Lista de grupos simples finitos - List of finite simple groups

En matemáticas , la clasificación de grupos simples finitos establece que cada grupo simple finito es cíclico o alterno , o en una de 16 familias de grupos de tipo Lie , o en uno de 26 grupos esporádicos .

La siguiente lista muestra todos los grupos simples finitos, junto con su orden , el tamaño del multiplicador de Schur , el tamaño del grupo de automorfismo externo , generalmente algunas representaciones pequeñas y listas de todos los duplicados.

Resumen

La siguiente tabla es una lista completa de las 18 familias de grupos simples finitos y los 26 grupos simples esporádicos, junto con sus órdenes. Se enumeran todos los miembros no simples de cada familia, así como los miembros duplicados dentro de una familia o entre familias. (Al eliminar los duplicados, es útil notar que no hay dos grupos simples finitos que tengan el mismo orden, excepto que el grupo A ₈  =  A ₃ (2) y A ₂ (4) ambos tienen el orden 20160, y que el grupo B _n ( q ) tiene el mismo orden que C _n ( q ) para q impar, n  > 2. Los más pequeños de los últimos pares de grupos son B ₃ (3) y C ₃ (3) que tienen el orden 4585351680.)

Existe un desafortunado conflicto entre las notaciones para los grupos alternos A _n y los grupos de tipo Lie A _n ( q ). Algunos autores utilizan varias fuentes diferentes para que A _{n las} distinga. En particular, en este artículo hacemos la distinción colocando los grupos alternos A _n en fuente romana y los grupos de tipo Lie A _n ( q ) en cursiva.

En lo que sigue, n es un número entero positivo y q es una potencia positiva de un número primo p , con las restricciones indicadas. La notación ( un , b ) representa el máximo común divisor de los números enteros a y b .

Clase	Familia	Pedido	Exclusiones	Duplicados
Grupos cíclicos	Z p	pag	Ninguno	Ninguno
Grupos alternos	A n n  > 4	${\ Displaystyle {\ frac {n!} {2}}}$	Ninguno
Grupos de Classical Chevalley	A n ( q )	${\ Displaystyle {\ frac {q ^ {{\ frac {1} {2}} n (n + 1)}} {(n + 1, q-1)}} \ prod _ {i = 1} ^ { n} \ left (q ^ {i + 1} -1 \ right)}$	A 1 (2), A 1 (3)
	B n ( q ) n  > 1	${\ Displaystyle {\ frac {q ^ {n ^ {2}}} {(2, q-1)}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ left (q ^ {2i} -1 \ derecho)}$	B 2 (2)
	C n ( q ) n  > 2	${\ Displaystyle {\ frac {q ^ {n ^ {2}}} {(2, q-1)}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ left (q ^ {2i} -1 \ derecho)}$	Ninguno	C n (2 m ) ≃ B n (2 m )
	D norte ( q ) n  > 3	${\ Displaystyle {\ frac {q ^ {n (n-1)} (q ^ {n} -1)} {(4, q ^ {n} -1)}} \ prod _ {i = 1} ^ {n-1} \ left (q ^ {2i} -1 \ right)}$	Ninguno	Ninguno
Grupos excepcionales de Chevalley	E 6 ( q )	${\ Displaystyle {\ frac {q ^ {36}} {(3, q-1)}} \ prod _ {i \ in \ {2,5,6,8,9,12 \}} \ left (q ^ {i} -1 \ right)}$	Ninguno	Ninguno
	E 7 ( q )	${\ displaystyle {\ frac {q ^ {63}} {(2, q-1)}} \ prod _ {i \ in \ {2,6,8,10,12,14,18 \}} \ left (q ^ {i} -1 \ derecha)}$	Ninguno	Ninguno
	E 8 ( q )	${\ Displaystyle q ^ {120} \ prod _ {i \ in \ {2,8,12,14,18,20,24,30 \}} \ left (q ^ {i} -1 \ right)}$	Ninguno	Ninguno
	F 4 ( q )	${\ Displaystyle q ^ {24} \ prod _ {i \ in \ {2,6,8,12 \}} \ left (q ^ {i} -1 \ right)}$	Ninguno	Ninguno
	G 2 ( q )	${\ Displaystyle q ^ {6} \ prod _ {i \ in \ {2,6 \}} \ left (q ^ {i} -1 \ right)}$	G 2 (2)	Ninguno
Grupos de Classical Steinberg	2 A norte ( q 2 ) norte  > 1	${\ Displaystyle {\ frac {q ^ {{\ frac {1} {2}} n (n + 1)}} {(n + 1, q + 1)}} \ prod _ {i = 1} ^ { n} \ left (q ^ {i + 1} - (- 1) ^ {i + 1} \ right)}$	2 A 2 (2 2 )	2 A 3 (2 2 ) ≃ B 2 (3)
	2 D norte ( q 2 ) norte  > 3	${\ Displaystyle {\ frac {q ^ {n (n-1)}} {(4, q ^ {n} +1)}} \ left (q ^ {n} +1 \ right) \ prod _ {i = 1} ^ {n-1} \ left (q ^ {2i} -1 \ right)}$	Ninguno	Ninguno
Grupos excepcionales de Steinberg	2 E 6 ( q 2 )	${\ Displaystyle {\ frac {q ^ {36}} {(3, q + 1)}} \ prod _ {i \ in \ {2,5,6,8,9,12 \}} \ left (q ^ {i} - (- 1) ^ {i} \ right)}$	Ninguno	Ninguno
	3 D 4 ( q 3 )	${\ Displaystyle q ^ {12} \ left (q ^ {8} + q ^ {4} +1 \ right) \ left (q ^ {6} -1 \ right) \ left (q ^ {2} -1 \derecho)}$	Ninguno	Ninguno
Grupos de Suzuki	2 B 2 ( q ) q  = 2 2 n +1 n  ≥ 1	${\ Displaystyle q ^ {2} \ left (q ^ {2} +1 \ right) \ left (q-1 \ right)}$	Ninguno	Ninguno
Grupos Ree + Grupo Tetas	2 F 4 ( q ) q  = 2 2 n +1 n  ≥ 1	${\ Displaystyle q ^ {12} \ left (q ^ {6} +1 \ right) \ left (q ^ {4} -1 \ right) \ left (q ^ {3} +1 \ right) \ left ( q-1 \ right)}$	Ninguno	Ninguno
	2 F 4 (2) ′	2 12 (2 6 + 1) (2 4 - 1) (2 3 + 1) (2 - 1) / 2 =17 971 200
	2 G 2 ( q ) q = 3 2 n +1 n  ≥ 1	${\ Displaystyle q ^ {3} \ left (q ^ {3} +1 \ right) \ left (q-1 \ right)}$	Ninguno	Ninguno
Grupos de Mathieu	M 11	7920
	M 12	95 040
	M 22	443 520
	M 23	10 200 960
	M 24	244 823 040
Grupos de Janko	J 1	175 560
	J 2	604 800
	J 3	50 232 960
	J 4	86 775 571 046 077 562 880
Grupos de Conway	Co 3	495 766 656 000
	Co 2	42 305 421 312 000
	Co 1	4 157 776 806 543 360 000
Grupos de Fischer	Fi 22	64 561 751 654 400
	Fi 23	4 089 470 473 293 004 800
	Fi 24 ′	1 255 205 709 190 661 721 292 800
Grupo Higman-Sims	HS	44 352 000
Grupo McLaughlin	McL	898 128 000
Grupo celebrado	Él	4 030 387 200
Grupo Rudvalis	Ru	145 926 144 000
Suzuki grupo esporádico	Suz	448 345 497 600
Grupo O'Nan	EN	460 815 505 920
Grupo Harada-Norton	HN	273 030 912 000 000
Grupo de Lyons	Ly	51 765 179 004 000 000
Grupo Thompson	Th	90 745 943 887 872 000
Grupo Baby Monster	B	4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000
Grupo de monstruos	METRO	808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000

