Función sobreyectiva - Surjective function

En matemáticas , una función sobreyectiva (también conocida como sobreyección o sobre función ) es una función f que asigna un elemento x a cada elemento y ; es decir, para cada y , hay una x tal que f ( x ) = y . En otras palabras, cada elemento del codominio de la función es la imagen de al menos un elemento de su dominio . No es necesario que x sea único ; la funciónf puede asignar uno o más elementos de X al mismo elemento de Y .

El término sobreyectivo y los términos relacionados inyectivo y biyectivo fueron introducidos por Nicolas Bourbaki , un grupo de matemáticos del siglo XX principalmente franceses que, bajo este seudónimo, escribieron una serie de libros que presentaban una exposición de las matemáticas avanzadas modernas a partir de 1935. Los franceses la palabra sur significa más o más , y se relaciona con el hecho de que la imagen del dominio de una función sobreyectiva cubre completamente el codominio de la función.

Cualquier función induce una sobreyección al restringir su codominio a la imagen de su dominio. Toda función sobreyectiva tiene una inversa derecha , y toda función con una inversa derecha es necesariamente una sobreyección. La composición de funciones sobreyectivas es siempre sobreyectiva. Cualquier función se puede descomponer en una sobreyección y una inyección.

Definición

Una función sobreyectiva es una función cuya imagen es igual a su codominio . De manera equivalente, una función con dominio y codominio es sobreyectiva si para cada en existe al menos uno en con . Las sobreyecciones a veces se indican con una flecha de dos cabezas hacia la derecha ( U + 21A0HACIA LA DERECHA FLECHA DE DOS CABEZAS ), como en .

Simbólicamente,

Si , entonces se dice que es sobreyectiva si
.

Ejemplos de

Una función no sobreyectiva de dominio X a codomain Y . El óvalo amarillo más pequeño dentro de Y es la imagen (también llamada rango ) de f . Esta función no es sobreyectiva, porque la imagen no ocupa todo el codominio. En otras palabras, Y se colorea en un proceso de dos pasos: Primero, para cada x en X , el punto f ( x ) se colorea en amarillo; En segundo lugar, todos los demás puntos en Y , que no son amarillos, son de color azul. La función f sería sobreyectiva solo si no hubiera puntos azules.
  • Para cualquier conjunto X , la función de identidad id X en X es sobreyectiva.
  • La función f  : Z → {0, 1} definida por f ( n ) = n mod 2 (es decir, los enteros pares se asignan a 0 y los enteros impares a 1) es sobreyectiva.
  • La función f  : RR definida por f ( x ) = 2 x + 1 es sobreyectiva (e incluso biyectiva ), porque para cada número real y , tenemos una x tal que f ( x ) = y : una x apropiada es ( y - 1) / 2.
  • La función f  : RR definida por f ( x ) = x 3 - 3 x es sobreyectiva, porque la imagen previa de cualquier número real y es el conjunto solución de la ecuación polinomial cúbica x 3 - 3 x - y = 0 , y todo polinomio cúbico con coeficientes reales tiene al menos una raíz real. Sin embargo, esta función no es inyectiva (y por lo tanto no es biyectiva ), ya que, por ejemplo, la imagen previa de y = 2 es { x = −1, x = 2}. (De hecho, la imagen previa de esta función para cada y , −2 ≤ y ≤ 2 tiene más de un elemento).
  • La función g  : RR definida por g ( x ) = x 2 no es sobreyectiva, ya que no existe un número real x tal que x 2 = −1 . Sin embargo, la función g  : RR ≥0 definida por g ( x ) = x 2 (con el codominio restringido) es sobreyectiva, ya que para cada y en el codominio real no negativo Y , hay al menos una x en el dominio real X tal que x 2 = y .
  • La función de logaritmo natural ln: (0, + ∞) → R es sobreyectiva e incluso biyectiva (mapeo del conjunto de números reales positivos al conjunto de todos los números reales). Su inversa, la función exponencial , si se define con el conjunto de números reales como dominio, no es sobreyectiva (ya que su rango es el conjunto de números reales positivos).
  • La matriz exponencial no es sobreyectiva cuando se ve como un mapa desde el espacio de todas las matrices n × n a sí misma. Sin embargo, generalmente se define como un mapa desde el espacio de todas las matrices n × n hasta el grupo lineal general de grado n (es decir, el grupo de todas las matrices invertibles n × n ). Bajo esta definición, la matriz exponencial es sobreyectiva para matrices complejas, aunque todavía no sobreyectiva para matrices reales.
  • La proyección de un producto cartesiano A × B a uno de sus factores es sobreyectiva, a menos que el otro factor esté vacío.
  • En un videojuego 3D, los vectores se proyectan en una pantalla plana 2D mediante una función sobreyectiva.
Interpretación para funciones sobreyectivas en el plano cartesiano, definido por el mapeo f  : XY , donde y = f ( x ), X = dominio de función, Y = rango de función. Cada elemento en el rango se mapea desde un elemento en el dominio, por la regla f . Puede haber varios elementos de dominio que se correspondan con el mismo elemento de rango. Es decir, cada y en Y se asigna a partir de un elemento x en X , más de una x se puede asignar a la misma y . Izquierda: Solo se muestra un dominio que hace que f sea sobreyectiva. Derecha: se muestran dos posibles dominios X 1 y X 2 .
Funciones no sobreyectivas en el plano cartesiano. Aunque algunas partes de la función son sobreyectivas, donde los elementos y en Y tienen un valor x en X tal que y = f ( x ), algunas partes no lo son. Izquierda: Hay y 0 en Y , pero no hay x 0 en X tal que y 0 = f ( x 0 ). Derecha: Hay y 1 , y 2 e y 3 en Y , pero no hay x 1 , x 2 y x 3 en X de manera que y 1 = f ( x 1 ), y 2 = f ( x 2 ), e y 3 = f ( x 3 ).

