Problema verbal para grupos - Word problem for groups

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría combinatoria de grupos , el problema de palabras para un grupo G generado finitamente es el problema algorítmico de decidir si dos palabras en los generadores representan el mismo elemento. Más precisamente, si A es un conjunto finito de generadores de G, entonces el problema verbal es el problema de pertenencia para el lenguaje formal de todas las palabras en A y un conjunto formal de inversos que se asignan a la identidad bajo el mapa natural del monoide libre con involución en a al grupo G . Si B es otro grupo electrógeno finitos para G , entonces la palabra problema sobre el conjunto de generación de B es equivalente a la palabra problema sobre el conjunto de generación de A . Por tanto, se puede hablar sin ambigüedades de la decidibilidad del problema verbal para el grupo G generado de forma finita .

El problema de palabras uniforme relacionado pero diferente para una clase K de grupos presentados recursivamente es el problema algorítmico de decidir, dado como entrada una presentación P para un grupo G en la clase K y dos palabras en los generadores de G , si las palabras representan el mismo elemento de G . Algunos autores exigen que la clase K se pueda definir mediante un conjunto de presentaciones enumerables de forma recursiva .

Historia

A lo largo de la historia de la asignatura, se han realizado cálculos en grupos utilizando diversas formas normales . Por lo general, estos resuelven implícitamente el problema verbal para los grupos en cuestión. En 1911, Max Dehn propuso que el problema verbal era un área importante de estudio por derecho propio, junto con el problema de la conjugación y el problema del isomorfismo de grupo . En 1912 dio un algoritmo que resuelve tanto el problema de la palabra como de la conjugación para los grupos fundamentales de variedades bidimensionales orientables cerradas de género mayor o igual a 2. Los autores posteriores han extendido enormemente el algoritmo de Dehn y lo han aplicado a una amplia gama de grupos. problemas de decisión teóricos .

Pyotr Novikov demostró en 1955 que existe un grupo G presentado de manera finita, de modo que el problema verbal para G es indecidible . De ello se deduce inmediatamente que el problema de la palabra uniforme también es indecidible. William Boone obtuvo una prueba diferente en 1958.

El problema verbal fue uno de los primeros ejemplos de un problema irresoluble que no se encuentra en la lógica matemática o la teoría de los algoritmos , sino en una de las ramas centrales de las matemáticas clásicas, el álgebra . Como resultado de su insolubilidad, se ha demostrado que otros problemas de la teoría combinatoria de grupos también son insolubles.

Es importante darse cuenta de que la palabra problema es solucionable, de hecho, para muchos grupos G . Por ejemplo, los grupos policíclicos tienen problemas de palabras que se pueden resolver ya que la forma normal de una palabra arbitraria en una presentación policíclica es fácilmente computable; otros algoritmos para grupos pueden, en circunstancias adecuadas, también resolver el problema verbal; consulte el algoritmo de Todd-Coxeter y el algoritmo de finalización de Knuth-Bendix . Por otro lado, el hecho de que un algoritmo en particular no resuelva el problema verbal de un grupo en particular no muestra que el grupo tenga un problema verbal sin solución. Por ejemplo, el algoritmo de Dehn no resuelve el problema verbal del grupo fundamental del toro . Sin embargo, este grupo es el producto directo de dos grupos cíclicos infinitos y, por lo tanto, tiene un problema verbal que se puede resolver.

Una descripción más concreta

En términos más concretos, el problema de palabra uniforme se puede expresar como una pregunta de reescritura , para cadenas literales . Para una presentación P de un grupo G , P especificará un cierto número de generadores

x , y , z , ...

para G . Necesitamos introducir una letra para x y otra (por conveniencia) para el elemento de grupo representado por x ⁻¹ . Llamemos a estas letras (el doble que los generadores) el alfabeto de nuestro problema. Entonces cada elemento en G está representado de alguna manera por un producto ${\ Displaystyle \ Sigma}$

abc ... pqr

de símbolos desde , de cierta longitud, multiplicado en G . La cuerda de longitud 0 ( cadena nula ) representa el elemento de identidad e de G . El quid de todo el problema es ser capaz de reconocer todas las formas de correo se puede representar, teniendo en cuenta algunas relaciones. ${\ Displaystyle \ Sigma}$

El efecto de las relaciones en G es hacer diversos tales cadenas representan el mismo elemento de G . De hecho, las relaciones proporcionan una lista de cadenas que pueden introducirse donde queramos, o cancelarse cuando las veamos, sin cambiar el 'valor', es decir, el elemento de grupo que es el resultado de la multiplicación.

