Mecánica de Medios Continuos - Continuum mechanics

La mecánica continua es una rama de la mecánica que se ocupa del comportamiento mecánico de los materiales modelados como una masa continua en lugar de como partículas discretas . El matemático francés Augustin-Louis Cauchy fue el primero en formular tales modelos en el siglo XIX.

Explicación

Modelar un objeto como un continuo supone que la sustancia del objeto llena completamente el espacio que ocupa. Modelar objetos de esta manera ignora el hecho de que la materia está hecha de átomos , por lo que no es continua; sin embargo, en escalas de longitud mucho mayores que las distancias interatómicas, estos modelos son muy precisos. Las leyes físicas fundamentales como la conservación de la masa , la conservación del momento y la conservación de la energía se pueden aplicar a dichos modelos para derivar ecuaciones diferenciales que describan el comportamiento de dichos objetos, y se agrega cierta información sobre el material que se investiga a través de relaciones constitutivas. .

La mecánica continua se ocupa de las propiedades físicas de los sólidos y fluidos que son independientes de cualquier sistema de coordenadas particular en el que se observan. Estas propiedades físicas luego se representan mediante tensores , que son objetos matemáticos que tienen la propiedad requerida de ser independientes del sistema de coordenadas. Estos tensores se pueden expresar en sistemas de coordenadas por conveniencia computacional.

Concepto de continuo

Los materiales, como sólidos, líquidos y gases, están compuestos por moléculas separadas por el espacio. A escala microscópica, los materiales tienen grietas y discontinuidades. Sin embargo, ciertos fenómenos físicos se pueden modelar asumiendo que los materiales existen como un continuo, lo que significa que la materia en el cuerpo se distribuye continuamente y llena toda la región del espacio que ocupa . Un continuo es un cuerpo que se puede subdividir continuamente en elementos infinitesimales cuyas propiedades son las del material a granel.

La validez del supuesto del continuo puede verificarse mediante un análisis teórico, en el que se identifica cierta periodicidad clara o existe homogeneidad estadística y ergodicidad de la microestructura . Más específicamente, la hipótesis / suposición del continuo depende de los conceptos de un volumen elemental representativo y la separación de escalas basadas en la condición de Hill-Mandel . Esta condición proporciona un vínculo entre el punto de vista de un experimentalista y un teórico sobre las ecuaciones constitutivas (campos elásticos / inelásticos o acoplados lineales y no lineales), así como una forma de promediar espacial y estadísticamente la microestructura.

Cuando la separación de escalas no se sostiene, o cuando se quiere establecer un continuo de una resolución más fina que la del tamaño del elemento de volumen representativo (RVE), se emplea un elemento de volumen estadístico (SVE), que, a su vez, conduce a Campos continuos aleatorios. Estos últimos proporcionan una base micromecánica para elementos finitos estocásticos (SFE). Los niveles de SVE y RVE vinculan la mecánica del continuo con la mecánica estadística . El RVE puede evaluarse solo de forma limitada mediante pruebas experimentales: cuando la respuesta constitutiva se vuelve espacialmente homogénea.

Específicamente para fluidos , el número de Knudsen se usa para evaluar hasta qué punto se puede hacer la aproximación de continuidad.

El tráfico de automóviles como ejemplo introductorio

Considere el tráfico de automóviles en una autopista, con un solo carril para simplificar. Sorprendentemente, y en un tributo a su eficacia, la mecánica del continuo modela eficazmente el movimiento de los coches mediante una ecuación diferencial parcial (PDE) para la densidad de los coches. La familiaridad de esta situación nos permite comprender un poco de la dicotomía continuo-discreto que subyace al modelado continuo en general.

Para comenzar a modelar, defina que: mide la distancia (en km) a lo largo de la carretera; es el tiempo (en minutos); es la densidad de automóviles en la carretera (en automóviles / km en el carril); y es la velocidad de flujo ( velocidad promedio) de esos autos en la posición .

