Derivado de Fréchet - Fréchet derivative

En matemáticas , la derivada de Fréchet es una derivada definida en espacios normativos . Nombrado en honor a Maurice Fréchet , se usa comúnmente para generalizar la derivada de una función de valor real de una sola variable real al caso de una función de valor vectorial de múltiples variables reales, y para definir la derivada funcional usada ampliamente en el cálculo de variaciones .

Generalmente, extiende la idea de la derivada de funciones con valores reales de una variable real a funciones en espacios normativos. La derivada de Fréchet debe contrastarse con la derivada más general de Gateaux, que es una generalización de la derivada direccional clásica .

La derivada de Fréchet tiene aplicaciones a problemas no lineales a través del análisis matemático y las ciencias físicas, particularmente al cálculo de variaciones y gran parte del análisis no lineal y el análisis funcional no lineal .

Definición

Deje que V y W sean espacios vectoriales normados , y ser un subconjunto abierto de V . Una función f  : U → W se llama diferenciable de Fréchet en si existe un operador lineal acotado tal que ${\ Displaystyle U \ subconjunto V}$${\ Displaystyle x \ in U}$ ${\ Displaystyle A: V \ a W}$

${\ Displaystyle \ lim _ {\ | h \ | \ to 0} {\ frac {\ | f (x + h) -f (x) -Ah \ | _ {W}} {\ | h \ | _ { V}}} = 0.}$

El límite aquí se entiende en el sentido habitual de un límite de una función definida en un espacio métrico (ver Funciones en espacios métricos ), usando V y W como los dos espacios métricos, y la expresión anterior como la función del argumento h en V . Como consecuencia, debe existir para todas las secuencias de elementos distintos de cero de V que convergen al vector cero. De manera equivalente, la expansión de primer orden se cumple, en notación de Landau.${\ Displaystyle \ langle h_ {n} \ rangle _ {n = 1} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle h_ {n} \ to 0.}$

${\ Displaystyle f (x + h) = f (x) + Ah + o (h).}$

Si existe tal operador A , es único, por lo que lo escribimos y lo llamamos la derivada de Fréchet de f en x . Una función f que es derivable de Fréchet para cualquier punto de U se dice que es C ¹ si la función ${\ Displaystyle Df (x) = A}$

${\ Displaystyle Df: U \ to B (V, W); x \ mapsto Df (x)}$

es continuo ( denota el espacio de todos los operadores lineales acotados de a ). Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que requerir que el mapa sea ​​continuo para cada valor de (que se supone; acotado y continuo son equivalentes). ${\ Displaystyle B (V, W)}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle Df (x): V \ a W}$${\ Displaystyle x}$

Esta noción de derivada es una generalización de la derivada ordinaria de una función en los números reales, ya que los mapas lineales de a son solo multiplicaciones por un número real. En este caso, Df ( x ) es la función . ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle t \ mapsto f '(x) t}$

Propiedades

Una función diferenciable en un punto es continua en ese punto.

La diferenciación es una operación lineal en el sentido siguiente: si f y g son dos mapas V → W que son diferenciable en x , y c es un escalar (un real o número complejo ), entonces el obedece derivados Fréchet las siguientes propiedades:

${\ Displaystyle D (cf) (x) = cDf (x)}$

${\ Displaystyle D (f + g) (x) = Df (x) + Dg (x).}$

La regla de la cadena también es válida en este contexto: si f  : U → Y es diferenciable en x ∈ U , y g  : Y → W es diferenciable en y = f ( x ) , entonces la composición g ∘ f es diferenciable en x y el derivado es la composición de los derivados:

${\ Displaystyle D (g \ circ f) (x) = Dg (f (x)) \ circ Df (x).}$

Dimensiones finitas

La derivada de Fréchet en espacios de dimensión finita es la derivada habitual. En particular, está representado en coordenadas por la matriz jacobiana .

Suponga que f es un mapa, con U un conjunto abierto. Si f es derivable de Fréchet en un punto a ∈ U , entonces su derivada es ${\ Displaystyle f: U \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ Displaystyle {\ begin {cases} Df (a): \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m} \\ Df (a) (v) = J_ {f} (a ) v \ end {casos}}}$

donde J _f ( a ) denota la matriz jacobiana de f en a .