Para un ejemplo simple, tome la presentación { a | a ³ }. Escribiendo Una para la inversa de una , tenemos posibles cadenas combinando cualquier número de los símbolos de una y A . Siempre que veamos aaa , o aA o Aa, podemos tacharlos . También debemos recordar tachar AAA ; esto dice que dado que el cubo de a es el elemento identidad de G , también lo es el cubo de la inversa de a . En estas condiciones, el problema verbal se vuelve fácil. Primero reduzca las cadenas a la cadena vacía, a , aa , A o AA . Entonces en cuenta que podemos también multiplicar por AAA , por lo que podemos convertir una a AA y convertir AA a una . El resultado es que el problema verbal, aquí para el grupo cíclico de orden tres, tiene solución.

Sin embargo, este no es el caso típico. Por ejemplo, tenemos una forma canónica disponible que reduce cualquier cuerda a una de longitud como máximo tres, disminuyendo la longitud de manera monótona. En general, no es cierto que se pueda obtener una forma canónica para los elementos mediante cancelación gradual. Uno puede tener que usar relaciones para expandir una cadena muchas veces, para eventualmente encontrar una cancelación que reduzca la longitud.

El resultado es, en el peor de los casos, que la relación entre cadenas que dice que son iguales en G es un problema indecidible .

Ejemplos de

Los siguientes grupos tienen un problema verbal que se puede resolver:

• Grupos automáticos , que incluyen:
  • Grupos finitos
  • Grupos curvados negativamente (también conocidos como hiperbólicos)
  • Grupos euclidianos
  • Grupos de Coxeter
  • Grupos de trenzas
  • Grupos geométricamente finitos
• Grupos libres finamente generados
• Grupos abelianos libres finamente generados
• Grupos policíclicos
• Grupos finamente generados de forma recursiva absolutamente presentados , que incluyen:
  • Grupos simples finamente presentados.
• Finitamente presentado residualmente finitos grupos
• Un grupo de relatores (este es un teorema de Magnus), que incluye:
  • Grupos fundamentales de variedades bidimensionales orientables cerradas.
• Grupos combables
• Grupos apilables automáticamente

También se conocen ejemplos con problemas verbales sin solución:

• Dado un conjunto A recursivamente enumerable de enteros positivos que tiene un problema de pertenencia insoluble, ⟨a , b, c, d | un ⁿ ba ⁿ = c ⁿ dc ⁿ  : n ∈ A ⟩ es un grupo finitamente generado con una presentación recursivamente numerable cuya palabra problema es insoluble
• Cada grupo generado de forma finita con una presentación enumerable de forma recursiva y un problema verbal insoluble es un subgrupo de un grupo presentado de manera finita con un problema verbal insoluble
• El número de relatores en un grupo presentado de forma finita con un problema verbal insoluble puede ser tan bajo como 14 o incluso 12.
• En Collins 1986 se da un ejemplo explícito de una presentación breve razonable con un problema verbal insoluble:

${\ Displaystyle {\ begin {array} {lllll} \ langle & a, b, c, d, e, p, q, r, t, k & | && \\ & p ^ {10} a = ap, & pacqr = rpcaq, & ra = ar, & \\ & p ^ {10} b = bp, & p ^ {2} adq ^ {2} r = rp ^ {2} daq ^ {2}, & rb = br, & \\ & p ^ {10 } c = cp, & p ^ {3} bcq ^ {3} r = rp ^ {3} cbq ^ {3}, & rc = cr, & \\ & p ^ {10} d = dp, & p ^ {4} bdq ^ {4} r = rp ^ {4} dbq ^ {4}, & rd = dr, & \\ & p ^ {10} e = ep, & p ^ {5} ceq ^ {5} r = rp ^ {5} ecaq ^ {5}, & re = er, & \\ & aq ^ {10} = qa, & p ^ {6} deq ^ {6} r = rp ^ {6} edbq ^ {6}, & pt = tp, & \ \ & bq ^ {10} = qb, & p ^ {7} cdcq ^ {7} r = rp ^ {7} cdceq ^ {7}, & qt = tq, & \\ & cq ^ {10} = qc, & p ^ { 8} ca ^ {3} q ^ {8} r = rp ^ {8} a ^ {3} q ^ {8}, && \\ & dq ^ {10} = qd, & p ^ {9} da ^ {3 } q ^ {9} r = rp ^ {9} a ^ {3} q ^ {9}, && \\ & eq ^ {10} = qe, & a ^ {- 3} ta ^ {3} k = ka ^ {-3} ta ^ {3} && \ rangle \ end {matriz}}}$