La conservación deriva una PDE ( ecuación diferencial parcial )

Los coches no aparecen y desaparecen. Considere cualquier grupo de automóviles: desde el automóvil en particular en la parte trasera del grupo ubicado en hasta el automóvil en particular en la parte delantera ubicado en . El número total de coches de este grupo . Dado que los coches se conservan (si hay adelantamientos, el 'coche de delante / atrás' puede convertirse en un coche diferente) . Pero a través de la regla integral de Leibniz

Esta integral siendo cero es válida para todos los grupos, es decir, para todos los intervalos . La única forma en que una integral puede ser cero para todos los intervalos es si el integrando es cero para todos . En consecuencia, la conservación deriva la PDE de conservación no lineal de primer orden.

para todas las posiciones en la autopista.

Esta PDE de conservación se aplica no solo al tráfico de automóviles, sino también a los fluidos, sólidos, multitudes, animales, plantas, incendios forestales, comerciantes financieros, etc.

La observación cierra el problema

El PDE anterior es una ecuación con dos incógnitas, por lo que se necesita otra ecuación para formar un problema bien planteado . Esta ecuación adicional suele ser necesaria en la mecánica del continuo y, por lo general, proviene de experimentos. Para el tráfico de automóviles, está bien establecido que los automóviles generalmente viajan a una velocidad que depende de la densidad, para alguna función determinada experimentalmente que es una función decreciente de la densidad. Por ejemplo, los experimentos en el túnel Lincoln encontraron que un buen ajuste (excepto a baja densidad) se obtiene mediante (km / h para la densidad en automóviles / km).

Por lo tanto, el modelo continuo básico para el tráfico de automóviles es el PDE

para la densidad de automóviles en la carretera.

Áreas principales

Mecánica continua
El estudio de la física de materiales continuos.
Mecánica de sólidos
Estudio de la física de materiales continuos con una forma de reposo definida.
Elasticidad
Describe los materiales que vuelven a su forma de reposo después de que se eliminan las tensiones aplicadas .
Plasticidad
Describe materiales que se deforman permanentemente después de una tensión aplicada suficiente.
Reología
El estudio de materiales con características tanto sólidas como fluidas.
Mecánica de fluidos
Estudio de la física de materiales continuos que se deforman cuando se someten a una fuerza.
Fluido no newtoniano
No se somete a velocidades de deformación proporcionales al esfuerzo cortante aplicado.
Los fluidos newtonianos experimentan tasas de deformación proporcionales al esfuerzo cortante aplicado.

Un área adicional de la mecánica continua comprende las espumas elastoméricas, que exhiben una curiosa relación tensión-deformación hiperbólica. El elastómero es un verdadero continuo, pero una distribución homogénea de huecos le confiere propiedades inusuales.

Formulación de modelos

Figura 1. Configuración de un cuerpo continuo

Los modelos de mecánica continua comienzan asignando una región en el espacio euclidiano tridimensional al cuerpo material que se está modelando. Los puntos dentro de esta región se denominan partículas o puntos materiales. Diferentes configuraciones o estados del cuerpo corresponden a diferentes regiones en el espacio euclidiano. La región correspondiente a la configuración del cuerpo en ese momento está etiquetada .

Una partícula particular dentro del cuerpo en una configuración particular se caracteriza por un vector de posición

donde están los vectores de coordenadas en algún marco de referencia elegido para el problema (Ver figura 1). Este vector se puede expresar en función de la posición de la partícula en alguna configuración de referencia , por ejemplo, la configuración en el momento inicial, de modo que

Esta función debe tener varias propiedades para que el modelo tenga sentido físico. necesita ser:

  • continuo en el tiempo, de modo que el cuerpo cambie de una manera realista,
  • globalmente invertible en todo momento, de modo que el cuerpo no pueda cruzarse,
  • la conservación de la orientación , ya que las transformaciones que producen reflejos de espejo no son posibles en la naturaleza.

Para la formulación matemática del modelo, también se supone que es dos veces diferenciable de forma continua , de modo que se pueden formular ecuaciones diferenciales que describen el movimiento.

