Colector diferenciable - Differentiable manifold

Un atlas de gráficos no diferenciable para el mundo. Los resultados del cálculo pueden no ser compatibles entre gráficos si el atlas no es diferenciable. En los gráficos del centro y de la derecha, el Trópico de Cáncer es una curva suave, mientras que en el gráfico de la izquierda tiene una esquina pronunciada. La noción de una variedad diferenciable refina la de una variedad al requerir que las funciones que se transforman entre gráficos sean diferenciables.

En matemáticas, una variedad diferenciable (también variedad diferencial ) es un tipo de variedad que es localmente lo suficientemente similar a un espacio vectorial como para permitirle hacer cálculo . Cualquier variedad puede describirse mediante una colección de gráficos, también conocida como atlas . Luego, se pueden aplicar ideas del cálculo mientras se trabaja dentro de los gráficos individuales, ya que cada gráfico se encuentra dentro de un espacio vectorial al que se aplican las reglas habituales del cálculo. Si los gráficos son adecuadamente compatibles (es decir, la transición de un gráfico a otro es diferenciable ), los cálculos realizados en un gráfico son válidos en cualquier otro gráfico diferenciable.

En términos formales, una variedad diferenciable es una variedad topológica con una estructura diferencial definida globalmente . A cualquier variedad topológica se le puede dar una estructura diferencial localmente usando los homeomorfismos en su atlas y la estructura diferencial estándar en un espacio vectorial. Para inducir una estructura diferencial global en los sistemas de coordenadas locales inducidos por los homeomorfismos, sus composiciones en las intersecciones de las cartas en el atlas deben ser funciones diferenciables en el espacio vectorial correspondiente. En otras palabras, donde los dominios de los gráficos se superponen, las coordenadas definidas por cada gráfico deben ser diferenciables con respecto a las coordenadas definidas por cada gráfico en el atlas. Los mapas que relacionan las coordenadas definidas por los distintos gráficos entre sí se denominan mapas de transición.

La capacidad de definir tal estructura diferencial local en un espacio abstracto permite extender la definición de diferenciabilidad a espacios sin sistemas de coordenadas globales. Una estructura localmente diferencial permite definir el espacio tangente diferenciable globalmente , las funciones diferenciables y los campos de vector y tensor diferenciables .

Las variedades diferenciables son muy importantes en física . Tipos especiales de variedades diferenciables forman la base de teorías físicas como la mecánica clásica , la relatividad general y la teoría de Yang-Mills . Es posible desarrollar un cálculo para variedades diferenciables. Esto conduce a una maquinaria matemática como el cálculo exterior. El estudio del cálculo en variedades diferenciables se conoce como geometría diferencial.

A la "diferenciabilidad" de una variedad se le han dado varios significados, entre ellos: continuamente diferenciable , k veces diferenciable, suave (que a su vez tiene muchos significados) y analítico .

Historia

El surgimiento de la geometría diferencial como una disciplina distinta generalmente se le atribuye a Carl Friedrich Gauss y Bernhard Riemann . Riemann describió por primera vez las variedades en su famosa conferencia de habilitación ante la facultad de Gotinga . Motivó la idea de una variedad mediante un proceso intuitivo de variar un objeto dado en una nueva dirección, y describió de manera profética el papel de los sistemas de coordenadas y gráficos en desarrollos formales posteriores:

Habiendo construido la noción de una multiplicidad de n dimensiones, y encontrado que su verdadero carácter consiste en la propiedad de que la determinación de la posición en ella puede reducirse an determinaciones de magnitud, ... - B. Riemann

Los trabajos de físicos como James Clerk Maxwell y los matemáticos Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita llevaron al desarrollo del análisis tensorial y la noción de covarianza , que identifica una propiedad geométrica intrínseca como una que es invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas. . Estas ideas encontraron una aplicación clave en la teoría de la relatividad general de Albert Einstein y su principio de equivalencia subyacente . Hermann Weyl dio una definición moderna de una variedad bidimensional en su libro de 1913 sobre superficies de Riemann . La definición general ampliamente aceptada de una variedad en términos de un atlas se debe a Hassler Whitney .

Definición

Atlas

Sea M un espacio topológico . Un gráfico ( U , φ) en M consta de un subconjunto abierto U de M , y un homeomorfismo φ de U a un subconjunto abierto de algún espacio euclidiano R n . De manera algo informal, uno puede referirse a un gráfico φ: UR n , lo que significa que la imagen de φ es un subconjunto abierto de R n , y que φ es un homeomorfismo en su imagen; en el uso de algunos autores, esto puede significar en cambio que φ: UR n es en sí mismo un homeomorfismo.

La presencia de un gráfico sugiere la posibilidad de hacer cálculo diferencial en M ; por ejemplo, si se le da una función u  : MR y un gráfico ( U , φ) en M , se podría considerar la composición u ∘ φ −1 , que es una función de valor real cuyo dominio es un subconjunto abierto de un euclidiano espacio; como tal, si resulta ser diferenciable, se podrían considerar sus derivadas parciales .

Esta situación no es completamente satisfactoria por la siguiente razón. Considere una segunda gráfica ( V , ψ) en M , y suponga que U y V contienen algunos puntos en común. Las dos funciones correspondientes u ∘ φ −1 y u ∘ ψ −1 están vinculadas en el sentido de que pueden reparametrizarse entre sí:

el dominio natural del lado derecho es φ ( UV ) . Dado que φ y ψ son homeomorfismos, se deduce que ψ ∘ φ −1 es un homeomorfismo de φ ( UV ) a ψ ( UV ) . En consecuencia, incluso si ambas funciones u ∘ φ −1 y u ∘ ψ −1 son diferenciables, sus propiedades diferenciales no necesariamente estarán fuertemente vinculadas entre sí, ya que ψ ∘ φ −1 no es necesariamente lo suficientemente diferenciable para que la regla de la cadena sea aplicable. Se encuentra el mismo problema si se consideran las funciones c  : RM ; uno es llevado a la fórmula de reparametrización

momento en el que se puede hacer la misma observación que antes.

