Convergencia uniforme - Uniform convergence

En el campo matemático del análisis , la convergencia uniforme es un modo de convergencia de funciones más fuerte que la convergencia puntual . Una secuencia de funciones converge uniformemente a una función limitante en un conjunto si, dado cualquier número positivo arbitrariamente pequeño , se puede encontrar un número tal que cada una de las funciones difiera de no más de en cada punto de . Descrito de manera informal, si converge uniformemente, entonces la velocidad a la que se aproxima es "uniforme" en todo su dominio en el siguiente sentido: para garantizar que cae dentro de una cierta distancia de , no necesitamos conocer el valor de en cuestión - se puede encontrar un valor único de independiente de , de modo que la elección garantizará que esté dentro de para todos . Por el contrario, la convergencia puntual de a simplemente garantiza que para cualquier dato dado de antemano, podemos encontrar ( puede depender del valor de ) de modo que, para ese particular , se encuentre dentro de siempre . ${\ Displaystyle (f_ {n})}$ ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle f_ {N}, f_ {N + 1}, f_ {N + 2}, \ ldots}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ epsilon}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle f_ {n}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f_ {n} (x)}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle f_ {n} (x)}$${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle x \ in E}$${\ Displaystyle N = N (\ epsilon)}$ ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle n \ geq N}$${\ Displaystyle f_ {n} (x)}$${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ Displaystyle f (x)}$ ${\ Displaystyle x \ in E}$${\ Displaystyle f_ {n}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x \ in E}$${\ Displaystyle N = N (\ epsilon, x)}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle f_ {n} (x)}$${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle n \ geq N}$

La diferencia entre la convergencia uniforme y la convergencia puntual no se apreció completamente al principio de la historia del cálculo, lo que dio lugar a casos de razonamiento defectuoso. El concepto, que fue formalizado por primera vez por Karl Weierstrass , es importante porque varias propiedades de las funciones , como la continuidad , la integrabilidad de Riemann y, con hipótesis adicionales, la diferenciabilidad , se transfieren al límite si la convergencia es uniforme, pero no necesariamente si la convergencia no es uniforme. ${\ Displaystyle f_ {n}}$ ${\ Displaystyle f}$

Historia

En 1821, Augustin-Louis Cauchy publicó una prueba de que una suma convergente de funciones continuas es siempre continua, a la que Niels Henrik Abel en 1826 encontró supuestos contraejemplos en el contexto de las series de Fourier , argumentando que la prueba de Cauchy tenía que ser incorrecta. En ese momento no existían nociones completamente estándar de convergencia, y Cauchy manejó la convergencia utilizando métodos infinitesimales. Cuando se pone en el lenguaje moderno, lo que Cauchy demostró es que una secuencia uniformemente convergente de funciones continuas tiene un límite continuo. El hecho de que un límite meramente convergente puntual de funciones continuas no converja en una función continua ilustra la importancia de distinguir entre diferentes tipos de convergencia cuando se manejan secuencias de funciones.

El término convergencia uniforme fue probablemente utilizado por primera vez por Christoph Gudermann , en un artículo de 1838 sobre funciones elípticas , donde empleó la frase "convergencia de forma uniforme" cuando el "modo de convergencia" de una serie es independiente de las variables y mientras que él Pensó que era un "hecho notable" cuando una serie convergía de esta manera, no dio una definición formal, ni usó la propiedad en ninguna de sus pruebas. ${\ Displaystyle \ textstyle {\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f_ {n} (x, \ phi, \ psi)}}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle \ psi.}$

Posteriormente, el alumno de Gudermann, Karl Weierstrass , que asistió a su curso sobre funciones elípticas en 1839-1840, acuñó el término gleichmäßig konvergent ( alemán : uniformemente convergente ) que utilizó en su artículo de 1841 Zur Theorie der Potenzreihen , publicado en 1894. Independientemente, conceptos similares fueron articulado por Philipp Ludwig von Seidel y George Gabriel Stokes . GH Hardy compara las tres definiciones en su artículo "Sir George Stokes y el concepto de convergencia uniforme" y comenta: "El descubrimiento de Weierstrass fue el más temprano, y solo él se dio cuenta plenamente de su gran importancia como una de las ideas fundamentales del análisis".