Fuerzas en un continuo

La mecánica del continuo se ocupa de los cuerpos deformables, en contraposición a los cuerpos rígidos . Un sólido es un cuerpo deformable que posee resistencia al corte, sc. un sólido puede soportar fuerzas cortantes (fuerzas paralelas a la superficie del material sobre la que actúan). Los fluidos, por otro lado, no soportan fuerzas cortantes. Para el estudio del comportamiento mecánico de los sólidos y fluidos se asume que estos son cuerpos continuos, lo que significa que la materia ocupa toda la región del espacio que ocupa, a pesar de que la materia está formada por átomos, tiene vacíos y es discreta. Por lo tanto, cuando la mecánica del continuo se refiere a un punto o partícula en un cuerpo continuo, no describe un punto en el espacio interatómico o una partícula atómica, sino una parte idealizada del cuerpo que ocupa ese punto.

Siguiendo la dinámica clásica de Newton y Euler , el movimiento de un cuerpo material se produce por la acción de fuerzas aplicadas externamente que se supone que son de dos tipos: fuerzas superficiales y fuerzas corporales . Por lo tanto, la fuerza total aplicada a un cuerpo o a una parte del cuerpo se puede expresar como:

Fuerzas superficiales

Las fuerzas superficiales o fuerzas de contacto , expresadas como fuerza por unidad de área, pueden actuar sobre la superficie limítrofe del cuerpo, como resultado del contacto mecánico con otros cuerpos, o sobre superficies internas imaginarias que limitan partes del cuerpo, como resultado de la interacción mecánica entre las partes del cuerpo a cada lado de la superficie ( principio de tensión de Euler-Cauchy ). Cuando las fuerzas de contacto externas actúan sobre un cuerpo, las fuerzas de contacto internas se transmiten de un punto a otro dentro del cuerpo para equilibrar su acción, de acuerdo con la tercera ley de Newton del movimiento de conservación del momento lineal y el momento angular (para cuerpos continuos, estas leyes se denominan ecuaciones de movimiento de Euler ). Las fuerzas de contacto internas están relacionadas con la deformación del cuerpo através de ecuaciones constitutivas . Las fuerzas de contacto internas pueden describirse matemáticamente por cómo se relacionan con el movimiento del cuerpo, independientemente de la composición material del cuerpo.

Se supone que la distribución de las fuerzas de contacto internas en todo el volumen del cuerpo es continua. Por tanto, existe una densidad de fuerza de contacto o campo de tracción de Cauchy que representa esta distribución en una configuración particular del cuerpo en un momento dado . No es un campo vectorial porque depende no solo de la posición de un punto material en particular, sino también de la orientación local del elemento de la superficie definida por su vector normal .

Cualquier área diferencial con un vector normal de un área de superficie interna dada , que delimita una parte del cuerpo, experimenta una fuerza de contacto que surge del contacto entre ambas partes del cuerpo a cada lado de , y está dada por

donde es la tracción de la superficie , también llamado vector de tensión , tracción o vector de tracción . El vector de tensión es un vector indiferente al marco (véase el principio de tensión de Euler-Cauchy ).

La fuerza de contacto total sobre la superficie interna particular se expresa entonces como la suma ( integral de la superficie ) de las fuerzas de contacto en todas las superficies diferenciales :

En la mecánica del continuo, un cuerpo se considera libre de tensión si las únicas fuerzas presentes son las fuerzas interatómicas (fuerzas iónicas , metálicas y de van der Waals ) necesarias para mantener el cuerpo unido y mantener su forma en ausencia de todas las influencias externas. , incluida la atracción gravitacional. Las tensiones generadas durante la fabricación de la carrocería con una configuración específica también se excluyen cuando se consideran las tensiones en una carrocería. Por tanto, las tensiones consideradas en la mecánica del continuo son solo las producidas por la deformación del cuerpo, sc. sólo se consideran los cambios relativos en la tensión, no los valores absolutos de la tensión.

