Codominio - Codomain
En matemáticas , el codominio o conjunto de destino de una función es el conjunto en el que toda la salida de la función está obligada a caer. Es el conjunto Y en la notación f : X → Y . El término rango a veces se usa de manera ambigua para referirse al codominio o la imagen de una función.
Un codominio es parte de una función f si f se define como un triple ( X , Y , G ) donde X se llama dominio de f , Y su codominio y G su gráfica . El conjunto de todos los elementos de la forma f ( x ) , donde x varía sobre los elementos del dominio X , se llama imagen de f . La imagen de una función es un subconjunto de su codominio, por lo que es posible que no coincida con él. Es decir, una función que no es sobreyectiva tiene elementos y en su codominio para los cuales la ecuación f ( x ) = y no tiene solución.
Un codominio no es parte de una función f si f se define solo como un gráfico. Por ejemplo, en la teoría de conjuntos es deseable permitir que el dominio de una función sea una clase X adecuada , en cuyo caso formalmente no existe nada parecido a un triple ( X , Y , G ) . Con tal funciones de definición no tienen un codomain, aunque algunos autores todavía lo utilizan informalmente después de la introducción de una función en la forma f : X → Y .
Ejemplos de
Para una función
definido por
- o equivalente
el codominio de f es , pero f no se asigna a ningún número negativo. Por tanto, la imagen de f es el conjunto ; es decir, el intervalo [0, ∞) .
Una función alternativa g se define así:
Mientras que f y g asignar un dadas x al mismo número, no son, en este punto de vista, la misma función porque tienen diferentes codomains. Se puede definir una tercera función h para demostrar por qué:
El dominio de h no puede ser, pero puede definirse como :
Las composiciones se indican
En la inspección, h ∘ f no es útil. Es cierto, a menos que se defina lo contrario, que la imagen de f no se conoce; solo se sabe que es un subconjunto de . Por esta razón, es posible que h , cuando se componga con f , reciba un argumento para el que no se define ninguna salida; los números negativos no son elementos del dominio de h , que es la función raíz cuadrada .
Por lo tanto, la composición de funciones es una noción útil solo cuando el codominio de la función en el lado derecho de una composición (no su imagen , que es una consecuencia de la función y podría ser desconocida a nivel de la composición) es un subconjunto del dominio de la función en el lado izquierdo.
El codominio afecta si una función es una sobreyección , en el sentido de que la función es sobreyectiva si y solo si su codominio es igual a su imagen. En el ejemplo, g es una sobreyección mientras que f no lo es. El codominio no afecta si una función es una inyección .
Un segundo ejemplo de la diferencia entre codominio e imagen lo demuestran las transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales , en particular, todas las transformaciones lineales de a sí mismo, que pueden ser representadas por las matrices 2 × 2 con coeficientes reales. Cada matriz representa un mapa con el dominio y el codominio . Sin embargo, la imagen es incierta. Algunas transformaciones pueden tener una imagen igual a todo el codominio (en este caso las matrices con rango 2 ) pero muchas no lo tienen, en cambio mapeando en un subespacio más pequeño (las matrices con rango 1 o 0 ). Tomemos, por ejemplo, la matriz T dada por
que representa una transformación lineal que asigna el punto ( x , y ) a ( x , x ) . El punto (2, 3) no está en la imagen de T , pero todavía está en el codominio ya que las transformaciones lineales de a son de relevancia explícita. Al igual que todas las matrices de 2 × 2 , T representa un miembro de ese conjunto. Examinar las diferencias entre la imagen y el codominio a menudo puede ser útil para descubrir propiedades de la función en cuestión. Por ejemplo, se puede concluir que T no tiene rango completo ya que su imagen es más pequeña que todo el codominio.
Ver también
- Biyección : función que es uno a uno y sobre (matemáticas)
- Morfismo # Codominio
Notas
Referencias
- Bourbaki, Nicolas (1970). Théorie des ensembles . Éléments de mathématique. Saltador. ISBN 9783540340348.
- Eccles, Peter J. (1997), Introducción al razonamiento matemático: números, conjuntos y funciones , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59718-0
- Forster, Thomas (2003), Lógica, inducción y conjuntos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53361-4
- Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático que trabaja (2a ed.), Springer, ISBN 978-0-387-98403-2
- Scott, Dana S .; Jech, Thomas J. (1967), Teoría de conjuntos axiomáticos , Simposio en matemáticas puras, Sociedad matemática estadounidense, ISBN 978-0-8218-0245-8
- Sharma, AK (2004), Introducción a la teoría de conjuntos , Discovery Publishing House, ISBN 978-81-7141-877-0
- Stewart, Ian; Tall, David Orme (1977), Los fundamentos de las matemáticas , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853165-4