Bajo la influencia de Weierstrass y Bernhard Riemann, este concepto y las cuestiones relacionadas fueron intensamente estudiados a finales del siglo XIX por Hermann Hankel , Paul du Bois-Reymond , Ulisse Dini , Cesare Arzelà y otros.

Definición

Primero definimos la convergencia uniforme para funciones de valor real , aunque el concepto se generaliza fácilmente a funciones que se asignan a espacios métricos y, de manera más general, a espacios uniformes (ver más abajo ).

Supongamos que es un conjunto y es una secuencia de funciones de valor real en él. Decimos la secuencia es uniformemente convergente en las que existan límites si para cada existe un número natural tal que para todo y${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle f: E \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ epsilon> 0,}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle n \ geq N}$${\ Displaystyle x \ in E}$

${\ Displaystyle | f_ {n} (x) -f (x) | <\ epsilon.}$

La notación para la convergencia uniforme de a no está del todo estandarizada y diferentes autores han utilizado una variedad de símbolos, que incluyen (en orden de popularidad aproximadamente decreciente): ${\ Displaystyle f_ {n}}$${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle f_ {n} \ rightrightarrows f, \ quad {\ underset {n \ to \ infty} {\ mathrm {unif \ lim}}} f_ {n} = f, \ quad f_ {n} {\ overset { \ mathrm {unif.}} {\ longrightarrow}} f.}$

Con frecuencia, no se utiliza ningún símbolo especial y los autores simplemente escriben

${\ Displaystyle f_ {n} \ to f \ quad \ mathrm {uniformemente}}$

para indicar que la convergencia es uniforme. (Por el contrario, la expresión on sin adverbio se considera una convergencia puntual en : para todos , como ). ${\ Displaystyle f_ {n} \ af}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle x \ in E}$${\ Displaystyle f_ {n} (x) \ af (x)}$${\ Displaystyle n \ to \ infty}$

Dado que es un espacio métrico completo , el criterio de Cauchy puede usarse para dar una formulación alternativa equivalente para la convergencia uniforme: converge uniformemente en (en el sentido anterior) si y solo si para cada , existe un número natural tal que ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle \ epsilon> 0}$${\ Displaystyle N}$

${\ Displaystyle x \ in E, m, n \ geq N \ implica | f_ {m} (x) -f_ {n} (x) | <\ epsilon}$.

En otra formulación equivalente, si definimos

${\ Displaystyle d_ {n} = \ sup _ {x \ in E} | f_ {n} (x) -f (x) |,}$

luego converge uniformemente si y solo si como . Por lo tanto, podemos caracterizar la convergencia uniforme de on como la convergencia (simple) de en el espacio funcional con respecto a la métrica uniforme (también llamada métrica superior), definida por ${\ Displaystyle f_ {n}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle d_ {n} \ to 0}$${\ Displaystyle n \ to \ infty}$${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {E}}$

${\ Displaystyle d (f, g) = \ sup _ {x \ in E} | f (x) -g (x) |.}$

Simbólicamente,

${\ Displaystyle f_ {n} \ rightrightarrows f \ iff \ lim _ {n \ to \ infty} d (f_ {n}, f) = 0}$.

Se dice que la secuencia es localmente uniformemente convergente con límite si es un espacio métrico y para cada , existe un tal que converge uniformemente en. Está claro que la convergencia uniforme implica una convergencia local uniforme, lo que implica una convergencia puntual. ${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle x \ in E}$${\ Displaystyle r> 0}$${\ Displaystyle (f_ {n})}$${\ Displaystyle B (x, r) \ cap E.}$

Notas

Intuitivamente, una secuencia de funciones converge uniformemente a si, dada una arbitrariamente pequeño , podemos encontrar una manera que las funciones con todos caen dentro de un "tubo" de anchura centrados alrededor (es decir, entre y ) para el todo el dominio de la función. ${\ Displaystyle f_ {n}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ epsilon> 0}$${\ Displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle f_ {n}}$${\ Displaystyle n> N}$${\ Displaystyle 2 \ epsilon}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f (x) - \ epsilon}$${\ Displaystyle f (x) + \ epsilon}$

