Barrio (matemáticas) - Neighbourhood (mathematics)

Un conjunto en el plano es un entorno de un punto si un pequeño disco alrededor está contenida en .

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un vecindario (o vecindario ) es uno de los conceptos básicos en un espacio topológico . Está estrechamente relacionado con los conceptos de decorado abierto e interior . Hablando intuitivamente, una vecindad de un punto es un conjunto de puntos que contienen ese punto donde uno puede mover una cantidad en cualquier dirección lejos de ese punto sin salir del conjunto.

Definiciones

Barrio de un punto

Si es un espacio topológico y es un punto en , una vecindad de es un subconjunto de que incluye un conjunto abierto que contiene

Esto también es equivalente al punto que pertenece al interior topológico de en

El barrio tiene por qué no ser un subconjunto abierto pero cuando está abierto en entonces se llama una barrio abierto . Se sabe que algunos autores exigen que los vecindarios estén abiertos, por lo que es importante tener en cuenta las convenciones.

Un rectángulo cerrado no tiene vecindad en ninguna de sus esquinas ni en su límite.

Un conjunto que es una vecindad de cada uno de sus puntos es abierto ya que puede expresarse como la unión de conjuntos abiertos que contienen cada uno de sus puntos. Un rectángulo, como se ilustra en la figura, no es una vecindad de todos sus puntos; los puntos en los bordes o esquinas del rectángulo no están contenidos en ningún conjunto abierto que esté contenido dentro del rectángulo.

La colección de todas las vecindades de un punto se denomina sistema de vecindad en el punto.

Barrio de un conjunto

Si es un subconjunto del espacio topológico, entonces una vecindad de es un conjunto que incluye un conjunto abierto que contiene . De ello se desprende que un conjunto V es un barrio de S si y sólo si se trata de un barrio de todos los puntos en S . Además, V es un barrio de S si y sólo si S es un subconjunto de la interior de V . Un barrio de S que es también un conjunto abierto se llama un entorno abierto de S . La vecindad de un punto es solo un caso especial de esta definición.

En un espacio métrico

Un conjunto en el plano y una vecindad uniforme de .
La vecindad épsilon de un número a en la recta numérica real.

En un espacio métrico , un conjunto es una vecindad de un punto si existe una bola abierta con centro y radio , tal que

está contenido en .

se llama vecindad uniforme de un conjunto si existe un número positivo tal que para todos los elementos de ,

está contenido en .

Para la vecindad de un conjunto es el conjunto de todos los puntos en que están a una distancia menor que desde (o equivalentemente, es la unión de todas las bolas abiertas de radio que están centradas en un punto en ):

De ello se deduce directamente que un barrio-es un barrio uniforme, y que un conjunto es un barrio uniforme si y sólo si contiene un barrio-por algún valor de .

Ejemplos de

El conjunto M es una vecindad del número a, porque hay una vecindad ε de a que es un subconjunto de M.

Dado el conjunto de números reales con la métrica euclidiana habitual y un subconjunto definido como

entonces es una vecindad para el conjunto de números naturales , pero no es una vecindad uniforme de este conjunto.

Topología de barrios

La definición anterior es útil si la noción de conjunto abierto ya está definida. Existe una forma alternativa de definir una topología, definiendo primero el sistema de vecindad y luego los conjuntos abiertos como aquellos conjuntos que contienen una vecindad de cada uno de sus puntos.

Un sistema de vecindad en es la asignación de un filtro de subconjuntos de a cada en , de manera que

  1. el punto es un elemento de cada uno en
  2. cada uno en contiene alguna en tal que para cada en , está en .

Se puede demostrar que ambas definiciones son compatibles, es decir, la topología obtenida del sistema de vecindad definido mediante conjuntos abiertos es la original, y viceversa al partir de un sistema de vecindad.

Barrios uniformes

En un espacio uniforme , se denomina vecindad uniforme de si existe un séquito tal que contiene todos los puntos de los que están cerca de algún punto de ; es decir, para todos .

Barrio eliminado

Un vecindario eliminado de un punto (a veces llamado vecindario perforado ) es un vecindario de , sin . Por ejemplo, el intervalo es una vecindad de en la línea real , por lo que el conjunto es una vecindad eliminada de . Una vecindad eliminada de un punto dado no es de hecho una vecindad del punto. El concepto de vecindad eliminada se da en la definición del límite de una función y en la definición de los puntos límite (entre otras cosas).

Ver también

Referencias