Glosario de teoría de grupos - Glossary of group theory

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones basicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo cociente Producto (semi) directo Homomorfismos de grupo núcleo imagen suma directa producto de corona sencillo finito infinito continuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente soluble acción Glosario de teoría de grupos Lista de temas de teoría de grupos
Grupos finitos Clasificación de grupos simples finitos cíclico alterno Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall grupo p Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein de cuatro grupos V Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Celosías Enteros ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo libre Grupos modulares PSL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductor Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

Un grupo es un conjunto junto con una operación asociativa que admite un elemento identidad y tal que cada elemento tiene una inversa .

A lo largo del artículo, usamos para denotar el elemento de identidad de un grupo. ${\ Displaystyle e}$

A

grupo abeliano

Un grupo es abeliano si es conmutativo, es decir, para todos , ∈ . Del mismo modo, un grupo no es beliano si esta relación no se cumple para cualquier par , ∈ .${\ Displaystyle (G, *)}$${\ Displaystyle *}$${\ Displaystyle g * h = h * g}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle G}$

subgrupo ascendente

Un subgrupo H de un grupo G es ascendente si hay una serie de subgrupos ascendentes que comienza en H y termina en G , de modo que cada término de la serie es un subgrupo normal de su sucesor. La serie puede ser infinita. Si la serie es finita, entonces el subgrupo es subnormal .

automorfismo

Un automorfismo de un grupo es un isomorfismo del grupo a sí mismo.

C

centro de un grupo

El centro de un grupo G , denotado Z ( G ) , es el conjunto de los elementos del grupo que conmutan con todos los elementos de G , es decir, el conjunto de todos h ∈ G tal que hg = gh para todos g ∈ G . Z ( G ) es siempre un subgrupo normal de G . Un grupo  G es abeliano si y sólo si Z ( G ) = G .

grupo sin centro

Un grupo G no tiene centro si su centro Z ( G ) es trivial .

subgrupo central

Un subgrupo de un grupo es un subgrupo central de ese grupo si se encuentra dentro del centro del grupo .

función de clase

Una función de la clase en un grupo G es una función que es constante en las clases de conjugación de G .

numero de clase

El número de clase de un grupo es el número de sus clases de conjugación .

conmutador

El conmutador de dos elementos g y h de un grupo  G es el elemento [ g , h ] = g ⁻¹ h ⁻¹ gh . Algunos autores definen el conmutador como [ g , h ] = ghg ⁻¹ h ^{−1 en su} lugar. El conmutador de dos elementos g y h es igual a la identidad del grupo si y solo si g y h conmutan, es decir, si y solo si gh = hg .

subgrupo de conmutadores

El subgrupo de conmutadores o subgrupo derivado de un grupo es el subgrupo generado por todos los conmutadores del grupo.

serie de composición

Una serie de composición de un grupo G es una serie subnormal de longitud finita

${\ Displaystyle 1 = H_ {0} \ triangleleft H_ {1} \ triangleleft \ cdots \ triangleleft H_ {n} = G,}$

con inclusiones estrictas, de modo que cada H _i es un subgrupo normal estricto máximo de H _{i +1} . De manera equivalente, una serie de composición es una serie subnormal tal que cada grupo de factores H _{i +1} / H _i es simple . Los grupos de factores se denominan factores de composición.

subgrupo cerrado por conjugación

Se dice que un subgrupo de un grupo está cerrado por conjugación si dos elementos cualesquiera del subgrupo que están conjugados en el grupo también están conjugados en el subgrupo.

clase de conjugación

Las clases de conjugación de un grupo G son aquellos subconjuntos de G que contienen elementos de grupo que se conjugan entre sí.

conjugar elementos

Dos elementos x y Y de un grupo  G son conjugado si existe un elemento g ∈ G tal que g ^-1 xg = y . El elemento g ⁻¹ xg , denotado x ^g , se llama conjugado de x por g . Algunos autores definen el conjugado de x por g como gxg ⁻¹ . Esto a menudo se denota ^g x . El conjugado es una relación de equivalencia . Sus clases de equivalencia se denominan clases de conjugación .

conjugar subgrupos

Dos subgrupos H ₁ y H ₂ de un grupo G son subgrupos conjugados si hay un g ∈ G tal que gH ₁ g ⁻¹ = H ₂ .

subgrupo contranormal

Un subgrupo de un grupo G es un subgrupo contranormal de G si su cierre normal es el propio G.

grupo cíclico

Un grupo cíclico es un grupo que es generado por un solo elemento, es decir, un grupo tal que hay un elemento g en el grupo tal que todos los demás elementos del grupo pueden obtenerse aplicando repetidamente la operación de grupo  ag o su inverso.

