prueba aquí se puede encontrar en los libros de Henri Cartan , Jean Dieudonné , Serge Lang , Roger Godement y Lars Hörmander . ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle k> 1}$${\ Displaystyle F (A) = A ^ {- 1}}$${\ Displaystyle k}$

Generalizaciones

Colectores

El teorema de la función inversa puede reformularse en términos de mapas diferenciables entre variedades diferenciables . En este contexto, el teorema establece que para un mapa diferenciable (de clase ), si el diferencial de , ${\ Displaystyle F: M \ a N}$${\ Displaystyle C ^ {1}}$${\ Displaystyle F}$

${\ Displaystyle dF_ {p}: T_ {p} M \ a T_ {F (p)} N}$

es un isomorfismo lineal en un punto en el que existe una vecindad abierta de tal que ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle F | _ {U}: U \ a F (U)}$

es un difeomorfismo . Tenga en cuenta que esto implica que los componentes conectados de M y N que contienen p y F ( p ) tienen la misma dimensión, como ya se implica directamente a partir del supuesto de que dF _p es un isomorfismo. Si la derivada de F es un isomorfismo en todos los puntos p en M, entonces el mapa F es un difeomorfismo local .

Espacios banach

La función inversa teorema también se puede generalizar a mapas diferenciables entre espacios de Banach X y Y . Vamos U ser un entorno abierto del origen en X y una función continuamente diferenciable, y asumen que el derivado de Fréchet de F a 0 es una acotada isomorfismo lineal de X a Y . Entonces existe un entorno abierto V de en Y y un mapa continuamente diferenciable de tal manera que para todos y en V . Además, es la única solución x suficientemente pequeña de la ecuación . ${\ Displaystyle F: U \ to Y \!}$${\ Displaystyle dF_ {0}: X \ to Y \!}$${\ Displaystyle F (0) \!}$${\ Displaystyle G: V \ a X \!}$${\ Displaystyle F (G (y)) = y}$${\ Displaystyle G (y) \!}$${\ Displaystyle F (x) = y \!}$

Colectores Banach

Estas dos direcciones de generalización se pueden combinar en el teorema de la función inversa para las variedades de Banach .

Teorema de rango constante

El teorema de la función inversa (y el teorema de la función implícita ) se puede ver como un caso especial del teorema de rango constante, que establece que un mapa uniforme con rango constante cerca de un punto se puede poner en una forma normal particular cerca de ese punto. Específicamente, si tiene un rango constante cerca de un punto , entonces hay vecindarios abiertos U de p y V de y hay difeomorfismos y tal que y tal que la derivada es igual a . Es decir, F "parece" su derivada cerca de p . El conjunto de puntos tal que el rango es constante en una vecindad de es un subconjunto denso abierto de M ; esto es una consecuencia de la semicontinuidad de la función de rango. Por tanto, el teorema de rango constante se aplica a un punto genérico del dominio. ${\ Displaystyle F: M \ a N}$${\ Displaystyle p \ in M ​​\!}$${\ Displaystyle F (p) \!}$${\ Displaystyle u: T_ {p} M \ to U \!}$${\ Displaystyle v: T_ {F (p)} N \ to V \!}$${\ Displaystyle F (U) \ subseteq V \!}$${\ Displaystyle dF_ {p}: T_ {p} M \ a T_ {F (p)} N \!}$${\ Displaystyle v ^ {- 1} \ circ F \ circ u \!}$${\ Displaystyle p \ in M}$${\ Displaystyle p}$

Cuando la derivada de F es inyectiva (resp. Sobreyectiva) en un punto p , también es inyectiva (resp. Sobreyectiva) en una vecindad de p , y por lo tanto el rango de F es constante en esa vecindad, y se aplica el teorema de rango constante .

Funciones holomorfas

Si una función holomórfica F se define a partir de un conjunto abierto U de en , y la matriz jacobiana de derivadas complejas es invertible en un punto p , entonces F es una función invertible cerca de p . Esto se sigue inmediatamente de la versión multivariable real del teorema. También se puede mostrar que la función inversa es nuevamente holomórfica. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} \!}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} \!}$

Funciones polinomiales

Si fuera cierto, la conjetura jacobiana sería una variante del teorema de la función inversa para polinomios. Establece que si una función polinomial con valores vectoriales tiene un determinante jacobiano que es un polinomio invertible (que es una constante distinta de cero), entonces tiene una inversa que también es una función polinomial. Se desconoce si esto es cierto o falso, incluso en el caso de dos variables. Este es un gran problema abierto en la teoría de polinomios.

Trozos escogidos

Cuando con , es veces continuamente diferenciable , y el jacobiano en un punto es de rango , la inversa de no puede ser única. Sin embargo, existe un local de la función de selección de tal manera que para todos en un barrio de , , es veces continuamente diferenciable en este barrio, y ( es el pseudoinverse Moore-Penrose de ). ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle m \ leq n}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle A = \ nabla f ({\ overline {x}})}$${\ Displaystyle {\ overline {x}}}$ ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle f (s (y)) = y}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle {\ overline {y}} = f ({\ overline {x}})}$${\ Displaystyle s ({\ overline {y}}) = {\ overline {x}}}$${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle \ nabla s ({\ overline {y}}) = A ^ {T} (AA ^ {T}) ^ {- 1}}$${\ Displaystyle \ nabla s ({\ overline {y}})}$${\ Displaystyle A}$

Ver también

• Teorema del punto fijo de Banach
• Teorema de la función implícita
• Teorema de Nash-Moser

Notas

Referencias

• Allendoerfer, Carl B. (1974). "Teoremas sobre funciones diferenciables". Cálculo de varias variables y colectores diferenciables . Nueva York: Macmillan. págs. 54–88. ISBN 0-02-301840-2.
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• Nijenhuis, Albert (1974). "Derivadas fuertes y mapeos inversos". Amer. Matemáticas. Mensual . 81 (9): 969–980. doi : 10.2307 / 2319298 . hdl : 10338.dmlcz / 102482 .
• Protter, Murray H .; Morrey, Charles B., Jr. (1985). "Transformaciones y jacobianos". Cálculo intermedio (Segunda ed.). Nueva York: Springer. págs. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.
• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos en Matemática Aplicada 13 (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 337–338. ISBN 0-387-00444-0.
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada (Tercera ed.). Nueva York: McGraw-Hill Book. pp.  221 -223.