Propiedades

Una función es biyectiva si y solo si es tanto sobreyectiva como inyectiva .

Si (como se hace a menudo) una función se identifica con su gráfico , entonces la sobrejetividad no es una propiedad de la función en sí, sino más bien una propiedad del mapeo . Es decir, la función junto con su codominio. A diferencia de la inyectividad, la sobrejetividad no se puede leer solo en el gráfico de la función.

Superficies como funciones invertibles correctas

Se dice que la función g  : YX es inversa a la derecha de la función f  : XY si f ( g ( y )) = y para cada y en Y ( g se puede deshacer por f ). En otras palabras, g es una inversa derecha de f si el composición f o g de g y f en ese orden es la función identidad en el dominio Y de g . La función g no necesita ser una completa inverso de f porque la composición en el otro orden, g o f , no puede ser la función de identidad en el dominio X de f . En otras palabras, f puede deshacer o " revertir " g , pero no necesariamente puede revertirlo.

Toda función con inversa a la derecha es necesariamente una sobreyección. La proposición de que toda función sobreyectiva tiene una inversa correcta es equivalente al axioma de elección .

Si f  : XY es sobreyectiva y B es un subconjunto de Y , entonces f ( f -1 ( B )) = B . Por tanto, B se puede recuperar de su preimagen f −1 ( B ) .

Por ejemplo, en la primera ilustración de arriba, hay una cierta función g tal que g ( C ) = 4. Hay también una cierta función f tal que f (4) = C . No importa que g ( C ) también sea igual a 3; sólo importa que f "invierte" g .