Solución parcial del problema verbal

El problema verbal para un grupo presentado de forma recursiva se puede resolver parcialmente en el siguiente sentido:

Dada una presentación recursiva P = ⟨ X | R ⟩ para un grupo G , definir:

${\ Displaystyle S = \ {\ langle u, v \ rangle: u {\ text {y}} v {\ text {son palabras en}} X {\ text {y}} u = v {\ text {en} } G \ \}}$

entonces hay una función recursiva parcial f _P tal que:

${\ displaystyle f_ {P} (\ langle u, v \ rangle) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ \ langle u, v \ rangle \ in S \\ {\ text {undefined / no se detiene}} \ & {\ text {if}} \ \ langle u, v \ rangle \ notin S \ end {cases}}}$

De manera más informal, hay un algoritmo que se detiene si u = v , pero no lo hace de otra manera.

De ello se deduce que para resolver el problema verbal de P es suficiente construir una función recursiva g tal que:

${\ displaystyle g (\ langle u, v \ rangle) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ \ langle u, v \ rangle \ notin S \\ {\ text {indefinido / no se detiene }} \ & {\ text {if}} \ \ langle u, v \ rangle \ in S \ end {cases}}}$

Sin embargo u = v en G si y sólo si uv ^-1 = 1 en G . De ello se deduce que para resolver el problema verbal de P es suficiente construir una función recursiva h tal que:

${\ displaystyle h (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ x \ neq 1 \ {\ text {in}} \ G \\ {\ text {indefinido / no se detiene}} \ & {\ text {if}} \ x = 1 \ {\ text {in}} \ G \ end {cases}}}$

Ejemplo

Se probará lo siguiente como ejemplo del uso de esta técnica:

Teorema: Un grupo residualmente finito presentado de forma finita tiene un problema verbal que se puede resolver.

Prueba: Supongamos que G = ⟨ X | R ⟩ es un grupo finito presentado, residualmente finito.

Sea S el grupo de todas las permutaciones de N , los números naturales, que corrige todos los números, excepto un número finito, entonces:

1. S es localmente finito y contiene una copia de cada grupo finito.
2. El problema verbal en S se puede resolver calculando productos de permutaciones.
3. Hay una enumeración recursiva de todas las asignaciones del conjunto finito X en S .
4. Desde G es residualmente finito, si w es una palabra en los generadores X de G entonces w ≠ 1 en G si y sólo de algunos mapeo de X en S induce un homomorfismo tal que w ≠ 1 en S .

Dados estos hechos, algoritmo definido por el siguiente pseudocódigo:

For every mapping of X into S
    If every relator in R is satisfied in S
        If w ≠ 1 in S
            return 0
        End if
    End if
End for

define una función recursiva h tal que:

${\ displaystyle h (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ x \ neq 1 \ {\ text {in}} \ G \\ {\ text {indefinido / no se detiene}} \ & {\ text {if}} \ x = 1 \ {\ text {in}} \ G \ end {cases}}}$

Esto muestra que G tiene un problema verbal que se puede resolver.

Inestabilidad del problema verbal uniforme

El criterio dado anteriormente, para la resolución del problema verbal en un solo grupo, puede extenderse mediante un argumento sencillo. Esto da el siguiente criterio para la resolución uniforme del problema verbal para una clase de grupos presentados de forma finita:

Para resolver el problema verbal uniforme para una clase K de grupos, es suficiente encontrar una función recursiva que tome una presentación finita P para un grupo G y una palabra en los generadores de G , tal que siempre que G ∈ K : ${\ Displaystyle f (P, w)}$${\ Displaystyle w}$

${\ displaystyle f (P, w) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ w \ neq 1 \ {\ text {in}} \ G \\ {\ text {indefinido / no se detiene }} \ & {\ text {if}} \ w = 1 \ {\ text {in}} \ G \ end {cases}}}$

Teorema de Boone-Rogers: No existe un algoritmo parcial uniforme que resuelva el problema verbal en todos los grupos presentados finitamente con problema verbal resoluble.