Fuerzas corporales

Las fuerzas corporales son fuerzas que se originan en fuentes externas al cuerpo que actúan sobre el volumen (o masa) del cuerpo. Decir que las fuerzas corporales se deben a fuentes externas implica que la interacción entre diferentes partes del cuerpo (fuerzas internas) se manifiesta únicamente a través de las fuerzas de contacto. Estas fuerzas surgen de la presencia del cuerpo en campos de fuerza, por ejemplo , campo gravitacional ( fuerzas gravitacionales ) o campo electromagnético ( fuerzas electromagnéticas ), o de fuerzas inerciales cuando los cuerpos están en movimiento. Como se supone que la masa de un cuerpo continuo se distribuye continuamente, cualquier fuerza que se origine en la masa también se distribuye continuamente. Por tanto, las fuerzas del cuerpo se especifican mediante campos vectoriales que se supone que son continuos en todo el volumen del cuerpo, es decir , queactúan sobre cada punto del mismo. Las fuerzas corporales están representadas por una densidad de fuerza corporal(por unidad de masa), que es un campo vectorial indiferente al marco.

En el caso de las fuerzas gravitacionales, la intensidad de la fuerza depende o es proporcional a la densidad de masa del material y se especifica en términos de fuerza por unidad de masa ( ) o por unidad de volumen ( ). Estas dos especificaciones están relacionadas a través de la densidad del material por la ecuación . De manera similar, la intensidad de las fuerzas electromagnéticas depende de la fuerza ( carga eléctrica ) del campo electromagnético.

La fuerza corporal total aplicada a un cuerpo continuo se expresa como

Las fuerzas del cuerpo y las fuerzas de contacto que actúan sobre el cuerpo dan lugar a momentos de fuerza correspondientes (momentos de torsión ) en relación con un punto dado. Por tanto, el par total aplicado alrededor del origen viene dado por

En determinadas situaciones, no habitualmente consideradas en el análisis del comportamiento mecánico de los materiales, se hace necesario incluir otros dos tipos de fuerzas: estas son tensiones de pareja (pares superficiales, pares de contacto) y momentos corporales . Los esfuerzos de pareja son momentos por unidad de área aplicados sobre una superficie. Los momentos corporales, o parejas corporales, son momentos por unidad de volumen o por unidad de masa aplicada al volumen del cuerpo. Ambos son importantes en el análisis de tensión para un sólido dieléctrico polarizado bajo la acción de un campo eléctrico, materiales donde se toma en consideración la estructura molecular ( por ejemplo, huesos), sólidos bajo la acción de un campo magnético externo y la teoría de la dislocación de rieles.

Los materiales que exhiben pares corporales y tensiones de par además de momentos producidos exclusivamente por fuerzas se denominan materiales polares . Los materiales no polares son entonces aquellos materiales con solo momentos de fuerzas. En las ramas clásicas de la mecánica del continuo, el desarrollo de la teoría de las tensiones se basa en materiales no polares.

Por lo tanto, la suma de todas las fuerzas y pares aplicados (con respecto al origen del sistema de coordenadas) en el cuerpo puede estar dada por

Cinemática: movimiento y deformación

Figura 2. Movimiento de un cuerpo continuo.

Un cambio en la configuración de un cuerpo continuo da como resultado un desplazamiento . El desplazamiento de un cuerpo tiene dos componentes: un desplazamiento de cuerpo rígido y una deformación . Un desplazamiento de cuerpo rígido consiste en una traslación y rotación simultáneas del cuerpo sin cambiar su forma o tamaño. La deformación implica el cambio de forma y / o tamaño del cuerpo de una configuración inicial o no deformada a una configuración actual o deformada (Figura 2).

El movimiento de un cuerpo continuo es una secuencia de tiempo continua de desplazamientos. Por lo tanto, el cuerpo material ocupará diferentes configuraciones en diferentes momentos de modo que una partícula ocupe una serie de puntos en el espacio que describen una línea de trayectoria.

Hay continuidad durante el movimiento o deformación de un cuerpo continuo en el sentido de que:

  • Los puntos de material que forman una curva cerrada en cualquier instante siempre formarán una curva cerrada en cualquier momento posterior.
  • Los puntos de material que forman una superficie cerrada en cualquier instante siempre formarán una superficie cerrada en cualquier momento posterior y la materia dentro de la superficie cerrada siempre permanecerá dentro.

