Teorema de Picard-Lindelöf - Picard–Lindelöf theorem

En matemáticas - en concreto, en ecuaciones diferenciales - el teorema de Picard-Lindelöf , el teorema de Picard existencia , teorema de Cauchy-Lipschitz , o la existencia y unicidad teorema da un conjunto de condiciones bajo las cuales un problema de valor inicial tiene una solución única.

El teorema lleva el nombre de Émile Picard , Ernst Lindelöf , Rudolf Lipschitz y Augustin-Louis Cauchy .

Considere el problema del valor inicial

{\ Displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), \ qquad y (t_ {0}) = y_ {0}.}

Suponga que $f$ es uniformemente continua de Lipschitz en $y$ (lo que significa que la constante de Lipschitz puede tomarse independiente de $t$ ) y continua en $t$ , entonces para algún valor $ε$ $> 0$ , existe una solución única $y$ $($ $t$ $)$ al problema de valor inicial en el intervalo . ${\ Displaystyle [t_ {0} - \ varepsilon, t_ {0} + \ varepsilon]}$

Boceto de prueba

La demostración se basa en transformar la ecuación diferencial y aplicar la teoría del punto fijo. Al integrar ambos lados, cualquier función que satisfaga la ecuación diferencial también debe satisfacer la ecuación integral

{\ Displaystyle y (t) -y (t_ {0}) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (s, y (s)) \, ds.}

Se obtiene una prueba simple de la existencia de la solución mediante aproximaciones sucesivas. En este contexto, el método se conoce como iteración de Picard .

Colocar

{\ Displaystyle \ varphi _ {0} (t) = y_ {0}}

y

{\ Displaystyle \ varphi _ {k + 1} (t) = y_ {0} + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (s, \ varphi _ {k} (s)) \, ds .}

Entonces se puede demostrar, utilizando el teorema del punto fijo de Banach , que la secuencia de "iteraciones de Picard" $φ k$ es convergente y que el límite es una solución al problema. Una aplicación del lema de Grönwall a $| φ (t) - ψ (t) |$ , donde $φ$ y $ψ$ son dos soluciones, muestra que $φ (t) = ψ (t)$ , lo que demuestra la unicidad global (la unicidad local es una consecuencia de la unicidad del punto fijo de Banach).

El método de Picard se establece con mayor frecuencia sin pruebas o gráficos. Consulte el método de aproximación sucesiva de Newton para obtener instrucciones.

Ejemplo de iteración de Picard

Dejemos que la solución a la ecuación con condición inicial comience con iteramos ${\ Displaystyle y (t) = \ tan (t),}$ ${\ Displaystyle y '(t) = 1 + y (t) ^ {2}}$ ${\ Displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0} = 0, t_ {0} = 0.}$ ${\ Displaystyle \ varphi _ {0} (t) = 0,}$

{\ Displaystyle \ varphi _ {k + 1} (t) = \ int _ {0} ^ {t} (1 + (\ varphi _ {k} (s)) ^ {2}) \, ds}

para que : ${\ Displaystyle \ varphi _ {n} (t) \ to y (t)}$

{\ Displaystyle \ varphi _ {1} (t) = \ int _ {0} ^ {t} (1 + 0 ^ {2}) \, ds = t}

{\ Displaystyle \ varphi _ {2} (t) = \ int _ {0} ^ {t} (1 + s ^ {2}) \, ds = t + {\ frac {t ^ {3}} {3} }}

{\ Displaystyle \ varphi _ {3} (t) = \ int _ {0} ^ {t} \ left (1+ \ left (s + {\ frac {s ^ {3}} {3}} \ right) ^ {2} \ derecha) \, ds = t + {\ frac {t ^ {3}} {3}} + {\ frac {2t ^ {5}} {15}} + {\ frac {t ^ {7} } {63}}}

etcétera. Evidentemente, las funciones están calculando la expansión de la serie de Taylor de nuestra solución conocida Dado que tiene polos en este converge hacia una solución local solo para no en todos . ${\ Displaystyle y = \ tan (t).}$ ${\ Displaystyle \ tan}$ ${\ Displaystyle \ pm {\ tfrac {\ pi} {2}},}$ ${\ Displaystyle | t | <{\ tfrac {\ pi} {2}},}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Ejemplo de no unicidad

