Producto semidirecto - Semidirect product

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Grupos discretos Celosías Enteros ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo libre Grupos modulares PSL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductor Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , el concepto de producto semidirecto es una generalización de un producto directo . Hay dos conceptos estrechamente relacionados de producto semidirecto:

• un producto semidirecto interno es una forma particular en la que un grupo puede estar formado por dos subgrupos , uno de los cuales es un subgrupo normal .
• un producto semidirecto externo es una forma de construir un nuevo grupo a partir de dos grupos dados utilizando el producto cartesiano como un conjunto y una operación de multiplicación particular.

Al igual que con los productos directos, existe una equivalencia natural entre los productos semidirectos internos y externos, y ambos se denominan comúnmente simplemente productos semidirectos .

Para grupos finitos , el teorema de Schur-Zassenhaus proporciona una condición suficiente para la existencia de una descomposición como un producto semidirecto (también conocido como extensión de división ).

Definiciones de productos semidirectos internos

Dado un grupo G con elemento de identidad e , un subgrupo H y un subgrupo normal N ◁ G , las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• G es el producto de subgrupos , G = NH , y estos subgrupos tienen una intersección trivial: N ∩ H = { e } .
• Para cada g ∈ G , hay n ∈ N y h ∈ H únicos tales que g = nh .
• Para cada g ∈ G , hay h ∈ H y n ∈ N únicos tales que g = hn .
• La composición π ∘ i de la incrustación naturales i : H → G con la proyección naturales π : G → G / N es un isomorfismo entre H y el grupo cociente G / N .
• Existe un homomorfismo G → H que es la identidad en H y cuyo núcleo es N . En otras palabras, hay una secuencia exacta dividida

${\ Displaystyle 1 \ a N \ a G \ a H \ a 1}$

de grupos (que también se conoce como extensión de grupo de por ).${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle N}$

Si alguna de estas afirmaciones se cumple (y por lo tanto todas se cumplen, por su equivalencia), decimos que G es el producto semidirecto de N y H , escrito

${\ Displaystyle G = N \ rtimes H}$ o ${\ Displaystyle G = H \ ltimes N,}$

o que G se divide sobre N ; también se dice que G es un semidirecto producto de H que actúa sobre N , o incluso un producto semidirecto de H y N . Para evitar ambigüedades, es aconsejable especificar cuál es el subgrupo normal.

Productos semidirectos interiores y exteriores

Consideremos primero el producto semidirecto interno. En este caso, para un grupo , considere su subgrupo normal N y el subgrupo H (no necesariamente normal). Suponga que se cumplen las condiciones de la lista anterior. Deje que denotan el grupo de todos los automorfismos de N , que es un grupo bajo composición. Construya un homomorfismo de grupo definido por conjugación, ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} (N)}$${\ Displaystyle \ varphi \ colon H \ to \ operatorname {Aut} (N)}$

${\ Displaystyle \ varphi (h) (n) = hnh ^ {- 1}}$, Para todos h en H y n en N .

La expresión a menudo se escribe por brevedad. De esta forma podemos construir un grupo con operación grupal definida como ${\ Displaystyle \ varphi (h)}$${\ Displaystyle \ varphi _ {h}}$${\ Displaystyle G '= (N, H)}$

${\ Displaystyle (n_ {1}, h_ {1}) \ cdot (n_ {2}, h_ {2}) = (n_ {1} \ varphi (h_ {1}) (n_ {2}), \, h_ {1} h_ {2}) = (n_ {1} \ varphi _ {h_ {1}} (n_ {2}), \, h_ {1} h_ {2})}$para n ₁ , n ₂ en N y h ₁ , h ₂ en H .

Los subgrupos N y H determinan G hasta el isomorfismo, como veremos más adelante. De esta forma, podemos construir el grupo G a partir de sus subgrupos. Este tipo de construcción se denomina producto semidirecto interno (también conocido como producto semidirecto interno).