Grupos cíclicos , Z _p

Simplicidad: simple para p un número primo.

Orden: p

Multiplicador de Schur: Trivial.

Grupo de automorfismo externo: cíclico de orden p  - 1.

Otros nombres: Z / p Z, C _p

Observaciones: Estos son los únicos grupos simples que no son perfectos .

Grupos alternos , A _n , n > 4

Simplicidad: solucionable para n <5, de lo contrario simple.

Orden: n ! / 2 cuando n  > 1.

Multiplicador de Schur: 2 para n  = 5 o n  > 7, 6 para n  = 6 o 7; ver Grupos de cobertura de los grupos alternos y simétricos

Grupo de automorfismo externo: En general 2. Excepciones: para n  = 1, n  = 2, es trivial, y para n  = 6 , tiene orden 4 (abeliano elemental).

Otros nombres: Alt _n .

Isomorfismos: A ₁ y A ₂ son triviales. A ₃ es cíclico de orden 3. A ₄ es isomorfo a A ₁ (3) (solucionable). A ₅ es isomorfo a A ₁ (4) y a A ₁ (5). A ₆ es isomorfo a A ₁ (9) y al grupo derivado B ₂ (2) ′. A ₈ es isomorfo a A ₃ (2).

Observaciones: un subgrupo de índice 2 del grupo simétrico de permutaciones de n puntos cuando n  > 1.

Grupos de tipo Mentira

Notación: n es un número entero positivo, q > 1 es una potencia de un número primo p , y es el orden de algún campo finito subyacente . El orden del grupo de automorfismos externos se escribe como d ⋅ f ⋅ g , donde d es el orden del grupo de "automorfismos diagonales", f es el orden del grupo (cíclico) de "automorfismos de campo" (generado por un Frobenius automorfismo ), yg es el orden del grupo de "automorfismos de grafos" (provenientes de automorfismos del diagrama de Dynkin ). El grupo de automorfismo externo es isomorfo al producto semidirecto donde todos estos grupos son cíclicos de los respectivos órdenes d, f, g , excepto para el tipo , impar, donde el grupo de orden es , y (solo cuando ) , el grupo simétrico en tres elementos. La notación ( un , b ) representa el máximo común divisor de los números enteros a y b . ${\ Displaystyle D \ rtimes (F \ times G)}$${\ Displaystyle D, F, G}$${\ Displaystyle D_ {n} (q)}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle d = 4}$${\ Displaystyle C_ {2} \ times C_ {2}}$${\ Displaystyle n = 4}$${\ Displaystyle G = S_ {3}}$