Además, las derivadas parciales de f están dadas por

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x_ {i}}} (a) = Df (a) (e_ {i}) = J_ {f} (a) e_ {i},}$

donde { e _i } es la base canónica de Dado que la derivada es una función lineal, tenemos para todos los vectores que la derivada direccional de f a lo largo de h está dada por ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$${\ Displaystyle h \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle Df (a) (h) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} h_ {i} {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x_ {i}}} (a).}$

Si todas las derivadas parciales de f existen y son continuas, entonces f es derivable de Fréchet (y, de hecho, C ¹ ). Lo contrario no es cierto; la función

${\ displaystyle f (x, y) = {\ begin {cases} (x ^ {2} + y ^ {2}) \ sin \ left ((x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {- 1/2} \ right) & (x, y) \ neq (0,0) \\ 0 & (x, y) = (0,0) \ end {cases}}}$

Fréchet es diferenciable y, sin embargo, no tiene derivadas parciales continuas en . ${\ Displaystyle (0,0)}$

Ejemplo en dimensiones infinitas

Uno de los ejemplos más simples (no triviales) en dimensiones infinitas, es aquel en el que el dominio es un espacio de Hilbert ( ) y la función de interés es la norma. Así que considérelo . ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |: H \ to \ mathbb {R}}$

Primero asume eso . Entonces afirmamos que la derivada de Fréchet de at es el funcional lineal , definido por ${\ Displaystyle x \ neq 0}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle D}$

${\ Displaystyle Dv: = \ left \ langle v, {\ frac {x} {\ | x \ |}} \ right \ rangle.}$

Por supuesto,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {| \ | x + h \ | - \ | x \ | -Dh |} {\ | h \ |}} & = {\ frac {| \ | x \ | \ | x + h \ | - \ langle x, x \ rangle - \ langle x, h \ rangle |} {\ | x \ | \ | h \ |}} \\ [8pt] & = {\ frac { | \ | x \ | \ | x + h \ | - \ langle x, x + h \ rangle |} {\ | x \ | \ | h \ |}} \\ [8pt] & = {\ frac {| \ langle x, x \ rangle \ langle x + h, x + h \ rangle - \ langle x, x + h \ rangle ^ {2} |} {\ | x \ | \ | h \ | (| \ | x \ | \ | x + h \ | + \ langle x, x + h \ rangle |)}} \\ [8pt] & = {\ frac {\ langle x, x \ rangle \ langle h, h \ rangle - \ langle x, h \ rangle ^ {2}} {\ | x \ | \ | h \ | (| \ | x \ | \ | x + h \ | + \ langle x, x + h \ rangle |)}} \\ & {} \ end {alineado}}}$

Utilizando la continuidad de la norma y el producto interno obtenemos:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {| \ | x + h \ | - \ | x \ | -Dh |} {\ | h \ |}} & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ langle x, x \ rangle \ langle h, h \ rangle - \ langle x, h \ rangle ^ {2}} {\ | x \ | \ | h \ | (| \ | x \ | \ | x + h \ | + \ langle x, x + h \ rangle |)}} \\ [8pt] & = {\ frac {1} {2 \ | x \ | ^ {3}}} \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ langle x, x \ rangle \ langle h, h \ rangle - \ langle x, h \ rangle ^ {2}} {\ | h \ |}} \\ [8pt] & = {\ frac {1} {2 \ | x \ | ^ {3}}} \ lim _ {h \ to 0} \ left (\ langle x, x \ rangle \ | h \ | - \ langle x, h \ rangle \ left \ langle x, {\ frac {h} {\ | h \ |}} \ right \ rangle \ right) \\ [8pt] & = {\ frac {1 } {2 \ | x \ | ^ {3}}} \ left (\ lim _ {h \ to 0} \ langle x, x \ rangle \ | h \ | - \ lim _ {h \ to 0} \ langle x, h \ rangle \ left \ langle x, {\ frac {h} {\ | h \ |}} \ right \ rangle \ right) \\ [8pt] & = {\ frac {1} {2 \ | x \ | ^ {3}}} \ left (0- \ lim _ {h \ to 0} \ langle x, h \ rangle \ left \ langle x, {\ frac {h} {\ | h \ |}} \ derecha \ rangle \ right) \\ [8pt] & = - {\ frac {1} {2 \ | x \ | ^ {3}}} \ left (\ lim _ {h \ to 0} \ langle x, h \ rangle \ left \ langle x, {\ frac {h} {\ | h \ |}} \ right \ rangle \ right) \\ [8pt] \ end {alineado}}}$

