Grupo multiplicativo - Multiplicative group
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En matemáticas y teoría de grupos , el término grupo multiplicativo se refiere a uno de los siguientes conceptos:
- el grupo bajo la multiplicación de los elementos invertibles de un campo , anillo u otra estructura para la cual una de sus operaciones se conoce como multiplicación. En el caso de un campo F , el grupo es ( F ∖ {0}, •) , donde 0 se refiere al elemento cero de F y la operación binaria • es la multiplicación del campo ,
- el toro algebraico GL (1) ..
Ejemplos
- El grupo multiplicativo de números enteros módulo n es el grupo bajo la multiplicación de los elementos invertibles de . Cuando n no es primo, hay elementos distintos de cero que no son invertibles.
- El grupo multiplicativo de números reales positivos es un grupo abeliano con 1 su elemento de identidad . El logaritmo es un isomorfismo de grupo de este grupo para el grupo aditivo de los números reales, .
- El grupo multiplicativo de un campo es el conjunto de todos los elementos distintos de cero:, bajo la operación de multiplicación. Si es finito de orden q (por ejemplo q = p un número primo, y ), entonces el grupo multiplicativo es cíclico: .
Esquema grupal de raíces de unidad
El esquema de grupo de n - ésimas raíces de unidad es por definición el núcleo del mapa de n- potencias en el grupo multiplicativo GL (1), considerado como un esquema de grupo . Es decir, para cualquier número entero n > 1 podemos considerar el morfismo en el grupo multiplicativo que toma n -ésimas potencias, y tomar un producto de fibra apropiado de esquemas , con el morfismo e que sirve como identidad.
El esquema de grupo resultante se escribe μ n (o ). Da lugar a un esquema reducido , cuando lo tomamos sobre un campo K , si y solo si la característica de K no divide n . Esto lo convierte en una fuente de algunos ejemplos clave de esquemas no reducidos (esquemas con elementos nilpotentes en sus haces de estructura ); por ejemplo μ p sobre un campo finito con p elementos para cualquier número primo p .
Este fenómeno no se expresa fácilmente en el lenguaje clásico de la geometría algebraica. Por ejemplo, resulta de gran importancia para expresar la teoría de la dualidad de las variedades abelianas en la característica p (teoría de Pierre Cartier ). La cohomología de Galois de este esquema de grupo es una forma de expresar la teoría de Kummer .
Notas
Referencias
- Michiel Hazewinkel , Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Álgebras, anillos y módulos . Volumen 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0