Esto se resuelve mediante la introducción de un "atlas diferenciable" de gráficos, que especifica una colección de gráficos en M para los cuales los mapas de transición ψ ∘ φ −1 son todos diferenciables. Esto aclara la situación: si u ∘ φ −1 es diferenciable, entonces, debido a la fórmula de reparametrización, el mapa u ∘ ψ −1 también es diferenciable en la región ψ ( UV ) . Además, las derivadas de estos dos mapas están vinculadas entre sí por la regla de la cadena. En relación con el atlas dado, esto facilita una noción de asignaciones diferenciables cuyo dominio o rango es M , así como una noción de la derivada de tales mapas.

Formalmente, la palabra "diferenciable" es algo ambigua, ya que diferentes autores la interpretan con diferentes significados; a veces significa la existencia de primeras derivadas, a veces la existencia de primeras derivadas continuas y, a veces, la existencia de infinitas derivadas. A continuación se da una definición formal de varios significados (no ambiguos) de "atlas diferenciable". Generalmente, "diferenciable" se utilizará como un término general que incluye todas estas posibilidades, siempre que k ≥ 1 .

Dado un espacio topológico M ...
un atlas de C k es una colección de gráficos α  : U αR n } α∈ A tal que { U α } α∈ A cubre M , y tal que para todo α y β en A , el mapa de transición φ α ∘ φ−1
β
es
un mapa C k
un atlas suave o en C α  : U αR n } α∈ A un mapa suave
un atlas analítico o C ω α  : U αR n } α∈ A un mapa analítico real
un atlas holomorfo α  : U αC n } α∈ A un mapa holomorfo
El mapa de transición de dos gráficos. φ αβ denota φ α ∘ φ−1
β
y φ βα denota φ β ∘ φ−1
α

Dado que todo mapa analítico real es fluido, y todo mapa fluido es C k para cualquier k , se puede ver que cualquier atlas analítico también puede verse como un atlas fluido, y cada atlas fluido puede verse como un atlas C k . Esta cadena puede extenderse para incluir atlas holomórficos, en el entendimiento de que cualquier mapa holomórfico entre subconjuntos abiertos de C n puede verse como un mapa analítico real entre subconjuntos abiertos de R 2 n .

Dado un atlas diferenciable en un espacio topológico, se dice que una carta es diferenciable compatible con el atlas, o diferenciable en relación con el atlas dado, si la inclusión de la carta en la colección de cartas que comprenden el atlas diferenciable dado da como resultado un atlas diferenciable. . Un atlas diferenciable determina un atlas diferenciable máximo , que consta de todos los gráficos que son diferenciables compatibles con el atlas dado. Un atlas máximo es siempre muy grande. Por ejemplo, dado cualquier gráfico en un atlas máximo, su restricción a un subconjunto abierto arbitrario de su dominio también estará contenida en el atlas máximo. Un atlas suave máximo también se conoce como estructura suave ; un atlas holomórfico máximo también se conoce como estructura compleja .

Una definición alternativa pero equivalente, evitando el uso directo de atlas máximos, es considerar clases de equivalencia de atlas diferenciables, en las que dos atlas diferenciables se consideran equivalentes si cada gráfico de un atlas es diferenciable compatible con el otro atlas. De manera informal, lo que esto significa es que al tratar con una variedad suave, se puede trabajar con un único atlas diferenciable, que consta de solo unos pocos gráficos, con el entendimiento implícito de que muchos otros gráficos y atlas diferenciables son igualmente legítimos.

Según la invariancia de dominio , cada componente conectado de un espacio topológico que tiene un atlas diferenciable tiene una dimensión n bien definida . Esto provoca una pequeña ambigüedad en el caso de un atlas holomórfico, ya que la dimensión correspondiente será la mitad del valor de su dimensión cuando se considere un atlas analítico, suave o C k . Por esta razón, uno se refiere por separado a la dimensión "real" y "compleja" de un espacio topológico con un atlas holomórfico.

Colectores

Una variedad diferenciable es un Hausdorff y segunda contable topológica espacio M , junto con un máximas atlas diferenciables sobre M . Gran parte de la teoría básica se puede desarrollar sin la necesidad de las condiciones de Hausdorff y de la segunda contabilidad, aunque son vitales para gran parte de la teoría avanzada. Son esencialmente equivalentes a la existencia general de funciones de respuesta y particiones de unidad , las cuales se usan de manera ubicua.

La noción de variedad C 0 es idéntica a la de variedad topológica . Sin embargo, hay que hacer una distinción notable. Dado un espacio topológico, es significativo preguntarse si es o no una variedad topológica. Por el contrario, no tiene sentido preguntar si un espacio topológico dado es (por ejemplo) una variedad suave, ya que la noción de una variedad suave requiere la especificación de un atlas suave, que es una estructura adicional. Sin embargo, podría tener sentido decir que a un determinado espacio topológico no se le puede dar la estructura de una variedad uniforme. Es posible reformular las definiciones para que no se presente este tipo de desequilibrio; se puede comenzar con un conjunto M (en vez de un espacio topológico M ), usando el análogo natural de una lisas atlas en esta configuración para definir la estructura de un espacio topológico en M .

Uniendo piezas euclidianas para formar una variedad

Se pueden aplicar ingeniería inversa a las definiciones anteriores para obtener una perspectiva sobre la construcción de colectores. La idea es comenzar con las imágenes de los gráficos y los mapas de transición, y construir la variedad exclusivamente a partir de estos datos. Como en la discusión anterior, usamos el contexto "suave" pero todo funciona igual de bien en otros entornos.