Es conveniente identificar una configuración de referencia o una condición inicial desde la que se hace referencia a todas las configuraciones posteriores. No es necesario que la configuración de referencia sea una que el cuerpo ocupará alguna vez. A menudo, la configuración en se considera la configuración de referencia, . Los componentes del vector de posición de una partícula, tomados con respecto a la configuración de referencia, se denominan material o coordenadas de referencia.

Al analizar el movimiento o deformación de los sólidos, o el flujo de fluidos, es necesario describir la secuencia o evolución de las configuraciones a lo largo del tiempo. Una descripción del movimiento se hace en términos del material o coordenadas referenciales, llamada descripción del material o descripción lagrangiana.

Descripción lagrangiana

En la descripción lagrangiana, la posición y las propiedades físicas de las partículas se describen en términos de las coordenadas materiales o referenciales y el tiempo. En este caso, la configuración de referencia es la configuración en . Un observador de pie en el marco de referencia observa los cambios en la posición y las propiedades físicas a medida que el cuerpo material se mueve en el espacio a medida que avanza el tiempo. Los resultados obtenidos son independientes de la elección del tiempo inicial y la configuración de referencia . Esta descripción se utiliza normalmente en mecánica de sólidos .

En la descripción de Lagrange, el movimiento de un cuerpo continuo se expresa mediante la función de mapeo (Figura 2),

que es un mapeo de la configuración inicial sobre la configuración actual , dando una correspondencia geométrica entre ellos, es decir, dando el vector de posición que una partícula , con un vector de posición en la configuración no deformada o de referencia , ocupará en la configuración actual o deformada en el momento . Los componentes se denominan coordenadas espaciales.

Las propiedades físicas y cinemáticas , es decir, las propiedades termodinámicas y la velocidad de flujo, que describen o caracterizan las características del cuerpo material, se expresan como funciones continuas de posición y tiempo, es decir .

La derivada material de cualquier propiedad de un continuo, que puede ser un escalar, un vector o un tensor, es la tasa de cambio en el tiempo de esa propiedad para un grupo específico de partículas del cuerpo continuo en movimiento. El derivado material también se conoce como derivado sustancial , o derivado comovivo , o derivado convectivo . Se puede pensar como la velocidad a la que cambia la propiedad cuando la mide un observador que viaja con ese grupo de partículas.

En la descripción de Lagrange, la derivada material de es simplemente la derivada parcial con respecto al tiempo, y el vector de posición se mantiene constante ya que no cambia con el tiempo. Por lo tanto, tenemos

La posición instantánea es una propiedad de una partícula y su derivado material es la velocidad de flujo instantánea de la partícula. Por lo tanto, el campo de velocidad de flujo del continuo está dado por

De manera similar, el campo de aceleración está dado por

La continuidad en la descripción lagrangiana se expresa por la continuidad espacial y temporal del mapeo desde la configuración de referencia hasta la configuración actual de los puntos materiales. Todas las cantidades físicas que caracterizan el continuo se describen de esta manera. En este sentido, las funciones y son monovaluadas y continuas, con derivadas continuas con respecto al espacio y al tiempo al orden que se requiera, generalmente al segundo o al tercero.

Descripción euleriana

La continuidad permite que el inverso de rastrear hacia atrás donde la partícula actualmente ubicada en estaba ubicada en la configuración inicial o referenciada . En este caso, la descripción del movimiento se realiza en términos de las coordenadas espaciales, en cuyo caso se denomina descripción espacial o descripción euleriana, es decir, se toma la configuración actual como configuración de referencia .

La descripción euleriana, introducida por d'Alembert , se centra en la configuración actual , prestando atención a lo que ocurre en un punto fijo en el espacio a medida que avanza el tiempo, en lugar de prestar atención a las partículas individuales a medida que se mueven a través del espacio y el tiempo. Este enfoque se aplica convenientemente en el estudio del flujo de fluidos donde la propiedad cinemática de mayor interés es la velocidad a la que se está produciendo el cambio en lugar de la forma del cuerpo de fluido en un tiempo de referencia.

