Grupo finito - Finite group

En álgebra abstracta , un grupo finito es un grupo cuyo conjunto subyacente es finito . Los grupos finitos a menudo surgen cuando se considera la simetría de objetos físicos o matemáticos, cuando esos objetos admiten solo un número finito de transformaciones que preservan la estructura. Ejemplos importantes de grupos finitos incluyen grupos cíclicos y grupos de permutación .

El estudio de grupos finitos ha sido una parte integral de la teoría de grupos desde que surgió en el siglo XIX. Un área importante de estudio ha sido la clasificación: la clasificación de grupos simples finitos (aquellos sin subgrupos normales no triviales ) se completó en 2004.

Historia

Durante el siglo XX, los matemáticos investigaron con gran profundidad algunos aspectos de la teoría de grupos finitos, especialmente la teoría local de grupos finitos y la teoría de grupos solubles y nilpotentes . Como consecuencia, se logró la clasificación completa de los grupos finitos simples , lo que significa que ahora se conocen todos aquellos grupos simples a partir de los cuales se pueden construir todos los grupos finitos.

Durante la segunda mitad del siglo XX, matemáticos como Chevalley y Steinberg también aumentaron nuestra comprensión de los análogos finitos de los grupos clásicos y otros grupos relacionados. Una de esas familias de grupos es la familia de grupos lineales generales sobre campos finitos .

Los grupos finitos a menudo ocurren cuando se considera la simetría de objetos matemáticos o físicos, cuando esos objetos admiten solo un número finito de transformaciones que preservan la estructura. La teoría de los grupos de Lie , que puede considerarse que trata de una " simetría continua ", está fuertemente influenciada por los grupos Weyl asociados . Se trata de grupos finitos generados por reflexiones que actúan sobre un espacio euclidiano de dimensión finita . Por tanto, las propiedades de los grupos finitos pueden desempeñar un papel en materias como la física teórica y la química .

Ejemplos de

Grupos de permutación

Una gráfica de Cayley del grupo simétrico S ₄

El grupo simétrico S _n en un conjunto finito de n símbolos es el grupo cuyos elementos son todas las permutaciones de los n símbolos, y cuya operación de grupo es la composición de tales permutaciones, que se tratan como funciones biyectivas del conjunto de símbolos a sí mismo. . Ya que hay n ! ( n factorial ) posibles permutaciones de un conjunto de n símbolos, se sigue que el orden (el número de elementos) del grupo simétrico S _n es n !.

Grupos cíclicos

Un grupo cíclico Z _n es un grupo cuyos elementos son potencias de un elemento particular a donde a ⁿ = a ⁰ = e , la identidad. Una realización típica de este grupo es como el complejo n th raíces de la unidad . Enviar a a una raíz de unidad primitiva da un isomorfismo entre los dos. Esto se puede hacer con cualquier grupo cíclico finito.

Grupos abelianos finitos

Un grupo abeliano , también llamado grupo conmutativo , es un grupo en el que el resultado de aplicar la operación de grupo a dos elementos de grupo no depende de su orden (el axioma de conmutatividad ). Llevan el nombre de Niels Henrik Abel .

Un grupo abeliano finito arbitrario es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos finitos de orden de potencia principal, y estos órdenes están determinados de forma única, formando un sistema completo de invariantes. El grupo de automorfismo de un grupo abeliano finito se puede describir directamente en términos de estos invariantes. La teoría se había desarrollado por primera vez en el artículo de 1879 de Georg Frobenius y Ludwig Stickelberger y más tarde se simplificó y generalizó a módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal, formando un capítulo importante del álgebra lineal .

Grupos de tipo Mentira

Un grupo de tipo Lie es un grupo estrechamente relacionado con el grupo G ( k ) de puntos racionales de un grupo algebraico lineal reductivo G con valores en el campo k . Los grupos finitos de tipo Lie dan la mayor parte de los grupos simples finitos no belianos . Los casos especiales incluyen los grupos clásicos , los grupos Chevalley , los grupos Steinberg y los grupos Suzuki-Ree.

