esfera -Sphere

Esfera
Estructura alámbrica de esfera 10deg 6r.svg
Escribe Superficie lisa Superficie
algebraica
Euler char. 2
grupo de simetría O(3)
Área de superficie 4πr 2
Volumen 4/3πr 3

Una esfera (del griego antiguo σφαῖρα ( sphaîra )  'globo, bola') es un objeto geométrico que es un análogo tridimensional de un círculo bidimensional . Una esfera es el conjunto de puntos que están todos a la misma distancia r de un punto dado en el espacio tridimensional. Ese punto dado es el centro de la esfera, y r es el radio de la esfera. Las primeras menciones conocidas de esferas aparecen en el trabajo de los antiguos matemáticos griegos .

La esfera es un objeto fundamental en muchos campos de las matemáticas . Las esferas y las formas casi esféricas también aparecen en la naturaleza y la industria. Las burbujas , como las pompas de jabón, adoptan una forma esférica en equilibrio. La Tierra se aproxima a menudo como una esfera en geografía , y la esfera celeste es un concepto importante en astronomía . Los artículos manufacturados, incluidos los recipientes a presión y la mayoría de los espejos y lentes curvos, se basan en esferas. Las esferas ruedan suavemente en cualquier dirección, por lo que la mayoría de las pelotas que se usan en deportes y juguetes son esféricas, al igual que los cojinetes de bolas .

Terminología básica

Dos radios ortogonales de una esfera.

Como se mencionó anteriormente , r es el radio de la esfera; cualquier línea desde el centro hasta un punto en la esfera también se llama radio.

Si un radio se extiende a través del centro hacia el lado opuesto de la esfera, crea un diámetro . Al igual que el radio, la longitud de un diámetro también se denomina diámetro y se denota como d . Los diámetros son los segmentos de recta más largos que se pueden trazar entre dos puntos de la esfera: su longitud es el doble del radio, d = 2 r . Dos puntos de la esfera conectados por un diámetro son puntos antípodas entre sí.

Una esfera unitaria es una esfera con radio unitario ( r =1). Por conveniencia, a menudo se considera que las esferas tienen su centro en el origen del sistema de coordenadas, y las esferas en este artículo tienen su centro en el origen a menos que se mencione un centro.

Un gran círculo en la esfera tiene el mismo centro y radio que la esfera y la divide en dos hemisferios iguales .

Aunque la Tierra no es perfectamente esférica, los términos tomados de la geografía son convenientes para aplicarlos a la esfera. Si un punto particular de una esfera se designa (arbitrariamente) como su polo norte , su punto antípoda se llama polo sur . El gran círculo equidistante a cada uno es entonces el ecuador . Los grandes círculos que pasan por los polos se denominan líneas de longitud o meridianos . Una línea que conecta los dos polos puede llamarse eje de rotación . Los pequeños círculos en la esfera que son paralelos al ecuador son líneas de latitud . En geometría no relacionada con los cuerpos astronómicos, la terminología geocéntrica debe usarse solo para ilustración y señalarse como tal, a menos que no haya posibilidad de malentendidos.

Los matemáticos consideran que una esfera es una superficie cerrada bidimensional incrustada en un espacio euclidiano tridimensional . Se distinguen una esfera y una bola , que es una variedad tridimensional con un límite que incluye el volumen contenido por la esfera. Una bola abierta excluye a la esfera misma, mientras que una bola cerrada incluye a la esfera: una bola cerrada es la unión de la bola abierta y la esfera, y una esfera es el límite de una bola (cerrada o abierta). La distinción entre bola y esfera no siempre se ha mantenido y, especialmente, las referencias matemáticas más antiguas hablan de una esfera como un sólido. La distinción entre " círculo " y " disco " en el plano es similar.

Las pequeñas esferas a veces se denominan esférulas, por ejemplo, en esférulas marcianas .

ecuaciones

En geometría analítica , una esfera con centro ( x 0 , y 0 , z 0 ) y radio r es el lugar geométrico de todos los puntos ( x , y , z ) tales que

Dado que se puede expresar como un polinomio cuadrático, una esfera es una superficie cuadrática , un tipo de superficie algebraica .