Tenga en cuenta que intercambiar el orden de los cuantificadores en la definición de convergencia uniforme moviendo "para todos " delante de "existe un número natural " da como resultado una definición de convergencia puntual de la secuencia. Hacer explícita esta diferencia, en el caso de la convergencia uniforme, sólo puede depender de , y la elección de tiene que funcionar para todos , porque se da un valor específico de eso. Por el contrario, en el caso de la convergencia puntual, puede depender de ambos y , y la elección de solo tiene que funcionar para los valores específicos de y que se dan. Por lo tanto, la convergencia uniforme implica una convergencia puntual, sin embargo, lo contrario no es cierto, como ilustra el ejemplo de la sección siguiente. ${\ Displaystyle x \ in E}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N = N (\ epsilon)}$${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle x \ in E}$${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ Displaystyle N = N (\ epsilon, x)}$${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ Displaystyle x}$

Generalizaciones

Se puede extender directamente el concepto a las funciones E → M , donde ( M , d ) es un espacio métrico , reemplazando con . ${\ Displaystyle | f_ {n} (x) -f (x) |}$${\ Displaystyle d (f_ {n} (x), f (x))}$

El escenario más general es la convergencia uniforme de redes de funciones E → X , donde X es un espacio uniforme . Decimos que la red converge uniformemente con límite de f  : E → X si y sólo si para todo entorno V de X , existe una , de manera que para cada x en E y cada , es en V . En esta situación, el límite uniforme de funciones continuas permanece continuo. ${\ Displaystyle (f _ {\ alpha})}$ ${\ Displaystyle \ alpha _ {0}}$${\ Displaystyle \ alpha \ geq \ alpha _ {0}}$${\ Displaystyle (f _ {\ alpha} (x), f (x))}$

Definición en un entorno hiperreal

La convergencia uniforme admite una definición simplificada en un entorno hiperreal . Por lo tanto, una secuencia converge af uniformemente si para todo x en el dominio de y todo n infinito , está infinitamente cerca de (ver microcontinuidad para una definición similar de continuidad uniforme). ${\ Displaystyle f_ {n}}$${\ Displaystyle f ^ {*}}$${\ Displaystyle f_ {n} ^ {*} (x)}$${\ Displaystyle f ^ {*} (x)}$

Ejemplos de

Por ejemplo, un ejemplo básico de convergencia uniforme se puede ilustrar de la siguiente manera: la secuencia converge uniformemente, mientras que no. Específicamente, suponga . Cada función es menor o igual que cuando , independientemente del valor de . Por otro lado, es solo menor o igual a valores cada vez mayores de cuando los valores de se seleccionan cada vez más cerca de 1 (se explica más en profundidad más adelante). ${\ Displaystyle x \ in [0,1)}$${\ Displaystyle (1/2) ^ {x + n}}$${\ Displaystyle x ^ {n}}$${\ Displaystyle \ epsilon = 1/4}$${\ Displaystyle (1/2) ^ {x + n}}$${\ Displaystyle 1/4}$${\ Displaystyle n \ geq 2}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x ^ {n}}$${\ Displaystyle 1/4}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle x}$

Dado un espacio topológico X , podemos equipar el espacio de funciones acotadas reales o valuadas complejas sobre X con la topología de norma uniforme , con la métrica uniforme definida por

${\ Displaystyle d (f, g) = \ | fg \ | _ {\ infty} = \ sup _ {x \ in X} | f (x) -g (x) |.}$

Entonces, la convergencia uniforme simplemente significa la convergencia en la topología de norma uniforme :

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ | f_ {n} -f \ | _ {\ infty} = 0}$.