Los grupos finitos de tipo Lie estuvieron entre los primeros grupos en ser considerados en matemáticas, después de los grupos cíclicos , simétricos y alternos , con los grupos lineales especiales proyectivos sobre campos finitos primos, PSL (2, p ) siendo construido por Évariste Galois en la década de 1830. La exploración sistemática de grupos finitos de tipo Lie comenzó con el teorema de Camille Jordan de que el grupo lineal especial proyectivo PSL (2, q ) es simple para q ≠ 2, 3. Este teorema se generaliza a grupos proyectivos de dimensiones superiores y da una importante familia infinita PSL ( n , q ) de grupos simples finitos . Otros grupos clásicos fueron estudiados por Leonard Dickson a principios del siglo XX. En la década de 1950, Claude Chevalley se dio cuenta de que después de una reformulación adecuada, muchos teoremas sobre grupos de Lie semisimplejos admiten análogos de grupos algebraicos sobre un campo arbitrario k , lo que lleva a la construcción de lo que ahora se llaman grupos de Chevalley . Además, como en el caso de los grupos de Lie simples compactos, los grupos correspondientes resultaron ser casi simples como grupos abstractos ( teorema de simplicidad de Tits ). Aunque se sabía desde el siglo XIX que existen otros grupos simples finitos (por ejemplo, los grupos de Mathieu ), gradualmente se formó la creencia de que casi todos los grupos simples finitos pueden explicarse por extensiones apropiadas de la construcción de Chevalley, junto con grupos cíclicos y alternos. Además, las excepciones, los grupos esporádicos , comparten muchas propiedades con los grupos finitos de tipo Lie y, en particular, pueden construirse y caracterizarse en función de su geometría en el sentido de Tits.

La creencia se ha convertido ahora en un teorema: la clasificación de grupos simples finitos . La inspección de la lista de grupos simples finitos muestra que los grupos de tipo Lie sobre un campo finito incluyen todos los grupos simples finitos distintos de los grupos cíclicos, los grupos alternos, el grupo de Tits y los 26 grupos simples esporádicos .

Teoremas principales

Teorema de lagrange

Para cualquier grupo finito G , el orden (número de elementos) de cada subgrupo H de G divide el orden de G . El teorema lleva el nombre de Joseph-Louis Lagrange .

Teoremas de Sylow

Esto proporciona una converse parcial a teorema dar información de Lagrange sobre el número de subgrupos de un orden dado están contenidos en G .

Teorema de Cayley

El teorema de Cayley , llamado así en honor a Arthur Cayley , indica que cada grupo G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico actúa sobre G . Esto puede entenderse como un ejemplo de la acción de grupo de G en los elementos de G .

Teorema de Burnside

El teorema de Burnside en la teoría de grupos estados que si G es un grupo finito de orden p ^un q ^b , en donde p y q son números primos , y un y b son no negativos números enteros , entonces G es resoluble . Por tanto, cada grupo simple finito no abeliano tiene un orden divisible por al menos tres primos distintos.

Teorema de Feit-Thompson

El teorema de Feit-Thompson , o teorema de orden impar , establece que todo grupo finito de orden impar se puede resolver . Fue probado por Walter Feit y John Griggs Thompson ( 1962 , 1963 )

Clasificación de grupos simples finitos

La clasificación de grupos simples finitos es un teorema que establece que todo grupo simple finito pertenece a una de las siguientes familias:

Un grupo cíclico de primer orden;
Un grupo alterno de grado al menos 5;
Un grupo simple de tipo Lie ;
Uno de los 26 grupos simples esporádicos ;
El grupo de las Tetas (a veces considerado como el 27º grupo esporádico).