Sean a, b, c, d, e números reales con a ≠ 0 y ponga

Entonces la ecuación

no tiene puntos reales como soluciones si y se llama la ecuación de una esfera imaginaria . Si , la única solución de es el punto y la ecuación se dice que es la ecuación de un punto esfera . Finalmente, en el caso , es una ecuación de una esfera cuyo centro es y cuyo radio es .

Si a en la ecuación anterior es cero, entonces f ( x , y , z ) = 0 es la ecuación de un plano. Por lo tanto, se puede pensar en un plano como una esfera de radio infinito cuyo centro es un punto en el infinito .

Paramétrico

Una ecuación paramétrica para la esfera con radio y centro se puede parametrizar usando funciones trigonométricas .

Los símbolos usados ​​aquí son los mismos que los usados ​​en coordenadas esféricas . r es constante, mientras que θ varía de 0 a π y varía de 0 a 2 π .

Propiedades

Volumen cerrado

Esfera y cilindro circunscrito

En tres dimensiones, el volumen dentro de una esfera (es decir, el volumen de una pelota , pero clásicamente denominado volumen de una esfera) es

donde r es el radio y d es el diámetro de la esfera. Arquímedes primero derivó esta fórmula mostrando que el volumen dentro de una esfera es el doble del volumen entre la esfera y el cilindro circunscrito de esa esfera (que tiene la altura y el diámetro iguales al diámetro de la esfera). Esto se puede demostrar inscribiendo un cono al revés en una semiesfera, observando que el área de la sección transversal del cono más el área de la sección transversal de la esfera es igual al área de la sección transversal del cilindro circunscrito. , y aplicando el principio de Cavalieri . Esta fórmula también se puede derivar usando cálculo integral , es decir , integración de disco para sumar los volúmenes de un número infinito de discos circulares de espesor infinitesimalmente pequeño apilados uno al lado del otro y centrados a lo largo del eje x desde x =r hasta x = r , asumiendo la esfera de radio r está centrada en el origen.

Prueba del volumen de la esfera, usando cálculo

En cualquier x dado , el volumen incremental ( δV ) es igual al producto del área de la sección transversal del disco en x y su espesor ( δx ):

El volumen total es la suma de todos los volúmenes incrementales:

En el límite cuando δx tiende a cero, esta ecuación se convierte en:

En cualquier x dada , un triángulo rectángulo conecta x , y y r con el origen; por lo tanto, aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene:

El uso de esta sustitución da

que se puede evaluar para dar el resultado

Se encuentra una fórmula alternativa usando coordenadas esféricas , con elemento de volumen

asi que

Para la mayoría de los propósitos prácticos, el volumen dentro de una esfera inscrita en un cubo se puede aproximar al 52,4% del volumen del cubo, ya que V =π/6 d 3 , donde d es el diámetro de la esfera y también la longitud de un lado del cubo yπ/6 ≈ 0,5236. Por ejemplo, una esfera con un diámetro de 1  m tiene el 52,4 % del volumen de un cubo con una longitud de arista de 1  m, o alrededor de 0,524 m 3 .

Área de superficie

El área superficial de una esfera de radio r es:

Arquímedes primero derivó esta fórmula del hecho de que la proyección a la superficie lateral de un cilindro circunscrito conserva el área. Otro enfoque para obtener la fórmula proviene del hecho de que es igual a la derivada de la fórmula del volumen con respecto a r porque el volumen total dentro de una esfera de radio r puede considerarse como la suma del área de superficie de un número infinito de capas esféricas de espesor infinitesimal apiladas concéntricamente una dentro de otra desde el radio 0 hasta el radio r . Con un espesor infinitesimal, la discrepancia entre el área superficial interna y externa de cualquier capa es infinitesimal, y el volumen elemental en el radio r es simplemente el producto del área superficial en el radio r y el espesor infinitesimal.