Consideremos ahora el producto semidirecto externo. Dados cualesquiera dos grupos N y H y un homomorfismo de grupo φ : H → Aut ( N ) , podemos construir un nuevo grupo N ⋊ _φ H , llamado el producto semidirecto externo de N y H con respecto a φ , definido de la siguiente manera:

Esto define un grupo en el que el elemento identidad es ( e _N , e _H ) y la inversa del elemento ( n , h ) es ( φ _{h ⁻¹} ( n ⁻¹ ), h ⁻¹ ) . Pares ( n , e _H ) formar un subgrupo normal isomorfo a N , mientras que los pares ( e _N , h ) forman un subgrupo isomorfo a H . El grupo completo es un producto semidirecto de esos dos subgrupos en el sentido dado anteriormente.

A la inversa, supongamos que se nos da un grupo G con un subgrupo normal N y un subgrupo H , de tal manera que cada elemento g de G se puede escribir únicamente en la forma g = NH donde n mentiras en N y H mentiras en H . Sea φ : H → Aut ( N ) el homomorfismo (escrito φ ( h ) = φ _h ) dado por

${\ Displaystyle \ varphi _ {h} (n) = hnh ^ {- 1}}$

para todos n ∈ N , h ∈ H .

Entonces G es isomorfo al producto semidirecto N ⋊ _varphi H . El isomorfismo λ : G → N ⋊ _φ H está bien definido por λ ( a ) = λ ( nh ) = ( n, h ) debido a la unicidad de la descomposición a = nh .

En G , tenemos

${\ Displaystyle (n_ {1} h_ {1}) (n_ {2} h_ {2}) = n_ {1} h_ {1} n_ {2} (h_ {1} ^ {- 1} h_ {1} ) h_ {2} = (n_ {1} \ varphi _ {h_ {1}} (n_ {2})) (h_ {1} h_ {2})}$

Así, para a = n ₁ h ₁ y b = n ₂ h ₂ obtenemos

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ lambda (ab) & = \ lambda (n_ {1} h_ {1} n_ {2} h_ {2}) = \ lambda (n_ {1} \ varphi _ {h_ { 1}} (n_ {2}) h_ {1} h_ {2}) = (n_ {1} \ varphi _ {h_ {1}} (n_ {2}), h_ {1} h_ {2}) = (n_ {1}, h_ {1}) \ bullet (n_ {2}, h_ {2}) \\ [5pt] & = \ lambda (n_ {1} h_ {1}) \ bullet \ lambda (n_ { 2} h_ {2}) = \ lambda (a) \ bullet \ lambda (b), \ end {alineado}}}$

lo que prueba que λ es un homomorfismo. Dado que λ es obviamente un epimorfismo y monomorfismo, entonces de hecho es un isomorfismo. Esto explica también la definición de la regla de la multiplicación de N ⋊ _phi H .

El producto directo es un caso especial del producto semidirecto. Para ver esto, que φ sea el homomorfismo trivial (es decir, el envío de cada elemento de H a la automorphism identidad de N ), entonces N ⋊ _φ H es el producto directo N × H .

Una versión del lema de división para grupos establece que un grupo G es isomorfo a un producto semidirecto de los dos grupos N y H si y solo si existe una secuencia exacta corta

${\ displaystyle 1 \ longrightarrow N \, {\ overset {\ beta} {\ longrightarrow}} \, G \, {\ overset {\ alpha} {\ longrightarrow}} \, H \ longrightarrow 1}$

y un grupo homomorfismo γ : H → G tal que alpha ∘ γ = id _H el, mapa identidad en H . En este caso, φ : H → Aut ( N ) viene dado por φ ( h ) = φ _h , donde

${\ Displaystyle \ varphi _ {h} (n) = \ beta ^ {- 1} (\ gamma (h) \ beta (n) \ gamma (h ^ {- 1})).}$

Ejemplos de

Grupo diedro

El grupo diedro D _{2 n} con 2 n elementos es isomorfo a un producto semidirecto de los grupos cíclicos C _n y C ₂ . Aquí, el elemento no identitario de C ₂ actúa sobre C _n invirtiendo elementos; esto es un automorfismo ya que C _n es abeliano . La presentación para este grupo es:

${\ Displaystyle \ langle a, \; b \ mid a ^ {2} = e, \; b ^ {n} = e, \; aba ^ {- 1} = b ^ {- 1} \ rangle.}$