Los grupos simples finitos pueden verse como los bloques de construcción básicos de todos los grupos finitos, de una manera que recuerda la forma en que los números primos son los bloques de construcción básicos de los números naturales . El teorema de Jordan-Hölder es una forma más precisa de enunciar este hecho sobre los grupos finitos. Sin embargo, una diferencia significativa con respecto al caso de la factorización de enteros es que tales "bloques de construcción" no necesariamente determinan unívocamente un grupo, ya que puede haber muchos grupos no isomorfos con la misma serie de composición o, dicho de otra manera, el El problema de la extensión no tiene una solución única.

La prueba del teorema consta de decenas de miles de páginas en varios cientos de artículos de revistas escritos por unos 100 autores, publicados principalmente entre 1955 y 2004. Gorenstein (m. 1992), Lyons y Solomon están publicando gradualmente una versión simplificada y revisada de la prueba.

Número de grupos de un orden determinado

Dado un entero positivo n , no es en absoluto un asunto de rutina determinar cuántos tipos de isomorfismos de grupos de orden n hay. Todo grupo de orden primo es cíclico , porque el teorema de Lagrange implica que el subgrupo cíclico generado por cualquiera de sus elementos no identitarios es el grupo completo. Si n es el cuadrado de un primo, entonces hay exactamente dos tipos de isomorfismos posibles del grupo de orden n , ambos abelianos. Si n es una potencia mayor de un primo, los resultados de Graham Higman y Charles Sims dan estimaciones asintóticamente correctas para el número de tipos de isomorfismos de grupos de orden n , y el número crece muy rápidamente a medida que aumenta la potencia.

Dependiendo de la factorización prima de n , se pueden imponer algunas restricciones a la estructura de grupos de orden n , como consecuencia, por ejemplo, de resultados como los teoremas de Sylow . Por ejemplo, todo grupo de orden pq es cíclico cuando q < p son primos con p - 1 no divisible por q . Para conocer una condición necesaria y suficiente, consulte el número cíclico .

Si n es libre de cuadrados , entonces cualquier grupo de orden n se puede resolver. El teorema de Burnside , demostró usando caracteres de grupo , estados que cada grupo de orden n es resoluble cuando n es divisible por menos de tres números primos distintos, es decir, si n = p ^un q ^b , en donde p y q son números primos, y un y b son enteros no negativos. Según el teorema de Feit-Thompson , que tiene una demostración larga y complicada, cada grupo de orden n se puede resolver cuando n es impar.

Para cada entero positivo n , la mayoría de los grupos de orden n se pueden resolver . Ver esto para cualquier orden en particular no suele ser difícil (por ejemplo, hay, hasta el isomorfismo, un grupo no solucionable y 12 grupos solucionables de orden 60) pero la prueba de esto para todos los órdenes usa la clasificación de grupos simples finitos. . Para cualquier entero positivo n hay como máximo dos grupos simples de orden n , y hay infinitos números enteros positivos n para los cuales hay dos grupos simples no isomórficos de orden n .

Tabla de distintos grupos de orden n

Orden n	# Grupos	Abeliano	No abeliano
0	0	0	0
1	1	1	0
2	1	1	0
3	1	1	0
4	2	2	0
5	1	1	0
6	2	1	1
7	1	1	0
8	5	3	2
9	2	2	0
10	2	1	1
11	1	1	0
12	5	2	3
13	1	1	0
14	2	1	1
15	1	1	0
dieciséis	14	5	9
17	1	1	0
18	5	2	3
19	1	1	0
20	5	2	3
21	2	1	1
22	2	1	1
23	1	1	0
24	15	3	12
25	2	2	0
26	2	1	1
27	5	3	2
28	4	2	2
29	1	1	0
30	4	1	3

Ver también

Referencias

Otras lecturas

Jacobson, Nathan (2009). Álgebra básica I (2ª ed.). Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-47189-1 .

enlaces externos

Secuencia OEIS A000001 (Número de grupos de orden n)
Secuencia OEIS A000688 (Número de grupos abelianos de orden n )
Secuencia OEIS A060689 (Número de grupos no abelianos de orden n)
Grupos pequeños en GroupNames
Un clasificador para grupos de pequeño orden.

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