Dado un conjunto de indexación permiten ser una colección de subconjuntos abiertos de y para cada dejar que sea un subconjunto abierto (posiblemente vacía) de y dejar que sea una transformación suave. Supongamos que ese es el mapa de identidad, ese es el mapa de identidad y ese es el mapa de identidad. Luego defina una relación de equivalencia en la unión disjunta declarando que es equivalente a Con algún trabajo técnico, se puede demostrar que al conjunto de clases de equivalencia se le puede naturalmente dar una estructura topológica, y que los gráficos utilizados al hacerlo forman un atlas uniforme.

Funciones diferenciables

Una función de valor real f en una variedad M diferenciable n- dimensional se llama diferenciable en un punto pM si es diferenciable en cualquier gráfico de coordenadas definido alrededor de p . En términos más precisos, si es un diagrama de diferenciable donde es un conjunto abierto en que contiene p y es el mapa de la definición de la tabla, a continuación, f es diferenciable en p si y sólo si

es diferenciable en , es decir, f es una función diferenciable del conjunto abierto , considerado como un subconjunto de , a . En general, habrá muchos gráficos disponibles; sin embargo, la definición de diferenciabilidad no depende de la elección del gráfico en la p . De la regla de la cadena aplicada a las funciones de transición entre un gráfico y otro se sigue que si f es diferenciable en cualquier gráfico en particular en p , entonces es diferenciable en todos los gráficos en p . Se aplican consideraciones análogas a la definición de funciones C k , funciones suaves y funciones analíticas.

Diferenciación de funciones

Hay varias formas de definir la derivada de una función en una variedad diferenciable, la más fundamental de las cuales es la derivada direccional . La definición de la derivada direccional se complica por el hecho de que una variedad carecerá de una estructura afín adecuada con la que definir vectores . Por lo tanto, la derivada direccional mira las curvas de la variedad en lugar de los vectores.

Diferenciación direccional

Dada una función de valor real f en una variedad M diferenciable de n dimensiones , la derivada direccional de f en un punto p en M se define de la siguiente manera. Suponga que γ ( t ) es una curva en M con γ (0) = p , que es diferenciable en el sentido de que su composición con cualquier gráfico es una curva diferenciable en R n . Entonces la derivada direccional de f en p a lo largo de γ es

Si γ 1 y γ 2 son dos curvas tales que γ 1 (0) = γ 2 (0) = p , y en cualquier gráfico de coordenadas φ ,

entonces, por la regla de la cadena, f tiene la misma derivada direccional en p a lo largo de γ 1 que a lo largo de γ 2 . Esto significa que la derivada direccional depende solo del vector tangente de la curva en p . Por tanto, la definición más abstracta de diferenciación direccional adaptada al caso de variedades diferenciables captura en última instancia las características intuitivas de la diferenciación direccional en un espacio afín.

Vector tangente y diferencial

Un vector tangente en pM es una clase de equivalencia de curvas diferenciables γ con γ (0) = p , módulo la relación de equivalencia del contacto de primer orden entre las curvas. Por lo tanto,

en cada gráfico de coordenadas φ . Por lo tanto, las clases de equivalencia son curvas a través de p con un vector de velocidad prescrito en p . La colección de todos los vectores tangente en P forma un espacio de vector : el espacio tangente a M en p , denotado T p M .

Si X es un vector tangente en p y f una función diferenciable definida cerca de p , entonces la diferenciación de f a lo largo de cualquier curva en la clase de equivalencia que define X da una derivada direccional bien definido a lo largo de X :

Una vez más, la regla de la cadena establece que esto es independiente de la libertad de seleccionar γ de la clase de equivalencia, ya que cualquier curva con el mismo contacto de primer orden producirá la misma derivada direccional.

Si la función f es fija, entonces el mapeo

es un funcional lineal en el espacio tangente. Este funcional lineal a menudo se denota por df ( p ) y se llama diferencial de f en p :

Definición de espacio tangente y diferenciación en coordenadas locales.

Vamos a ser un topológica -manifold con un suave atlas Dadas dejar denotan Un "vector tangente en " es un mapeo aquí denota tal que

para todos Sea la colección de vectores tangentes en denotada por Dada una función suave , defina enviando un vector tangente al número dado por

que debido a la regla de la cadena y la restricción en la definición de un vector tangente no depende de la elección de

Se puede comprobar que, naturalmente, tiene la estructura de un espacio vectorial real un- dimensional, y que con esta estructura, es un mapa lineal. La observación clave es que, debido a la restricción que aparece en la definición de un vector tangente, el valor de para un solo elemento de determina automáticamente para todos

Las definiciones formales anteriores corresponden precisamente a una notación más informal que aparece a menudo en los libros de texto, específicamente

y

Con la idea de las definiciones formales entendidas, esta notación abreviada es, para la mayoría de los propósitos, mucho más fácil de trabajar.

Particiones de unidad

Una de las características topológicas del haz de funciones diferenciables en una variedad diferenciable es que admite particiones de unidad . Esto distingue la estructura diferencial en una variedad de las estructuras más fuertes (como las estructuras analíticas y holomórficas) que, en general, no tienen particiones de unidad.

Suponga que M es una variedad de clase C k , donde 0 ≤ k ≤ ∞ . Sea { U α } sea un recubrimiento abierto de M . Entonces, una partición de unidad subordinada a la cobertura { U α } es una colección de funciones C k de valor real φ i en M que satisfacen las siguientes condiciones:

  • Los soportes del φ i son compactos y localmente finitos ;
  • El soporte de φ i está completamente contenido en U α para algunos α ;
  • El φ i suma uno en cada punto de M :

(Tenga en cuenta que esta última condición es en realidad una suma finita en cada punto debido a la finitud local de los soportes de φ i .)

