Grupo nilpotente - Nilpotent group
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En matemáticas , específicamente la teoría de grupos , un grupo nilpotente G es un grupo que tiene una serie central superior que termina con G . De manera equivalente, su serie central es de longitud finita o su serie central inferior termina en {1}.
Intuitivamente, un grupo nilpotente es un grupo que es "casi abeliano ". Esta idea está motivada por el hecho de que los grupos nilpotentes se pueden resolver , y para los grupos nilpotentes finitos, dos elementos que tienen órdenes primos relativamente deben conmutar. También es cierto que los grupos nilpotentes finitos son superesolubles . El matemático ruso Sergei Chernikov atribuye al concepto su funcionamiento en la década de 1930 .
Los grupos nilpotentes surgen en la teoría de Galois , así como en la clasificación de grupos. También aparecen de forma destacada en la clasificación de los grupos de Lie .
Se utilizan términos análogos para las álgebras de Lie (utilizando el corchete de Lie ) que incluyen nilpotente , serie central inferior y serie central superior .
Definición
La definición utiliza la idea de una serie central para un grupo. Las siguientes son definiciones equivalentes para un grupo G nilpotente :
- G tiene una serie central de longitud finita. Es decir, una serie de subgrupos normales
- donde , o de forma equivalente .
- G tiene una serie central inferior que termina en el subgrupo trivial después de un número finito de pasos. Es decir, una serie de subgrupos normales
- donde .
- G tiene una serie central superior que termina en todo el grupo después de un número finito de pasos. Es decir, una serie de subgrupos normales
- donde y es el subgrupo tal que .
Para un grupo nilpotente, el n más pequeño, tal que G tiene una serie central de longitud n, se denomina clase de nilpotencia de G ; y se dice que G es nilpotente de clase n . (Por definición, la longitud es n si hay diferentes subgrupos en la serie, incluido el subgrupo trivial y el grupo completo).
De manera equivalente, la clase de nula potencia de G es igual a la longitud de la serie central inferior o de la serie central superior. Si un grupo tiene clase nilpotencia como máximo n , entonces a veces se llama una NIL- n grupo .
Se deduce inmediatamente de cualquiera de las formas anteriores de la definición de nilpotencia, que el grupo trivial es el grupo único de nilpotencia clase 0 , y los grupos de nilpotencia clase 1 son exactamente los grupos abelianos no triviales.
Ejemplos de
- Como se señaló anteriormente, cada grupo abeliano es nilpotente.
- Para un ejemplo pequeño no abeliano, considere el grupo de cuaterniones Q 8 , que es un grupo p no abeliano más pequeño. Tiene el centro {1, −1} de orden 2, y su serie central superior es {1}, {1, −1}, Q 8 ; por lo que es nilpotente de clase 2.
- El producto directo de dos grupos nilpotentes es nilpotente.
- Todos los grupos p finitos son de hecho nilpotentes ( prueba ). La clase máxima de un grupo de orden p n es n (por ejemplo, cualquier grupo de orden 2 es nilpotente de clase 1). Los 2 grupos de clase máxima son los grupos de cuaterniones generalizados , los grupos diedros y los grupos semidiédricos .
- Además, cada grupo nilpotente finito es el producto directo de los p -grupos.
- El grupo multiplicativo de matrices triangulares unitarias superiores n x n sobre cualquier campo F es un grupo nilpotente de nilpotencia clase n - 1. En particular, tomando n = 3 se obtiene el grupo de Heisenberg H , un ejemplo de un grupo nilpotente infinito no abeliano. Tiene clase nilpotencia 2 con la serie central 1, Z ( H ), H .
- El grupo multiplicativo de matrices n x n triangulares superiores invertibles sobre un campo F no es en general nilpotente, pero tiene solución .
- Cualquier grupo nonabelian G tal que G / Z ( G ) es abeliano tiene clase nilpotencia 2, con la serie de centrales {1}, Z ( G ), G .
Explicación del término
Los grupos nilpotentes se denominan así porque la "acción adjunta" de cualquier elemento es nilpotente , lo que significa que para un grupo nilpotente de grado nilpotencia y un elemento , la función definida por (donde es el conmutador de y ) es nilpotente en el sentido de que el th iteración de la función es trivial: para todos en .
Esto no es una característica que define a los grupos nilpotentes: grupos para los que es nilpotent de grado (en el sentido anterior) son llamados - grupos Engel , y no es necesario nilpotent en general. Se demuestra que son nilpotentes si tienen un orden finito , y se conjetura que son nilpotentes siempre que se generen de manera finita .
Un grupo abeliano es precisamente aquel para el que la acción adjunta no es solo nilpotente sino trivial (un grupo 1-Engel).
Propiedades
Dado que cada grupo de factores sucesivo Z i +1 / Z i en la serie central superior es abeliano, y la serie es finita, cada grupo nilpotente es un grupo solucionable con una estructura relativamente simple.
