Suma directa de grupos - Direct sum of groups

En matemáticas , un grupo G se llama la suma directa de dos subgrupos normales con intersección trivial si es generado por los subgrupos. En álgebra abstracta , este método de construcción de grupos puede generalizarse a sumas directas de espacios vectoriales , módulos y otras estructuras; consulte el artículo suma directa de módulos para obtener más información. Un grupo que puede expresarse como una suma directa de subgrupos no triviales se llama descomponible , y si un grupo no puede expresarse como una suma directa, entonces se llama indecomponible .

Definición

Un grupo G se llama la suma directa de dos subgrupos H 1 y H 2 si

  • cada H 1 y H 2 son subgrupos normales de G ,
  • los subgrupos H 1 y H 2 tienen una intersección trivial (es decir, tienen solo el elemento identidad de G en común),
  • G = < H 1 , H 2 >; en otras palabras, G es generado por los subgrupos H 1 y H 2 .

De manera más general, G se denomina suma directa de un conjunto finito de subgrupos { H i } si

  • cada H i es un subgrupo normal de G ,
  • cada H i tiene una intersección trivial con el subgrupo <{ H j  : ji }> ,
  • G = <{ H i }>; en otras palabras, G es generado por los subgrupos { H i }.

Si G es la suma directa de los subgrupos H y K, entonces escribimos G = H + K , y si G es la suma directa de un conjunto de subgrupos { H i }, a menudo escribimos G = Σ H i . Hablando libremente, una suma directa es isomorfa a un producto directo débil de subgrupos.

Propiedades

Si G = H + K , entonces se puede probar que:

  • para todo h en H , k en K , tenemos que hk = kh
  • para todo g en G , existe una única h en H , k en K tal que g = hk
  • Hay una cancelación de la suma en un cociente; de modo que ( H + K ) / K es isomorfo a H

Las afirmaciones anteriores se pueden generalizar al caso de G = Σ H i , donde { H i } es un conjunto finito de subgrupos:

  • si ij , entonces para todo h i en H i , h j en H j , tenemos que h ih j = h jh i
  • para cada g en G , existe un conjunto único de elementos h i en H i tal que
g = h 1h 2 ∗ ... ∗ h yo ∗ ... ∗ h n
  • Hay una cancelación de la suma en un cociente; de modo que ((Σ H i ) + K ) / K es isomorfo a Σ H i .

Tenga en cuenta la similitud con el producto directo , donde cada g se puede expresar de forma única como

g = ( h 1 , h 2 , ..., h yo , ..., h n ).

Dado que h ih j = h jh i para todo ij , se deduce que la multiplicación de elementos en una suma directa es isomorfa a la multiplicación de los elementos correspondientes en el producto directo; por tanto, para conjuntos finitos de subgrupos, Σ H i es isomorfo al producto directo × { H i }.

Suma directo

Dado un grupo , decimos que un subgrupo es un sumando directo de si existe otro subgrupo de tal que .

En los grupos abelianos, si es un subgrupo divisible de , entonces es un sumando directo de .

Ejemplos de

  • Si lo tomamos está claro que es producto directo de los subgrupos .
  • Si es un subgrupo divisible de un grupo abeliano, entonces existe otro subgrupo de tal que .
  • Si también tiene una estructura de espacio vectorial , entonces se puede escribir como una suma directa de y otro subespacio que será isomorfo al cociente .

Equivalencia de descomposiciones en sumas directas

En la descomposición de un grupo finito en una suma directa de subgrupos indecomponibles, la incrustación de los subgrupos no es única. Por ejemplo, en el grupo de Klein tenemos que

y

Sin embargo, el teorema de Remak-Krull-Schmidt establece que dado un grupo finito G = Σ A i = Σ B j , donde cada A i y cada B j no son triviales e indecomponibles, las dos sumas tienen términos iguales hasta el reordenamiento y isomorfismo.

El teorema de Remak-Krull-Schmidt falla para grupos infinitos; por lo que en el caso de infinito G = H + K = L + M , incluso cuando todos los subgrupos no son triviales y indescomponible, no podemos concluir que H es isomorfo a ya sea L o M .

Generalización a sumas sobre conjuntos infinitos

Para describir las propiedades anteriores en el caso en que G es la suma directa de un conjunto infinito (quizás incontable) de subgrupos, se necesita más cuidado.

Si g es un elemento del producto cartesiano Π { H i } de un conjunto de grupos, sea g i el i- ésimo elemento de g en el producto. La suma directa externa de un conjunto de grupos { H i } (escrito como Σ E { H i }) es el subconjunto de Π { H i }, donde, para cada elemento g de Σ E { H i }, g i es la identidad para todos menos un número finito de g i (de manera equivalente, solo un número finito de g i no es la identidad). La operación de grupo en la suma directa externa es una multiplicación puntual, como en el producto directo habitual.

De hecho, este subconjunto forma un grupo, y para un conjunto finito de grupos { H i } la suma directa externa es igual al producto directo.

Si G = Σ H i , entonces G es isomorfo a Σ E { H i }. Así, en cierto sentido, la suma directa es una suma directa externa "interna". Para cada elemento g en G , hay un conjunto finito único S y un conjunto único { h iH i  : iS } tal que g = Π { h i  : i en S }.

Ver también

Referencias