Cada cubierta abierta de un colector C k M tiene una partición C k de unidad. Esto permite que ciertas construcciones de la topología de funciones C k en R n se transfieran a la categoría de variedades diferenciables. En particular, es posible discutir la integración eligiendo una partición de unidad subordinada a un atlas de coordenadas particular y llevando a cabo la integración en cada gráfico de R n . Por lo tanto, las particiones de unidad permiten considerar otros tipos de espacios funcionales : por ejemplo , espacios L p , espacios de Sobolev y otros tipos de espacios que requieren integración.

Diferenciabilidad de mapeos entre variedades

Supongamos que M y N son dos variedades diferenciables con dimensiones m y n , respectivamente, y f es una función de M a N . Dado que las variedades diferenciables son espacios topológicos, sabemos lo que significa que f sea ​​continua. Pero, ¿qué significa " f es C k ( M , N ) " para k ≥ 1 ? Sabemos lo que eso significa cuando f es una función entre espacios euclidianos, por lo que si compusimos f con un gráfico de M y un gráfico de N tal que obtenemos un mapa que va del espacio euclidiano a M a N al espacio euclidiano, sabemos qué significa que ese mapa sea C k ( R m , R n ) . Definimos " f es C k ( M , N ) " para significar que todas las composiciones de f con gráficos son C k ( R m , R n ) . Una vez más, la regla de la cadena garantiza que la idea de diferenciabilidad no depende de qué gráficos de los atlas de M y N se seleccionen. Sin embargo, definir la derivada en sí es más sutil. Si M o N ya es un espacio euclidiano, entonces no necesitamos un gráfico para asignarlo a uno.

manojos

Paquete tangente

El espacio tangente de un punto consta de las posibles derivadas direccionales en ese punto y tiene la misma dimensión n que la variedad. Para un conjunto de coordenadas (no singulares) x k locales al punto, las derivadas de coordenadas definen una base holonómica del espacio tangente. La colección de espacios tangentes en todos los puntos se puede convertir a su vez en una variedad, el paquete tangente , cuya dimensión es 2 n . El paquete tangente es donde se encuentran los vectores tangentes , y es en sí mismo una variedad diferenciable. El lagrangiano es una función en el haz tangente. También se puede definir el paquete de la tangente como el haz de 1- chorros de R (la recta real ) a M .

Uno puede construir un atlas para la tangente haz que consiste en tablas de base en U α × R n , donde U α denota uno de los gráficos en el atlas de M . Cada uno de estos nuevos gráficos es el paquete tangente de los gráficos U α . Los mapas de transición de este atlas se definen a partir de los mapas de transición de la variedad original y conservan la clase de diferenciación original.

Paquete cotangente

El espacio dual de un espacio vectorial es el conjunto de funciones lineales de valor real en el espacio vectorial. El espacio cotangente en un punto es el dual del espacio tangente en ese punto, y el paquete cotangente es la colección de todos los espacios cotangentes.

Como el paquete tangente, el paquete cotangente es nuevamente una variedad diferenciable. El hamiltoniano es un escalar en el paquete cotangente. El espacio total de un haz cotangente tiene la estructura de una variedad simpléctica . Los vectores cotangentes a veces se denominan covectores . También se puede definir el fibrado cotangente como el haz de 1- chorros de funciones de M a R .

Los elementos del espacio cotangente se pueden considerar como desplazamientos infinitesimales : si f es una función diferenciable, podemos definir en cada punto p un vector cotangente df p , que envía un vector tangente X p a la derivada de f asociada con X p . Sin embargo, no todos los campos de codificadores pueden expresarse de esta manera. Los que pueden se denominan diferenciales exactos . Para un conjunto dado de coordenadas locales x k , las diferenciales dxk
p
forman una base del espacio cotangente en p .

Paquete de tensor

El paquete tensorial es la suma directa de todos los productos tensoriales del paquete tangente y el paquete cotangente. Cada elemento del paquete es un campo tensorial , que puede actuar como un operador multilineal en campos vectoriales o en otros campos tensoriales.

El paquete tensorial no es una variedad diferenciable en el sentido tradicional, ya que es de dimensión infinita. Sin embargo, es un álgebra sobre el anillo de funciones escalares. Cada tensor se caracteriza por sus rangos, que indican cuántos factores tangentes y cotangentes tiene. A veces, estos rangos se denominan rangos covariantes y contravariantes , lo que significa rangos tangentes y cotangentes, respectivamente.

Paquete de marcos

Un marco (o, en términos más precisos, un marco tangente), es una base ordenada de un espacio tangente particular. Asimismo, un marco tangente es un isomorfismo lineal de R n a este espacio tangente. Un marco tangente en movimiento es una lista ordenada de campos vectoriales que dan una base en cada punto de su dominio. Uno puede también considerar que un marco que se mueve como una sección del marco de haz F ( M ), un GL ( n , R ) fibrado principal formado por el conjunto de todos los marcos de más de M . El paquete de tramas es útil porque los campos tensoriales en M se pueden considerar como funciones con valores vectoriales equivariantes en F ( M ).

Paquetes de jet

En un colector que sea suficientemente liso, también se pueden considerar varios tipos de haces de chorros. El haz tangente (de primer orden) de una variedad es la colección de curvas en la variedad módulo la relación de equivalencia del contacto de primer orden . Por analogía, el haz tangente de k -ésimo orden es la colección de curvas módulo la relación de contacto de k -ésimo orden. Asimismo, el paquete cotangente es el paquete de 1-chorros de funciones en el colector: el paquete k -jet es el paquete de sus k- chorros. Estos y otros ejemplos de la idea general de los haces de chorros juegan un papel importante en el estudio de los operadores diferenciales en las variedades.

