Propiedad local - Local property

En matemáticas , se dice que un objeto matemático satisface una propiedad localmente , si la propiedad se satisface en algunas porciones limitadas e inmediatas del objeto (por ejemplo, en algunas vecindades de puntos suficientemente pequeñas o arbitrariamente pequeñas ).

Propiedades de un punto en una función

Quizás el ejemplo más conocido de la idea de localidad radica en el concepto de mínimo local (o máximo local ), que es un punto en una función cuyo valor funcional es el más pequeño (resp., El más grande) dentro de una vecindad inmediata de puntos. Esto debe contrastarse con la idea de mínimo global (o máximo global), que corresponde al mínimo (resp., Máximo) de la función en todo su dominio.

Propiedades de un solo espacio

A veces se dice que un espacio topológico exhibe una propiedad localmente , si la propiedad se exhibe "cerca" de cada punto de una de las siguientes maneras:

1. Cada punto tiene un barrio que exhibe la propiedad;
2. Cada punto tiene una base vecinal de conjuntos que exhiben la propiedad.

Aquí, tenga en cuenta que la condición (2) es en su mayor parte más fuerte que la condición (1), y que se debe tener especial cuidado para distinguir entre las dos. Por ejemplo, puede surgir alguna variación en la definición de localmente compacto como resultado de las diferentes elecciones de estas condiciones.

Ejemplos

• Espacios topológicos localmente compactos
• Espacios topológicos localmente conectados y localmente conectados por caminos
• Localmente Hausdorff , Localmente regular , Localmente normal, etc.
• Localmente metrizable

Propiedades de un par de espacios

Dada alguna noción de equivalencia (por ejemplo, homeomorfismo , difeomorfismo , isometría ) entre espacios topológicos , se dice que dos espacios son localmente equivalentes si cada punto del primer espacio tiene una vecindad que es equivalente a una vecindad del segundo espacio.

Por ejemplo, el círculo y la línea son objetos muy diferentes. No se puede estirar el círculo para que se parezca a la línea, ni comprimir la línea para que encaje en el círculo sin espacios ni superposiciones. Sin embargo, una pequeña parte del círculo se puede estirar y aplanar para que parezca una pequeña parte de la línea. Por esta razón, se puede decir que el círculo y la línea son localmente equivalentes.

De manera similar, la esfera y el plano son localmente equivalentes. Un observador lo suficientemente pequeño parado en la superficie de una esfera (por ejemplo, una persona y la Tierra) la encontraría indistinguible de un avión.

Propiedades de grupos infinitos

Para un grupo infinito , una "vecindad pequeña" se toma como un subgrupo generado finitamente . Un grupo infinito se dice que es localmente P si cada subgrupo generado finitamente es P . Por ejemplo, un grupo es localmente finito si cada subgrupo finamente generado es finito, y un grupo es localmente soluble si cada subgrupo finamente generado es soluble .

Propiedades de grupos finitos

Para grupos finitos , una "vecindad pequeña" se toma como un subgrupo definido en términos de un número primo p , generalmente los subgrupos locales , los normalizadores de los p -subgrupos no triviales . En cuyo caso, se dice que una propiedad es local si puede detectarse en los subgrupos locales. Las propiedades globales y locales formaron una parte significativa del trabajo inicial sobre la clasificación de grupos finitos simples , que se llevó a cabo durante la década de 1960.

Propiedades de los anillos conmutativos

Para los anillos conmutativos, las ideas de geometría algebraica hacen que sea natural tomar una "vecindad pequeña" de un anillo como localización en un ideal primo . En cuyo caso, se dice que una propiedad es local si se puede detectar desde los anillos locales . Por ejemplo, ser un módulo plano sobre un anillo conmutativo es una propiedad local, pero ser un módulo libre no lo es. Para obtener más información, consulte Localización de un módulo .

Ver también

• Conectividad de ruta local

Referencias