D

subgrupo derivado

Sinónimo de subgrupo de conmutadores .

producto directo

El producto directo de dos grupos G y H , denominado G × H , es el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes de G y H , equipado con una operación binaria definida por componentes ( g ₁ , h ₁ ) · ( g ₂ , h ₂ ) = ( g ₁ ⋅ g ₂ , h ₁ ⋅ h ₂ ) . Con esta operación, la propia G × H forma un grupo.

F

grupo de factores

Sinónimo de grupo cociente .

FC-grupo

Un grupo es un grupo FC si cada clase de conjugación de sus elementos tiene cardinalidad finita.

grupo finito

Un grupo finito es un grupo de orden finito , es decir, un grupo con un número finito de elementos.

grupo generado de forma finita

Un grupo G se genera finitamente si hay un conjunto generador finito , es decir, si hay un conjunto finito S de elementos de G tal que cada elemento de G puede escribirse como la combinación de un número finito de elementos de S y de inversos de elementos de S .

GRAMO

grupo electrógeno

Un grupo electrógeno de un grupo G es un subconjunto S de G tal que cada elemento de G se puede expresar como una combinación (bajo la operación de grupo) de un número finito de elementos de S y inversas de elementos de S .

automorfismo grupal

Ver automorfismo .

homomorfismo de grupo

Ver homomorfismo .

isomomorfismo de grupo

Ver isomomorfismo .

H

homomorfismo

Dados dos grupos ( G , ∗) y ( H , ·) , un homomorfismo de G a H es una función h  : G → H tal que para todo a y b en G , h ( a ∗ b ) = h ( a ) · H ( b ) .

I

índice de un subgrupo

El índice de un subgrupo H de un grupo G , denotado | G  : H | o [ G  : H ] o ( G  : H ) , es el número de clases laterales de H en G . Para un subgrupo normal N de un grupo G , el índice de N en G es igual a la orden del grupo cociente G / N . Para un finito subgrupo H de un grupo finito G , el índice de H en G es igual al cociente de las órdenes de G y H .

isomorfismo

Dados dos grupos ( G , ∗) y ( H , ·) , un isomorfismo entre G y H es un homomorfismo biyectivo de G a H , es decir, una correspondencia uno a uno entre los elementos de los grupos de manera que respeta las operaciones grupales dadas. Dos grupos son isomorfos si existe un mapeo de isomorfismos de grupo de uno a otro. Se puede pensar que los grupos isomorfos son esencialmente iguales, solo que con diferentes etiquetas en los elementos individuales.

L

celosía de subgrupos

El entramado de subgrupos de un grupo es el entramado definido por sus subgrupos , parcialmente ordenado por inclusión de conjuntos .

grupo cíclico local

Un grupo es cíclico localmente si cada subgrupo generado de forma finita es cíclico . Cada grupo cíclico es localmente cíclico y cada grupo localmente cíclico generado finitamente es cíclico. Cada grupo cíclico local es abeliano . Cada subgrupo , cada grupo cociente y cada imagen homomórfica de un grupo localmente cíclico es localmente cíclico.

norte

cierre normal

El cierre normal de de un subconjunto  S de un grupo  G es la intersección de todos los subgrupos normales de  G que contienen  S .

núcleo normal

El núcleo normales de un subgrupo H de un grupo G es el mayor subgrupo normal de G que está contenido en H .

normalizador

Para un subconjunto S de un grupo  G , el normalizador de S en G , denotado N _G ( S ) , es el subgrupo de G definido por

${\ Displaystyle \ mathrm {N} _ {G} (S) = \ {g \ in G \ mid gS = Sg \}.}$

serie normal

Una serie normal de un grupo  G es una secuencia de subgrupos normales de G tal que cada elemento de la secuencia es un subgrupo normal del siguiente elemento:

${\ Displaystyle 1 = A_ {0} \ triangleleft A_ {1} \ triangleleft \ cdots \ triangleleft A_ {n} = G}$

con

${\ Displaystyle A_ {i} \ triangleleft G}$.

subgrupo normal

Un subgrupo N de un grupo G es normal en G (denotado ) si la conjugación de un elemento n de N con un elemento g de G está siempre en N , es decir, si para todo g ∈ G y n ∈ N , gng ^{- 1} ∈ N . Se puede usar un subgrupo normal N de un grupo G para construir el cociente grupo G / N ( G mod N ).${\ Displaystyle N \ triangleleft G}$

O

orbita

Considere un grupo G que actúa sobre un conjunto X . La órbita de un elemento x en X es el conjunto de elementos en X al que los elementos de G pueden mover x . La órbita de x se denota por G ⋅ x

orden de un grupo

El orden de un grupo es la cardinalidad (es decir, el número de elementos) de . Un grupo con orden finito se llama grupo finito .${\ Displaystyle (G, *)}$${\ Displaystyle G}$

orden de un elemento de grupo

El orden de un elemento g de un grupo G es el menor entero positivo n tal que g ⁿ = e . Si no existe tal número entero, entonces se dice que el orden de g es infinito. El orden de un grupo finito es divisible por el orden de cada elemento.