La noción de marco también se generaliza al caso de los jets de orden superior. Definir una k marco orden -ésimo ser el k -Jet de un difeomorfismo de R n a M . La colección de todas las tramas de k -ésimo orden, F k ( M ), es un paquete principal G k sobre M , donde G k es el grupo de k- chorros ; es decir, el grupo formado por k -chorros de difeomorfismos de R n que fijan el origen. Tenga en cuenta que GL ( n , R ) es naturalmente isomorfo a G 1 , y un subgrupo de cada G k , k ≥ 2 . En particular, una sección de F 2 ( M ) da los componentes del bastidor de una conexión en M . Por lo tanto, el cociente haz F 2 ( M ) / GL ( n , R ) es el haz de simétricas conexiones lineales sobre M .

Cálculo en variedades

Muchas de las técnicas del cálculo multivariado también se aplican, mutatis mutandis , a variedades diferenciables. Se puede definir la derivada direccional de una función diferenciable a lo largo de un vector tangente a la variedad, por ejemplo, y esto conduce a un medio de generalizar la derivada total de una función: la diferencial. Desde la perspectiva del cálculo, la derivada de una función en una variedad se comporta de la misma manera que la derivada ordinaria de una función definida en un espacio euclidiano, al menos localmente . Por ejemplo, existen versiones de los teoremas de la función implícita e inversa para tales funciones.

Sin embargo, existen diferencias importantes en el cálculo de campos vectoriales (y campos tensoriales en general). En resumen, la derivada direccional de un campo vectorial no está bien definida, o al menos no está definida de manera sencilla. Existen varias generalizaciones de la derivada de un campo vectorial (o campo tensorial) y capturan ciertas características formales de diferenciación en los espacios euclidianos. Los principales entre ellos son:

  • La derivada de Lie , que se define de forma única por la estructura diferencial, pero no satisface algunas de las características habituales de la diferenciación direccional.
  • Una conexión afín , que no se define de forma única, sino que generaliza de una manera más completa las características de la diferenciación direccional ordinaria. Dado que una conexión afín no es única, es un dato adicional que debe especificarse en el colector.

Las ideas del cálculo integral también se trasladan a las variedades diferenciales. Éstos se expresan naturalmente en el lenguaje del cálculo exterior y las formas diferenciales . Los teoremas fundamentales del cálculo integral en varias variables, a saber, el teorema de Green, el teorema de la divergencia y el teorema de Stokes, se generalizan en un teorema (también llamado teorema de Stokes) que relaciona la derivada exterior y la integración sobre subvariedades .

Cálculo diferencial de funciones

Se necesitan funciones diferenciables entre dos variedades para formular nociones adecuadas de subvariedades y otros conceptos relacionados. Si f  : MN es una función diferenciable de una variedad diferenciable M de dimensión m a otro diferenciable colector N de dimensión n , entonces el diferencial de f es un mapeo df  : T M → T N . También se denota por Tf y se denomina mapa de tangente . En cada punto de M , esta es una transformación lineal de un espacio tangente a otro:

El rango de f en p es el rango de esta transformación lineal.

Por lo general, el rango de una función es una propiedad puntual. Sin embargo, si la función tiene rango máximo, entonces el rango permanecerá constante en la vecindad de un punto. Una función diferenciable "normalmente" tiene rango máximo, en un sentido preciso dado por el teorema de Sard . Las funciones de rango máximo en un punto se denominan inmersiones y sumersiones :

  • Si mn , yf  : MN tiene rango m en pM , entonces f se llama inmersión en p . Si f es una inmersión en todos los puntos de M y es un homeomorfismo en su imagen, entonces f es una incrustación . Inclusiones formalizar la noción de M ser un subvariedad de N . En general, una incrustación es una inmersión sin auto-intersecciones y otros tipos de irregularidades topológicas no locales.
  • Si mn , yf  : MN tiene rango n en pM , entonces f se llama inmersión en p . El teorema de la función implícita establece que si f es una inmersión en p , entonces M es localmente un producto de N y R m - n cerca de p . En términos formales, existen coordenadas ( y 1 , ..., y n ) en una vecindad de f ( p ) en N , y m - n funciones x 1 , ..., x m - n definidas en una vecindad de p en M tal que
    es un sistema de coordenadas locales de M en una vecindad de p . Las inmersiones forman la base de la teoría de las fibraciones y los haces de fibras .

Derivada de la mentira

Un derivado de la mentira , el nombre de Sophus Lie , es una derivación en el álgebra de campos tensoriales sobre un colector de M . El espacio vectorial de todas las derivadas de Lie en M forma un álgebra de Lie de dimensión infinita con respecto al corchete de Lie definido por

Los derivados de Lie están representados por los campos de vectores , como generadores infinitesimales de flujos ( activos difeomorfismos ) en M . Mirándolo al revés, el grupo de difeomorfismos de M tiene la estructura del álgebra de Lie asociada, de derivadas de Lie, de una manera directamente análoga a la teoría de grupos de Lie .

Cálculo exterior

El cálculo exterior permite una generalización de los operadores de gradiente , divergencia y rizo .

El conjunto de formas diferenciales , en cada punto, consta de todos los mapas multilineales totalmente antisimétricos en el espacio tangente en ese punto. Naturalmente, se divide en n- formas para cada n como máximo igual a la dimensión de la variedad; una forma n es una forma variable n , también llamada forma de grado n . Las formas 1 son los vectores cotangentes, mientras que las formas 0 son solo funciones escalares. En general, una forma n es un tensor con rango cotangente n y rango tangente 0. Pero no todos los tensores son una forma, ya que una forma debe ser antisimétrica.