Grupos de Chevalley , A _n ( q ), B _n ( q ) n > 1, C _n ( q ) n > 2, D _n ( q ) n > 3

	Grupos de Chevalley , A n ( q ) grupos lineales	Grupos de Chevalley , B n ( q ) n  > 1 grupos ortogonales	Grupos de Chevalley , C n ( q ) n  > 2 grupos simplécticos	Grupos de Chevalley , D n ( q ) n  > 3 grupos ortogonales
Sencillez	A 1 (2) y A 1 (3) se pueden resolver, los demás son simples.	B 2 (2) no es simple pero su grupo derivado B 2 (2) ′ es un subgrupo simple del índice 2; los otros son simples.	Todo simple	Todo simple
Pedido	${\ Displaystyle {\ frac {q ^ {{\ frac {1} {2}} n (n + 1)}} {(n + 1, q-1)}} \ prod _ {i = 1} ^ { n} \ left (q ^ {i + 1} -1 \ right)}$	${\ Displaystyle {\ frac {q ^ {n ^ {2}}} {(2, q-1)}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ left (q ^ {2i} -1 \ derecho)}$	${\ Displaystyle {\ frac {q ^ {n ^ {2}}} {(2, q-1)}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ left (q ^ {2i} -1 \ derecho)}$	${\ Displaystyle {\ frac {q ^ {n (n-1)} (q ^ {n} -1)} {(4, q ^ {n} -1)}} \ prod _ {i = 1} ^ {n-1} \ left (q ^ {2i} -1 \ right)}$
Multiplicador de Schur	Para los grupos simples es cíclico de orden ( n +1, q −1) excepto para A 1 (4) (orden 2), A 1 (9) (orden 6), A 2 (2) (orden 2), A 2 (4) (orden 48, producto de grupos cíclicos de órdenes 3, 4, 4), A 3 (2) (orden 2).	(2, q −1) excepto para B 2 (2) = S 6 (orden 2 para B 2 (2), orden 6 para B 2 (2) ′) y B 3 (2) (orden 2) y B 3 (3) (orden 6).	(2, q −1) excepto para C 3 (2) (orden 2).	El orden es (4, q n −1) (cíclico para n impar, abeliano elemental para n par) excepto para D 4 (2) (orden 4, abeliano elemental).
Grupo de automorfismo externo	(2, q −1) ⋅ f ⋅1 para n  = 1; ( n +1, q −1) ⋅ f ⋅2 para n  > 1, donde q  =  p f	(2, q −1) ⋅ f ⋅1 para q impar o n  > 2; (2, q −1) ⋅ f ⋅2 para q par y n  = 2, donde q  =  p f	(2, q −1) ⋅ f ⋅1, donde q  =  p f	(2, q −1) 2 ⋅ f ⋅ S 3 para n  = 4, (2, q −1) 2 ⋅ f ⋅2 para n  > 4 par, (4, q n −1) ⋅ f ⋅2 para n impar, donde q  =  p f , y S 3 es el grupo simétrico de orden 3! en 3 puntos.
Otros nombres	Grupos lineales especiales proyectivos , PSL n +1 ( q ), L n +1 ( q ), PSL ( n + 1, q )	O 2 n +1 ( q ), Ω 2 n +1 ( q ) (para q impar).	Grupo simpléctico proyectivo, PSp 2 n ( q ), PSp n ( q ) (no recomendado), S 2 n ( q ), grupo abeliano (arcaico).	O 2 n + ( q ), PΩ 2 n + ( q ). " Grupo hipoabeliano " es un nombre arcaico para este grupo en la característica 2.
Isomorfismos	A 1 (2) es isomorfo al grupo simétrico en 3 puntos de orden 6. A 1 (3) es isomorfo al grupo alterno A 4 (solucionable). A 1 (4) y A 1 (5) son ambos isomorfos al grupo alterno A 5 . A 1 (7) y A 2 (2) son isomorfos. A 1 (8) es isomorfo al grupo derivado 2 G 2 (3) ′. A 1 (9) es isomorfo a A 6 y al grupo derivado B 2 (2) ′. A 3 (2) es isomorfo a A 8 .	B n (2 m ) es isomorfo a C n (2 m ). B 2 (2) es isomorfo al grupo simétrico en 6 puntos, y el grupo derivado B 2 (2) ′ es isomorfo a A 1 (9) y A 6 . B 2 (3) es isomorfo a 2 A 3 (2 2 ).	C n (2 m ) es isomorfo a B n (2 m )
Observaciones	Estos grupos se obtienen de los grupos lineales generales GL n +1 ( q ) tomando los elementos del determinante 1 (dando los grupos lineales especiales SL n +1 ( q )) y luego cociente por el centro.	Este es el grupo obtenido del grupo ortogonal en la dimensión 2 n + 1 tomando el núcleo de los mapas de norma determinante y espinor . B 1 ( q ) también existe, pero es lo mismo que A 1 ( q ). B 2 ( q ) tiene un automorfismo gráfico no trivial cuando q es una potencia de 2.	Este grupo se obtiene del grupo simpléctico en 2 n dimensiones cociente del centro. C 1 ( q ) también existe, pero es lo mismo que A 1 ( q ). C 2 ( q ) también existe, pero es lo mismo que B 2 ( q ).	Este es el grupo obtenido del grupo ortogonal dividido en la dimensión 2 n tomando el núcleo del determinante (o invariante de Dickson en la característica 2) y los mapas de norma de espinor y luego matando el centro. Los grupos de tipo D 4 tienen un grupo de automorfismo de diagrama inusualmente grande de orden 6, que contiene el automorfismo de trialidad . D 2 ( q ) también existe, pero es lo mismo que A 1 ( q ) × A 1 ( q ). D 3 ( q ) también existe, pero es lo mismo que A 3 ( q ).

