Teorema de la función implícita - Implicit function theorem

En las matemáticas , más específicamente en el cálculo multivariable , el teorema de la función implícita es una herramienta que permite a las relaciones que se convierten en funciones de varias variables reales . Lo hace al representar la relación como la gráfica de una función . Puede que no haya una sola función cuyo gráfico pueda representar la relación completa, pero puede haber una función de este tipo en una restricción del dominio de la relación. El teorema de la función implícita proporciona una condición suficiente para asegurar que existe tal función.

Más precisamente, dado un sistema de m ecuaciones f _i  ( x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _m ) = 0, i = 1, ..., m (a menudo abreviado como F ( x , y ) = 0 ), el teorema establece que, bajo una condición leve en las derivadas parciales (con respecto a y _i s) en un punto, las m variables y _i son funciones diferenciables de x _j en algún vecindario de el punto. Como estas funciones generalmente no se pueden expresar en forma cerrada , están implícitamente definidas por las ecuaciones, y esto motivó el nombre del teorema.

En otras palabras, bajo una condición leve en las derivadas parciales, el conjunto de ceros de un sistema de ecuaciones es localmente la gráfica de una función .

Historia

A Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) se le atribuye la primera forma rigurosa del teorema de la función implícita. Ulisse Dini (1845-1918) generalizó la versión de variable real del teorema de la función implícita al contexto de funciones de cualquier número de variables reales.

Primer ejemplo

El círculo unitario se puede especificar como la curva de nivel f ( x , y ) = 1 de la función f ( x , y ) = x ² + y ² . Alrededor del punto A, y se puede expresar como una función y ( x ) . En este ejemplo, esta función se puede escribir explícitamente ya que en muchos casos no existe tal expresión explícita, pero aún se puede hacer referencia a la función implícita y ( x ) . No existe tal función alrededor del punto B.${\ Displaystyle g_ {1} (x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}};}$

Si definimos la función f ( x , y ) = x ² + y ² , entonces la ecuación f ( x , y ) = 1 corta el círculo unitario como el conjunto de niveles {( x , y ) | f ( x , y ) = 1} . No hay forma de representar el círculo unitario como la gráfica de una función de una variable y = g ( x ) porque para cada opción de x ∈ (−1, 1) , hay dos opciones de y , a saber . ${\ Displaystyle \ pm {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$

Sin embargo, es posible representar parte del círculo como la gráfica de una función de una variable. Si dejamos para −1 ≤ x ≤ 1 , entonces la gráfica de y = g ₁ ( x ) proporciona la mitad superior del círculo. De manera similar, si , entonces la gráfica de y = g ₂ ( x ) da la mitad inferior del círculo. ${\ Displaystyle g_ {1} (x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$${\ Displaystyle g_ {2} (x) = - {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$

El propósito del teorema de la función implícita es decirnos la existencia de funciones como g ₁ ( x ) y g ₂ ( x ) , incluso en situaciones en las que no podemos escribir fórmulas explícitas. Garantiza que g ₁ ( x ) y g ₂ ( x ) son diferenciables, e incluso funciona en situaciones en las que no tenemos una fórmula para f ( x , y ) .

Definiciones

Sea una función continuamente diferenciable . Pensamos en el producto cartesiano y escribimos un punto de este producto como A partir de la función dada f , nuestro objetivo es construir una función cuya gráfica ( x , g ( x )) sea precisamente el conjunto de todos ( x , y ) tal que f ( x , y ) = 0 . ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n + m} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + m}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {m},}$${\ Displaystyle (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, y_ {1}, \ ldots y_ {m}).}$${\ Displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$

Como se señaló anteriormente, esto puede no ser siempre posible. Por tanto, fijaremos un punto ( a , b ) = ( a ₁ , ..., a _n , b ₁ , ..., b _m ) que satisfaga f ( a , b ) = 0 , y pediremos un g que trabaja cerca del punto ( a , b ). En otras palabras, queremos un conjunto abierto que contenga a , un conjunto abierto que contenga b y una función g  : U → V tal que la gráfica de g satisfaga la relación f = 0 en U × V , y que no haya otros puntos dentro de U × V hazlo. En símbolos, ${\ Displaystyle U \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle V \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ Displaystyle \ {(\ mathbf {x}, g (\ mathbf {x})) \ mid \ mathbf {x} \ in U \} = \ {(\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) \ en U \ veces V \ mid f (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = \ mathbf {0} \}.}$

Para enunciar el teorema de la función implícita, necesitamos la matriz jacobiana de f , que es la matriz de las derivadas parciales de f . Abreviando ( a ₁ , ..., a _n , b ₁ , ..., b _m ) a ( a , b ), la matriz jacobiana es