Grupos cíclicos

Más en general, un producto semidirecto de cualesquiera dos grupos cíclicos C _m con generador de una y C _n con generador de b está dada por una relación adicional, aba ^-1 = b ^k , con k y n primos entre sí , y ; es decir, la presentación: ${\ Displaystyle k ^ {m} \ equiv 1 {\ pmod {n}}}$

${\ Displaystyle \ langle a, \; b \ mid a ^ {m} = e, \; b ^ {n} = e, \; aba ^ {- 1} = b ^ {k} \ rangle.}$

Si r y m son primos entre sí, un ^r es un generador de C _m y un ^r ba ^-r = b ^{k r} , por lo tanto, la presentación:

${\ Displaystyle \ langle a, \; b \ mid a ^ {m} = e, \; b ^ {n} = e, \; aba ^ {- 1} = b ^ {k ^ {r}} \ rangle }$

da un grupo isomorfo al anterior.

Holomorfo de un grupo

Un ejemplo canónico de un grupo expresado como un producto semidirecto es el holomorfo de un grupo. Esto se define como

${\ Displaystyle \ operatorname {Hol} (G) = G \ rtimes \ operatorname {Aut} (G)}$

donde está el grupo de automorfismo de un grupo y el mapa de estructura proviene de la acción correcta de on . En términos de multiplicar elementos, esto le da a la estructura del grupo${\ Displaystyle {\ text {Aut}} (G)}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle {\ text {Aut}} (G)}$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle (g, \ alpha) (h, \ beta) = (g (\ phi (\ alpha) \ cdot h), \ alpha \ beta).}$

Grupo fundamental de la botella de Klein

El grupo fundamental de la botella de Klein se puede presentar en la forma

${\ Displaystyle \ langle a, \; b \ mid aba ^ {- 1} = b ^ {- 1} \ rangle.}$

y es, por tanto, un producto semidirecto del grupo de enteros`` con . El homomorfismo correspondiente φ : → Aut ( ) está dado por φ ( h ) ( n ) = (−1) ^h n . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Matrices triangulares superiores

El grupo de matrices triangulares superiores con determinante distinto de cero , es decir, con entradas distintas de cero en la diagonal , tiene una descomposición en el producto semidirecto donde está el subgrupo de matrices con solo 's en la diagonal, que se denomina triangular unitario superior . grupo de matrices , y es el subgrupo de matrices diagonales . La acción de grupo de on es inducida por la multiplicación de matrices. Si ponemos ${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {n} \ cong \ mathbb {U} _ {n} \ rtimes \ mathbb {D} _ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle \ mathbb {D} _ {n}}$
${\ Displaystyle \ mathbb {D} _ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} x_ {1} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & x_ {2} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & x_ {n} \ end {bmatrix}}}$ y ${\ displaystyle B = {\ begin {bmatrix} 1 & a_ {12} & a_ {13} & \ cdots & a_ {1n} \\ 0 & 1 & a_ {23} & \ cdots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 1 \ end {bmatrix}}}$

entonces su producto de matriz es

${\ displaystyle AB = {\ begin {bmatrix} x_ {1} & x_ {1} a_ {12} & x_ {1} a_ {13} & \ cdots & x_ {1} a_ {1n} \\ 0 & x_ {2} & x_ { 2} a_ {23} & \ cdots & x_ {2} a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & x_ {n} \ end {bmatrix}}.}$

Esto le da a la acción grupal inducida ${\ Displaystyle m: \ mathbb {D} _ {n} \ times \ mathbb {U} _ {n} \ to \ mathbb {U} _ {n}}$

${\ displaystyle m (A, B) = {\ begin {bmatrix} 1 & x_ {1} a_ {12} & x_ {1} a_ {13} & \ cdots & x_ {1} a_ {1n} \\ 0 & 1 & x_ {2} a_ {23} & \ cdots & x_ {2} a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 1 \ end {bmatrix}}.}$

Una matriz en se puede representar mediante matrices en y . De ahí . ${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {D} _ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {n} \ cong \ mathbb {U} _ {n} \ rtimes \ mathbb {D} _ {n}}$

