Grupo de bucle - Loop group

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones basicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo cociente Producto (semi) directo Homomorfismos de grupo núcleo imagen suma directa producto de corona sencillo finito infinito continuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente soluble Glosario de teoría de grupos Lista de temas de teoría de grupos
Grupos finitos Clasificación de grupos simples finitos cíclico alterno Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall grupo p Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein de cuatro grupos V Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Celosías Enteros ( Z ) Grupo libre Grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

Grupos de mentiras
Grupos clásicos
Grupos de Simple Lie Clásico A n B n C n D n Excepcional G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Otros grupos de Lie Circulo Lorentz Poincaré Grupo conformal Difeomorfismo Círculo Euclidiana
Álgebras de mentira
Álgebra de mentira semimple
Teoría de la representación
Grupos de mentiras en física
Científicos Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm matando Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosario Grupos de Tabla de mentiras
v t mi

En matemáticas , un grupo de bucle es un grupo de bucles en un grupo topológico G con multiplicación definida por puntos .

Definición

En su forma más general de un grupo de bucle es un grupo de aplicaciones continuas de un colector de M a un grupo topológico G .

Más específicamente, sea M = S ¹ , el círculo en el plano complejo , y LG denote el espacio de mapas continuos S ¹ → G , es decir

${\ Displaystyle LG = \ {\ gamma: S ^ {1} \ a G | \ gamma \ en C (S ^ {1}, G) \},}$

equipado con la topología compacta-abierta . Un elemento de LG se llama un bucle en G . La multiplicación puntual de tales bucles le da a LG la estructura de un grupo topológico. Parametrizar S ¹ con θ ,

${\ Displaystyle \ gamma: \ theta \ in S ^ {1} \ mapsto \ gamma (\ theta) \ in G,}$

y definir la multiplicación en LG por

${\ Displaystyle (\ gamma _ {1} \ gamma _ {2}) (\ theta) \ equiv \ gamma _ {1} (\ theta) \ gamma _ {2} (\ theta).}$

Asociatividad sigue de asociatividad en G . La inversa viene dada por

${\ Displaystyle \ gamma ^ {- 1}: \ gamma ^ {- 1} (\ theta) \ equiv \ gamma (\ theta) ^ {- 1},}$

y la identidad por

${\ Displaystyle e: \ theta \ mapsto e \ in G.}$

El espacio LG se llama el grupo bucle libre en G . Un grupo de bucles es cualquier subgrupo del grupo de bucles libres LG .

Ejemplos de

Un ejemplo importante de un grupo de bucles es el grupo

${\ Displaystyle \ Omega G \,}$

de bucles basado en G . Se define como el núcleo del mapa de evaluación.

${\ Displaystyle e_ {1}: LG \ to G, \ gamma \ mapsto \ gamma (1)}$ ,

y por lo tanto es un subgrupo normal cerrado de LG . (Aquí, e ₁ es el mapa que envía un bucle a su valor en ). Tenga en cuenta que podemos incrustar G en LG como el subgrupo de bucles constantes. En consecuencia, llegamos a una secuencia exacta dividida${\ Displaystyle 1 \ en S ^ {1}}$

${\ Displaystyle 1 \ a \ Omega G \ a LG \ a G \ a 1}$ .

El espacio que LG divide como un producto semidirecto ,

${\ Displaystyle LG = \ Omega G \ rtimes G}$ .

También podemos pensar en Ω G como el espacio de lazos en G . Desde este punto de vista, Ω G es un espacio H con respecto a la concatenación de bucles. A primera vista, esto parece proporcionar a Ω G dos mapas de productos muy diferentes. Sin embargo, se puede demostrar que la concatenación y la multiplicación puntual son homotópicas . Por lo tanto, en términos de la teoría de homotopía de Ω G , estos mapas son intercambiables.

Los grupos de bucles se utilizaron para explicar el fenómeno de las transformaciones de Bäcklund en las ecuaciones de solitón de Chuu-Lian Terng y Karen Uhlenbeck .

Notas

Referencias

• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA (1997). A. van Groesen; EM de Jager; APE Ten Kroode (eds.). Álgebras de Lie de dimensión finita e infinita y su aplicación en física . Estudios de física matemática. 7 . Holanda Septentrional. ISBN   978-0-444-82836-1 - a través de ScienceDirect .
• Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986), Loop groups , Oxford Mathematical Monographs. Publicaciones científicas de Oxford, Nueva York: Oxford University Press , ISBN   978-0-19-853535-5 , MR   0900587 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )

Ver también

• Espacio de bucle
• Álgebra de bucles
• Cuasigrupo