Derivado exterior

Hay un mapa de escalares a covectores llamado derivado exterior

tal que

Este mapa es el que relaciona a los covectors con los desplazamientos infinitesimales, mencionados anteriormente; algunos covectors son las derivadas exteriores de funciones escalares. Se puede generalizar en un mapa desde las n formas a las ( n +1) formas. Aplicar esta derivada dos veces producirá una forma cero. Las formas con derivada cero se denominan formas cerradas, mientras que las formas que son derivadas externas se conocen como formas exactas.

El espacio de formas diferenciales en un punto es el ejemplo arquetípico de un álgebra exterior ; por lo tanto, posee un producto de cuña, mapeando una forma k y una forma l en una forma ( k + l ) . La derivada exterior se extiende a esta álgebra y satisface una versión de la regla del producto :

A partir de las formas diferenciales y la derivada exterior, se puede definir la cohomología de De Rham de la variedad. El grupo de cohomología de rango n es el grupo cociente de las formas cerradas por las formas exactas.

Topología de variedades diferenciables

Relación con variedades topológicas

Supongamos que es una variedad topológica .

Si se le da un atlas suave , es fácil encontrar un atlas suave que defina una estructura múltiple suave diferente al considerar un homemorfismo que no es suave en relación con el atlas dado; por ejemplo, se puede modificar el mapa de identidad localizado de relieve no suave. Entonces considere el nuevo atlas que se verifica fácilmente como un atlas uniforme. Sin embargo, los gráficos en el nuevo atlas no son perfectamente compatibles con los gráficos en el antiguo atlas, ya que esto requeriría eso y son suaves para cualquiera y con estas condiciones siendo exactamente la definición de que ambos y son suaves, en contradicción con la forma en que se seleccionó. .

Con esta observación como motivación, se puede definir una relación de equivalencia en el espacio de atlas suaves al declarar que los atlas suaves y son equivalentes si hay un homeomorfismo tal que es suavemente compatible con y tal que es suavemente compatible con

Más brevemente, se podría decir que dos atlas suaves son equivalentes si existe un difeomorfismo en el que se toma un atlas suave para el dominio y el otro atlas suave para el rango.

Tenga en cuenta que esta relación de equivalencia es un refinamiento de la relación de equivalencia que define una estructura múltiple suave, ya que dos atlas fácilmente compatibles son también compatibles en el sentido presente; uno puede tomar como mapa de identidad.

Si la dimensión de es 1, 2 o 3, entonces existe una estructura suave y todas las estructuras suaves distintas son equivalentes en el sentido anterior. La situación es más complicada en dimensiones superiores, aunque no se comprende del todo.

Clasificación

Cada colector liso conectado unidimensional es difeomórfico a uno o cada uno con sus estructuras lisas estándar.

Para una clasificación de 2 colectores lisos, consulte la superficie . Un resultado particular es que cada colector liso compacto conectado bidimensional es difeomórfico a uno de los siguientes: o o La situación es menos trivial si se considera una estructura diferenciable compleja en lugar de una estructura suave.

La situación en tres dimensiones es bastante más complicada y los resultados conocidos son más indirectos. Un resultado notable, probado en 2002 por métodos de ecuaciones diferenciales parciales , es la conjetura de la geometrización , que establece vagamente que cualquier colector 3 compacto liso se puede dividir en diferentes partes, cada una de las cuales admite métricas riemannianas que poseen muchas simetrías. También hay varios "resultados de reconocimiento" para 3 variedades geometrizables, como la rigidez de Mostow y el algoritmo de Sela para el problema de isomorfismo para grupos hiperbólicos.

Se sabe que la clasificación de n múltiples para n mayor que tres es imposible, incluso hasta la equivalencia de homotopía . Dado cualquier grupo presentado de forma finita , se puede construir un 4-múltiple cerrado que tenga ese grupo como grupo fundamental. Dado que no existe un algoritmo para decidir el problema de isomorfismo para grupos presentados de forma finita, no existe un algoritmo para decidir si dos variedades de 4 tienen el mismo grupo fundamental. Dado que la construcción descrita anteriormente da como resultado una clase de 4 variedades que son homeomorfas si y solo si sus grupos son isomorfos, el problema del homeomorfismo para 4 variedades es indecidible . Además, dado que incluso reconocer el grupo trivial es indecidible, ni siquiera es posible en general decidir si una variedad tiene un grupo fundamental trivial, es decir, está simplemente conectado .

Freedman ha clasificado 4-variedades simplemente conectadas hasta el homeomorfismo utilizando la forma de intersección y el invariante de Kirby-Siebenmann . Se sabe que la teoría suave de 4 variedades es mucho más complicada, como demuestran las exóticas estructuras suaves en R 4 .

Sin embargo, la situación se vuelve más manejable para variedades suaves simplemente conectadas de dimensión ≥ 5, donde el teorema de h-cobordismo se puede usar para reducir la clasificación a una clasificación hasta la equivalencia de homotopía, y se puede aplicar la teoría de la cirugía . Esto se ha llevado a cabo para proporcionar una clasificación explícita de 5 variedades simplemente conectadas por Dennis Barden.

Estructuras en colectores lisos

Variedades (pseudo) riemannianas

Una variedad de Riemann consiste en una variedad suave junto con un producto interno definido positivo en cada uno de los espacios tangentes individuales. Esta colección de productos internos se denomina métrica de Riemann y, naturalmente, es un campo simétrico de 2 tensores. Esta "métrica" ​​identifica un isomorfismo de espacio vectorial natural para cada En una variedad riemanniana se pueden definir nociones de longitud, volumen y ángulo. Cualquier variedad suave puede recibir muchas métricas riemannianas diferentes.