Grupo de isometrías en el avión

El grupo euclidiana de todos los movimientos rígidos ( isometrías ) del plano (mapas f : ² → ²${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ tal que la distancia euclidiana entre x y y es igual a la distancia entre f ( x ) y f ( y ) para todo x y y en ) es isomorfo a un producto semidirecto del grupo abeliano (que describe traslaciones) y el grupo O (2) de matrices ortogonales 2 × 2 (que describe rotaciones y reflexiones que mantienen fijo el origen). Aplicar una traslación y luego una rotación o reflexión tiene el mismo efecto que aplicar la rotación o reflexión primero y luego una traslación mediante el vector de traslación girado o reflejado (es decir, aplicar el conjugado de la traslación original). Esto muestra que el grupo de traducciones es un subgrupo normal del grupo euclidiano, que el grupo euclidiano es un producto semidirecto del grupo de traducción y O (2) , y que el homomorfismo correspondiente φ : O (2) → Aut ( ² ) viene dada por la multiplicación de matrices : φ ( h ) ( n ) = hn . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Grupo ortogonal O (n)

El grupo ortogonal O ( n ) de todas las matrices ortogonales reales n × n (intuitivamente el conjunto de todas las rotaciones y reflexiones del espacio n -dimensional que mantienen el origen fijo) es isomorfo a un producto semidirecto del grupo SO ( n ) (que consiste de todas las matrices ortogonales con determinante 1 , intuitivamente las rotaciones del espacio n -dimensional) y C ₂ . Si representamos C ₂ como el grupo multiplicativo de matrices { I , R } , donde R es un reflejo del espacio n -dimensional que mantiene el origen fijo (es decir, una matriz ortogonal con el determinante -1 que representa una involución ), entonces φ : C ₂ → Aut (SO ( n )) viene dado por φ ( H ) ( N ) = HNH ⁻¹ para todo H en C ₂ y N en SO ( n ) . En el caso no trivial ( H no es la identidad), esto significa que φ ( H ) es la conjugación de operaciones por la reflexión (en el espacio trivial, un eje de rotación y la dirección de rotación se reemplazan por su "imagen especular") .

Transformaciones semilineales

El grupo de transformaciones semilineales en un espacio vectorial V sobre un campo , a menudo denominado ΓL ( V ) , es isomorfo a un producto semidirecto del grupo lineal GL ( V ) (un subgrupo normal de ΓL ( V ) ) y el grupo de automorfismo de . ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$

Grupos cristalográficos

En cristalografía, el grupo espacial de un cristal se divide como el producto semidirecto del grupo de puntos y el grupo de traducción si y solo si el grupo espacial es simmórfico . Los grupos espaciales no simórficos tienen grupos de puntos que ni siquiera están contenidos como subconjunto del grupo espacial, que es responsable de gran parte de la complicación en su análisis.

No ejemplos

Hay muchos grupos que no pueden expresarse como un producto semidirecto de grupos y, sin embargo, contienen un subgrupo normal no trivial. Por supuesto, cada grupo simple no puede expresarse como un producto semidirecto, pero también hay algunos contraejemplos comunes. Tenga en cuenta que, aunque no todos los grupos se pueden expresar como una extensión dividida de por , resulta que dicho grupo se puede incrustar en el producto de la corona mediante el teorema de incrustación universal . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle A \ wr H}$

Z ₄

El grupo cíclico no es un grupo simple ya que tiene un subgrupo de orden 2, es decir, es un subgrupo y su cociente es , por lo que hay una extensión${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {4}}$${\ Displaystyle \ {0,2 \} \ cong \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

${\ Displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} _ {2} \ to \ mathbb {Z} _ {4} \ to \ mathbb {Z} _ {2} \ to 0}$

Si la extensión se dividió , entonces el grupo en${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} _ {2} \ to G \ to \ mathbb {Z} _ {2} \ to 0}$

sería isomorfo a . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$

Q ₈

El grupo de los ocho cuaterniones donde y , es otro ejemplo de un grupo que tiene subgrupos no triviales pero que aún no está dividido. Por ejemplo, el subgrupo generado por es isomorfo y es normal. También tiene un subgrupo de orden generado por . Esto significaría que tendría que ser una extensión dividida en${\ Displaystyle \ {\ pm 1, \ pm i, \ pm j, \ pm k \}}$${\ Displaystyle ijk = -1}$${\ Displaystyle i ^ {2} = j ^ {2} = k ^ {2} = - 1}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {4}}$${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle -1}$${\ Displaystyle Q_ {8}}$