Como ya causa de la Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky la desigualdad ${\ Displaystyle h \ to 0, \ langle x, h \ rangle \ to 0}$

${\ Displaystyle \ left \ langle x, {\ frac {h} {\ | h \ |}} \ right \ rangle}$

está limitado por , por lo tanto, todo el límite se desvanece. ${\ Displaystyle \ | x \ |}$

Ahora mostramos que en la norma no es diferenciable, es decir, no existe funcional lineal acotado tal que el límite en cuestión sea . Sea cualquier funcional lineal. El teorema de representación de Riesz nos dice que podría definirse por para algunos . Considerar ${\ Displaystyle x = 0}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle Dv = \ langle a, v \ rangle}$${\ Displaystyle a \ in H}$

${\ Displaystyle A (h) = {\ frac {| \ | 0 + h \ | - \ | 0 \ | -Dh |} {\ | h \ |}} = \ left | 1- \ left \ langle a, {\ frac {h} {\ | h \ |}} \ right \ rangle \ right |.}$

Para que la norma sea diferenciable debemos tener ${\ Displaystyle 0}$

${\ Displaystyle \ lim _ {h \ to 0} A (h) = 0.}$

Demostraremos que esto no es cierto para nadie . Si obviamente es independiente de , por lo tanto, esta no es la derivada. Asuma . Si tomamos la tendencia a cero en la dirección de (es decir , dónde ) entonces , por lo tanto ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle a = 0}$${\ Displaystyle A (h) = 1}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle a \ neq 0}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle -a}$${\ Displaystyle h = t \ cdot (-a)}$${\ Displaystyle t \ to 0 ^ {+}}$${\ Displaystyle A (h) = | 1+ \ | a \ ||> 1> 0}$

${\ Displaystyle \ lim _ {h \ to 0} A (h) \ neq 0}$

(Si tomamos tendiendo a cero en la dirección de incluso veríamos que este límite no existe ya que en este caso obtendremos ). ${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle | 1- \ | a \ ||}$

El resultado recién obtenido concuerda con los resultados en dimensiones finitas.

Relación con la derivada de Gateaux

Una función f  : U ⊂ V → W se llama Gateaux diferenciable en x  ∈ U si f tiene una derivada direccional a lo largo de todas las direcciones en  x . Esto significa que existe una función g  : V → W tal que

${\ Displaystyle g (h) = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {f (x + th) -f (x)} {t}}}$

para cualquier vector elegido h en V , y donde t es del campo escalar asociado con V (generalmente, t es real ).

Si f es derivable de Fréchet en x , también es derivable de Gateaux allí, y g es solo el operador lineal A  = Df ( x ).

Sin embargo, no todas las funciones diferenciables de Gateaux son diferenciables de Fréchet. Esto es análogo al hecho de que la existencia de todas las derivadas direccionales en un punto no garantiza la diferenciabilidad total (o incluso la continuidad) en ese punto. Por ejemplo, la función f de valor real de dos variables reales definidas por

${\ displaystyle f (x, y) = {\ begin {cases} {\ frac {x ^ {3}} {x ^ {2} + y ^ {2}}} & (x, y) \ neq (0 , 0) \\ 0 & (x, y) = (0,0) \ end {cases}}}$

es continua y Gateaux diferenciable en (0, 0), siendo su derivada

${\ Displaystyle g (a, b) = {\ begin {cases} {\ frac {a ^ {3}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} & (a, b) \ neq (0 , 0) \\ 0 & (a, b) = (0,0) \ end {cases}}}$

La función g no es un operador lineal, por lo que esta función no es diferenciable de Fréchet.

