Teoría de la perturbación - Perturbation theory

Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales de Navier-Stokes utilizadas para simular el flujo de aire alrededor de una obstrucción
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Clasificación
Tipos Ordinario Parcial Diferencial-algebraico Integro-diferencial Fraccionario Lineal No lineal Por tipo de variable Variables dependientes e independientes Autónomo Complejo Acoplado / desacoplado Exacto Homogéneo  / No homogéneo Características Pedido Operador Notación
Relación con los procesos Diferencia (análogo discreto) Estocástico Estocástico parcial Demora
Solución
Existencia y singularidad Teorema de Picard-Lindelöf Teorema de existencia de Peano Teorema de existencia de Carathéodory Teorema de Cauchy-Kowalevski
Temas generales Wronskian Retrato de fase Espacio de fase Estabilidad de Lyapunov  / Asintótica  / Exponencial Tasa de convergencia Serie  / Soluciones integrales Integracion numerica Función delta de Dirac
Métodos de solución Inspección Método de características Euler Fórmula de respuesta exponencial Diferencia finita  ( Crank – Nicolson ) Elemento finito Elemento infinito Volumen finito Galerkin Petrov – Galerkin Factor integrador Transformaciones integrales Teoría de la perturbación Runge – Kutta Separación de variables Coeficientes indeterminados Variación de parámetros
Gente Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
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En matemáticas y matemáticas aplicadas , la teoría de la perturbación comprende métodos para encontrar una solución aproximada a un problema, partiendo de la solución exacta de un problema relacionado más simple. Una característica crítica de la técnica es un paso intermedio que divide el problema en partes "solucionables" y "perturbativas". En la teoría de la perturbación, la solución se expresa como una serie de potencias en un pequeño parámetro . El primer término es la solución conocida al problema solucionable. Los términos sucesivos de la serie a potencias superiores suelen reducirse. Una 'solución de perturbación' aproximada se obtiene truncando la serie, generalmente manteniendo solo los dos primeros términos, la solución al problema conocido y la corrección de perturbación de 'primer orden'. ${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$

La teoría de la perturbación se utiliza en una amplia gama de campos y alcanza sus formas más sofisticadas y avanzadas en la teoría cuántica de campos . La teoría de la perturbación (mecánica cuántica) describe el uso de este método en la mecánica cuántica . El campo en general sigue siendo investigado de forma activa y exhaustiva en múltiples disciplinas.

Descripción

La teoría de la perturbación desarrolla una expresión para la solución deseada en términos de una serie de potencia formal conocida como serie de perturbación en algún parámetro "pequeño", que cuantifica la desviación del problema exactamente resoluble. El término principal en esta serie de potencias es la solución del problema exactamente resoluble, mientras que otros términos describen la desviación en la solución, debido a la desviación del problema inicial. Formalmente, tenemos para la aproximación a la solución completa A , una serie en el parámetro pequeño (aquí llamado ε ), como la siguiente:

${\ Displaystyle A = A_ {0} + \ varepsilon ^ {1} A_ {1} + \ varepsilon ^ {2} A_ {2} + \ cdots}$

En este ejemplo, A ₀ sería la solución conocida para el problema inicial exactamente resoluble y A ₁ , A ₂ , ... representan los términos de primer orden , segundo orden y orden superior , que pueden ser encontrados iterativamente por un mecánico. procedimiento. Para ε pequeños, estos términos de orden superior en la serie generalmente (pero no siempre) se vuelven sucesivamente más pequeños. Una "solución perturbativa" aproximada se obtiene truncando la serie, a menudo manteniendo solo los dos primeros términos, expresando la solución final como una suma de la solución inicial (exacta) y la corrección perturbativa de "primer orden".

${\ Displaystyle A \ approx A_ {0} + \ varepsilon A_ {1} \ quad \ left (\ varepsilon \ to 0 \ right)}$

Algunos autores utilizan grandes notación O para indicar el orden del error en la solución aproximada: . ${\ Displaystyle A = A_ {0} + \ varepsilon A_ {1} + O \ left (\ varepsilon ^ {2} \ right)}$

Si la serie de potencias en ε converge con un radio de convergencia distinto de cero, el problema de perturbación se denomina problema de perturbación regular . En los problemas de perturbación regulares, la solución asintótica se acerca suavemente a la solución exacta. Sin embargo, la serie de perturbaciones también puede divergir y la serie truncada puede ser una buena aproximación a la solución verdadera si se trunca en un punto en el que sus elementos son mínimos. Esto se llama serie asintótica . Si la serie de perturbaciones es divergente o no es una serie de potencias (por ejemplo, la expansión asintótica tiene potencias no enteras o negativas ), entonces el problema de perturbación se denomina problema de perturbación singular . Se han desarrollado muchas técnicas especiales en la teoría de la perturbación para analizar problemas de perturbación singulares. ${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {1/2}}$${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {- 2}}$

Ejemplo prototípico

El primer uso de lo que ahora se llamaría teoría de la perturbación fue tratar los problemas matemáticos de la mecánica celeste que de otro modo serían irresolubles : por ejemplo, la órbita de la Luna , que se mueve de manera notablemente diferente de una elipse kepleriana simple debido a la gravitación competitiva de la Tierra y el sol .