${\ Displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} _ {4} \ to Q_ {8} \ to \ mathbb {Z} _ {2} \ to 0}$

que no puede suceder. Esto se puede demostrar calculando el grupo de cohomología del primer grupo de con coeficientes en , entonces y observando que los dos grupos en estas extensiones son y el grupo diedro . Pero, como ninguno de estos grupos es isomórfico con , el grupo de cuaterniones no está dividido. Esta no existencia de isomorfismos se puede verificar notando que la extensión trivial es abeliana mientras que no es abeliana, y notando que los únicos subgrupos normales son y , pero tiene tres subgrupos isomórficos a . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {4}}$${\ Displaystyle H ^ {1} (\ mathbb {Z} _ {2}, \ mathbb {Z} _ {4}) \ cong \ mathbb {Z} / 2}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {4}}$${\ Displaystyle D_ {8}}$${\ Displaystyle Q_ {8}}$${\ Displaystyle Q_ {8}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {4}}$${\ Displaystyle Q_ {8}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {4}}$

Propiedades

Si G es el producto semidirecto del subgrupo normal N y el subgrupo H , y ambos N y H son finitos, entonces el orden de G es igual al producto de las órdenes de N y H . Esto se deduce del hecho de que G es del mismo orden que el producto semidirecto exterior de N y H , cuyo conjunto subyacente es el producto cartesiano N × H .

Relación con productos directos

Supongamos que G es un producto semidirecto del subgrupo normal N y el subgrupo H . Si H también es normal en G , o de manera equivalente, si existe un homomorfismo G → N que es la identidad en N con el núcleo H , entonces G es el producto directo de N y H .

El producto directo de dos grupos N y H se puede considerar como el producto semidirecto de N y H con respecto a φ ( h ) = id _N para todos h en H .

Tenga en cuenta que en un producto directo, el orden de los factores no es importante, ya que N × H es isomorfo a H × N . Este no es el caso de los productos semidirectos, ya que los dos factores juegan papeles diferentes.

Además, el resultado de un producto semidirecto (propio) por medio de un homomorfismo no trivial nunca es un grupo abeliano , incluso si los grupos de factores son abelianos.

No exclusividad de productos semidirectos (y más ejemplos)

A diferencia del caso del producto directo , un producto semidirecto de dos grupos no es, en general, único; si G y G ′ son dos grupos que contienen copias isomorfas de N como un subgrupo normal y H como un subgrupo, y ambos son un producto semidirecto de N y H , entonces no se sigue que G y G ′ sean isomorfos porque el producto semidirecto también depende de la elección de una acción de H en N .

Por ejemplo, hay cuatro grupos no isomórficos de orden 16 que son productos semidirectos de C ₈ y C ₂ ; en este caso, C ₈ es necesariamente un subgrupo normal porque tiene un índice 2. Uno de estos cuatro productos semidirectos es el producto directo, mientras que los otros tres son grupos no abelianos:

• el grupo diedro de orden 16
• el grupo cuasidiédrico de orden 16
• el grupo Iwasawa de orden 16

Si un grupo dado es un producto semidirecto, entonces no hay garantía de que esta descomposición sea única. Por ejemplo, existe un grupo de orden 24 (el único que contiene seis elementos de orden 4 y seis elementos de orden 6) que se puede expresar como producto semidirecto de las siguientes formas: (D ₈ ⋉ C ₃ ) ≅ (C ₂ ⋉ Q ₁₂ ) ≅ (C ₂ ⋉ D ₁₂ ) ≅ (D ₆ ⋉ V ) .

Existencia

En general, no se conoce una caracterización (es decir, una condición necesaria y suficiente) para la existencia de productos semidirectos en grupos. Sin embargo, se conocen algunas condiciones suficientes, que garantizan la existencia en determinados casos. Para grupos finitos, el teorema de Schur-Zassenhaus garantiza la existencia de un producto semidirecto cuando el orden del subgrupo normal es coprime al orden del grupo cociente .