Para comprender la singularidad de las soluciones, considere los siguientes ejemplos. Una ecuación diferencial puede poseer un punto estacionario. Por ejemplo, para la ecuación $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} dy/dt= ay$ ( ), la solución estacionaria es $y$ $($ $t$ $) = 0$ , que se obtiene para la condición inicial $y$ $(0) = 0$ . Comenzando con otra condición inicial $y$ $(0) =$ $y$ $0$ $\neq 0$ , la solución y ( t ) tiende hacia el punto estacionario, pero lo alcanza solo en el límite del tiempo infinito, por lo que la unicidad de las soluciones (en todos los tiempos finitos) es garantizado. ${\ Displaystyle a <0}$

Sin embargo, para una ecuación en la que la solución estacionaria se alcanza después de un tiempo finito , la unicidad falla. Esto sucede, por ejemplo, con la ecuación $dy / dt = ay 2 / 3$ , que tiene al menos dos soluciones correspondientes a la condición inicial $y (0) = 0$ tales como: $y (t) = 0$ o

{\ Displaystyle y (t) = {\ begin {cases} \ left ({\ tfrac {at} {3}} \ right) ^ {3} & t <0 \\\ \ \ \ 0 & t \ geq 0, \ end {casos}}}

por lo que el estado anterior del sistema no está determinado únicamente por su estado después de t = 0. El teorema de unicidad no se aplica porque la función $f$ $($ $y$ $) =$ $y$ $2 / 3$ tiene una pendiente infinita en $y = 0$ y por lo tanto no es Lipschitz continuo, violando la hipótesis del teorema.

Prueba detallada

Dejar

{\ Displaystyle C_ {a, b} = {\ overline {I_ {a} (t_ {0})}} \ times {\ overline {B_ {b} (y_ {0})}}}

dónde:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ overline {I_ {a} (t_ {0})}} & = [t_ {0} -a, t_ {0} + a] \\ {\ overline {B_ { b} (y_ {0})}} & = [y_ {0} -b, y_ {0} + b]. \ end {alineado}}}

Este es el cilindro compacto donde se define $f$ . Dejar

{\ Displaystyle M = \ sup _ {C_ {a, b}} \ | f \ |,}

esto es, el supremo de (los valores absolutos de) las pendientes de la función. Finalmente, sea L la constante de Lipschitz de $f$ con respecto a la segunda variable.

Procederemos a aplicar el teorema del punto fijo de Banach utilizando la métrica on inducida por la norma uniforme ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} (I_ {a} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0}))}$

{\ Displaystyle \ | \ varphi \ | _ {\ infty} = \ sup _ {t \ in I_ {a}} | \ varphi (t) |.}

Definimos un operador entre dos espacios funcionales de funciones continuas, el operador de Picard, de la siguiente manera:

{\ Displaystyle \ Gamma: {\ mathcal {C}} (I_ {a} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0})) \ longrightarrow {\ mathcal {C}} (I_ {a} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0}))}

definido por:

{\ Displaystyle \ Gamma \ varphi (t) = y_ {0} + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (s, \ varphi (s)) \, ds.}

Debemos mostrar que este operador mapea un espacio métrico completo no vacío X en sí mismo y también es un mapeo de contracciones .