Los métodos de perturbación comienzan con una forma simplificada del problema original, que es lo suficientemente simple como para ser resuelto con exactitud. En mecánica celeste , esta suele ser una elipse kepleriana . Bajo la gravedad newtoniana , una elipse es exactamente correcta cuando solo hay dos cuerpos gravitantes (digamos, la Tierra y la Luna ), pero no del todo correcta cuando hay tres o más objetos (digamos, la Tierra, la Luna , el Sol y el resto de la Tierra). el sistema solar ) y no del todo correcto cuando la interacción gravitacional se establece utilizando formulaciones de la relatividad general .

Expansión perturbativa

Teniendo en cuenta el ejemplo anterior, se sigue una receta general para obtener la serie de perturbaciones. La expansión perturbativa se crea agregando correcciones sucesivas al problema simplificado. Las correcciones se obtienen forzando la coherencia entre la solución no perturbada y las ecuaciones que describen el sistema en su totalidad. Escriba para esta colección de ecuaciones; es decir, deje que el símbolo sustituya al problema a resolver. Muy a menudo, estas son ecuaciones diferenciales, por lo tanto, la letra "D". ${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle D}$

El proceso es generalmente mecánico, aunque laborioso. Uno comienza escribiendo las ecuaciones de modo que se dividan en dos partes: alguna colección de ecuaciones que se pueden resolver exactamente, y alguna parte restante adicional para algunas pequeñas . La solución (a ) es conocido, y se busca la solución general a . ${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle D_ {0}}$${\ Displaystyle \ varepsilon D_ {1}}$${\ Displaystyle \ varepsilon \ ll 1}$${\ Displaystyle A_ {0}}$${\ Displaystyle D_ {0}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle D = D_ {0} + \ varepsilon D_ {1}}$

A continuación, se inserta la aproximación . Esto da como resultado una ecuación para , que, en el caso general, se puede escribir en forma cerrada como una suma sobre integrales . Por lo tanto, se ha obtenido la corrección de primer orden y, por lo tanto, es una buena aproximación a . Es una buena aproximación, precisamente porque las partes que se ignoraron eran de tamaño . A continuación, se puede repetir el proceso para obtener correcciones , etc. ${\ Displaystyle A \ approx A_ {0} + \ varepsilon A_ {1}}$${\ Displaystyle \ varepsilon D_ {1}}$${\ Displaystyle A_ {1}}$${\ Displaystyle A_ {0}}$ ${\ Displaystyle A_ {1}}$${\ Displaystyle A \ approx A_ {0} + \ varepsilon A_ {1}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {2}}$${\ Displaystyle A_ {2}}$

En la práctica, este proceso explota rápidamente en una profusión de términos, que se vuelven extremadamente difíciles de manejar a mano. Se dice que Isaac Newton dijo, con respecto al problema de la órbita de la Luna , que "Me duele la cabeza". Esta inmanejabilidad ha obligado a la teoría de la perturbación a convertirse en un gran arte de administrar y escribir estos términos de orden superior. Uno de los avances fundamentales para controlar la expansión son los diagramas de Feynman , que permiten escribir en forma de diagrama las series de perturbaciones.

Ejemplos de

La teoría de la perturbación se ha utilizado en una gran cantidad de entornos diferentes en física y matemáticas aplicadas. Ejemplos de la "colección de ecuaciones" incluyen ecuaciones algebraicas , ecuaciones diferenciales (por ejemplo, las ecuaciones de movimiento y comúnmente ecuaciones de onda ), energía libre termodinámica en mecánica estadística , transferencia radiativa y operadores hamiltonianos en mecánica cuántica . ${\ Displaystyle D}$

Ejemplos de los tipos de soluciones que se encuentran perturbativamente incluyen la solución de la ecuación ( p . Ej. , La trayectoria de una partícula), el promedio estadístico de alguna cantidad física ( p . Ej. , Magnetización promedio), la energía del estado fundamental de un problema mecánico cuántico.