Grupos de Chevalley , E ₆ ( q ), E ₇ ( q ), E ₈ ( q ), F ₄ ( q ), G ₂ ( q )

	Grupos de Chevalley , E 6 ( q )	Grupos de Chevalley , E 7 ( q )	Grupos de Chevalley , E 8 ( q )	Grupos de Chevalley , F 4 ( q )	Grupos de Chevalley , G 2 ( q )
Sencillez	Todo simple	Todo simple	Todo simple	Todo simple	G 2 (2) no es simple, pero su grupo derivado G 2 (2) ′ es un subgrupo simple del índice 2; los otros son simples.
Pedido	q 36 ( q 12 −1) ( q 9 −1) ( q 8 −1) ( q 6 −1) ( q 5 −1) ( q 2 −1) / (3, q −1)	q 63 ( q 18 −1) ( q 14 −1) ( q 12 −1) ( q 10 −1) ( q 8 −1) ( q 6 −1) ( q 2 −1) / (2, q - 1)	q 120 ( q 30 −1) ( q 24 −1) ( q 20 −1) ( q 18 −1) ( q 14 −1) ( q 12 −1) ( q 8 −1) ( q 2 −1)	q 24 ( q 12 −1) ( q 8 −1) ( q 6 −1) ( q 2 −1)	q 6 ( q 6 −1) ( q 2 −1)
Multiplicador de Schur	(3, q −1)	(2, q −1)	Trivial	Trivial excepto para F 4 (2) (orden 2)	Trivial para los grupos simples excepto para G 2 (3) (orden 3) y G 2 (4) (orden 2)
Grupo de automorfismo externo	(3, q −1) ⋅ f ⋅2, donde q  =  p f	(2, q −1) ⋅ f ⋅1, donde q  =  p f	1⋅ f ⋅1, donde q  =  p f	1⋅ f ⋅1 para q impar, 1⋅ f ⋅2 para q par, donde q  =  p f	1⋅ f ⋅1 para q no una potencia de 3, 1⋅ f ⋅2 para q una potencia de 3, donde q  =  p f
Otros nombres	Grupo excepcional de Chevalley	Grupo excepcional de Chevalley	Grupo excepcional de Chevalley	Grupo excepcional de Chevalley	Grupo excepcional de Chevalley
Isomorfismos					El grupo derivado G 2 (2) ′ es isomorfo a 2 A 2 (3 2 ).
Observaciones	Tiene dos representaciones de dimensión 27 y actúa sobre el álgebra de Lie de dimensión 78.	Tiene representaciones de dimensión 56 y actúa sobre el álgebra de Lie correspondiente de dimensión 133.	Actúa sobre el álgebra de Lie correspondiente de dimensión 248. E 8 (3) contiene el grupo simple de Thompson.	Estos grupos actúan sobre álgebras de Jordan excepcionales de 27 dimensiones , lo que les da representaciones de 26 dimensiones. También actúan sobre las álgebras de Lie correspondientes de dimensión 52. F 4 ( q ) tiene un automorfismo gráfico no trivial cuando q es una potencia de 2.	Estos grupos son los grupos de automorfismos de álgebras de Cayley de 8 dimensiones sobre campos finitos, lo que les da representaciones de 7 dimensiones. También actúan sobre las álgebras de Lie correspondientes de dimensión 14. G 2 ( q ) tiene un automorfismo gráfico no trivial cuando q es una potencia de 3. Además, aparecen como grupos de automorfismos de ciertas geometrías de líneas de puntos llamados hexágonos generalizados de Cayley divididos .