Prueba de área de superficie, usando cálculo

En cualquier radio dado r , el volumen incremental ( δV ) es igual al producto del área superficial en el radio r ( A ( r ) ) y el espesor de una capa ( δr ):

El volumen total es la suma de todos los volúmenes de la cáscara:

En el límite cuando δr tiende a cero esta ecuación se convierte en:

Sustituir V :

Derivando ambos lados de esta ecuación con respecto a r se obtiene A en función de r :

Esto generalmente se abrevia como:

donde ahora se considera que r es el radio fijo de la esfera.

Alternativamente, el elemento de área en la esfera está dado en coordenadas esféricas por dA = r 2 sen θ dθ dφ . En coordenadas cartesianas , el elemento de área es

El área total se puede obtener por integración :

La esfera tiene el área superficial más pequeña de todas las superficies que encierran un volumen dado, y encierra el volumen más grande entre todas las superficies cerradas con un área superficial dada. Por lo tanto, la esfera aparece en la naturaleza: por ejemplo, las burbujas y las pequeñas gotas de agua son aproximadamente esféricas porque la tensión superficial minimiza localmente el área superficial.

El área de superficie relativa a la masa de una pelota se denomina área de superficie específica y se puede expresar a partir de las ecuaciones anteriores como

donde ρ es la densidad (la relación de masa a volumen).

Otras propiedades geométricas

Una esfera puede construirse como la superficie formada por la rotación de un círculo alrededor de cualquiera de sus diámetros ; esta es esencialmente la definición tradicional de una esfera como se da en los Elementos de Euclides . Dado que un círculo es un tipo especial de elipse , una esfera es un tipo especial de elipsoide de revolución . Reemplazando el círculo con una elipse girada sobre su eje mayor , la forma se convierte en un esferoide alargado ; girado sobre el eje menor, un esferoide achatado.

Una esfera está determinada únicamente por cuatro puntos que no son coplanares . De manera más general, una esfera está determinada de manera única por cuatro condiciones, como pasar por un punto, ser tangente a un plano, etc. Esta propiedad es análoga a la propiedad de que tres puntos no colineales determinan un círculo único en un plano.

En consecuencia, una esfera está determinada únicamente por (es decir, pasa a través de) un círculo y un punto que no está en el plano de ese círculo.

Al examinar las soluciones comunes de las ecuaciones de dos esferas , se puede ver que dos esferas se cortan en un círculo y el plano que contiene ese círculo se llama plano radical de las esferas que se cortan. Aunque el plano radical es un plano real, la circunferencia puede ser imaginaria (las esferas no tienen ningún punto real en común) o estar formada por un solo punto (las esferas son tangentes en ese punto).

El ángulo entre dos esferas en un punto real de intersección es el ángulo diedro determinado por los planos tangentes a las esferas en ese punto. Dos esferas se cortan en el mismo ángulo en todos los puntos de su círculo de intersección. Se cortan en ángulo recto (son ortogonales ) si y solo si el cuadrado de la distancia entre sus centros es igual a la suma de los cuadrados de sus radios.

Lápiz de esferas

Si f ( x , y , z ) = 0 y g ( x , y , z ) = 0 son las ecuaciones de dos esferas distintas entonces

es también la ecuación de una esfera para valores arbitrarios de los parámetros s y t . El conjunto de todas las esferas que satisfacen esta ecuación se llama lápiz de esferas determinado por las dos esferas originales. En esta definición, se permite que una esfera sea un plano (radio infinito, centro en el infinito) y si ambas esferas originales son planas, entonces todas las esferas del lápiz son planas, de lo contrario, solo hay un plano (el plano radical) en el lápiz.

Once propiedades de la esfera

Un vector normal a una esfera, un plano normal y su sección normal. La curvatura de la curva de intersección es la curvatura seccional. Para la esfera cada sección normal por un punto dado será una circunferencia del mismo radio: el radio de la esfera. Esto significa que cada punto de la esfera será un punto umbilical.

