Botella Klein - Klein bottle

Una representación bidimensional de la botella de Klein sumergida en un espacio tridimensional
Estructura de una botella de Klein tridimensional

En topología , una rama de las matemáticas , la botella Klein ( / k l n / ) es un ejemplo de un no orientable superficie ; es una variedad bidimensional contra la cual no se puede definir consistentemente un sistema para determinar un vector normal . De manera informal, es una superficie de un solo lado que, si se viaja sobre ella, podría seguirse hasta el punto de origen mientras se da la vuelta al viajero. Otros objetos no orientables relacionados incluyen la tira de Möbius y el plano proyectivo real . Mientras que una tira de Möbius es una superficie con límite , una botella de Klein no tiene límite. A modo de comparación, una esfera es una superficie orientable sin límite.

La botella de Klein fue descrita por primera vez en 1882 por el matemático alemán Felix Klein .

Construcción

El siguiente cuadrado es un polígono fundamental de la botella de Klein. La idea es "pegar" los bordes rojo y azul correspondientes con las flechas que coinciden, como en los diagramas a continuación. Tenga en cuenta que este es un encolado "abstracto" en el sentido de que tratar de realizar esto en tres dimensiones da como resultado una botella de Klein que se cruza por sí misma.

Botella Klein Plegable 1.svg

Para construir la botella de Klein, pegue las flechas rojas del cuadrado (lados izquierdo y derecho), dando como resultado un cilindro. Para pegar los extremos del cilindro para que las flechas de los círculos coincidan, se pasaría un extremo por el costado del cilindro. Esto crea un círculo de auto-intersección: esta es una inmersión de la botella de Klein en tres dimensiones.

Esta inmersión es útil para visualizar muchas propiedades de la botella de Klein. Por ejemplo, la botella de Klein no tiene límite , donde la superficie se detiene abruptamente y no es orientable , como se refleja en la unilateralidad de la inmersión.

Botellas de Klein sumergidas en el Museo de Ciencias de Londres
Una botella Klein soplada a mano

El modelo físico común de una botella de Klein es una construcción similar. El Museo de Ciencias de Londres tiene una colección de botellas Klein de vidrio soplado a mano en exhibición, que exhiben muchas variaciones sobre este tema topológico. Las botellas datan de 1995 y fueron hechas para el museo por Alan Bennett.

La botella de Klein, propiamente dicha, no se cruza a sí misma. No obstante, hay una manera de visualizar la botella de Klein contenida en cuatro dimensiones. Añadiendo una cuarta dimensión al espacio tridimensional, se puede eliminar la auto-intersección. Empuje suavemente una pieza del tubo que contiene la intersección a lo largo de la cuarta dimensión, fuera del espacio tridimensional original. Una analogía útil es considerar una curva que se interseca a sí misma en el plano; las auto-intersecciones se pueden eliminar levantando un hilo del avión.

Evolución temporal de una figura de Klein en el espacio xyzt

Supongamos, para aclarar, que adoptamos el tiempo como esa cuarta dimensión. Considere cómo se podría construir la figura en el espacio xyzt. La ilustración adjunta ("Evolución en el tiempo ...") muestra una evolución útil de la figura. En t = 0, la pared brota de una yema en algún lugar cerca del punto de "intersección". Después de que la figura ha crecido por un tiempo, la primera sección de la pared comienza a retroceder, desapareciendo como el gato de Cheshire pero dejando atrás su sonrisa en constante expansión. Para cuando el frente de crecimiento llega a donde había estado la yema, no hay nada que se cruce y el crecimiento se completa sin perforar la estructura existente. La figura de 4 tal como se define no puede existir en el espacio de 3 pero se entiende fácilmente en el espacio de 4.

Más formalmente, la botella de Klein es el espacio del cociente descrito como el cuadrado [0,1] × [0,1] con lados identificados por las relaciones (0, y ) ~ (1, y ) para 0 ≤ y ≤ 1 y ( x , 0) ~ (1 - x , 1) para 0 ≤ x ≤ 1 .

Propiedades

Al igual que la tira de Möbius , la botella de Klein es un colector bidimensional que no es orientable . A diferencia de la tira de Möbius, la botella de Klein es un colector cerrado , lo que significa que es un colector compacto sin límite. Mientras que la tira de Möbius se puede incrustar en el espacio euclidiano tridimensional R 3 , la botella de Klein no. Sin embargo, puede integrarse en R 4 .