Matemáticamente, el movimiento de un continuo usando la descripción euleriana se expresa mediante la función de mapeo

que proporciona un trazado de la partícula que ahora ocupa la posición en la configuración actual hasta su posición original en la configuración inicial .

Una condición necesaria y suficiente para que exista esta función inversa es que el determinante de la matriz jacobiana , a menudo denominado simplemente jacobiano, sea diferente de cero. Por lo tanto,

En la descripción euleriana, las propiedades físicas se expresan como

donde la forma funcional de en la descripción lagrangiana no es la misma que la forma de en la descripción euleriana.

La derivada material de , usando la regla de la cadena, es entonces

El primer término en el lado derecho de esta ecuación da la tasa de cambio local de la propiedad que ocurre en la posición . El segundo término del lado derecho es la tasa de cambio convectivo y expresa la contribución del cambio de posición de la partícula en el espacio (movimiento).

La continuidad en la descripción euleriana se expresa por la continuidad espacial y temporal y la diferenciabilidad continua del campo de velocidad de flujo. Todas las magnitudes físicas se definen así en cada instante de tiempo, en la configuración actual, en función de la posición del vector .

Campo de desplazamiento

El vector que une las posiciones de una partícula en la configuración no deformada y la configuración deformada se denomina vector de desplazamiento , en la descripción lagrangiana, o en la descripción euleriana.

Un campo de desplazamiento es un campo vectorial de todos los vectores de desplazamiento para todas las partículas del cuerpo, que relaciona la configuración deformada con la configuración no deformada. Es conveniente hacer el análisis de deformación o movimiento de un cuerpo continuo en términos del campo de desplazamiento. En general, el campo de desplazamiento se expresa en términos de las coordenadas del material como

o en términos de las coordenadas espaciales como

donde son los cosenos de dirección entre el material y los sistemas de coordenadas espaciales con vectores unitarios y , respectivamente. Por lo tanto

y la relación entre y viene dada por

Sabiendo que

luego

Es común superponer los sistemas de coordenadas para las configuraciones deformadas y no deformadas, lo que da como resultado , y los cosenos de dirección se convierten en deltas de Kronecker , es decir

Por lo tanto, tenemos

o en términos de las coordenadas espaciales como

Ecuaciones gubernamentales

La mecánica continua se ocupa del comportamiento de los materiales que pueden aproximarse como continuos para determinadas escalas de duración y tiempo. Las ecuaciones que gobiernan la mecánica de tales materiales incluyen las leyes de equilibrio de masa , momento y energía . Se necesitan relaciones cinemáticas y ecuaciones constitutivas para completar el sistema de ecuaciones gobernantes. Pueden aplicarse restricciones físicas sobre la forma de las relaciones constitutivas exigiendo que la segunda ley de la termodinámica se satisfaga en todas las condiciones. En la mecánica del continuo de sólidos, la segunda ley de la termodinámica se satisface si se satisface la forma de Clausius-Duhem de la desigualdad de entropía.

Las leyes del equilibrio expresan la idea de que la tasa de cambio de una cantidad (masa, momento, energía) en un volumen debe surgir de tres causas:

  1. la misma cantidad física fluye a través de la superficie que limita el volumen,
  2. hay una fuente de la cantidad física en la superficie del volumen, y / y,
  3. hay una fuente de la cantidad física dentro del volumen.

Sea el cuerpo (un subconjunto abierto del espacio euclidiano) y sea ​​su superficie (el límite de ).

Deje que el mapa describa el movimiento de los puntos materiales en el cuerpo.

donde es la posición de un punto en la configuración inicial y es la ubicación del mismo punto en la configuración deformada.