De manera más general, cualquier función de la forma , donde r y φ son las coordenadas polares de ( x , y ), es continua y Gateaux diferenciable en (0,0) si g es diferenciable en 0 y , pero la derivada Gateaux es solo lineal. y la derivada de Fréchet solo existe si h es sinusoidal . ${\ Displaystyle f (x, y) = g (r) h (\ phi)}$${\ Displaystyle h (\ phi + \ pi) = - h (\ phi)}$

En otra situación, la función f dada por

${\ Displaystyle f (x, y) = {\ begin {cases} {\ frac {x ^ {3} y} {x ^ {6} + y ^ {2}}} & (x, y) \ neq ( 0,0) \\ 0 & (x, y) = (0,0) \ end {cases}}}$

Gateaux es diferenciable en (0, 0), siendo su derivada g ( a ,  b ) = 0 para todo ( a ,  b ), que es un operador lineal. Sin embargo, f no es continua en (0, 0) (se puede ver acercándose al origen a lo largo de la curva ( t , t ³ )) y, por lo tanto, f no puede ser diferenciable de Fréchet en el origen.

Un ejemplo más sutil es

${\ Displaystyle f (x, y) = {\ begin {cases} {\ frac {x ^ {2} y} {x ^ {4} + y ^ {2}}} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} & (x, y) \ neq (0,0) \\ 0 & (x, y) = (0,0) \ end {cases}}}$

que es una función continua que es Gateaux diferenciable en (0, 0), con su derivada siendo g ( a ,  b ) = 0 allí, que de nuevo es lineal. Sin embargo, f no es diferenciable de Fréchet. Si lo fuera, su derivada de Fréchet coincidiría con su derivada de Gateaux y, por tanto, sería el operador cero; de ahí el límite

${\ Displaystyle \ lim _ {(x, y) \ to (0,0)} \ left | {\ frac {x ^ {2} y} {x ^ {4} + y ^ {2}}} \ right |}$

tendría que ser cero, mientras que acercarse al origen a lo largo de la curva ( t , t ² ) muestra que este límite no existe.

Estos casos pueden ocurrir porque la definición de la derivada de Gateaux solo requiere que los cocientes de diferencia converjan a lo largo de cada dirección individualmente, sin hacer requisitos sobre las tasas de convergencia para diferentes direcciones. Por lo tanto, para un ε dado, aunque para cada dirección el cociente de diferencia está dentro de ε de su límite en alguna vecindad del punto dado, estas vecindades pueden ser diferentes para diferentes direcciones, y puede haber una secuencia de direcciones para las cuales estas vecindades se vuelven arbitrariamente pequeño. Si se elige una secuencia de puntos a lo largo de estas direcciones, es posible que el cociente en la definición de la derivada de Fréchet, que considera todas las direcciones a la vez, no converja. Por lo tanto, para que una derivada lineal de Gateaux implique la existencia de la derivada de Fréchet, los cocientes de diferencias deben converger uniformemente en todas las direcciones.

El siguiente ejemplo solo funciona en dimensiones infinitas. Sea X un espacio de Banach y φ un funcional lineal en X que es discontinuo en x  = 0 (un funcional lineal discontinuo ). Dejar

${\ Displaystyle f (x) = \ | x \ | \ varphi (x).}$

Entonces f ( x ) es Gateaux diferenciable en x  = 0 con derivada 0. Sin embargo, f ( x ) no es Fréchet diferenciable ya que el límite

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} \ varphi (x)}$

no existe.