La secuencia de funciones ${\ Displaystyle (f_ {n})}$

${\ Displaystyle {\ begin {cases} f_ {n}: [0,1] \ a [0,1] \\ f_ {n} (x) = x ^ {n} \ end {cases}}}$

es un ejemplo clásico de una secuencia de funciones que converge a una función puntual pero no uniformemente. Para mostrar esto, primero observamos que el límite puntual de as es la función , dada por ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle (f_ {n})}$${\ Displaystyle n \ to \ infty}$${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle f (x) = \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (x) = {\ begin {cases} 0, & x \ in [0,1); \\ 1, & x = 1 . \ end {casos}}}$

Convergencia puntual: la convergencia es trivial para y , desde y , para todos . Por y dado , podemos asegurarnos de que siempre que elija (aquí los corchetes superiores indican redondeo hacia arriba, ver función de techo ). Por lo tanto, puntual para todos . Tenga en cuenta que la elección de depende del valor de y . Además, para una elección fija de , (que no puede definirse como más pequeña) crece sin límite a medida que se acerca a 1. Estas observaciones excluyen la posibilidad de una convergencia uniforme. ${\ Displaystyle x = 0}$${\ Displaystyle x = 1}$${\ Displaystyle f_ {n} (0) = f (0) = 0}$${\ Displaystyle f_ {n} (1) = f (1) = 1}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle x \ in (0,1)}$${\ Displaystyle \ epsilon> 0}$${\ Displaystyle | f_ {n} (x) -f (x) | <\ epsilon}$${\ Displaystyle n \ geq N}$${\ Displaystyle N = \ lceil \ log \ epsilon / \ log x \ rceil}$${\ Displaystyle f_ {n} \ af}$${\ Displaystyle x \ in [0,1]}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle x}$

No uniformidad de convergencia: La convergencia no es uniforme, porque podemos encontrar un tal que no importa cuán grande elijamos habrá valores de y tales que Para ver esto, primero observe que independientemente de cuán grande sea, siempre hay un tal que así, si elegimos nunca podremos encontrar tal que para todos y . Explícitamente, sea cual sea el candidato que elijamos , considere el valor de en . Ya que ${\ Displaystyle \ epsilon> 0}$${\ Displaystyle N,}$${\ Displaystyle x \ in [0,1]}$${\ Displaystyle n \ geq N}$${\ Displaystyle | f_ {n} (x) -f (x) | \ geq \ epsilon.}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle x_ {0} \ in [0,1)}$${\ Displaystyle f_ {n} (x_ {0}) = 1/2.}$${\ Displaystyle \ epsilon = 1/4,}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle | f_ {n} (x) -f (x) | <\ epsilon}$${\ Displaystyle x \ in [0,1]}$${\ Displaystyle n \ geq N}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle f_ {N}}$${\ Displaystyle x_ {0} = (1/2) ^ {1 / N}}$

${\ Displaystyle \ left | f_ {N} (x_ {0}) - f (x_ {0}) \ right | = \ left | \ left [\ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {\ frac {1} {N}} \ right] ^ {N} -0 \ right | = {\ frac {1} {2}}> {\ frac {1} {4}} = \ epsilon,}$

el candidato fracasa porque hemos encontrado un ejemplo de un que "escapó" a nuestro intento de "confinar" a cada uno dentro de para todos . De hecho, es fácil ver que ${\ Displaystyle x \ in [0,1]}$${\ Displaystyle f_ {n} \ (n \ geq N)}$${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x \ in [0,1]}$

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ | f_ {n} -f \ | _ {\ infty} = 1,}$

contrario al requisito de que si . ${\ Displaystyle \ | f_ {n} -f \ | _ {\ infty} \ to 0}$${\ Displaystyle f_ {n} \ rightrightarrows f}$

En este ejemplo, se puede ver fácilmente que la convergencia puntual no preserva la diferenciabilidad o la continuidad. Mientras que cada función de la secuencia es suave, es decir que para todo n , , el límite no es incluso continua. ${\ displaystyle f_ {n} \ en C ^ {\ infty} ([0,1])}$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n}}$

Funcion exponencial

Se puede demostrar que la expansión en serie de la función exponencial es uniformemente convergente en cualquier subconjunto acotado usando la prueba M de Weierstrass . ${\ Displaystyle S \ subconjunto \ mathbb {C}}$