PAG

núcleo perfecto

El núcleo perfecto de un grupo es su subgrupo perfecto más grande .

grupo perfecto

Un grupo perfecto es un grupo que es igual a su propio subgrupo de conmutadores .

grupo periódico

Un grupo es periódico si cada elemento del grupo tiene un orden finito . Todo grupo finito es periódico.

grupo de permutación

Un grupo de permutación es un grupo cuyos elementos son permutaciones de un conjunto M dado (las funciones biyectivas del conjunto M a sí mismo) y cuya operación de grupo es la composición de esas permutaciones. El grupo que consiste en todas las permutaciones de un conjunto M es el grupo simétrico de M .

p -grupo

Si p es un número primo , entonces un p -grupo es aquella en la que el orden de cada elemento es una potencia de p . Un grupo finito es un grupo p si y solo si el orden del grupo es una potencia de p .

p -subgrupo

Un subgrupo que también es un p -grupo . El estudio de p- subgrupos es el objeto central de los teoremas de Sylow .

Q

grupo cociente

Dado un grupo y un subgrupo normal de , el grupo cociente es el conjunto / de clases laterales izquierdas junto con la operación. La relación entre subgrupos normales, homomorfismos y grupos de factores se resume en el teorema fundamental de homomorfismos .${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle \ {aN: a \ in G \}}$${\ Displaystyle aN * bN = abN.}$

R

elemento real

Un elemento g de un grupo G se llama elemento real de G si pertenece a la misma clase de conjugación que su inverso, es decir, si hay una h en G con ,${\ Displaystyle g ^ {h} = g ^ {- 1}}$ donde se define como h ⁻¹ gh . Un elemento de un grupo G es real si y solo si para todas las representaciones de G la traza de la matriz correspondiente es un número real.${\ Displaystyle g ^ {h}}$

S

subgrupo en serie

Un subgrupo H de un grupo G es un subgrupo de serie de G si hay una cadena C de subgrupos de G de H a G tal que para cada par de subgrupos consecutivos X y Y en C , X es un subgrupo normal de Y . Si la cadena es finito, entonces H es un subgrupo subnormal de G .

grupo simple

Un grupo simple es un grupo no trivial cuyos únicos subgrupos normales son el grupo trivial y el grupo mismo.

subgrupo

Un subgrupo de un grupo G es un subconjunto H de los elementos de G que sí forma un grupo cuando está equipado con la restricción de la operación del grupo de G a H × H . Un subconjunto H de un grupo G es un subgrupo de G si y solo si no está vacío y está cerrado bajo productos e inversos, es decir, si y solo si para todo a y b en H , ab y a ⁻¹ también están en H .

serie de subgrupos

Una serie de subgrupos de un grupo G es una secuencia de subgrupos de G de manera que cada elemento de la serie es un subgrupo del siguiente elemento:

${\ Displaystyle 1 = A_ {0} \ leq A_ {1} \ leq \ cdots \ leq A_ {n} = G.}$

subgrupo subnormal

Un subgrupo H de un grupo G es un subgrupo subnormal de G si hay una cadena finita de subgrupos del grupo, cada uno de lo normal en la siguiente, a partir de H y terminando en G .

grupo simétrico

Dado un conjunto M , el grupo simétrico de M es el conjunto de todas las permutaciones de M (el conjunto de todas las funciones biyectivas de M a M ) con la composición de las permutaciones como operación de grupo. El grupo simétrico de un conjunto finito de tamaño n se denota S _n . (Los grupos simétricos de dos conjuntos cualesquiera del mismo tamaño son isomorfos ).

T

grupo de torsión

Sinónimo de grupo periódico .

subgrupo transitivamente normal

Se dice que un subgrupo de un grupo es transitivamente normal en el grupo si cada subgrupo normal del subgrupo también es normal en todo el grupo.

grupo trivial

Un grupo trivial es un grupo que consta de un solo elemento, a saber, el elemento de identidad del grupo. Todos estos grupos son isomorfos , y uno habla a menudo de la grupo trivial.