Derivadas superiores

Si f  : U → W es una función diferenciable en todos los puntos de un subconjunto abierto U de V , se sigue que su derivada

${\ Displaystyle Df: U \ a L (V, W)}$

es una función de U para el espacio L ( V , W ) de todos delimitado lineal operadores de V a W . Esta función también puede tener una derivada, la derivada de segundo orden de f , que, según la definición de derivada, será un mapa

${\ Displaystyle D ^ {2} f: U \ a L {\ big (} V, L (V, W) {\ big)}.}$

Para que sea más fácil trabajar con derivados de segundo orden, el espacio en el lado derecho se identifica con el espacio de Banach L ² ( V × V , W ) de todos continua bilineal mapas de V a W . Un elemento φ en L ( V , L ( V , W )) De este modo se identifica con ψ en L ² ( V × V , W ) tal que para todo x y y en V ,

${\ Displaystyle \ varphi (x) (y) = \ psi (x, y).}$

(Intuitivamente: una función φ lineal en x con φ ( x ) lineal en y es lo mismo que una función bilineal ψ en x e y ).

Uno puede diferenciar

${\ Displaystyle D ^ {2} f: U \ a L ^ {2} (V \ times V, W)}$

nuevamente, para obtener la derivada de tercer orden , que en cada punto será un mapa trilineal , y así sucesivamente. La n -ésima derivada será una función

${\ Displaystyle D ^ {n} f: U \ a L ^ {n} (V \ veces V \ veces \ cdots \ veces V, W),}$

tomando valores en el espacio de Banach de continua multilineal mapea en n argumentos de V a W . Recursivamente, una función f es n + 1 veces diferenciable en U si es n veces diferenciable en U y para cada x en U existe un mapa multilineal continuo A de n + 1 argumentos tales que el límite

${\ Displaystyle \ lim _ {h_ {n + 1} \ to 0} {\ frac {\ left \ | D ^ {n} f \ left (x + h_ {n + 1} \ right) (h_ {1} , h_ {2}, \ ldots, h_ {n}) - D ^ {n} f (x) (h_ {1}, h_ {2}, \ ldots, h_ {n}) - A \ left (h_ { 1}, h_ {2}, \ ldots, h_ {n}, h_ {n + 1} \ right) \ right \ |} {\ | h_ {n + 1} \ |}} = 0}$

existe de manera uniforme para h ₁ , h ₂ , ..., h _n en conjuntos delimitadas en V . En ese caso, A es la ( n + 1) derivada de f en x .

Además, obviamente podemos identificar un miembro del espacio con un mapa lineal a través de la identificación , viendo así la derivada como un mapa lineal. ${\ Displaystyle L ^ {n} (V \ veces V \ veces \ cdots \ veces V, W)}$${\ Displaystyle L (\ fanatismo _ {j = 1} ^ {n} V_ {j}, W)}$${\ Displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = f (x_ {1} \ otimes x_ {2} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n})}$

Derivados parciales de Fréchet

En esta sección, ampliamos la noción habitual de derivadas parciales que se define para funciones de la forma , a funciones cuyos dominios y espacios de destino son espacios de Banach arbitrarios (reales o complejos) . Para hacer esto, sea y sea ​​espacios de Banach (sobre el mismo campo de escalares), y sea ​​una función dada, y fije un punto . Decimos que tiene una i-ésima diferencial parcial en el punto si la función definida por ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle V_ {1}, \ dots, V_ {n}}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle f: \ prod _ {i = 1} ^ {n} V_ {i} \ to W}$${\ Displaystyle a = (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ in \ prod _ {i = 1} ^ {n} V_ {i}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle \ varphi _ {i}: V_ {i} \ to W}$

${\ Displaystyle \ varphi _ {i} (x) = f (a_ {1}, \ dots, a_ {i-1}, x, a_ {i + 1}, \ dots a_ {n})}$

Fréchet es diferenciable en el punto (en el sentido descrito anteriormente). En este caso, definimos y llamamos a la i-ésima derivada parcial de en el punto . Es importante tener en cuenta que es una transformación lineal de a . Heurísticamente, si tiene un i-ésimo diferencial parcial en , entonces se aproxima linealmente al cambio en la función cuando fijamos todas sus entradas para que sean para , y solo variamos la i-ésima entrada. Podemos expresar esto en la notación de Landau como ${\ Displaystyle a_ {i}}$${\ estilo de visualización \ parcial _ {i} f (a): = D \ varphi _ {i} (a_ {i})}$${\ estilo de visualización \ parcial _ {i} f (a)}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle a}$${\ estilo de visualización \ parcial _ {i} f (a)}$${\ Displaystyle V_ {i}}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle a}$${\ estilo de visualización \ parcial _ {i} f (a)}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle a_ {j}}$${\ Displaystyle j \ neq i}$