Una variedad pseudo-Riemanniana es una generalización de la noción de variedad Riemanniana donde se permite que los productos internos tengan una firma indefinida , en oposición a ser positivos-definidos ; todavía se les exige que no sean degenerados. Cada variedad suave pseudo-Riemanniana y Riemmanniana define una serie de campos tensoriales asociados, como el tensor de curvatura de Riemann . Las variedades pseudo-riemannianas de firma (3, 1) son fundamentales en la relatividad general . No a toda variedad suave se le puede dar una estructura pseudo-riemanniana (no riemanniana); existen restricciones topológicas para hacerlo.

Una variedad de Finsler es una generalización diferente de una variedad de Riemann, en la que el producto interno se reemplaza con una norma vectorial ; como tal, esto permite la definición de longitud, pero no de ángulo.

Variedades simplécticas

Una variedad simpléctica es un colector equipado con un cerrado , no degenerado 2-forma . Esta condición obliga a las variedades simplécticas a ser de dimensión uniforme, debido al hecho de que todas las matrices asimétricas tienen un determinante cero. Hay dos ejemplos básicos:

  • Los haces cotangentes, que surgen como espacios de fase en la mecánica hamiltoniana , son un ejemplo motivador, ya que admiten una forma simpléctica natural .
  • Todas las variedades riemannianas bidimensionales orientadas son, de manera natural, simplécticas, al definir la forma donde, para any denota el vector tal que es una base norormal orientada de

Grupos de mentiras

Un grupo de Lie consiste en una variedad C junto con una estructura de grupo tal que el producto y la inversión se mapean y son suaves como mapas de variedades. Estos objetos a menudo surgen naturalmente al describir simetrías (continuas) y forman una fuente importante de ejemplos de variedades suaves.

Sin embargo, a muchos ejemplos familiares de variedades suaves no se les puede dar una estructura de grupo de Lie, ya que dado un grupo de Lie y cualquiera , uno podría considerar el mapa que envía el elemento de identidad a y, por lo tanto, al considerar el diferencial da una identificación natural entre cualquier dos espacios tangentes de un grupo de Lie. En particular, al considerar un vector arbitrario distinto de cero en uno, se pueden usar estas identificaciones para dar un campo vectorial suave que no se desvanezca. Esto muestra, por ejemplo, que ninguna esfera de dimensión uniforme puede soportar una estructura de grupo de Lie. El mismo argumento muestra, de manera más general, que cada grupo de Lie debe ser paralelizable .

Definiciones alternativas

Pseudogrupos

La noción de un pseudogrupo proporciona una generalización flexible de atlas para permitir que una variedad de estructuras diferentes se definan en variedades de una manera uniforme. Un pseudogrupo consta de un espacio topológico S y una colección Γ que consta de homeomorfismos de subconjuntos abiertos de S a otros subconjuntos abiertos de S tales que

  1. Si f ∈ Γ , y U es un subconjunto abierto del dominio de f , entonces la restricción f | U también está en Γ.
  2. Si f es un homeomorfismo de una unión de subconjuntos abiertos de S , , a un subconjunto abierto de S , entonces f ∈ Γ proporcionado para cada i .
  3. Para cada US abierto , la transformación de identidad de U está en Γ.
  4. Si f ∈ Γ , entonces f −1 ∈ Γ .
  5. La composición de dos elementos de Γ está en Γ.

Estas tres últimas condiciones son análogas a la definición de grupo . Tenga en cuenta que Γ no tiene que ser un grupo, sin embargo, ya que las funciones no están definidos globalmente en S . Por ejemplo, la colección de todos los difeomorfismos C k locales en R n forman un pseudogrupo. Todos los biholomorfismos entre conjuntos abiertos en C n forman un pseudogrupo. Más ejemplos incluyen: mapas de preservación de la orientación de R n , simmplectomorfismos , transformaciones de Möbius , transformaciones afines , etc. Por tanto, una amplia variedad de clases de funciones determinan los pseudogrupos.

Un atlas ( U i , φ i ) de homeomorfismos φ i de U iM a subconjuntos abiertos de un espacio topológico S se dice que es compatible con un pseudogrupo Γ siempre que las funciones de transición φ jφ i −1  : φ i ( U iU j ) → φ j ( U iU j ) están todos en Γ.

Una variedad diferenciable es entonces un atlas compatible con el pseudogrupo de funciones C k en R n . Una variedad compleja es un atlas compatible con las funciones biholomorfas en conjuntos abiertos en C n . Etcétera. Por lo tanto, los pseudogrupos proporcionan un marco único en el que describir muchas estructuras en variedades de importancia para la topología y la geometría diferencial.

Gavilla de estructura

A veces, puede ser útil utilizar un enfoque alternativo para dotar a una variedad de una estructura C k . Aquí k = 1, 2, ..., ∞ o ω para variedades analíticas reales. En lugar de considerar gráficos de coordenadas, es posible comenzar con funciones definidas en la propia variedad. El fajo estructura de M , denotado C k , es una especie de funtor que define, para cada conjunto abierto UM , un álgebra C k ( T ) de funciones continuas UR . Se dice que una gavilla de estructura C k da a M la estructura de una variedad C k de dimensión n siempre que, para cualquier pM , exista una vecindad U de p y n funciones x 1 , ..., x nC k ( U ) tal que el mapa f = ( x 1 , ..., x n ): UR n es un homeomorfismo sobre un conjunto abierto en R n , y tal que C k | U es el retroceso del haz de k veces funciones continuamente diferenciables en R n .

En particular, esta última condición significa que cualquier función h en C k ( V ), para V , se puede escribir únicamente como h ( x ) = H ( x 1 ( x ), ..., x n ( x )) , donde H es una función diferenciable k veces en f ( V ) (un conjunto abierto en R n ). Así, el punto de vista de la teoría de la gavilla es que las funciones en una variedad diferenciable pueden expresarse en coordenadas locales como funciones diferenciables en R n , y a fortiori esto es suficiente para caracterizar la estructura diferencial en la variedad.