Teorema (prueba M de Weierstrass). Sea una secuencia de funciones y sea ​​una secuencia de números reales positivos tal que para todos y Si converge, entonces converge uniformemente en .${\ Displaystyle (f_ {n})}$${\ Displaystyle f_ {n}: E \ to \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle M_ {n}}$${\ Displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq M_ {n}}$${\ Displaystyle x \ in E}$${\ Displaystyle n = 1,2,3, \ ldots}$${\ textstyle \ sum _ {n} M_ {n}}$${\ textstyle \ sum _ {n} f_ {n}}$${\ Displaystyle E}$

La función exponencial compleja se puede expresar como la serie:

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}}.}$

Cualquier subconjunto acotado es un subconjunto de algún disco de radio centrado en el origen en el plano complejo . La prueba M de Weierstrass requiere que encontremos un límite superior en los términos de la serie, independientemente de la posición en el disco: ${\ Displaystyle D_ {R}}$${\ Displaystyle R,}$${\ Displaystyle M_ {n}}$${\ Displaystyle M_ {n}}$

${\ Displaystyle \ left | {\ frac {z ^ {n}} {n!}} \ right | \ leq M_ {n}, \ forall z \ in D_ {R}.}$

Para hacer esto, notamos

${\ Displaystyle \ left | {\ frac {z ^ {n}} {n!}} \ right | \ leq {\ frac {| z | ^ {n}} {n!}} \ leq {\ frac {R ^ {n}} {n!}}}$

y tomar ${\ Displaystyle M_ {n} = {\ tfrac {R ^ {n}} {n!}}.}$

Si es convergente, entonces la prueba M afirma que la serie original es uniformemente convergente. ${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} M_ {n}}$

La prueba de relación se puede utilizar aquí:

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {M_ {n + 1}} {M_ {n}}} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {R ^ {n +1}} {R ^ {n}}} {\ frac {n!} {(N + 1)!}} = \ Lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {R} {n + 1} } = 0}$

lo que significa que la serie finalizada es convergente. Por lo tanto, la serie original converge uniformemente para todos y dado que , la serie también es uniformemente convergente en${\ Displaystyle M_ {n}}$${\ Displaystyle z \ in D_ {R},}$${\ Displaystyle S \ subconjunto D_ {R}}$${\ Displaystyle S.}$

Propiedades

• Toda secuencia uniformemente convergente es localmente uniformemente convergente.
• Cada secuencia localmente uniformemente convergente es compactamente convergente .
• Para espacios localmente compactos, la convergencia local uniforme y la convergencia compacta coinciden.
• Una secuencia de funciones continuas en espacios métricos, con el espacio métrico de la imagen completo, es uniformemente convergente si y solo si es uniformemente Cauchy .
• Si es un intervalo compacto (o en general un espacio topológico compacto), y es una secuencia creciente monótona (es decir, para todos n y x ) de funciones continuas con un límite puntual que también es continuo, entonces la convergencia es necesariamente uniforme ( teorema de Dini ). La convergencia uniforme también está garantizada si es un intervalo compacto y es una secuencia equicontinua que converge puntualmente.${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle (f_ {n})}$${\ Displaystyle f_ {n} (x) \ leq f_ {n + 1} (x)}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle (f_ {n})}$

Aplicaciones

A la continuidad

Contraejemplo a un fortalecimiento del teorema de convergencia uniforme, en el que se supone una convergencia puntual, en lugar de una convergencia uniforme. Las funciones verdes continuas convergen a la función roja discontinua. Esto solo puede suceder si la convergencia no es uniforme.${\ Displaystyle \ sin ^ {n} (x)}$

Si y son espacios topológicos , entonces tiene sentido hablar de la continuidad de las funciones . Si asumimos además que es un espacio métrico , entonces la convergencia (uniforme) del a también está bien definida. El siguiente resultado indica que la continuidad se conserva mediante la convergencia uniforme: ${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle f_ {n}, f: E \ a M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle f_ {n}}$${\ Displaystyle f}$

Teorema del límite uniforme . Supongamos que es un espacio topológico, es un espacio métrico y es una secuencia de funciones continuas . Si el , entonces también es continua.${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle (f_ {n})}$${\ Displaystyle f_ {n}: E \ a M}$${\ Displaystyle f_ {n} \ rightrightarrows f}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle f}$

Este teorema se demuestra mediante el " truco ε / 3 ", y es el ejemplo arquetípico de este truco: para probar una desigualdad dada ( ε ), se utilizan las definiciones de continuidad y convergencia uniforme para producir 3 desigualdades ( ε / 3 ), y luego los combina a través de la desigualdad del triángulo para producir la desigualdad deseada.