Primero mostramos que, dadas ciertas restricciones sobre , se toma en sí mismo en el espacio de funciones continuas con la norma uniforme. Aquí, hay una bola cerrada en el espacio de funciones continuas (y limitadas ) "centradas" en la función constante . Por tanto, tenemos que demostrar que ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle \ Gamma}$ ${\ Displaystyle {\ overline {B_ {b} (y_ {0})}}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {B_ {b} (y_ {0})}}}$ ${\ Displaystyle y_ {0}}$

{\ Displaystyle \ | \ varphi -y_ {0} \ | _ {\ infty} \ leq b}

implica

{\ Displaystyle \ left \ | \ Gamma \ varphi (t) -y_ {0} \ right \ | = \ left \ | \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (s, \ varphi (s) ) \, ds \ right \ | \ leq \ int _ {t_ {0}} ^ {t '} \ left \ | f (s, \ varphi (s)) \ right \ | ds \ leq \ int _ {t_ {0}} ^ {t '} M \, ds = M \ left | t'-t_ {0} \ right | \ leq Ma \ leq b}

donde hay un número en el que se alcanza el máximo. La última desigualdad en la cadena es verdadera si imponemos el requisito . ${\ Displaystyle t '}$ ${\ Displaystyle [t_ {0} -a, t_ {0} + a]}$ ${\ Displaystyle a <{\ frac {b} {M}}}$

Ahora demostremos que este operador es un mapeo de contracciones.

Dadas dos funciones , para aplicar el teorema del punto fijo de Banach necesitamos ${\ Displaystyle \ varphi _ {1}, \ varphi _ {2} \ in {\ mathcal {C}} (I_ {a} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0}))}$

{\ Displaystyle \ left \ | \ Gamma \ varphi _ {1} - \ Gamma \ varphi _ {2} \ right \ | _ {\ infty} \ leq q \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ right \ | _ {\ infty},}

para algunos . Así que sea tal que ${\ Displaystyle q <1}$ ${\ Displaystyle t}$

{\ Displaystyle \ | \ Gamma \ varphi _ {1} - \ Gamma \ varphi _ {2} \ | _ {\ infty} = \ left \ | \ left (\ Gamma \ varphi _ {1} - \ Gamma \ varphi _ {2} \ derecha) (t) \ derecha \ |.}

Luego, usando la definición de , ${\ Displaystyle \ Gamma}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left \ | \ left (\ Gamma \ varphi _ {1} - \ Gamma \ varphi _ {2} \ right) (t) \ right \ | & = \ left \ | \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ left (f (s, \ varphi _ {1} (s)) - f (s, \ varphi _ {2} (s)) \ right) ds \ right \ | \\ & \ leq \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ left \ | f \ left (s, \ varphi _ {1} (s) \ right) -f \ left (s, \ varphi _ {2} (s) \ right) \ right \ | ds \\ & \ leq L \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ left \ | \ varphi _ {1} (s) - \ varphi _ {2} (s) \ right \ | ds && {\ text {since}} f {\ text {es Lipschitz-continuo}} \\ & \ leq L \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ right \ | _ {\ infty} \, ds \\ & \ leq La \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ { 2} \ right \ | _ {\ infty} \ end {alineado}}}

Esta es una contracción si ${\ Displaystyle a <{\ tfrac {1} {L}}.}$

Hemos establecido que el operador de Picard es una contracción en los espacios de Banach con la métrica inducida por la norma uniforme. Esto nos permite aplicar el teorema del punto fijo de Banach para concluir que el operador tiene un punto fijo único. En particular, hay una función única

{\ Displaystyle \ varphi \ in {\ mathcal {C}} (I_ {a} (t_ {0}), B_ {b} (y_ {0}))}

tal que $Γ φ = φ$ . Esta función es la única solución del problema del valor inicial, válida en el intervalo I _a donde a satisface la condición

{\ Displaystyle a <\ min \ left \ {{\ tfrac {b} {M}}, {\ tfrac {1} {L}} \ right \}.}

Optimización del intervalo de la solución

Sin embargo, hay un corolario del teorema del punto fijo de Banach: si un operador T ⁿ es una contracción para algún n en N , entonces T tiene un punto fijo único. Antes de aplicar este teorema al operador Picard, recuerde lo siguiente:

Lema: para todos ${\ Displaystyle \ left \ | \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {1} (t) - \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {2} (t) \ right \ | \ leq {\ frac {L ^ {m} | t-t_ {0} | ^ {m}} {m!}} \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ right \ |}$ ${\ Displaystyle t \ in [t_ {0} - \ alpha, t_ {0} + \ alpha]}$