En otras palabras, el problema verbal uniforme para la clase de todos los grupos presentados finitamente con problema verbal resoluble es irresoluble. Esto tiene algunas consecuencias interesantes. Por ejemplo, el teorema de incorporación de Higman se puede utilizar para construir un grupo que contenga una copia isomórfica de cada grupo presentado de forma finita con un problema verbal resoluble. Parece natural preguntar si este grupo puede tener problemas de palabras que se puedan resolver. Pero es una consecuencia del resultado de Boone-Rogers que:

Corolario: No existe un grupo universal de problemas de palabras que se puedan resolver. Es decir, si G es un grupo presentado de forma finita que contiene una copia isomorfa de cada grupo presentado de forma finita con un problema verbal resoluble, entonces G debe tener un problema verbal insoluble.

Observación: Supongamos que G = ⟨ X | R ⟩ es un grupo finito presentado con el problema de palabra resoluble y H es un subconjunto finito de G . Deje H ^* = ⟨ H ⟩, sea el grupo generado por H . Entonces la palabra problema en H ^* es resoluble: dado dos palabras h, k en los generadores de H de H ^* , escribir como palabras en X y compararlas utilizando una solución al problema de la palabra en G . Es fácil pensar que esto demuestra una solución uniforme de la palabra problema para la clase K (por ejemplo) de los grupos finitamente generados que puede ser embebido en G . Si este fuera el caso, la inexistencia de un grupo universal de problemas de palabras con solución se seguiría fácilmente de Boone-Rogers. Sin embargo, la solución que se acaba de mostrar para el problema verbal de los grupos en K no es uniforme. Para ver esto, considere un grupo J = ⟨ Y | T ⟩ ∈ K ; con el fin de utilizar el argumento anterior para resolver el problema de la palabra en J , es necesario primero a exhibir un mapeo e: Y → G que se extiende a una incrustación e ^* : J → G . Si hubiera una función recursiva que mapeara presentaciones de grupos (generadas de forma finita) en K con incrustaciones en G , entonces se podría construir una solución uniforme del problema verbal en K. Pero no hay ninguna razón, en general, para suponer que exista tal función recursiva. Sin embargo, resulta que, usando un argumento más sofisticado, el problema de la palabra en J puede resolverse sin el uso de una incrustación de correo : J → G . En lugar de una enumeración de homomorfismos se utiliza, y puesto que una enumeración de este tipo puede ser construido de manera uniforme, da lugar a una solución uniforme a la palabra problema en K .

Prueba de que no existe un grupo universal de problemas de palabras que se puedan resolver

Suponga que G fuera un grupo de problemas verbales que se pueden resolver de forma universal. Dada una presentación finita P = ⟨ X | R⟩ de un grupo H , se puede enumerar recursivamente todos homomorfismos h : H → G enumerando primero todas las asignaciones h ^† : X → G . No todas estas asignaciones se extienden a homomorfismos, pero, puesto que h ^† ( R ) es finito, es posible distinguir entre homomorfismos y no homomorfismos, mediante el uso de la solución al problema de la palabra en G . "Eliminar" los no homomorfismos da la enumeración recursiva requerida: h ₁ , h ₂ , ..., h _n , ....

Si H tiene un problema verbal que se puede resolver, entonces al menos uno de estos homomorfismos debe ser una incrustación. Entonces, dada una palabra w en los generadores de H :

${\ Displaystyle {\ text {If}} \ w \ neq 1 \ {\ text {in}} \ H, \ h_ {n} (w) \ neq 1 \ {\ text {in}} \ G \ {\ texto {para algunos}} \ h_ {n}}$

${\ Displaystyle {\ text {If}} \ w = 1 \ {\ text {in}} \ H, \ h_ {n} (w) = 1 \ {\ text {in}} \ G \ {\ text { para todos}} \ h_ {n}}$

Considere el algoritmo descrito por el pseudocódigo:

Let n = 0
    Let repeatable = TRUE
        while (repeatable)
            increase n by 1
            if (solution to word problem in G reveals hn(w) ≠ 1 in G)
                Let repeatable = FALSE
output 0.

Esto describe una función recursiva:

${\ displaystyle f (w) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ w \ neq 1 \ {\ text {in}} \ H \\ {\ text {indefinido / no se detiene}} \ & {\ text {if}} \ w = 1 \ {\ text {in}} \ H. \ end {cases}}}$

La función f depende claramente de la presentación P . Considerando que es una función de las dos variables, se ha construido una función recursiva que toma una presentación finita P para un grupo H y una palabra w en los generadores de un grupo G , de manera que siempre que G tenga un problema verbal soluble: ${\ Displaystyle f (P, w)}$

${\ displaystyle f (P, w) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ w \ neq 1 \ {\ text {in}} \ H \\ {\ text {indefinido / no se detiene }} \ & {\ text {if}} \ w = 1 \ {\ text {in}} \ H. \ end {cases}}}$

Pero esto resuelve uniformemente el problema verbal para la clase de todos los grupos presentados finitamente con problema verbal resoluble, lo que contradice a Boone-Rogers. Esta contradicción prueba que G no puede existir.