Este teorema es importante en la historia del análisis real y de Fourier, ya que muchos matemáticos del siglo XVIII tenían la comprensión intuitiva de que una secuencia de funciones continuas siempre converge en una función continua. La imagen de arriba muestra un contraejemplo, y muchas funciones discontinuas podrían, de hecho, escribirse como una serie de Fourier de funciones continuas. La afirmación errónea de que el límite puntual de una secuencia de funciones continuas es continuo (originalmente expresado en términos de series convergentes de funciones continuas) se conoce infamemente como "teorema erróneo de Cauchy". El teorema del límite uniforme muestra que se necesita una forma más fuerte de convergencia, la convergencia uniforme, para asegurar la preservación de la continuidad en la función límite.

Más precisamente, este teorema establece que el límite uniforme de funciones uniformemente continuas es uniformemente continuo; para un espacio localmente compacto , la continuidad es equivalente a la continuidad local uniforme y, por tanto, el límite uniforme de las funciones continuas es continuo.

A la diferenciabilidad

Si es un intervalo y todas las funciones son diferenciables y convergen hasta un límite , a menudo es deseable determinar la función derivada tomando el límite de la secuencia . Sin embargo, esto en general no es posible: incluso si la convergencia es uniforme, la función límite no necesita ser diferenciable (ni siquiera si la secuencia consta de funciones analíticas en todas partes , ver función de Weierstrass ), e incluso si es diferenciable, la derivada de la función límite no necesita ser igual al límite de las derivadas. Considere, por ejemplo, con límite uniforme . Claramente, también es idénticamente cero. Sin embargo, las derivadas de la secuencia de funciones están dadas por y la secuencia no converge ni siquiera a ninguna función. Para asegurar una conexión entre el límite de una secuencia de funciones diferenciables y el límite de la secuencia de derivadas, se requiere la convergencia uniforme de la secuencia de derivadas más la convergencia de la secuencia de funciones en al menos un punto: ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle f_ {n}}$${\ Displaystyle f}$${\ displaystyle f '}$${\ Displaystyle f '_ {n}}$${\ Displaystyle f_ {n} (x) = n ^ {- 1/2} {\ sin (nx)}}$${\ Displaystyle f_ {n} \ rightrightarrows f \ equiv 0}$${\ displaystyle f '}$${\ Displaystyle f '_ {n} (x) = n ^ {1/2} \ cos nx,}$${\ Displaystyle f '_ {n}}$${\ displaystyle f ',}$

Si hay una secuencia de funciones diferenciables en tal que existe (y es finita) para algunas y la secuencia converge uniformemente en , entonces converge uniformemente en una función en y para .${\ Displaystyle (f_ {n})}$${\ Displaystyle [a, b]}$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (x_ {0})}$${\ Displaystyle x_ {0} \ in [a, b]}$${\ Displaystyle (f '_ {n})}$${\ Displaystyle [a, b]}$${\ Displaystyle f_ {n}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle [a, b]}$${\ Displaystyle f '(x) = \ lim _ {n \ to \ infty} f' _ {n} (x)}$${\ Displaystyle x \ in [a, b]}$

A la integrabilidad

De manera similar, a menudo se desea intercambiar integrales y limitar procesos. Para la integral de Riemann , esto se puede hacer si se supone una convergencia uniforme:

Si es una secuencia de funciones integrables de Riemann definida en un intervalo compacto que converge uniformemente con el límite , entonces es Riemann integrable y su integral se puede calcular como el límite de las integrales de :${\ Displaystyle (f_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f_ {n}}$