Ejemplos de problemas que se pueden resolver exactamente y que se pueden usar como puntos de partida incluyen ecuaciones lineales , incluidas ecuaciones lineales de movimiento ( oscilador armónico , ecuación de onda lineal ), sistemas estadísticos o mecánicos cuánticos de partículas que no interactúan (o en general, hamiltonianos o energías libres). que contiene solo términos cuadráticos en todos los grados de libertad).

Ejemplos de sistemas que pueden resolverse con perturbaciones incluyen sistemas con contribuciones no lineales a las ecuaciones de movimiento, interacciones entre partículas, términos de potencias superiores en la energía hamiltoniana / libre.

Para problemas físicos que involucran interacciones entre partículas, los términos de la serie de perturbaciones pueden mostrarse (y manipularse) usando diagramas de Feynman .

Historia

La teoría de la perturbación se ideó por primera vez para resolver problemas que de otro modo serían intratables en el cálculo de los movimientos de los planetas en el sistema solar. Por ejemplo, la ley de Newton de la gravitación universal explicaba la gravitación entre dos cuerpos astronómicos, pero cuando se agrega un tercer cuerpo, el problema era: "¿Cómo tira cada cuerpo de cada uno?" La ecuación de Newton solo permitió analizar la masa de dos cuerpos. La precisión cada vez mayor de las observaciones astronómicas condujo a demandas incrementales en la precisión de las soluciones a las ecuaciones gravitacionales de Newton, lo que llevó a varios matemáticos notables de los siglos XVIII y XIX, como Lagrange y Laplace , a extender y generalizar los métodos de la teoría de perturbaciones.

Estos métodos de perturbación bien desarrollados fueron adoptados y adaptados para resolver nuevos problemas que surgen durante el desarrollo de la mecánica cuántica en la física atómica y subatómica del siglo XX. Paul Dirac desarrolló la teoría de la perturbación cuántica en 1927 para evaluar cuándo se emitiría una partícula en elementos radiactivos. Más tarde se llamó la regla de oro de Fermi . La teoría de la perturbación en la mecánica cuántica es bastante accesible, ya que la notación cuántica permite que las expresiones se escriban en una forma bastante compacta, lo que las hace más fáciles de comprender. Esto resultó en una explosión de aplicaciones, que van desde el efecto Zeeman hasta la división hiperfina en el átomo de hidrógeno .

A pesar de la notación más simple, la teoría de la perturbación aplicada a la teoría cuántica de campos todavía se sale de control fácilmente. Richard Feynman desarrolló los célebres diagramas de Feynman al observar que muchos términos se repiten de manera regular. Estos términos pueden ser reemplazados por puntos, líneas, garabatos y marcas similares, cada una representando un término, un denominador, una integral, etc. por lo tanto, las integrales complejas se pueden escribir como diagramas simples, sin absolutamente ninguna ambigüedad en cuanto a lo que significan. La correspondencia uno a uno entre los diagramas y las integrales específicas es lo que les da su poder. Aunque originalmente se desarrolló para la teoría cuántica de campos, resulta que la técnica diagramática es ampliamente aplicable a todas las series perturbativas (aunque, quizás, no siempre tan útil).

En la segunda mitad del siglo XX, a medida que se desarrolló la teoría del caos , quedó claro que los sistemas no perturbados eran en general sistemas completamente integrables , mientras que los sistemas perturbados no lo eran. Esto condujo rápidamente al estudio de "sistemas casi integrables", de los cuales el toro KAM es el ejemplo canónico. Al mismo tiempo, también se descubrió que muchos sistemas no lineales (bastante especiales) , que antes solo eran accesibles a través de la teoría de la perturbación, son de hecho completamente integrables. Este descubrimiento fue bastante dramático, ya que permitió dar soluciones exactas. Esto, a su vez, ayudó a aclarar el significado de la serie perturbativa, ya que ahora se podían comparar los resultados de la serie con las soluciones exactas.

La mejor comprensión de los sistemas dinámicos provenientes de la teoría del caos ayudó a arrojar luz sobre lo que se denominó el problema del pequeño denominador o el problema del pequeño divisor . Se observó en el siglo XIX (por Poincaré , y quizás antes), que a veces los términos de segundo orden y de orden superior en la serie perturbativa tienen "denominadores pequeños". Es decir, tienen la forma general donde , y son algunas expresiones complicadas pertinentes al problema a resolver, y y son números reales; muy a menudo son la energía de los modos normales . El problema del divisor pequeño surge cuando la diferencia es pequeña, lo que hace que la corrección perturbativa explote, volviéndose tan grande o tal vez más grande que el término de orden cero. Esta situación indica un colapso de la teoría de la perturbación: deja de funcionar en este punto y no se puede ampliar ni resumir más. En términos formales, la serie perturbativa es una serie asintótica : una aproximación útil para unos pocos términos, pero en última instancia inexacta. El avance de la teoría del caos fue una explicación de por qué sucedió esto: los pequeños divisores ocurren siempre que la teoría de la perturbación se aplica a un sistema caótico. Uno señala la presencia del otro. ${\ Displaystyle \ psi _ {n} V \ phi _ {m} / (\ omega _ {n} - \ omega _ {m})}$${\ Displaystyle \ psi _ {n}}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle \ phi _ {m}}$${\ Displaystyle \ omega _ {n}}$${\ Displaystyle \ omega _ {m}}$${\ Displaystyle \ omega _ {n} - \ omega _ {m}}$