Estructura algebraica y el problema verbal

Hay una serie de resultados que relacionan la resolución del problema verbal y la estructura algebraica. El más significativo de ellos es el teorema de Boone-Higman :

Un grupo presentado de manera finita tiene un problema verbal que se puede resolver si y solo si puede integrarse en un grupo simple que puede integrarse en un grupo presentado de manera finita.

Se cree ampliamente que debería ser posible realizar la construcción de modo que el grupo simple en sí se presente de manera finita. Si es así, uno esperaría que fuera difícil de probar, ya que el mapeo de presentaciones a grupos simples tendría que ser no recursivo.

Bernhard Neumann y Angus Macintyre han demostrado lo siguiente :

Un grupo presentado de forma finita tiene un problema verbal que se puede resolver si y solo si puede integrarse en todos los grupos algebraicamente cerrados.

Lo notable de esto es que los grupos algebraicamente cerrados son tan salvajes que ninguno de ellos tiene una presentación recursiva.

El resultado más antiguo que relaciona la estructura algebraica con la resolución del problema verbal es el teorema de Kuznetsov:

Un grupo simple S presentado de forma recursiva tiene un problema verbal que se puede resolver.

Para probar esto Let ⟨ X | R ⟩ ser una presentación recursivo para S . Elige un ∈ S tal que una ≠ 1 en S .

Si w es una palabra en los generadores X de S , entonces sea:

${\ Displaystyle S_ {w} = \ langle X | R \ cup \ {w \} \ rangle.}$

Hay una función recursiva tal que: ${\ Displaystyle f _ {\ langle X | R \ cup \ {w \} \ rangle}}$

${\ Displaystyle f _ {\ langle X | R \ cup \ {w \} \ rangle} (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ x = 1 \ {\ text {in}} \ S_ {w} \\ {\ text {indefinido / no se detiene}} \ & {\ text {if}} \ x \ neq 1 \ {\ text {in}} \ S_ {w}. \ End {cases }}}$

Escribir:

${\ Displaystyle g (w, x) = f _ {\ langle X | R \ cup \ {w \} \ rangle} (x).}$

Entonces, debido a que la construcción de f fue uniforme, esta es una función recursiva de dos variables.

De ello se deduce que: es recursivo. Por construcción: ${\ Displaystyle h (w) = g (w, a)}$

${\ displaystyle h (w) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ a = 1 \ {\ text {in}} \ S_ {w} \\ {\ text {indefinido / no se detiene }} \ & {\ text {if}} \ a \ neq 1 \ {\ text {in}} \ S_ {w}. \ end {cases}}}$

Dado que S es un grupo simple, sus únicos grupos cocientes son él mismo y el grupo trivial. Desde un ≠ 1 en S , vemos un = 1 en S _w si y sólo si S _w es trivial si y sólo si w ≠ 1 en S . Por lo tanto:

${\ displaystyle h (w) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ w \ neq 1 \ {\ text {in}} \ S \\ {\ text {indefinido / no se detiene}} \ & {\ text {if}} \ w = 1 \ {\ text {in}} \ S. \ end {cases}}}$

La existencia de una función de este tipo es suficiente para probar la palabra problema tiene solución para el S .

Esta prueba no prueba la existencia de un algoritmo uniforme para resolver el problema verbal para esta clase de grupos. La falta de uniformidad reside en elegir un elemento no trivial del grupo simple. No hay razón para suponer que existe una función recursiva que mapea una presentación de un grupo simple a un elemento no trivial del grupo. Sin embargo, en el caso de un grupo finito, sabemos que no todos los generadores pueden ser triviales (cualquier generador individual podría serlo, por supuesto). Usando este hecho es posible modificar la prueba para mostrar:

El problema verbal se puede resolver de manera uniforme para la clase de grupos simples presentados de forma finita.

Ver también

• Combinatoria en palabras
• Grupo SQ-universal
• Problema verbal (matemáticas)
• Problema de accesibilidad
• Autómatas de pila anidados (se han utilizado para resolver problemas de palabras para grupos)

Notas

Referencias

• WW Boone, FB Cannonito y RC Lyndon . Problemas verbales: problema de decisión en teoría de grupos. Holanda: Holanda Septentrional. 1973.
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