${\ Displaystyle \ int _ {I} f = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {I} f_ {n}.}$

De hecho, para una familia uniformemente convergente de funciones limitadas en un intervalo, las integrales de Riemann superior e inferior convergen a las integrales de Riemann superior e inferior de la función límite. Esto se debe a que, para n suficientemente grande, la gráfica de está dentro de ε de la gráfica de f , por lo que la suma superior y la suma inferior de están dentro del valor de las sumas superior e inferior de , respectivamente. ${\ Displaystyle f_ {n}}$${\ Displaystyle f_ {n}}$${\ Displaystyle \ varepsilon | I |}$${\ Displaystyle f}$

Se pueden obtener teoremas mucho más sólidos a este respecto, que no requieren mucho más que una convergencia puntual, si se abandona la integral de Riemann y se utiliza la integral de Lebesgue en su lugar.

A la analiticidad

Usando el teorema de Morera , se puede demostrar que si una secuencia de funciones analíticas converge uniformemente en una región S del plano complejo, entonces el límite es analítico en S. Este ejemplo demuestra que las funciones complejas se comportan mejor que las funciones reales, ya que el El límite uniforme de funciones analíticas en un intervalo real ni siquiera necesita ser diferenciable (ver función de Weierstrass ).

A la serie

Decimos que converge: ${\ Displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f_ {n}}$

Con esta definición llega el siguiente resultado:

Sea x ₀ contenido en el conjunto E y cada f _n sea ​​continua en x ₀ . Si converge uniformemente sobre E entonces f es continua en x ₀ en E . Supongamos que y cada f _n es integrable en E . Si converge uniformemente en E, entonces f es integrable en E y la serie de integrales de f _n es igual a la integral de la serie de f _n .${\ Displaystyle \ textstyle f = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f_ {n}}$${\ Displaystyle E = [a, b]}$${\ Displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f_ {n}}$

Convergencia casi uniforme

Si el dominio de las funciones es un espacio de medida E, entonces se puede definir la noción relacionada de convergencia casi uniforme . Decimos que una secuencia de funciones converge casi uniformemente en E si para cada existe un conjunto medible con una medida menor que tal en la que la secuencia de funciones converge uniformemente . En otras palabras, la convergencia casi uniforme significa que hay conjuntos de medidas arbitrariamente pequeñas para las cuales la secuencia de funciones converge uniformemente en su complemento. ${\ Displaystyle (f_ {n})}$${\ Displaystyle \ delta> 0}$${\ Displaystyle E _ {\ delta}}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle (f_ {n})}$${\ Displaystyle E \ setminus E _ {\ delta}}$

Tenga en cuenta que la convergencia casi uniforme de una secuencia no significa que la secuencia converja uniformemente en casi todas partes, como podría inferirse del nombre. Sin embargo, el teorema de Egorov garantiza que en un espacio de medida finito, una secuencia de funciones que converge casi en todas partes también converge casi uniformemente en el mismo conjunto.

La convergencia casi uniforme implica casi en todas partes convergencia y convergencia en la medida .

Ver también

• Convergencia uniforme en probabilidad
• Modos de convergencia (índice anotado)
• Teorema de Dini
• Teorema de Arzelà-Ascoli

Notas

Referencias

• Konrad Knopp , teoría y aplicación de las series infinitas ; Blackie and Son, Londres, 1954, reimpreso por Dover Publications, ISBN  0-486-66165-2 .
• GH Hardy , Sir George Stokes y el concepto de convergencia uniforme ; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 19 , págs. 148-156 (1918)
• Bourbaki ; Elementos de las matemáticas: topología general. Capítulos 5 a 10 (rústica) ; ISBN  0-387-19374-X
• Walter Rudin , Principios del análisis matemático , 3ª ed., McGraw-Hill, 1976.
• Gerald Folland , Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones, segunda edición, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN  0-471-31716-0 .
• William Wade, Introducción al análisis , 3ra ed., Pearson, 2005

enlaces externos

• "Convergencia uniforme" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ejemplos gráficos de convergencia uniforme de series de Fourier de la Universidad de Colorado