Grupos de Steinberg , ² A _n ( q ² ) n > 1, ² D _n ( q ² ) n > 3, ² E ₆ ( q ² ), ³ D ₄ ( q ³ )

	Grupos de Steinberg , 2 A n ( q 2 ) n  > 1 grupos unitarios	Grupos de Steinberg , 2 D n ( q 2 ) n  > 3 grupos ortogonales	Grupos de Steinberg , 2 E 6 ( q 2 )	Grupos de Steinberg , 3 D 4 ( q 3 )
Sencillez	2 A 2 (2 2 ) tiene solución, los demás son simples.	Todo simple	Todo simple	Todo simple
Pedido	${\ Displaystyle {1 \ over (n + 1, q + 1)} q ^ {{\ frac {1} {2}} n (n + 1)} \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ izquierda (q ^ {i + 1} - (- 1) ^ {i + 1} \ right)}$	${\ Displaystyle {1 \ over (4, q ^ {n} +1)} q ^ {n (n-1)} (q ^ {n} +1) \ prod _ {i = 1} ^ {n- 1} \ left (q ^ {2i} -1 \ right)}$	q 36 ( q 12 −1) ( q 9 +1) ( q 8 −1) ( q 6 −1) ( q 5 +1) ( q 2 −1) / (3, q +1)	q 12 ( q 8 + q 4 +1) ( q 6 −1) ( q 2 −1)
Multiplicador de Schur	Cíclico de orden ( n +1, q +1) para los grupos simples, excepto para 2 A 3 (2 2 ) (orden 2), 2 A 3 (3 2 ) (orden 36, producto de grupos cíclicos de órdenes 3, 3,4), 2 A 5 (2 2 ) (orden 12, producto de grupos cíclicos de órdenes 2,2,3)	Cíclico de orden (4, q n +1)	(3, q +1) excepto para 2 E 6 (2 2 ) (orden 12, producto de grupos cíclicos de órdenes 2,2,3).	Trivial
Grupo de automorfismo externo	( n +1, q +1) ⋅ f ⋅1, donde q 2  =  p f	(4, q n +1) ⋅ f ⋅1, donde q 2  =  p f	(3, q +1) ⋅ f ⋅1, donde q 2  =  p f	1⋅ f ⋅1, donde q 3  =  p f
Otros nombres	Grupo Twisted Chevalley, grupo unitario especial proyectivo, PSU n +1 ( q ), PSU ( n + 1, q ), U n +1 ( q ), 2 A n ( q ), 2 A n ( q , q 2 )	2 D n ( q ), O 2 n - ( q ), PΩ 2 n - ( q ), grupo Chevalley retorcido. "Grupo hipoabeliano" es un nombre arcaico para este grupo en la característica 2.	2 E 6 ( q ), grupo Chevalley retorcido	3 D 4 ( q ), D 4 2 ( q 3 ), grupos Chevalley retorcidos
Isomorfismos	El grupo solucionable 2 A 2 (2 2 ) es isomorfo a una extensión del grupo cuaternión de orden 8 por un grupo abeliano elemental de orden 9. 2 A 2 (3 2 ) es isomorfo al grupo derivado G 2 (2) ′. 2 A 3 (2 2 ) es isomorfo a B 2 (3).
Observaciones	Esto se obtiene del grupo unitario en n + 1 dimensiones tomando el subgrupo de elementos del determinante 1 y luego cociente por el centro.	Este es el grupo obtenido del grupo ortogonal no dividido en la dimensión 2 n tomando el núcleo del determinante (o invariante de Dickson en la característica 2) y los mapas de norma de espinor y luego matando el centro. 2 D 2 ( q 2 ) también existe, pero es lo mismo que A 1 ( q 2 ). 2 D 3 ( q 2 ) también existe, pero es lo mismo que 2 A 3 ( q 2 ).	Una de las cubiertas dobles excepcionales de 2 E 6 (2 2 ) es un subgrupo del grupo de monstruos bebés, y la extensión central excepcional del grupo abeliano elemental de orden 4 es un subgrupo del grupo de monstruos.	3 D 4 (2 3 ) actúa sobre la única red par 26-dimensional del determinante 3 sin raíces.

Grupos Suzuki , ² B ₂ (2 ^{2 n +1} )

Sencillez: simple para n ≥ 1. El grupo ² B ₂ (2) se puede resolver.

Orden: q ² ( q ² + 1) ( q  - 1), donde q  = 2 ^{2 n +1} .

Multiplicador de Schur: Trivial para n ≠ 1, abeliano elemental de orden 4 para ² B ₂ (8).

Grupo de automorfismo externo:

1⋅ f ⋅1,

donde f  = 2 n + 1.

Otros nombres: Suz (2 ^{2 n +1} ), Sz (2 ^{2 n +1} ).

Isomorfismos: ² B ₂ (2) es el grupo de Frobenius de orden 20.

Observaciones: El grupo Suzuki son grupos de Zassenhaus que actúan sobre conjuntos de tamaño (2 ^{2 n +1} ) ²  + 1, y tienen representaciones de 4 dimensiones sobre el campo con 2 ^{2 n +1} elementos. Son los únicos grupos simples no cíclicos cuyo orden no es divisible por 3. No están relacionados con el grupo Suzuki esporádico.

Grupos Ree y grupo de Tetas , ² F ₄ (2 ^{2 n +1} )

Simplicidad: simple para n  ≥ 1. El grupo derivado ² F ₄ (2) ′ es simple de índice 2 en ² F ₄ (2), y se llama el grupo de Tits , llamado así por el matemático belga Jacques Tits .

Orden: q ¹² ( q ⁶  + 1) ( q ⁴  - 1) ( q ³  + 1) ( q  - 1), donde q  = 2 ^{2 n +1} .

El grupo de Tetas tiene el orden 17971200 = 2 ¹¹ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 13.