Inicios en el estudio del movimiento planetario.

Dado que los planetas están muy alejados entre sí, y dado que su masa es pequeña en comparación con la masa del Sol, las fuerzas gravitacionales entre los planetas pueden despreciarse, y el movimiento planetario se considera, en una primera aproximación, como teniendo lugar. a lo largo de las órbitas de Kepler, que están definidas por las ecuaciones del problema de los dos cuerpos, siendo los dos cuerpos el planeta y el Sol.

Dado que los datos astronómicos se conocieron con mucha mayor precisión, se hizo necesario considerar cómo el movimiento de un planeta alrededor del Sol se ve afectado por otros planetas. Este fue el origen del problema de los tres cuerpos ; así, al estudiar el sistema Luna-Tierra-Sol, se eligió como el pequeño parámetro la relación de masa entre la Luna y la Tierra. Lagrange y Laplace fueron los primeros en proponer la opinión de que las constantes que describen el movimiento de un planeta alrededor del Sol están "perturbadas", por así decirlo, por el movimiento de otros planetas y varían en función del tiempo; de ahí el nombre de "teoría de la perturbación".

La teoría de la perturbación fue investigada por los estudiosos clásicos —Laplace , Poisson , Gauss— como resultado de lo cual los cálculos se pudieron realizar con una precisión muy alta. El descubrimiento del planeta Neptuno en 1848 por Urbain Le Verrier , basado en las desviaciones en el movimiento del planeta Urano (envió las coordenadas a Johann Gottfried Galle, quien observó con éxito Neptuno a través de su telescopio), representó un triunfo de la teoría de la perturbación.

Órdenes de perturbación

La exposición estándar de la teoría de la perturbación se da en términos del orden en que se lleva a cabo la perturbación: teoría de la perturbación de primer orden o teoría de la perturbación de segundo orden, y si los estados perturbados son degenerados, lo que requiere una perturbación singular . En el caso singular, se debe tener especial cuidado y la teoría es un poco más elaborada.

En Quimica

Muchos de los métodos de química cuántica ab initio utilizan la teoría de la perturbación directamente o son métodos estrechamente relacionados. La teoría de la perturbación implícita trabaja con el hamiltoniano completo desde el principio y nunca especifica un operador de perturbación como tal. La teoría de la perturbación de Møller-Plesset utiliza la diferencia entre el hamiltoniano de Hartree-Fock y el hamiltoniano no relativista exacto como perturbación. La energía de orden cero es la suma de las energías orbitales. La energía de primer orden es la energía de Hartree-Fock y la correlación de electrones se incluye en el segundo orden o superior. Los cálculos de segundo, tercer o cuarto orden son muy comunes y el código se incluye en la mayoría de los programas de química cuántica ab initio . Un método relacionado pero más preciso es el método de agrupamiento acoplado .

Ver también

• Capa límite
• Teoría de la perturbación cosmológica
• Deformación (matemáticas)
• Polarización nuclear dinámica
• Perturbación de valores propios
• Método de perturbación de homotopía
• Intervalo FEM
• Estabilidad de Lyapunov
• Método de equilibrio dominante
• Orden de aproximación
• Teoría de la perturbación (mecánica cuántica)
• Estabilidad estructural

Referencias

enlaces externos

• van den Eijnden, Eric . "Introducción a la teoría de la perturbación regular" (PDF) .
• "Método de perturbación de múltiples escalas" .
• Aproximación alternativa a la teoría de la perturbación cuántica Martínez-Carranza, J .; Soto-Eguibar, F .; Moya-Cessa, H. (2012). "Análisis alternativo a la teoría de perturbaciones en mecánica cuántica". El European Physical Diario D . 66 : 22. arXiv : 1110.0723 . Código Bibliográfico : 2012EPJD ... 66 ... 22M . doi : 10.1140 / epjd / e2011-20654-5 . S2CID  117362666 .