${\ estilo de visualización f (a_ {1}, \ puntos, a_ {i} + h, \ puntos a_ {n}) - f (a_ {1}, \ puntos, a_ {n}) = \ parcial _ {i} f (a) (h) + o (h).}$

Generalización a espacios vectoriales topológicos

La noción del derivado Fréchet se puede generalizar a arbitrarias espacios vectoriales topológicos (TVS) X y Y . Dejando que U sea ​​un subconjunto abierto de X que contiene el origen y dada una función tal que primero definamos lo que significa que esta función tenga 0 como su derivada. Decimos que esta función f es tangente a 0 si para cada vecindario abierto de 0, existe un vecindario abierto de 0, y una función tal que ${\ Displaystyle f: U \ to Y}$${\ Displaystyle f (0) = 0,}$${\ Displaystyle W \ subconjunto Y}$${\ Displaystyle V \ subconjunto X}$${\ Displaystyle o: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {o (t)} {t}} = 0,}$

y para todo t en alguna vecindad del origen,${\ Displaystyle f (tV) \ subconjunto o (t) W.}$

Ahora podemos eliminar la restricción de que al definir f como diferenciable de Fréchet en un punto si existe un operador lineal continuo tal que , considerado como una función de h , es tangente a 0. (Lang p. 6) ${\ Displaystyle f (0) = 0}$${\ Displaystyle x_ {0} \ in U}$${\ Displaystyle \ lambda: X \ to Y}$${\ Displaystyle f (x_ {0} + h) -f (x_ {0}) - \ lambda h}$

Si existe el derivado de Fréchet, entonces es único. Además, la derivada de Gateaux también debe existir y ser igual a la derivada de Fréchet en que para todos , ${\ Displaystyle v \ en X}$

${\ Displaystyle \ lim _ {\ tau \ to 0} {\ frac {f (x_ {0} + \ tau v) -f (x_ {0})} {\ tau}} = f '(x_ {0} ) v,}$

donde es el derivado de Fréchet. Una función que es diferenciable de Fréchet en un punto es necesariamente continua allí y las sumas y los múltiplos escalares de las funciones diferenciables de Fréchet son diferenciables de modo que el espacio de funciones que son diferenciables de Fréchet en un punto forman un subespacio de las funciones que son continuas en ese punto. La regla de la cadena también se cumple, al igual que la regla de Leibniz, siempre que Y es un álgebra y un TVS en el que la multiplicación es continua. ${\ Displaystyle f '(x_ {0})}$

Ver también

• Generalizaciones de la derivada
• Gradiente # Derivado de Fréchet
• Holomorfia de dimensión infinita

Notas

Referencias

• Cartan, Henri (1967), Calcul différentiel , París: Hermann, MR  0223194.
• Dieudonné, Jean (1969), Fundamentos del análisis moderno , Boston, MA: Academic Press , MR  0349288.
• Lang, Serge (1995), colectores diferenciales y riemannianos , Springer , ISBN 0-387-94338-2.
• Munkres, James R. (1991), Análisis de variedades , Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-51035-5, MR  1079066.
• Previato, Emma , ed. (2003), Diccionario de matemáticas aplicadas para ingenieros y científicos , Diccionario comprensivo de matemáticas, Londres: CRC Press , ISBN 978-1-58488-053-0, Señor  1966695.
• Coleman, Rodney, ed. (2012), Cálculo de espacios vectoriales normativos , Universitext, Springer , ISBN 978-1-4614-3894-6.

enlaces externos

• BA Frigyik, S. Srivastava y MR Gupta, Introducción a los derivados funcionales , Informe técnico de UWEE 2008-0001.
• http://www.probability.net . Esta página web trata principalmente sobre la probabilidad básica y la teoría de la medida, pero hay un buen capítulo sobre la derivada de Frechet en los espacios de Banach (capítulo sobre la fórmula jacobiana). Todos los resultados se dan con prueba.