Multiplicador de Schur: Trivial para n  ≥ 1 y para el grupo Tetas.

Grupo de automorfismo externo:

1⋅ f ⋅1,

donde f  = 2 n  + 1. Orden 2 para el grupo Tetas.

Observaciones: a diferencia de los otros grupos simples de tipo Lie, el grupo de Tits no tiene un par BN , aunque su grupo de automorfismo sí lo hace, por lo que la mayoría de los autores lo cuentan como una especie de grupo honorario de tipo Lie.

Ree grupos , ² G ₂ (3 ^{2 n +1} )

Sencillez: simple para n  ≥ 1. El grupo ² G ₂ (3) no es simple, pero su grupo derivado ² G ₂ (3) ′ es un subgrupo simple del índice 3.

Orden: q ³ ( q ³  + 1) ( q  - 1), donde q  = 3 ^{2 n +1}

Multiplicador de Schur: Trivial para n  ≥ 1 y para ² G ₂ (3) ′.

Grupo de automorfismo externo:

1⋅ f ⋅1,

donde f  = 2 n  + 1.

Otros nombres: Ree (3 ^{2 n +1} ), R (3 ^{2 n +1} ), E ₂ ^∗ (3 ^{2 n +1} ).

Isomorfismos: El grupo derivado ² G ₂ (3) ′ es isomorfo a A ₁ (8).

Observaciones: ² G ₂ (3 ^{2 n +1} ) tiene una representación de permutación doblemente transitiva en 3 ^{3 (2 n +1)}  + 1 puntos y actúa sobre un espacio vectorial de 7 dimensiones sobre el campo con 3 ^{2 n +1} elementos.

Grupos esporádicos

Grupos de Mathieu , M ₁₁ , M ₁₂ , M ₂₂ , M ₂₃ , M ₂₄

	Grupo Mathieu, M 11	Grupo Mathieu, M 12	Grupo Mathieu, M 22	Grupo Mathieu, M 23	Grupo Mathieu, M 24
Pedido	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 11 = 7920	2 6 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 11 = 95040	2 7 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 = 443520	2 7 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 10200960	2 10 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 244823040
Multiplicador de Schur	Trivial	Orden 2	Cíclico de orden 12	Trivial	Trivial
Grupo de automorfismo externo	Trivial	Orden 2	Orden 2	Trivial	Trivial
Observaciones	Un grupo de permutación de 4 transitivos en 11 puntos, y es el estabilizador de puntos de M 12 (en la representación de permutación de 12 puntos de 5 transitivos de M 12 ). El grupo M 11 también está contenido en M 23 . El subgrupo de M 11 que fija un punto en la representación de permutación 4-transitiva de 11 puntos a veces se denomina M 10 , y tiene un subgrupo de índice 2 isomorfo al grupo alterno A 6 .	Un grupo de 5 permutación transitiva en 12 puntos, contenido en M 24 .	Un grupo de permutación de 3 transitivos en 22 puntos, y es el estabilizador de puntos de M 23 (en la representación de permutación de 23 puntos de 4 transitivos de M 23 ). El subgrupo de M 22 que fija un punto en la representación de permutación de 22 puntos 3-transitiva a veces se denomina M 21 , y es isomorfo a PSL (3,4) (es decir, isomorfo a  A 2 (4)).	Un grupo de permutación de 4 transitivos en 23 puntos, y es el estabilizador de puntos de M 24 (en la representación de permutación de 24 puntos de 5 transitivos de M 24 ).	Un grupo de 5 permutación transitiva en 24 puntos.

Grupos Janko , J ₁ , J ₂ , J ₃ , J ₄

	Grupo Janko, J 1	Grupo Janko, J 2	Grupo Janko, J 3	Grupo Janko, J 4
Pedido	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 175560	2 7 ⋅ 3 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 = 604800	2 7 ⋅ 3 5 ⋅ 5 ⋅ 17 ⋅ 19 = 50232960	2 21 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 3 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 43 = 86775571046077562880
Multiplicador de Schur	Trivial	Orden 2	Orden 3	Trivial
Grupo de automorfismo externo	Trivial	Orden 2	Orden 2	Trivial
Otros nombres	J (1), J (11)	Grupo Hall – Janko, HJ	Grupo Higman – Janko – McKay, HJM
Observaciones	Es un subgrupo de G 2 (11), por lo que tiene una representación de 7 dimensiones sobre el campo con 11 elementos.	El grupo de automorfismo J 2 : 2 de J 2 es el grupo de automorfismo de un gráfico de rango 3 en 100 puntos llamado gráfico de Hall-Janko . También es el grupo de automorfismos de un octágono cercano regular llamado Hall-Janko near octágono. El grupo J 2 está contenido en  G 2 (4).	J 3 parece no estar relacionado con ningún otro grupo esporádico (o con cualquier otra cosa). Su triple cubierta tiene una representación unitaria de 9 dimensiones sobre el campo con 4 elementos.	Tiene una representación de 112 dimensiones sobre el campo con 2 elementos.