${\ Displaystyle (Df) (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) = \ left [{\ begin {matrix} {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {1}}} ( \ mathbf {a}, \ mathbf {b}) & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {n}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \ \\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial f_ {m}} {\ partial x_ {1}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) & \ cdots & {\ frac {\ parcial f_ {m}} {\ parcial x_ {n}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \ end {matriz}} \ derecha | \ izquierda. {\ begin {matriz} { \ frac {\ parcial f_ {1}} {\ parcial y_ {1}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) & \ cdots & {\ frac {\ parcial f_ {1}} {\ parcial y_ {m}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ parcial f_ {m}} {\ parcial y_ {1}} } (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {m}} {\ partial y_ {m}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b} ) \\\ end {matriz}} \ right] = [X | Y]}$

donde X es la matriz de derivadas parciales en las variables x _i e Y es la matriz de derivadas parciales en las variables y _j . El teorema de la función implícita dice que si Y es una matriz invertible, entonces existen U , V y g como se desea. Escribir todas las hipótesis juntas da la siguiente declaración.

Declaración del teorema

Sea una función continuamente diferenciable , y tengamos coordenadas ( x , y ). Fije un punto ( a , b ) = ( a ₁ ,…, a _n , b ₁ ,…, b _m ) con f ( a , b ) = 0 , donde es el vector cero. Si la matriz jacobiana (este es el panel de la derecha de la matriz jacobiana que se muestra en la sección anterior): ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n + m} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + m}}$${\ Displaystyle \ mathbf {0} \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ Displaystyle J_ {f, \ mathbf {y}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) = \ left [{\ frac {\ parcial f_ {i}} {\ parcial y_ {j}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \ derecha]}$

es invertible , entonces existe un conjunto abierto que contiene un tal que existe una función continuamente diferenciable único de tal manera que , y .${\ Displaystyle U \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle g: U \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle g (\ mathbf {a}) = \ mathbf {b}}$${\ displaystyle f (\ mathbf {x}, g (\ mathbf {x})) = \ mathbf {0} ~ {\ text {para todos}} ~ \ mathbf {x} \ in U}$

Además, las derivadas parciales de g en U vienen dadas por el producto de la matriz :${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial g} {\ parcial x_ {j}}} (\ mathbf {x}) = - \ left [J_ {f, \ mathbf {y}} (\ mathbf {x}, g (\ mathbf {x})) \ right] _ {m \ times m} ^ {- 1} \ left [{\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {j}}} (\ mathbf {x}, g (\ mathbf {x})) \ right] _ {m \ times 1}}$

Derivadas superiores

Si, por otra parte, f es analíticas o continuamente diferenciables k veces en un entorno de ( un , b ), entonces se puede elegir U con el fin de que el mismo es cierto para g dentro de U . En el caso analítico, esto se denomina teorema de la función implícita analítica .

Prueba para caso 2D

Supongamos que es una función continuamente diferenciable que define una curva . Sea un punto en la curva. El enunciado del teorema anterior se puede reescribir para este caso simple de la siguiente manera: ${\ Displaystyle F: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle F (\ mathbf {r}) = F (x, y) = 0}$${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$

Si

${\ estilo de visualización \ izquierda. {\ frac {\ parcial F} {\ parcial y}} \ derecha | _ {(x_ {0}, y_ {0})} \ neq 0}$

luego para la curva alrededor podemos escribir , donde es una función real.${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$${\ Displaystyle y = f (x)}$${\ Displaystyle f}$

Prueba. Como F es derivable, escribimos el diferencial de F mediante derivadas parciales:

${\ Displaystyle \ mathrm {d} F = \ operatorname {grad} F \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} = {\ frac {\ parcial F} {\ parcial x}} \ mathrm {d} x + { \ frac {\ parcial F} {\ parcial y}} \ mathrm {d} y.}$

Dado que estamos restringidos al movimiento en la curva y por suposición alrededor del punto (ya que es continuo en y ). Por tanto, tenemos una ecuación diferencial ordinaria de primer orden : ${\ Displaystyle \ mathrm {d} F = 0}$${\ Displaystyle {\ tfrac {\ parcial F} {\ parcial y}} \ neq 0}$${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$${\ Displaystyle {\ tfrac {\ parcial F} {\ parcial y}}}$${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$${\ estilo de visualización \ izquierda. {\ tfrac {\ F parcial} {\ y parcial}} \ derecha | _ {(x_ {0}, y_ {0})} \ neq 0}$

${\ estilo de visualización \ parcial _ {x} F \ mathrm {d} x + \ parcial _ {y} F \ mathrm {d} y = 0, \ quad y (x_ {0}) = y_ {0}}$

Ahora estamos buscando una solución a esta EDO en un intervalo abierto alrededor del punto para el cual, en cada punto de la misma ,. Dado que F es continuamente diferenciable y de la suposición tenemos ${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$${\ estilo de visualización \ parcial _ {y} F \ neq 0}$