Prueba. Inducción en m . Para la base de la inducción $(m = 1)$ ya hemos visto esto, así que supongamos que la desigualdad se cumple para $m - 1$ , entonces tenemos:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left \ | \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {1} (t) - \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {2} (t) \ right \ | & = \ izquierda \ | \ Gamma \ Gamma ^ {m-1} \ varphi _ {1} (t) - \ Gamma \ Gamma ^ {m-1} \ varphi _ {2} (t) \ right \ | \\ & \ leq \ left | \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ left \ | f \ left (s, \ Gamma ^ {m-1} \ varphi _ {1} (s) \ right) -f \ left (s, \ Gamma ^ {m-1} \ varphi _ {2} (s) \ right) \ right \ | ds \ right | \\ & \ leq L \ left | \ int _ {t_ {0} } ^ {t} \ left \ | \ Gamma ^ {m-1} \ varphi _ {1} (s) - \ Gamma ^ {m-1} \ varphi _ {2} (s) \ right \ | ds \ derecha | \\ & \ leq L \ izquierda | \ int _ {t_ {0}} ^ {t} {\ frac {L ^ {m-1} | s-t_ {0} | ^ {m-1}} {(m-1)!}} \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ right \ | ds \ right | \\ & \ leq {\ frac {L ^ {m} | t -t_ {0} | ^ {m}} {m!}} \ left \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ right \ |. \ end {alineado}}}

Al tomar un supremum, lo vemos . ${\ Displaystyle t \ in [t_ {0} - \ alpha, t_ {0} + \ alpha]}$ ${\ Displaystyle \ left \ | \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {1} - \ Gamma ^ {m} \ varphi _ {2} \ right \ | \ leq {\ frac {L ^ {m} \ alpha ^ {m}} {m!}} \ izquierda \ | \ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} \ derecha \ |}$

Esta desigualdad asegura que para algunos grandes m ,

{\ Displaystyle {\ frac {L ^ {m} \ alpha ^ {m}} {m!}} <1,}

y por tanto Γ ^m será una contracción. Entonces, según el corolario anterior, Γ tendrá un punto fijo único. Finalmente, hemos podido optimizar el intervalo de la solución tomando $α = min {a, B / METRO}.$

Al final, este resultado muestra que el intervalo de definición de la solución no depende de la constante de Lipschitz del campo, sino únicamente del intervalo de definición del campo y su valor absoluto máximo.

Otros teoremas de existencia

El teorema de Picard-Lindelöf muestra que la solución existe y que es única. El teorema de la existencia de Peano muestra solo existencia, no unicidad, pero asume solo que $f$ es continua en $y$ , en lugar de Lipschitz continua . Por ejemplo, el lado derecho de la ecuación $dy / dt = y 1 / 3$ con la condición inicial y (0) = 0 es continuo pero no continuo de Lipschitz. De hecho, en lugar de ser única, esta ecuación tiene tres soluciones:

{\ Displaystyle y (t) = 0, \ qquad y (t) = \ pm \ left ({\ tfrac {2} {3}} t \ right) ^ {\ frac {3} {2}}}

.

Aún más general es el teorema de existencia de Carathéodory , que prueba la existencia (en un sentido más general) bajo condiciones más débiles en $f$ . Aunque estas condiciones son solo suficientes, también existen condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de valor inicial sea única, como el teorema de Okamura .

Ver también

Notas

Referencias

Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955). Teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias . Nueva York: McGraw-Hill ..
Lindelöf, E. (1894). "Sur l'application de la méthode des aproximaciones sucesivas aux équations différentielles ordinaires du premier ordre" . Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences . 118 : 454–457. (En ese artículo, Lindelöf analiza una generalización de un enfoque anterior de Picard).
Teschl, Gerald (2012). "2.2. El resultado básico de existencia y unicidad" (PDF) . Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . Providence, Rhode Island : Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 38. eISSN 2376-9203 . ISBN 978-0-8218-8328-0. ISSN 1065-7339 . Zbl 1263.34002 .

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