Gavillas de anillos locales

Se puede formular un enfoque similar, pero más técnico, para definir variedades diferenciables utilizando la noción de espacio anillado . Este enfoque está fuertemente influenciado por la teoría de esquemas en geometría algebraica , pero usa anillos locales de gérmenes de funciones diferenciables. Es especialmente popular en el contexto de variedades complejas .

Comenzamos describiendo la estructura básica de la gavilla en R n . Si U es un conjunto abierto en R n , sea

O ( U ) = C k ( U , R )

consistir en todo valor real- k -los tiempos funciones continuamente diferenciables en U . A medida que U varía, esto determina un haz de anillos en R n . El tallo O p para pR n consta de gérmenes de funciones cerca de p , y es un álgebra sobre R . En particular, este es un anillo local cuyo ideal máximo único consiste en aquellas funciones que desaparecen en p . El par ( R n , O ) es un ejemplo de un espacio anillado localmente : es un espacio topológico equipado con una gavilla cuyos tallos son cada uno anillos locales.

Una variedad diferenciable (de clase C k ) consiste en un par ( M , O M ) donde M es un segundo espacio contable de Hausdorff , y O M es un haz de R -algebras locales definidas en M , de modo que el espacio anillado localmente ( M , O M ) es localmente isomorfo a ( R n , O ) . De esta manera, las variedades diferenciables se pueden considerar como esquemas modelados en R n . Esto significa que para cada punto pM , hay una vecindad U de p , y un par de funciones ( f , f # ) , donde

  1. f  : Uf ( U ) ⊂ R n es un homeomorfismo en un conjunto abierto en R n .
  2. f # : O | f ( U )f ( O M | U ) es un isomorfismo de poleas.
  3. La localización de f # es un isomorfismo de anillos locales
f # f ( p )  : O f ( p )O M , pág .

Hay una serie de motivaciones importantes para estudiar variedades diferenciables dentro de este marco abstracto. Primero, no hay ninguna razón a priori por la que el espacio modelo deba ser R n . Por ejemplo, (en particular en geometría algebraica ), se podría considerar que este es el espacio de números complejos C n equipado con el haz de funciones holomórficas (llegando así a los espacios de geometría analítica compleja ), o el haz de polinomios (así llegando a los espacios de interés en geometría algebraica compleja ). En términos más amplios, este concepto puede adaptarse a cualquier noción adecuada de un esquema (ver teoría topos ). En segundo lugar, las coordenadas ya no son explícitamente necesarias para la construcción. El análogo de un sistema de coordenadas es el par ( f , f # ) , pero estos simplemente cuantifican la idea de isomorfismo local en lugar de ser centrales para la discusión (como en el caso de gráficos y atlas). En tercer lugar, la gavilla O M no es manifiestamente una gavilla de funciones en absoluto. Más bien, emerge como un haz de funciones como consecuencia de la construcción (a través de los cocientes de los anillos locales por sus ideales máximos). Por lo tanto, es una definición más primitiva de la estructura (ver geometría diferencial sintética ).

Una ventaja final de este enfoque es que permite descripciones directas naturales de muchos de los objetos fundamentales de estudio de la geometría diferencial y la topología.

Generalizaciones

La categoría de variedades suaves con mapas suaves carece de ciertas propiedades deseables, y la gente ha tratado de generalizar las variedades suaves para rectificar esto. Los espacios difeológicos utilizan una noción diferente de gráfico conocida como "trama". Los espacios de Frölicher y los orbifolds son otros intentos.

Un conjunto rectificable generaliza la idea de una curva a trozos suave o rectificable a mayores dimensiones; sin embargo, los conjuntos rectificables no son en general colectores.

Las variedades de Banach y las variedades de Fréchet , en particular las variedades de mapeos, son variedades diferenciables de dimensión infinita.

Geometría no conmutativa

Para una variedad C k M , el conjunto de funciones C k de valor real en la variedad forma un álgebra bajo suma y multiplicación puntuales, llamada álgebra de campos escalares o simplemente álgebra de escalares . Este álgebra tiene la función constante 1 como identidad multiplicativa, y es un análogo diferenciable del anillo de funciones regulares en geometría algebraica.

Es posible reconstruir una variedad a partir de su álgebra de escalares, primero como un conjunto, pero también como un espacio topológico; esta es una aplicación del teorema de Banach-Stone , y se conoce más formalmente como el espectro de un álgebra C * . Primero, hay una correspondencia uno a uno entre los puntos de M y los homomorfismos del álgebra φ : C k ( M ) → R , ya que tal homomorfismo φ corresponde a un ideal de codimensión uno en C k ( M ) (es decir, el núcleo de φ ), que es necesariamente un ideal máximo. Por el contrario, todo ideal máximo en este álgebra es un ideal de funciones que desaparecen en un solo punto, lo que demuestra que MSpec (la especificación máxima) de C k ( M ) recupera M como un conjunto de puntos, aunque de hecho recupera M como un espacio topológico.

Se pueden definir varias estructuras geométricas algebraicamente en términos del álgebra de escalares, y estas definiciones a menudo se generalizan a la geometría algebraica (interpretando anillos geométricamente) y la teoría de operadores (interpretando los espacios de Banach geométricamente). Por ejemplo, el paquete de la tangente a M se puede definir como las derivaciones de la álgebra de funciones suaves en M .

Esta "algebraización" de una variedad (reemplazando un objeto geométrico con un álgebra) conduce a la noción de un álgebra C * - una álgebra C * conmutativa que es precisamente el anillo de escalares de una variedad, por Banach-Stone, y permite uno para considerar las álgebras C * no conmutativas como generalizaciones no conmutativas de variedades. Ésta es la base del campo de la geometría no conmutativa .

Ver también

Notas

Referencias

Bibliografía