En su libro Geometry and the Imagination , David Hilbert y Stephan Cohn-Vossen describen once propiedades de la esfera y discuten si estas propiedades determinan de manera única la esfera. Varias propiedades son válidas para el plano , que se puede considerar como una esfera con radio infinito. Estas propiedades son:

  1. Los puntos de la esfera están todos a la misma distancia de un punto fijo. Además, la razón de la distancia de sus puntos a dos puntos fijos es constante.
    La primera parte es la definición habitual de la esfera y la determina de manera única. La segunda parte se puede deducir fácilmente y sigue un resultado similar de Apolonio de Perge para el círculo . Esta segunda parte también vale para el avión .
  2. Los contornos y las secciones planas de la esfera son círculos.
    Esta propiedad define la esfera de forma única.
  3. La esfera tiene ancho constante y perímetro constante.
    El ancho de una superficie es la distancia entre pares de planos tangentes paralelos. Muchas otras superficies convexas cerradas tienen un ancho constante, por ejemplo, el cuerpo de Meissner . La circunferencia de una superficie es la circunferencia del límite de su proyección ortogonal sobre un plano. Cada una de estas propiedades implica la otra.
  4. Todos los puntos de una esfera son umbilicales .
    En cualquier punto de una superficie, una dirección normal está en ángulo recto con la superficie porque en la esfera estas son las líneas que irradian desde el centro de la esfera. La intersección de un plano que contiene la normal con la superficie formará una curva que se llama sección normal, y la curvatura de esta curva es la curvatura normal . Para la mayoría de los puntos en la mayoría de las superficies, diferentes secciones tendrán diferentes curvaturas; los valores máximo y mínimo de estos se denominan curvaturas principales . Cualquier superficie cerrada tendrá al menos cuatro puntos llamados puntos umbilicales . En un cordón umbilical, todas las curvaturas de sección son iguales; en particular, las curvaturas principales son iguales. Los puntos umbilicales se pueden considerar como los puntos donde la superficie se aproxima mucho a una esfera.
    Para la esfera, las curvaturas de todas las secciones normales son iguales, por lo que cada punto es un ombligo. La esfera y el plano son las únicas superficies con esta propiedad.
  5. La esfera no tiene una superficie de centros.
    Para una sección normal dada existe un círculo de curvatura que es igual a la curvatura de la sección, es tangente a la superficie y cuyas líneas centrales se encuentran a lo largo de la línea normal. Por ejemplo, los dos centros correspondientes a las curvaturas seccionales máxima y mínima se denominan puntos focales , y el conjunto de todos estos centros forma la superficie focal .
    Para la mayoría de las superficies, la superficie focal forma dos hojas que son cada una una superficie y se encuentran en puntos umbilicales. Varios casos son especiales:
    * Para superficies de canal, una hoja forma una curva y la otra hoja es una superficie
    * Para conos , cilindros, toros y cíclidos ambas láminas forman curvas.
    * Para la esfera, el centro de cada círculo osculador está en el centro de la esfera y la superficie focal forma un solo punto. Esta propiedad es exclusiva de la esfera.
  6. Todas las geodésicas de la esfera son curvas cerradas.
    Las geodésicas son curvas en una superficie que dan la distancia más corta entre dos puntos. Son una generalización del concepto de línea recta en el plano. Para la esfera las geodésicas son círculos máximos. Muchas otras superficies comparten esta propiedad.
  7. De todos los sólidos que tienen un volumen dado, la esfera es la de menor área superficial; de todos los sólidos que tienen un área superficial dada, la esfera es la que tiene el mayor volumen.
    Se sigue de la desigualdad isoperimétrica . Estas propiedades definen la esfera de manera única y se pueden ver en las pompas de jabón : una pompa de jabón encierra un volumen fijo y la tensión superficial minimiza su área superficial para ese volumen. Por lo tanto, una burbuja de jabón que flota libremente se aproxima a una esfera (aunque fuerzas externas como la gravedad distorsionarán ligeramente la forma de la burbuja). También se puede ver en planetas y estrellas donde la gravedad minimiza el área de superficie de grandes cuerpos celestes.
  8. La esfera tiene la curvatura media total más pequeña entre todos los sólidos convexos con un área de superficie dada.
    La curvatura media es el promedio de las dos curvaturas principales, que es constante porque las dos curvaturas principales son constantes en todos los puntos de la esfera.
  9. La esfera tiene una curvatura media constante.
    La esfera es la única superficie incrustada que carece de límite o singularidades con curvatura media positiva constante. Otras superficies sumergidas, como las superficies mínimas, tienen una curvatura media constante.
  10. La esfera tiene una curvatura gaussiana positiva constante.
    La curvatura gaussiana es el producto de las dos curvaturas principales. Es una propiedad intrínseca que se puede determinar midiendo la longitud y los ángulos y es independiente de cómo se incrusta la superficie en el espacio. Por lo tanto, doblar una superficie no alterará la curvatura gaussiana, y se pueden obtener otras superficies con curvatura gaussiana positiva constante cortando una pequeña hendidura en la esfera y doblándola. Todas estas otras superficies tendrían límites, y la esfera es la única superficie que carece de un límite con una curvatura gaussiana positiva y constante. La pseudoesfera es un ejemplo de una superficie con curvatura gaussiana negativa constante.
  11. La esfera se transforma en sí misma mediante una familia de tres parámetros de movimientos rígidos.
    Rotar alrededor de cualquier eje una esfera unitaria en el origen mapeará la esfera sobre sí misma. Cualquier rotación alrededor de una línea que pasa por el origen se puede expresar como una combinación de rotaciones alrededor del eje de tres coordenadas (ver ángulos de Euler ). Por lo tanto, existe una familia de rotaciones de tres parámetros tal que cada rotación transforma la esfera sobre sí misma; esta familia es el grupo de rotación SO(3) . El plano es la única otra superficie con una familia de transformaciones de tres parámetros (traslaciones a lo largo de los ejes x e y y rotaciones alrededor del origen). Los cilindros circulares son las únicas superficies con familias de dos parámetros de movimientos rígidos y las superficies de revolución y helicoidales son las únicas superficies con una familia de un parámetro.