El gradiente de deformación viene dado por

Leyes de equilibrio

Sea una cantidad física que fluye por el cuerpo. Sean fuentes en la superficie del cuerpo y sean fuentes dentro del cuerpo. Sea la unidad exterior normal a la superficie . Sea la velocidad de flujo de las partículas físicas que transportan la cantidad física que fluye. Además, sea la velocidad a la que se mueve la superficie delimitadora (en la dirección ).

Entonces, las leyes del equilibrio se pueden expresar en la forma general

Las funciones , y pueden tener valores escalares, valores vectoriales o valores tensoriales, dependiendo de la cantidad física de la que se trate la ecuación de equilibrio. Si hay límites internos en el cuerpo, las discontinuidades de salto también deben especificarse en las leyes del equilibrio.

Si tomamos el punto de vista euleriano , se puede demostrar que las leyes de equilibrio de masa, momento y energía de un sólido se pueden escribir como (asumiendo que el término fuente es cero para las ecuaciones de masa y momento angular)

En las ecuaciones anteriores es la densidad de masa (corriente), es la derivada del tiempo del material , es la velocidad de la partícula, es la derivada del tiempo del material , es el tensor de tensión de Cauchy , es la densidad de la fuerza del cuerpo, es la energía interna por unidad de masa , es la derivada del tiempo material de , es el vector de flujo de calor y es una fuente de energía por unidad de masa.

Con respecto a la configuración de referencia (el punto de vista lagrangiano), las leyes de equilibrio se pueden escribir como

En lo anterior, es el primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff y es la densidad de masa en la configuración de referencia. El primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff está relacionado con el tensor de tensión de Cauchy por

Alternativamente, podemos definir el tensor de tensión nominal que es la transposición del primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff tal que

Entonces las leyes del equilibrio se vuelven

Los operadores en las ecuaciones anteriores se definen como tales que

donde es un campo vectorial, es un campo tensorial de segundo orden y son los componentes de una base ortonormal en la configuración actual. También,

donde es un campo vectorial, es un campo tensorial de segundo orden y son los componentes de una base ortonormal en la configuración de referencia.

El producto interior se define como

Desigualdad de Clausius-Duhem

La desigualdad de Clausius-Duhem se puede utilizar para expresar la segunda ley de la termodinámica para materiales elásticos-plásticos. Esta desigualdad es una declaración sobre la irreversibilidad de los procesos naturales, especialmente cuando se trata de disipación de energía.

Al igual que en las leyes de equilibrio de la sección anterior, suponemos que hay un flujo de una cantidad, una fuente de la cantidad y una densidad interna de la cantidad por unidad de masa. La cantidad de interés en este caso es la entropía. Por lo tanto, asumimos que hay un flujo de entropía, una fuente de entropía, una densidad de masa interna y una entropía interna específica (es decir, entropía por unidad de masa) en la región de interés.

Sea tal región y sea ​​su límite. Luego, la segunda ley de la termodinámica establece que la tasa de aumento de en esta región es mayor o igual que la suma de la suministrada a (como un flujo o de fuentes internas) y el cambio de la densidad de entropía interna debido al material que fluye en y fuera de la región.

Deje que se mueva con una velocidad de flujo y deje que las partículas del interior tengan velocidades . Sea la unidad exterior normal a la superficie . Sea la densidad de la materia en la región, sea ​​el flujo de entropía en la superficie y sea ​​la fuente de entropía por unidad de masa. Entonces la desigualdad de entropía se puede escribir como

El flujo de entropía escalar se puede relacionar con el flujo vectorial en la superficie por la relación . Bajo el supuesto de condiciones isotérmicas incrementales, tenemos

donde es el vector de flujo de calor, es una fuente de energía por unidad de masa y es la temperatura absoluta de un punto del material en un momento .

Luego tenemos la desigualdad de Clausius-Duhem en forma integral:

Podemos mostrar que la desigualdad de entropía se puede escribir en forma diferencial como

En términos de la tensión de Cauchy y la energía interna, la desigualdad de Clausius-Duhem se puede escribir como

Aplicaciones

Ver también

Notas explicatorias

Referencias

Citas

Trabajos citados

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Referencias generales

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enlaces externos