Por ejemplo, el teorema de Schur-Zassenhaus implica la existencia de un producto semidirecto entre grupos de orden 6; hay dos de estos productos, uno de los cuales es un producto directo y el otro un grupo diedro. Por el contrario, el teorema de Schur-Zassenhaus no dice nada sobre grupos de orden 4 o grupos de orden 8, por ejemplo.

Generalizaciones

Dentro de la teoría de grupos, la construcción de productos semidirectos se puede impulsar mucho más. El producto de grupos Zappa-Szep es una generalización que, en su versión interna, no asume que ninguno de los subgrupos sea normal.

También hay una construcción en la teoría de anillos , el producto cruzado de anillos . Este se construye de forma natural a partir del anillo de grupo para un producto semidirecto de grupos. El enfoque de la teoría de anillos se puede generalizar aún más a la suma semidirecta de las álgebras de Lie .

Para la geometría, también hay un producto cruzado para acciones grupales en un espacio topológico ; desafortunadamente, en general es no conmutativo incluso si el grupo es abeliano. En este contexto, el producto semidirecto es el espacio de órbitas de la acción grupal. Alain Connes ha defendido este último enfoque como sustituto de los enfoques mediante técnicas topológicas convencionales; cf geometría no conmutativa .

También hay generalizaciones de gran alcance en la teoría de categorías . Muestran cómo construir categorías fibradas a partir de categorías indexadas . Ésta es una forma abstracta de la construcción del producto semidirecto exterior.

Groupoids

Otra generalización es para los grupoides. Esto ocurre en topología porque si un grupo G actúa sobre un espacio X , también actúa sobre el grupoide fundamental π ₁ ( X ) del espacio. El producto semidirecto π ₁ ( X ) ⋊ G es entonces relevante para encontrar el groupoid fundamental del espacio órbita X / G . Para obtener detalles completos, consulte el Capítulo 11 del libro al que se hace referencia a continuación, y también algunos detalles en el producto semidirecto en ncatlab .

Categorías abelianas

Los productos semidirectos no triviales no surgen en categorías abelianas , como la categoría de módulos . En este caso, el lema de la división muestra que todo producto semidirecto es un producto directo. Por tanto, la existencia de productos semidirectos refleja un fracaso de la categoría para ser abeliana.

Notación

Por lo general, el producto semidirecto de un grupo H que actúa sobre un grupo N (en la mayoría de los casos por conjugación como subgrupos de un grupo común) se denota por N ⋊ H o H ⋉ N . Sin embargo, algunas fuentes pueden usar este símbolo con el significado opuesto. En caso de que la acción φ : H → Aut ( N ) debe ser explícita, también se escribe N ⋊ _φ H . Una forma de pensar sobre el símbolo N ⋊ H es como una combinación del símbolo del subgrupo normal ( ◁ ) y el símbolo del producto ( × ). Barry Simon , en su libro sobre la teoría de la representación de grupos, emplea la notación inusual para el producto semidirecto. ${\ Displaystyle N \ mathbin {\ circledS _ {\ varphi}} H}$

Unicode enumera cuatro variantes:

	Valor	MathML	Descripción Unicode
⋉	U + 22C9	veces	PRODUCTO SEMIDIRECTO DE FACTOR NORMAL IZQUIERDO
⋊	U + 22CA	tiempos	PRODUCTO SEMIDIRECTO DE FACTOR NORMAL DERECHO
⋋	U + 22CB	ltres	PRODUCTO SEMIDIRECTO IZQUIERDO
⋌	U + 22CC	tres	PRODUCTO SEMIDIRECTO ADECUADO

Aquí la descripción Unicode del símbolo rtimes dice "factor normal correcto", en contraste con su significado habitual en la práctica matemática.

En LaTeX , los comandos \ rtimes y \ ltimes producen los caracteres correspondientes. Con el paquete de símbolos AMS cargado, \ leftthreetimes produce ⋋ y \ rightthreetimes produce ⋌.

Ver también

• Álgebra de mentiras afines
• Construcción de Grothendieck , una construcción categórica que generaliza el producto semidirecto
• Holomorfo
• Suma semidirecta de álgebra de mentiras
• Producto subdirecto
• Producto de corona
• Producto Zappa – Szép

Notas

Referencias

• R. Brown, Topología y agrupaciones, Booksurge 2006. ISBN  1-4196-2722-8