La botella de Klein puede verse como un haz de fibras sobre el círculo S 1 , con fibra S 1 , de la siguiente manera: se toma el cuadrado (módulo el borde que identifica la relación de equivalencia) desde arriba como E , el espacio total, mientras que el espacio base B viene dado por el intervalo unitario en y , módulo 1 ~ 0 . La proyección π: EB viene dada por π ([ x , y ]) = [ y ] .

La botella de Klein se puede construir (en un espacio de cuatro dimensiones, porque en un espacio de tres dimensiones no se puede hacer sin permitir que la superficie se cruce) uniendo los bordes de dos tiras de Möbius (reflejadas), como se describe en el siguiente limerick de Leo Moser :

Un matemático llamado Klein
pensó que la banda de Möbius era divina.
     Dijo él: "Si pegas
     los bordes de dos,
obtendrás una botella extraña como la mía".

La construcción inicial de la botella Klein mediante la identificación de los bordes opuestos de una muestra el cuadrado de que la botella Klein se puede dar un complejo CW estructura con un solo 0 de células P , dos 1-células C 1 , C 2 y uno de 2 células D . Por tanto, su característica de Euler es 1 - 2 + 1 = 0 . El homomorfismo de límite está dado por D = 2 C 1 y C 1 = ∂ C 1 = 0 , lo que da como resultado que los grupos de homología de la botella de Klein K sean H 0 ( K , Z ) = Z , H 1 ( K , Z ) = Z × ( Z / 2 Z ) y H n ( K , Z ) = 0 para n > 1 .

Hay un mapa de cobertura 2-1 desde el toro hasta la botella de Klein, porque dos copias de la región fundamental de la botella de Klein, una colocada junto a la imagen especular de la otra, producen una región fundamental del toro. La cubierta universal tanto del toro como de la botella de Klein es el plano R 2 .

El grupo fundamental de la botella de Klein puede ser determinado como el grupo de transformaciones de la cubierta de la cobertura universal y tiene la presentación un , b | ab = b -1 un .

Una botella de Klein de 6 colores, la única excepción a la conjetura de Heawood

Seis colores son suficientes para colorear cualquier mapa en la superficie de una botella de Klein; esta es la única excepción a la conjetura de Heawood , una generalización del teorema de los cuatro colores , que requeriría siete.

Una botella de Klein es homeomorfa a la suma conectada de dos planos proyectivos . También es homeomórfico a una esfera más dos casquillos cruzados .

Cuando está incrustado en el espacio euclidiano, la botella de Klein es unilateral. Sin embargo, hay otros 3 espacios topológicos, y en algunos de los ejemplos no orientables se puede incrustar una botella de Klein de modo que tenga dos caras, aunque debido a la naturaleza del espacio permanece no orientable.

Disección

La disección de la botella de Klein da como resultado tiras de Möbius.

La disección de una botella de Klein en mitades a lo largo de su plano de simetría da como resultado dos tiras de Möbius con imagen especular , es decir, una con un medio giro a la izquierda y la otra con un medio giro a la derecha (una de ellas se muestra a la derecha) . Recuerde que la intersección que se muestra en la imagen no está realmente allí.

Curvas simples cerradas

Una descripción de los tipos de curvas cerradas simples que pueden aparecer en la superficie de la botella de Klein se da mediante el uso del primer grupo de homología de la botella de Klein calculado con coeficientes enteros. Este grupo es isomorfo a Z × Z 2 . Hasta la inversión de orientación, las únicas clases de homología que contienen curvas simples cerradas son las siguientes: (0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (0,1). Hasta la inversión de la orientación de una curva cerrada simple, si se encuentra dentro de una de las dos tapas cruzadas que forman el frasco de Klein, entonces está en la clase de homología (1,0) o (1,1); si corta la botella de Klein en dos tiras de Möbius, entonces está en la clase de homología (2,0); si corta la botella de Klein en un anillo, entonces está en la clase de homología (0,1); y si limita un disco, entonces está en la clase de homología (0,0).

Parametrización

La inmersión en "figura 8" de la botella de Klein.
Sección transversal del bagel de Klein empleando una curva en forma de ocho (la lemniscata de Gerono ).

La inmersión en figura 8

Para hacer la inmersión en "figura 8" o "bagel" de la botella de Klein, se puede comenzar con una tira de Möbius y rizarla para llevar el borde a la línea media; como solo hay un borde, se encontrará allí, pasando por la línea media. Tiene una parametrización particularmente simple como un toro en "figura de 8" con un medio giro:

para 0 ≤ θ <2π, 0 ≤ v <2π y r > 2.