${\ Displaystyle | \ partial _ {x} F | <\ infty, | \ partial _ {y} F | <\ infty, \ partial _ {y} F \ neq 0.}$

De esto sabemos que es continuo y acotado en ambos extremos. A partir de aquí sabemos que Lipschitz es continuo tanto en x como en y . Por lo tanto, según el teorema de Cauchy-Lipschitz , existe una única y ( x ) que es la solución a la EDO dada con las condiciones iniciales. ∎${\ displaystyle {\ tfrac {\ partial _ {x} F} {\ partial _ {y} F}}}$${\ Displaystyle - {\ tfrac {\ partial _ {x} F} {\ partial _ {y} F}}}$

El ejemplo del círculo

Volvamos al ejemplo del círculo unitario . En este caso n = m = 1 y . La matriz de derivadas parciales es solo una matriz de 1 × 2, dada por ${\ Displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2} -1}$

${\ displaystyle (Df) (a, b) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial f} {\ partial x}} (a, b) & {\ dfrac {\ partial f} {\ partial y }} (a, b) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 2a & 2b \ end {bmatrix}}}$

Por lo tanto, aquí, la Y en el enunciado del teorema es simplemente el número 2 b ; el mapa lineal definido por él es invertible si y solo si b ≠ 0. Mediante el teorema de la función implícita vemos que podemos escribir localmente el círculo en la forma y = g ( x ) para todos los puntos donde y ≠ 0. Para (± 1, 0) nos metemos en problemas, como se señaló anteriormente. El teorema de la función implícita todavía se puede aplicar a estos dos puntos, escribiendo x como una función de y , es decir ,; ahora la gráfica de la función será , ya que donde b = 0 tenemos a = 1, y se cumplen las condiciones para expresar localmente la función en esta forma. ${\ Displaystyle x = h (y)}$${\ Displaystyle \ left (h (y), y \ right)}$

La derivada implícita de y con respecto a x , y la de x con respecto a y , se puede encontrar diferenciando totalmente la función implícita e igualando a 0: ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1}$

${\ Displaystyle 2x \, dx + 2y \, dy = 0,}$

donación

${\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - {\ frac {x} {y}}}$

y

${\ Displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = - {\ frac {y} {x}}.}$

Aplicación: cambio de coordenadas

Supongamos que tenemos un espacio m -dimensional, parametrizado por un conjunto de coordenadas . Podemos introducir un nuevo sistema de coordenadas proporcionando m funciones, cada una de las cuales es continuamente diferenciable. Estas funciones nos permiten calcular las nuevas coordenadas de un punto, dadas las antiguas coordenadas del punto usando . Uno podría querer verificar si es posible lo contrario: dadas las coordenadas , ¿podemos 'retroceder' y calcular las coordenadas originales del mismo punto ? El teorema de la función implícita proporcionará una respuesta a esta pregunta. Las coordenadas (nuevas y antiguas) están relacionadas por f = 0, con ${\ Displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$${\ Displaystyle (x '_ {1}, \ ldots, x' _ {m})}$${\ Displaystyle h_ {1} \ ldots h_ {m}}$${\ Displaystyle (x '_ {1}, \ ldots, x' _ {m})}$${\ Displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$${\ Displaystyle x '_ {1} = h_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {m}), \ ldots, x' _ {m} = h_ {m} (x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$${\ Displaystyle (x '_ {1}, \ ldots, x' _ {m})}$${\ Displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$${\ Displaystyle (x '_ {1}, \ ldots, x' _ {m}, x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$

${\ Displaystyle f (x '_ {1}, \ ldots, x' _ {m}, x_ {1}, \ ldots, x_ {m}) = (h_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {m}) - x '_ {1}, \ ldots, h_ {m} (x_ {1}, \ ldots, x_ {m}) - x' _ {m}).}$

Ahora la matriz jacobiana de f en un cierto punto ( a , b ) [donde ] está dada por ${\ Displaystyle a = (x '_ {1}, \ ldots, x' _ {m}), b = (x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$

${\ displaystyle (Df) (a, b) = \ left [{\ begin {matrix} -1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & -1 \ end {matrix}} \ left | {\ begin {matrix} {\ frac {\ parcial h_ {1}} {\ parcial x_ {1}}} (b) y \ cdots & {\ frac {\ parcial h_ {1}} {\ parcial x_ {m}}} (b) \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial h_ {m}} {\ partial x_ {1}}} (b) & \ cdots & {\ frac {\ parcial h_ {m}} {\ parcial x_ {m}}} (b) \\\ end {matriz}} \ derecha. \ derecha] = [- I_ {m} | J].}$

donde I _m denota la matriz identidad m × m , y J es la matriz m × m de derivadas parciales, evaluadas en ( a , b ). (En lo anterior, estos bloques fueron denotados por X e Y. Da la casualidad de que en esta aplicación particular del teorema, ninguna matriz depende de a .) El teorema de la función implícita ahora establece que podemos expresar localmente como una función de si J es invertible. Exigir que J sea ​​invertible es equivalente a det J ≠ 0, por lo que vemos que podemos volver de las coordenadas primarias a las no primarias si el determinante del jacobiano J es distinto de cero. Esta declaración también se conoce como el teorema de la función inversa . ${\ Displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$${\ Displaystyle (x '_ {1}, \ ldots, x' _ {m})}$