Tratamiento por área de matemáticas

geometría esférica

Gran círculo en una esfera

Los elementos básicos de la geometría del plano euclidiano son puntos y líneas . En la esfera, los puntos se definen en el sentido habitual. El análogo de la "línea" es la geodésica , que es un gran círculo ; la característica definitoria de un gran círculo es que el plano que contiene todos sus puntos también pasa por el centro de la esfera. Medir por longitud de arco muestra que el camino más corto entre dos puntos que se encuentran en la esfera es el segmento más corto del gran círculo que incluye los puntos.

Muchos teoremas de la geometría clásica también son válidos para la geometría esférica, pero no todos lo son porque la esfera no cumple algunos de los postulados de la geometría clásica , incluido el postulado de las paralelas . En trigonometría esférica , los ángulos se definen entre grandes círculos. La trigonometría esférica difiere de la trigonometría ordinaria en muchos aspectos. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico siempre supera los 180 grados. Además, dos triángulos esféricos semejantes cualesquiera son congruentes.

Cualquier par de puntos de una esfera que se encuentran en línea recta a través del centro de la esfera (es decir, el diámetro) se denominan puntos antípodas ; en la esfera, la distancia entre ellos es exactamente la mitad de la longitud de la circunferencia. Cualquier otro par (es decir, no antípoda) de puntos distintos en una esfera

  • yacen en un gran círculo único,
  • segmentarlo en un arco menor (es decir, más corto) y uno mayor (es decir, más largo) , y
  • hacer que la longitud del arco menor sea la distancia más corta entre ellos en la esfera.

La geometría esférica es una forma de geometría elíptica , que junto con la geometría hiperbólica forma la geometría no euclidiana .

Geometría diferencial

La esfera es una superficie lisa con curvatura gaussiana constante en cada punto igual a 1/ r 2 . Según el Teorema Egregium de Gauss , esta curvatura es independiente de la incrustación de la esfera en el espacio tridimensional. También siguiendo a Gauss, una esfera no se puede mapear a un plano mientras se mantienen áreas y ángulos. Por lo tanto, cualquier proyección cartográfica introduce algún tipo de distorsión.