Grupos de Conway , Co ₁ , Co ₂ , Co ₃

	Grupo Conway, Co 1	Grupo Conway, Co 2	Grupo Conway, Co 3
Pedido	2 21 ⋅ 3 9 ⋅ 5 4 ⋅ 7 2 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 23 = 4157776806543360000	2 18 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 42305421312000	2 10 ⋅ 3 7 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 495766656000
Multiplicador de Schur	Orden 2	Trivial	Trivial
Grupo de automorfismo externo	Trivial	Trivial	Trivial
Otros nombres	· 1	· 2	· 3, C 3
Observaciones	La doble cobertura perfecta Co 0 de Co 1 es el grupo de automorfismo de la red Leech , y a veces se denota por · 0.	Subgrupo de Co 0 ; corrige un vector norma 4 en la celosía Leech .	Subgrupo de Co 0 ; corrige un vector norma 6 en la celosía Leech . Tiene una representación de permutación doblemente transitiva en 276 puntos.

Grupos de Fischer , Fi ₂₂ , Fi ₂₃ , Fi ₂₄ ′

	Grupo Fischer, Fi 22	Grupo Fischer, Fi 23	Grupo Fischer, Fi 24 ′
Pedido	2 17 ⋅ 3 9 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 64561751654400	2 18 ⋅ 3 13 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 = 4089470473293004800	2 21 ⋅ 3 16 ⋅ 5 2 ⋅ 7 3 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 ⋅ 29 = 1255205709190661721292800
Multiplicador de Schur	Orden 6	Trivial	Orden 3
Grupo de automorfismo externo	Orden 2	Trivial	Orden 2
Otros nombres	M (22)	M (23)	M (24) ′, F 3+
Observaciones	Un grupo de 3 transposiciones cuya doble portada está contenida en Fi 23 .	Un grupo de 3 transposición contenido en Fi 24 ′.	La cubierta triple está contenida en el grupo de monstruos.

Grupo Higman-Sims , HS

Orden: 2 ⁹ ⋅ 3 ² ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 44352000

Multiplicador de Schur: Orden 2.

Grupo de automorfismo externo: Orden 2.

Observaciones: actúa como un grupo de permutación de rango 3 en el gráfico Higman Sims con 100 puntos, y está contenido en Co ₂ y en Co ₃ .

Grupo McLaughlin , McL

Orden: 2 ⁷ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 898128000

Multiplicador de Schur: Orden 3.

Grupo de automorfismo externo: Orden 2.

Observaciones: Actúa como un grupo de permutación de rango 3 en el gráfico de McLaughlin con 275 puntos, y está contenido en Co ₂ y Co ₃ .

Celebrado el grupo , él

Orden: 2 ¹⁰ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ³ ⋅ 17 = 4030387200

Multiplicador de Schur: Trivial.

Grupo de automorfismo externo: Orden 2.

Otros nombres: Held – Higman – McKay group, HHM, F ₇ , HTH

Observaciones: Centraliza un elemento de orden 7 en el grupo de monstruos.

Grupo Rudvalis , Ru

Orden: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 29 = 145926144000

Multiplicador de Schur: Orden 2.

Grupo de automorfismo externo: Trivial.

Observaciones: La doble cobertura actúa sobre un enrejado de 28 dimensiones sobre los enteros gaussianos .

Suzuki grupo esporádico , Suz

Orden: 2 ¹³ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 448345497600

Multiplicador de Schur: Orden 6.

Grupo de automorfismo externo: Orden 2.

Otros nombres: Sz

Observaciones: La cubierta de 6 pliegues actúa sobre una celosía de 12 dimensiones sobre los enteros de Eisenstein . No está relacionado con los grupos Suzuki de tipo Lie.

Grupo O'Nan , O'N

Orden: 2 ⁹ ⋅ 3 ⁴ ⋅ 5 ⋅ 7 ³ ⋅ 11 ⋅ 19 ⋅ 31 = 460815505920

Multiplicador de Schur: Orden 3.

Grupo de automorfismo externo: Orden 2.

Otros nombres: O'Nan – Sims group, O'NS, O – S

Observaciones: La cubierta triple tiene dos representaciones de 45 dimensiones sobre el campo con 7 elementos, intercambiados por un automorfismo exterior.

Grupo Harada-Norton , HN

Orden: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 273030912000000

Multiplicador de Schur: Trivial.

Grupo de automorfismo externo: Orden 2.

Otros nombres: F ₅ , D

Observaciones: Centraliza un elemento de orden 5 en el grupo de monstruos.

Grupo de Lyons , Ly

Orden: 2 ⁸ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 67 = 51765179004000000

Multiplicador de Schur: Trivial.

Grupo de automorfismo externo: Trivial.

Otros nombres: Lyons – Sims group, LyS

Observaciones: Tiene una representación de 111 dimensiones sobre el campo con 5 elementos.

Grupo Thompson , Th

Orden: 2 ¹⁵ ⋅ 3 ¹⁰ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ² ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 31 = 90745943887872000

Multiplicador de Schur: Trivial.

Grupo de automorfismo externo: Trivial.

Otros nombres: F ₃ , E

Observaciones: Centraliza un elemento de orden 3 en el monstruo, y está contenido en E ₈ (3), por lo que tiene una representación de 248 dimensiones sobre el campo con 3 elementos.