Ejemplo: coordenadas polares

Como una simple aplicación de lo anterior, considere el plano, parametrizado por coordenadas polares ( R , θ). Podemos ir a un nuevo sistema de coordenadas ( coordenadas cartesianas ) definiendo las funciones x ( R , θ) = R cos (θ) e y ( R , θ) = R sin (θ). Esto hace posible, dado cualquier punto ( R , θ), encontrar las coordenadas cartesianas correspondientes ( x , y ). ¿Cuándo podemos volver atrás y convertir coordenadas cartesianas en polares? Por el ejemplo anterior, es suficiente tener det J ≠ 0, con

${\ Displaystyle J = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ Partical x (R, \ theta)} {\ Particular R}} & {\ frac {\ Particular x (R, \ theta)} {\ Particular \ theta}} \\ {\ frac {\ y parcial (R, \ theta)} {\ R} parcial & {\ frac {\ y (R, \ theta)} {\ parcial \ theta}} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & -R \ sin \ theta \\\ sin \ theta & R \ cos \ theta \ end {bmatrix}}.}$

Dado que det J = R , la conversión de nuevo a coordenadas polares es posible si R ≠ 0. Por lo tanto, queda verificar el caso R = 0. Es fácil ver que en el caso R = 0, nuestra transformación de coordenadas no es invertible: en el origen, el valor de θ no está bien definido.

Generalizaciones

Versión banach space

Con base en el teorema de la función inversa en los espacios de Banach , es posible extender el teorema de la función implícita a las asignaciones valoradas en el espacio de Banach.

Deje que X , Y , Z sea espacios de Banach . Sea el mapeo f  : X × Y → Z continuamente diferenciable de Fréchet . Si , y es un espacio isomorfismo Banach de Y a Z , entonces existen barrios U de x ₀ y V de y ₀ y un Fréchet diferenciable función g  : U → V tal que f ( x , g ( x )) = 0 y f ( x , y ) = 0 si y solo si y = g ( x ), para todos . ${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ in X \ times Y}$${\ Displaystyle f (x_ {0}, y_ {0}) = 0}$${\ Displaystyle y \ mapsto Df (x_ {0}, y_ {0}) (0, y)}$${\ Displaystyle (x, y) \ in U \ times V}$

Funciones implícitas de funciones no diferenciables

Existen varias formas del teorema de la función implícita para el caso en que la función f no es diferenciable. Es estándar que la monotonicidad estricta local es suficiente en una dimensión. La siguiente forma más general fue probada por Kumagai basándose en una observación de Jittorntrum.

Considere una función continua tal que . Existen vecindarios abiertos y de x ₀ e y ₀ , respectivamente, de modo que, para todo y en B , es localmente uno a uno si y solo si existen vecindarios abiertos y de x ₀ y y ₀ , de manera que, para todos , la ecuación f ( x , y ) = 0 tiene una solución única ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle f (x_ {0}, y_ {0}) = 0}$${\ Displaystyle A \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle B \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle f (\ cdot, y): A \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle A_ {0} \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle B_ {0} \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle y \ in B_ {0}}$

${\ Displaystyle x = g (y) \ in A_ {0},}$

donde g es una función continua de B ₀ en A ₀ .

Ver también

• Teorema de la función inversa
• Teorema de rango constante : tanto el teorema de la función implícita como el teorema de la función inversa pueden verse como casos especiales del teorema de rango constante.

Notas

Referencias

Otras lecturas

• Allendoerfer, Carl B. (1974). "Teoremas sobre funciones diferenciables". Cálculo de varias variables y colectores diferenciables . Nueva York: Macmillan. págs. 54–88. ISBN 0-02-301840-2.
• Binmore, KG (1983). "Funciones implícitas" . Cálculo . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 198-211. ISBN 0-521-28952-1.
• Loomis, Lynn H .; Sternberg, Shlomo (1990). Cálculo avanzado (Ed. Revisada). Boston: Jones y Bartlett. págs.  164-171 . ISBN 0-86720-122-3.
• Protter, Murray H .; Morrey, Charles B. Jr. (1985). "Teoremas de la función implícita. Jacobianos" . Cálculo intermedio (2ª ed.). Nueva York: Springer. págs. 390–420. ISBN 0-387-96058-9.