Una esfera de radio r tiene un elemento de área . Esto se puede encontrar a partir del elemento de volumen en coordenadas esféricas con r constante.

Una esfera de cualquier radio con centro en cero es una superficie integral de la siguiente forma diferencial :

Esta ecuación refleja que el vector de posición y el plano tangente en un punto siempre son ortogonales entre sí. Además, el vector normal que mira hacia afuera es igual al vector de posición escalado por 1/r .

En la geometría de Riemann , la conjetura del área de relleno establece que el hemisferio es el relleno isométrico óptimo (área mínima) del círculo de Riemann .

Topología

En topología , una n -esfera se define como un espacio homeomorfo al límite de una ( n + 1) -bola ; por lo tanto, es homeomorfo a la n -esfera euclidiana , pero tal vez carece de su métrica .

  • Una esfera 0 es un par de puntos con la topología discreta .
  • Una 1-esfera es un círculo ( salvo el homeomorfismo); así, por ejemplo, (la imagen de) cualquier nudo es una 1-esfera.
  • Una 2 esferas es una esfera ordinaria (salvo el homeomorfismo); así, por ejemplo, cualquier esferoide es una 2-esfera.

La n - esfera se denota Sn . Es un ejemplo de una variedad topológica compacta sin límite . Una esfera no necesita ser lisa ; si es suave, no necesita ser difeomorfa a la esfera euclidiana (una esfera exótica ).

La esfera es la imagen inversa de un conjunto de un punto bajo la función continua || x || , por lo que está cerrado; Sn también está acotado , por lo que es compacto por el teorema de Heine-Borel .

Sorprendentemente, es posible dar la vuelta a una esfera ordinaria en un espacio tridimensional con posibles autointersecciones pero sin crear pliegues, en un proceso llamado eversión de esfera .

El cociente de las antípodas de la esfera es la superficie llamada plano proyectivo real , que también se puede considerar como el hemisferio norte con los puntos de las antípodas del ecuador identificados.

Curvas en una esfera

Sección plana de una esfera: 1 círculo
Intersección coaxial de una esfera y un cilindro: 2 círculos

círculos

Los círculos en la esfera están, como los círculos en el plano, formados por todos los puntos a cierta distancia de un punto fijo en la esfera. La intersección de una esfera y un plano es un círculo, un punto o vacío. Los círculos máximos son la intersección de la esfera con un plano que pasa por el centro de una esfera: los demás se denominan círculos pequeños.

Las superficies más complicadas también pueden intersecar una esfera en círculos: la intersección de una esfera con una superficie de revolución cuyo eje contiene el centro de la esfera (son coaxiales ) consiste en círculos y/o puntos si no están vacíos. Por ejemplo, el diagrama de la derecha muestra la intersección de una esfera y un cilindro, que consta de dos círculos. Si el radio del cilindro fuera el de la esfera, la intersección sería un solo círculo. Si el radio del cilindro fuera mayor que el de la esfera, la intersección estaría vacía.

loxódromo

loxódromo

En navegación , una línea loxodrómica o loxódromo es un arco que cruza todos los meridianos de longitud en el mismo ángulo. Las loxódromos son lo mismo que las líneas rectas en la proyección de Mercator . Una línea loxodrómica no es una espiral esférica . Excepto en algunos casos simples, la fórmula de una línea loxodrómica es complicada.

curvas clelia

espiral esférica con

Una curva de Clelia es una curva en una esfera para la cual la longitud y la colatitud satisfacen la ecuación

.

Casos especiales son: la curva de Viviani ( ) y las espirales esféricas ( ) como la espiral de Seiffert . Las curvas de Clelia se aproximan a la trayectoria de los satélites en órbita polar .

cónicas esféricas

El análogo de una sección cónica en la esfera es una cónica esférica , una curva cuártica que se puede definir de varias formas equivalentes, que incluyen:

  • como la intersección de una esfera con un cono cuadrático cuyo vértice es el centro de la esfera;
  • como la intersección de una esfera con un cilindro elíptico o hiperbólico cuyo eje pasa por el centro de la esfera;
  • como el lugar geométrico de los puntos cuya suma o diferencia de distancias de círculo máximo desde un par de focos es una constante.