Grupo Baby Monster , B

Pedido:

   2 ⁴¹ ⋅ 3 ¹³ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ² ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 47

= 4154781481226426191177580544000000

Multiplicador de Schur: Orden 2.

Grupo de automorfismo externo: Trivial.

Otros nombres: F ₂

Observaciones: La cubierta doble está contenida en el grupo de monstruos. Tiene una representación de la dimensión 4371 sobre los números complejos (sin un producto invariante no trivial) y una representación de la dimensión 4370 sobre el campo con 2 elementos que preservan un producto conmutativo pero no asociativo.

Grupo de monstruos Fischer-Griess , M

Pedido:

   2 ⁴⁶ ⋅ 3 ²⁰ ⋅ 5 ⁹ ⋅ 7 ⁶ ⋅ 11 ² ⋅ 13 ³ ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71

= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000

Multiplicador de Schur: Trivial.

Grupo de automorfismo externo: Trivial.

Otros nombres: F ₁ , M ₁ , Grupo de monstruos, Gigante amistoso, Monstruo de Fischer.

Observaciones: contiene todos menos 6 de los otros grupos esporádicos como subquotientes. Relacionado con la monstruosa luz de la luna . El monstruo es el grupo de automorfismo del álgebra de Griess de 196.883 dimensiones y el álgebra de operador de vértice de monstruos de dimensión infinita , y actúa naturalmente sobre el álgebra de Lie de monstruos .

Grupos simples no cíclicos de orden pequeño

Pedido	Orden factorizado	Grupo	Multiplicador de Schur	Grupo de automorfismo externo
60	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5	UNA 5 = UNA 1 (4) = UNA 1 (5)	2	2
168	2 3 ⋅ 3 ⋅ 7	UNA 1 (7) = UNA 2 (2)	2	2
360	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5	UNA 6 = UNA 1 (9) = B 2 (2) ′	6	2 × 2
504	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 7	UNA 1 (8) = 2 G 2 (3) ′	1	3
660	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11	A 1 (11)	2	2
1092	2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13	A 1 (13)	2	2
2448	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 17	A 1 (17)	2	2
2520	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	A 7	6	2
3420	2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 19	A 1 (19)	2	2
4080	2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 17	A 1 (16)	1	4
5616	2 4 ⋅ 3 3 ⋅ 13	A 2 (3)	1	2
6048	2 5 ⋅ 3 3 ⋅ 7	2 UNA 2 (9) = G 2 (2) ′	1	2
6072	2 3 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 23	A 1 (23)	2	2
7800	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13	A 1 (25)	2	2 × 2
7920	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 11	M 11	1	1
9828	2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 7 ⋅ 13	A 1 (27)	2	6
12180	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 29	A 1 (29)	2	2
14880	2 5 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 31	A 1 (31)	2	2
20160	2 6 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	A 3 (2) = A 8	2	2
20160	2 6 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	A 2 (4)	3 × 4 2	D 12
25308	2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 19 ⋅ 37	A 1 (37)	2	2
25920	2 6 ⋅ 3 4 ⋅ 5	2 A 3 (4) = B 2 (3)	2	2
29120	2 6 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 13	2 B 2 (8)	2 2	3
32736	2 5 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 31	A 1 (32)	1	5
34440	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 41	A 1 (41)	2	2
39732	2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 43	A 1 (43)	2	2
51888	2 4 ⋅ 3 ⋅ 23 ⋅ 47	A 1 (47)	2	2
58800	2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 2	A 1 (49)	2	2 2
62400	2 6 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13	2 A 2 (16)	1	4
74412	2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 13 ⋅ 53	A 1 (53)	2	2
95040	2 6 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 11	M 12	2	2

(Completar para pedidos de menos de 100.000)

Hall (1972) enumera los 56 grupos simples no cíclicos de orden inferior a un millón.

Ver también

• Lista de pequeños grupos

Notas

Referencias

Otras lecturas

• Grupos simples de tipo de mentira por Roger W. Carter , ISBN  0-471-50683-4
• Conway, J. H .; Curtis, RT; Norton, SP ; Parker, RA; y Wilson, RA : " Atlas de grupos finitos: subgrupos máximos y caracteres ordinarios para grupos simples " . Oxford, Inglaterra 1985.
• Daniel Gorenstein , Richard Lyons, Ronald Solomon La clasificación de los grupos finitos simples (volumen 1) , AMS, 1994 (volumen 3) , AMS, 1998
• Hall, Marshall Jr. (1972), "Grupos simples de menos de un millón", Journal of Algebra , 20 : 98–102, doi : 10.1016 / 0021-8693 (72) 90090-7 , ISSN  0021-8693 , MR  0285603
• Wilson, Robert A. (2009), Los grupos simples finitos , Textos de posgrado en matemáticas 251, 251 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012
• Atlas de representaciones de grupos finitos : contiene representaciones y otros datos para muchos grupos finitos simples, incluidos los grupos esporádicos.
• Órdenes de grupos simples no abelianos hasta 10 ¹⁰ , y hasta 10 ⁴⁸ con restricciones de rango.

enlaces externos

• Órdenes de grupos simples no abelianos hasta el orden 10,000,000,000.