En esta inmersión, el círculo de auto-intersección (donde sin ( v ) es cero) es un círculo geométrico en el plano xy . La constante positiva r es el radio de este círculo. El parámetro θ proporciona el ángulo en el plano xy , así como la rotación de la figura 8, y v especifica la posición alrededor de la sección transversal en forma de 8. Con la parametrización anterior, la sección transversal es una curva de Lissajous 2: 1 .

4-D sin intersección

Una parametrización 4-D sin intersección se puede modelar a partir de la del toro plano :

donde R y P son constantes que determinan la relación de aspecto, θ y v son similares a los definidos anteriormente. v determina la posición alrededor de la figura 8 así como la posición en el plano xy. θ también determina el ángulo de rotación de la figura 8 y la posición alrededor del plano zw. ε es cualquier constante pequeña y ε sen v es una pequeña protuberancia dependiente de v en el espacio zw para evitar la auto-intersección. La protuberancia v hace que la figura de 8 planar / bidimensional que se interseca automáticamente se extienda en una forma de "patata frita" estilizada en 3D o en forma de silla de montar en el espacio xyw y xyz visto desde el borde. Cuando ε = 0, la auto-intersección es un círculo en el plano zw <0, 0, cos θ , sin θ >.

Toro pellizcado 3D / tubo de Möbius 4D

La inmersión en toro pellizcado de la botella de Klein.

El toro pellizcado es quizás la parametrización más simple de la botella de Klein en tres y cuatro dimensiones. Es un toro que, en tres dimensiones, se aplana y se atraviesa por un lado. Desafortunadamente, en tres dimensiones esta parametrización tiene dos puntos de pellizco, lo que la hace indeseable para algunas aplicaciones. En cuatro dimensiones, la amplitud z gira hacia la amplitud w y no hay autointersecciones ni puntos de pellizco.

Se puede ver esto como un tubo o cilindro que se envuelve, como en un toro, pero su sección transversal circular se voltea en cuatro dimensiones, presentando su "parte trasera" cuando se vuelve a conectar, al igual que la sección transversal de una tira de Möbius gira antes de volver a conectarse. La proyección ortogonal 3D de esto es el toro pellizcado que se muestra arriba. Así como una tira de Möbius es un subconjunto de un toro sólido, el tubo de Möbius es un subconjunto de un spherinder toroidalmente cerrado ( spheritorus sólido ).

Forma de botella

La parametrización de la inmersión tridimensional de la botella en sí es mucho más complicada.

Botella Klein con ligera transparencia

para 0 ≤ u <π y 0 ≤ v <2π.

Clases de homotopía

Las incrustaciones 3D regulares de la botella de Klein se clasifican en tres clases de homotopía regulares (cuatro si una las pinta). Los tres están representados por:

  1. La botella "tradicional" de Klein
  2. Botella Klein en forma de 8 para zurdos
  3. Botella Klein en forma de 8 para diestros

La incrustación tradicional en botella de Klein es aquiral . La incrustación de la figura 8 es quiral (la incrustación de toro pellizcado de arriba no es regular ya que tiene puntos de pellizco, por lo que no es relevante en esta sección). Las tres incrustaciones anteriores no se pueden transformar suavemente entre sí en tres dimensiones. Si la botella tradicional de Klein se corta a lo largo, se deconstruye en dos tiras de Möbius quirales opuestas.

Si se corta una botella de Klein en forma de 8 para zurdos, se deconstruye en dos tiras de Möbius para zurdos, y de manera similar para la botella de Klein en forma de 8 para diestros.

Pintar la botella tradicional de Klein en dos colores induce quiralidad en ella, creando cuatro clases de homotopía.

Generalizaciones

La generalización de la botella de Klein a un género superior se da en el artículo sobre el polígono fundamental .

En otro orden de ideas, construyendo 3-variedades , se sabe que una botella de Klein sólida es homeomorfa al producto cartesiano de una tira de Möbius y un intervalo cerrado. La botella sólida de Klein es la versión no orientable del toro sólido , equivalente a

Superficie de Klein

Una superficie de Klein es, al igual que las superficies de Riemann , una superficie con un atlas que permite componer los mapas de transición mediante conjugación compleja . Se puede obtener la denominada estructura dianalítica del espacio.

Ver también

Referencias

Citas

Fuentes

enlaces externos