Cada subgrupo de un grupo nilpotente de clase n es nilpotente de clase como mucho n ; además, si f es un homomorfismo de un grupo nilpotente de clase n , entonces la imagen de f es nilpotente de clase como mucho n .
Las siguientes declaraciones son equivalentes para grupos finitos, revelando algunas propiedades útiles de nilpotencia:
- (a) G es un grupo nilpotente.
- (b) Si H es un subgrupo apropiado de G , entonces H es un subgrupo normal apropiado de N G ( H ) (el normalizador de H en G ). Esto se denomina propiedad del normalizador y puede expresarse simplemente como "crecen los normalizadores".
- (c) Cada subgrupo de Sylow de G es normal.
- (d) G es el producto directo de sus subgrupos Sylow .
- (e) Si d divide el orden de G , entonces G tiene un subgrupo normal de orden d .
Prueba: (a) → (b): Por inducción en | G |. Si G es abeliano, entonces para cualquier H , N G ( H ) = G . Si no, si Z ( G ) no está contenido en H , entonces h Z H Z -1 h -1 = h ' H' h -1 = H , por lo H · Z ( G ) normalizadores H . Si Z ( G ) está contenido en H , entonces H / Z ( G ) está contenido en G / Z ( G ). Tenga en cuenta que G / Z ( G ) es un grupo nilpotente. Por lo tanto, existe un subgrupo de G / Z ( G ) cuyos normalizadores H / Z ( G ) y H / Z ( G ) son un subgrupo adecuado del mismo. Por lo tanto, este subgrupo pullback al subgrupo en G y normaliza H . (Esta prueba es el mismo argumento que para los p -grupos; el único hecho que necesitábamos era que si G es nilpotente, entonces también lo es G / Z ( G ), por lo que se omiten los detalles).
(b) → (c): Sean p 1 , p 2 , ..., p s los primos distintos que dividen su orden y sean P i en Syl p i ( G ), 1≤ i ≤ s . Sea P = P i para algún i y sea N = N G ( P ). Desde P es un subgrupo normal de N , P es característico en N . Dado que P char N y N es un subgrupo normal de N G ( N ), obtenemos que P es un subgrupo normal de N G ( N ). Este medio de N G ( N ) es un subgrupo de N y por lo tanto N G ( N ) = N . Por (b), por lo tanto, debemos tener N = G , lo que da (c).
(c) → (d): Sean p 1 , p 2 , ..., p s los primos distintos que dividen su orden y sean P i en Syl p i ( G ), 1≤ i ≤ s . Para cualquier t , 1≤ t ≤ s mostramos inductivamente que P 1 P 2 ... P t es isomorfo a P 1 × P 2 × ... × P t . Nota primero que cada P i es normal en G de modo P 1 P 2 ... P t es un subgrupo de G . Sea H el producto P 1 P 2 ... P t-1 y sea K = P t , entonces por inducción H es isomorfo a P 1 × P 2 × ... × P t-1 . En particular, | H | = | P 1 | · | P 2 | · ... · | P t-1 |. Desde | K | = | P t |, los órdenes de H y K son relativamente primos. El teorema de Lagrange implica que la intersección de H y K es igual a 1. Por definición, P 1 P 2 ... P t = HK , por lo tanto, HK es isomorfo a H × K que es igual a P 1 × P 2 × ... × P t . Esto completa la inducción. Ahora tome t = s para obtener (d).
(d) → (e): Observe que un grupo P de orden p k tiene un subgrupo normal de orden p m para todo 1≤ m ≤ k . Dado que G es un producto directo de sus subgrupos de Sylow, y la normalidad se conserva en el producto directo de los grupos, G tiene un subgrupo normal de orden d para cada divisor d de | G |.
(e) → (a): Para cualquier primo p dividiendo | G |, el Sylow p -subgroup es normal. Así podemos aplicar (c) (puesto que ya probamos (c) → (e)).
El enunciado (d) puede extenderse a grupos infinitos: si G es un grupo nilpotente, entonces cada subgrupo de Sylow G p de G es normal, y el producto directo de estos subgrupos de Sylow es el subgrupo de todos los elementos de orden finito en G (ver subgrupo de torsión ).
Muchas propiedades de los grupos nilpotentes son compartidas por grupos hipercentrales .
Notas
Referencias
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- Palmer, Theodore W. (1994). Álgebras de Banach y la teoría general de * -álgebras . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-36638-0.
- Stammbach, Urs (1973). Homología en teoría de grupos . Apuntes de clase en matemáticas. 359 . Springer-Verlag. revisión
- Suprunenko, DA (1976). Grupos de matriz . Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-1341-2.
- Tabachnikova, Olga; Smith, Geoff (2000). Temas en Teoría de Grupos . Serie de Matemáticas de Pregrado de Springer. Saltador. ISBN 1-85233-235-2.
- Zassenhaus, Hans (1999). La teoría de los grupos . Nueva York: Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-40922-8.