Suryecciones como epimorfismos

Una función f  : XY es sobreyectiva si y solo si es canceladora a la derecha : dadas las funciones g , h  : YZ , siempre que g o f = h o f , entonces g = h . Esta propiedad se formula en términos de funciones y su composición y puede generalizarse a la noción más general de los morfismos de una categoría y su composición. Los morfismos cancelativos a la derecha se denominan epimorfismos . Específicamente, las funciones sobreyectivas son precisamente los epimorfismos en la categoría de conjuntos . El prefijo epi se deriva de la preposición griega ἐπί que significa encima , arriba , encendido .

Cualquier morfismo con una inversa derecha es un epimorfismo, pero lo contrario no es cierto en general. Una g inversa a la derecha de un morfismo f se llama sección de f . Un morfismo con una inversa derecha se llama epimorfismo dividido .

Surjecciones como relaciones binarias

Cualquier función con dominio X y codominio Y se puede ver como una relación binaria única a la izquierda y a la derecha entre X e Y identificándola con su gráfico de función . Una función sobreyectiva con dominio X y codominio Y es entonces una relación binaria entre X e Y que es única a la derecha y tanto total a la izquierda como total a la derecha .

Cardinalidad del dominio de una sobreyección

La cardinalidad del dominio de una función sobreyectiva es mayor o igual que la cardinalidad de su codominio: Si f  : XY es una función sobreyectiva, entonces X tiene al menos tantos elementos como Y , en el sentido de números cardinales . (La demostración apela al axioma de elección para mostrar que existe una función g  : YX que satisface f ( g ( y )) = y para todo y en Y. Se ve fácilmente que g es inyectiva, por lo tanto, la definición formal de | Y | ≤ | X | se satisface.)

Específicamente, si tanto X como Y son finitos con el mismo número de elementos, entonces f  : XY es sobreyectiva si y solo si f es inyectiva .

Dados dos conjuntos X y Y , la notación X* Y se usa para decir que, o bien X está vacío o que hay un surjection de Y en X . Usando el axioma de elección se puede demostrar que X* Y e Y* X juntos implican que | Y | = | X |, una variante del teorema de Schröder-Bernstein .

Composición y descomposición

La composición de las funciones sobreyectivas es siempre sobreyectiva: si f y g son sobreyectivas, y el codominio de g es igual al dominio de f , entonces f o g es sobreyectiva. Por el contrario, si f o g es sobreyectiva, entonces f es sobreyectiva (pero g , la función que se aplica primero, no tiene por qué serlo). Estas propiedades se generalizan desde sobreyecciones en la categoría de conjuntos hasta cualquier epimorfismo en cualquier categoría .

Cualquier función puede descomponerse en una sobreyección y una inyección : Para cualquier función h  : XZ existe una sobreyección f  : XY y una inyección g  : YZ tal que h = g o f . Para ver esto, defina Y como el conjunto de preimágenes h −1 ( z ) donde z está en h ( X ) . Estos preimages son disjuntos y partición de X . Entonces f lleva cada x al elemento de Y que lo contiene, y g lleva cada elemento de Y al punto en Z al que h envía sus puntos. Entonces f es sobreyectiva ya que es un mapa de proyección, yg es inyectiva por definición.

Sobreyección inducida y biyección inducida

Cualquier función induce una sobreyección al restringir su codominio a su rango. Cualquier función sobreyectiva induce una biyección definida en un cociente de su dominio colapsando todos los argumentos que se mapean en una imagen fija dada. Más precisamente, cada sobreyección f  : AB se puede factorizar como una proyección seguida de una biyección de la siguiente manera. Sea A / ~ las clases de equivalencia de A bajo la siguiente relación de equivalencia : x ~ y si y sólo si f ( x ) = f ( y ). De manera equivalente, A / ~ es el conjunto de todas las imágenes previas en f . Sea P (~): AA / ~ el mapa de proyección que envía cada x en A a su clase de equivalencia [ x ] ~ , y sea f P  : A / ~ → B la función bien definida dada por f P ([ x ] ~ ) = f ( x ). Entonces f = f P o P (~).

Ver también

Referencias

Otras lecturas