Muchos teoremas relacionados con las secciones cónicas planas también se extienden a las cónicas esféricas.

Intersección de una esfera con una superficie más general.

Intersección general esfera-cilindro

Si una esfera se cruza con otra superficie, puede haber curvas esféricas más complicadas.

Ejemplo
esfera - cilindro

La intersección de la esfera con la ecuación y el cilindro con la ecuación no es solo uno o dos círculos. Es la solución del sistema de ecuaciones no lineal

(ver curva implícita y el diagrama)

generalizaciones

Elipsoides

Un elipsoide es una esfera que ha sido estirada o comprimida en una o más direcciones. Más exactamente, es la imagen de una esfera bajo una transformación afín . Un elipsoide guarda la misma relación con la esfera que una elipse con un círculo.

dimensionalidad

Las esferas se pueden generalizar a espacios de cualquier número de dimensiones . Para cualquier número natural n , una " n -esfera " , a menudo escrita como S n , es el conjunto de puntos en ( n + 1 ) espacio euclidiano dimensional que están a una distancia fija r de un punto central de ese espacio, donde r es, como antes, un número real positivo. En particular:

  • S 0 : una esfera 0 consta de dos puntos discretos,r y r
  • S 1 : una 1-esfera es un círculo de radio r
  • S 2 : una 2 esferas es una esfera ordinaria
  • S 3 : una 3 esferas es una esfera en un espacio euclidiano de 4 dimensiones.

Las esferas para n > 2 a veces se denominan hiperesferas .

La n -esfera de radio unitario centrada en el origen se denota S n y con frecuencia se la denomina "la" n - esfera. La esfera ordinaria es una esfera bidimensional, porque es una superficie bidimensional que está incrustada en un espacio tridimensional.

espacios métricos

Más generalmente, en un espacio métrico ( E , d ) , la esfera de centro x y radio r > 0 es el conjunto de puntos y tal que d ( x , y ) = r .

Si el centro es un punto distinguido que se considera el origen de E , como en un espacio normado , no se menciona en la definición y notación. Lo mismo ocurre con el radio si se toma igual a uno, como en el caso de una esfera unitaria .

A diferencia de una pelota , incluso una esfera grande puede ser un conjunto vacío. Por ejemplo, en Z n con métrica euclidiana , una esfera de radio r no está vacía solo si r 2 se puede escribir como suma de n cuadrados de números enteros .

Un octaedro es una esfera en geometría de taxi , y un cubo es una esfera en geometría usando la distancia de Chebyshev .

Historia

La geometría de la esfera fue estudiada por los griegos. Los Elementos de Euclides definen la esfera en el libro XI, analizan varias propiedades de la esfera en el libro XII y muestran cómo inscribir los cinco poliedros regulares dentro de una esfera en el libro XIII. Euclides no incluye el área y el volumen de una esfera, solo un teorema de que el volumen de una esfera varía como la tercera potencia de su diámetro, probablemente debido a Eudoxo de Cnido . Las fórmulas de volumen y área se determinaron por primera vez en Sobre la esfera y el cilindro de Arquímedes por el método de agotamiento . Zenodoro fue el primero en afirmar que, para una superficie dada, la esfera es el sólido de máximo volumen.

Arquímedes escribió sobre el problema de dividir una esfera en segmentos cuyos volúmenes están en una proporción dada, pero no lo resolvió. Dionisodoro de Amisus (c. Siglo I a. C.) dio una solución mediante la parábola y la hipérbola , y un problema similar (construir un segmento igual en volumen a un segmento dado y en superficie a otro segmento) se resolvió más tarde. por al-Quhi .

Galería

Regiones

Ver también

notas y referencias

notas

Referencias

Otras lecturas

enlaces externos