Definiciones basicas

Subgrupo . Un subconjunto de un grupoque sigue siendo un grupo cuando la operaciónestá restringidase denomina subgrupo de. ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle (G, *)}$${\ Displaystyle *}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G}$

Dado un subconjunto de . Denotamos por el subgrupo más pequeño de contener . se llama el subgrupo de generado por . ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle <S>}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle <S>}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle S}$

Subgrupo normal . es un subgrupo normal deif for allinyin,también pertenece a. ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle g * h * g ^ {- 1}}$${\ Displaystyle H}$

Tanto los subgrupos como los subgrupos normales de un grupo dado forman una red completa con la inclusión de subconjuntos; esta propiedad y algunos resultados relacionados se describen mediante el teorema de la red .

Homomorfismo grupal . Estas son funcionesque tienen la propiedad especial de que ${\ Displaystyle f \ colon (G, *) \ to (H, \ times)}$

${\ Displaystyle f (a * b) = f (a) \ times f (b),}$

para cualquier elemento y de . ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle G}$

Núcleo de un homomorfismo grupal . Es la preimagen de la identidad en el codominio de un homomorfismo de grupo. Cada subgrupo normal es el núcleo de un homomorfismo de grupo y viceversa.

Isomorfismo de grupo . Homomorfismos de grupo que tienen funciones inversas . Resulta que la inversa de un isomorfismo también debe ser un homomorfismo.

Grupos isomorfos . Dos grupos son isomorfos si existe un mapeo de isomorfismos de grupo de uno a otro. Se puede pensar que los grupos isomorfos son esencialmente iguales, solo que con diferentes etiquetas en los elementos individuales. Uno de los problemas fundamentales de la teoría de grupos es la clasificación de grupos hasta el isomorfismo.

Producto directo , suma directa y producto semidirecto de grupos. Son formas de combinar grupos para construir nuevos grupos; consulte los enlaces correspondientes para obtener una explicación.

Tipos de grupos

Grupo finamente generado . Si existe un conjunto finitode tal forma quea continuaciónse dice que es finito . Sise puede considerar que tiene un solo elemento,es un grupo cíclico de orden finito, un grupo cíclico infinito , o posiblemente un grupocon un solo elemento. ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle <S> = G,}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ {e \}}$

Grupo simple . Los grupos simples son aquellos grupos que tienen soloy ellos mismos como subgrupos normales . El nombre es engañoso porque un grupo simple de hecho puede ser muy complejo. Un ejemplo es el grupo de monstruos , cuyo orden es de aproximadamente 10 ⁵⁴ . Cada grupo finito se construye a partir de grupos simples a través de extensiones de grupo , por lo que el estudio de grupos simples finitos es fundamental para el estudio de todos los grupos finitos. Los grupos simples finitos son conocidos y clasificados . ${\ Displaystyle e}$

La estructura de cualquier grupo abeliano finito es relativamente simple; cada grupo abeliano finito es la suma directa de grupos p cíclicos . Esto puede extenderse a una clasificación completa de todos los grupos abelianos generados finitamente , es decir, todos los grupos abelianos que son generados por un conjunto finito.

La situación es mucho más complicada para los grupos no abelianos.

Grupo libre . Dado cualquier conjunto, se puede definir un grupo como el grupo más pequeño que contiene el semigrupo libre de. El grupo consta de cadenas finitas (palabras) que pueden estar compuestas por elementos de, junto con otros elementos que son necesarios para formar un grupo. La multiplicación de cadenas se define por concatenación, por ejemplo${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle (abb) * (bca) = abbbca.}$

Cada grupo es básicamente un grupo de factores de un grupo libre generado por . Consulte la presentación de un grupo para obtener más explicaciones. Luego, se pueden hacer preguntas algorítmicas sobre estas presentaciones, tales como: ${\ Displaystyle (G, *)}$${\ Displaystyle G}$

• ¿Estas dos presentaciones especifican grupos isomorfos ?; o
• ¿Esta presentación especifica el grupo trivial?

El caso general de esto es el problema verbal y, de hecho, varias de estas preguntas no pueden resolverse mediante ningún algoritmo general.

El grupo lineal general , denotado por GL ( n , F ), es el grupo de matrices -por- invertibles , donde los elementos de las matrices se toman de un campo como los números reales o los números complejos. ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle F}$

Representación grupal (no confundir con la presentación de un grupo). Una representación de grupo es un homomorfismo de un grupo a un grupo lineal general. Básicamente, se intenta "representar" un grupo abstracto dado como un grupo concreto de matrices invertiblesque es mucho más fácil de estudiar.

Ver también

• Glosario de grupos de Lie y álgebras de Lie
• Glosario de teoría de anillos
• Serie de composición
• Serie normal