Espacio vectorial normado - Normed vector space

Jerarquía de espacios matemáticos. Los espacios vectoriales normalizados son un superconjunto de espacios de productos internos y un subconjunto de espacios métricos , que a su vez es un subconjunto de espacios topológicos .

En matemáticas , un espacio vectorial normado o espacio normado es un espacio vectorial sobre los números reales o complejos , sobre el que se define una norma . Una norma es la formalización y la generalización a espacios vectoriales reales de la noción intuitiva de "longitud" en el mundo real. Una norma es una función de valor real definida en el espacio vectorial que se denota comúnmente y tiene las siguientes propiedades: ${\ Displaystyle x \ mapsto \ | x \ |,}$

1. No es negativo, es decir, para cada vector x , uno tiene${\ Displaystyle \ | x \ | \ geq 0.}$
2. Es positivo en vectores distintos de cero, es decir,

   ${\ Displaystyle \ | x \ | = 0 \ Longleftrightarrow x = 0.}$

3. Para cada vector x , y cada escalar tiene ${\ Displaystyle \ alpha,}$

   ${\ Displaystyle \ | \ alpha x \ | = | \ alpha | \ | x \ |.}$

4. La desigualdad del triángulo se mantiene; Es decir, para cada vectores x y y , uno tiene

   ${\ estilo de visualización \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |.}$

Una norma induce una distancia , llamada su métrica inducida (norma) , por la fórmula

${\ Displaystyle d (x, y) = \ | yx \ |.}$

que convierten cualquier espacio vectorial normado en un espacio métrico y un espacio vectorial topológico . Si esta métrica está completa, entonces el espacio normado es un espacio de Banach . Cada espacio vectorial normado se puede "extender de forma única" a un espacio de Banach, lo que hace que los espacios normados estén íntimamente relacionados con los espacios de Banach. Cada espacio de Banach es un espacio normado pero lo contrario no es cierto. Por ejemplo, el conjunto de las secuencias finitas de números reales puede normalizarse con la norma euclidiana , pero no está completo para esta norma. ${\ Displaystyle d}$

Un espacio de producto interno es un espacio vectorial normalizado cuya norma es la raíz cuadrada del producto interno de un vector y él mismo. La norma euclidiana de un espacio vectorial euclidiano es un caso especial que permite definir la distancia euclidiana mediante la fórmula

${\ Displaystyle d (A, B) = \ | {\ overrightarrow {AB}} \ |.}$

El estudio de espacios normativos y espacios de Banach es una parte fundamental del análisis funcional , que es un subcampo importante de las matemáticas.

Definición

Un espacio vectorial normalizado es un espacio vectorial equipado con una norma . Un espacio vectorial seminorizado es un espacio vectorial equipado con una seminorma .

Una variación útil de la desigualdad del triángulo es

${\ Displaystyle \ left \ | xy \ right \ | \ geq {\ bigl |} \ left \ | x \ right \ | - \ left \ | y \ right \ | {\ bigr |}}$para cualesquiera vectores x y y .

Esto también muestra que una norma vectorial es una función continua .

La propiedad 2 depende de la elección de la norma en el campo de los escalares. Cuando el campo escalar es (o más generalmente un subconjunto de ), generalmente se toma como el valor absoluto ordinario , pero son posibles otras opciones. Por ejemplo, para un espacio vectorial sobre uno se podría considerar la norma p -ádica . ${\ Displaystyle | \ alpha |}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle | \ alpha |}$

Estructura topológica

Si ( V , ‖ · ‖) es un espacio vectorial normado, la norma ‖ · ‖ induce una métricas (una noción de distancia ) y por lo tanto una topología en V . Esta métrica se define en la forma natural: la distancia entre dos vectores u y v es dada por ‖ u  -  v ‖. Esta topología es precisamente la topología más débil que hace que ‖ · ‖ sea continuo y que es compatible con la estructura lineal de V en el siguiente sentido:

1. La suma vectorial +: V × V → V es conjuntamente continua con respecto a esta topología. Esto se sigue directamente de la desigualdad del triángulo .
2. La multiplicación escalar ·: K  ×  V  →  V , donde K es el campo escalar subyacente de V , es conjuntamente continua. Esto se sigue de la desigualdad triangular y la homogeneidad de la norma.

De manera similar, para cualquier espacio vectorial semi-normado podemos definir la distancia entre dos vectores u y v como ‖ u  -  v ‖. Esto convierte el espacio seminorizado en un espacio pseudométrico (observe que esto es más débil que una métrica) y permite la definición de nociones como continuidad y convergencia . Para decirlo de manera más abstracta, cada espacio vectorial semi-normado es un espacio vectorial topológico y, por lo tanto, lleva una estructura topológica inducida por la semi-norma.

De especial interés son los espacios completos normativos denominados espacios de Banach . Cada espacio vectorial normado V se encuentra como un subespacio denso dentro de un espacio de Banach; Este espacio de Banach está esencialmente definido de manera única por V y se llama la terminación de V .

Dos normas en el mismo espacio vectorial se denominan equivalentes si definen la misma topología . En un espacio vectorial de dimensión finita, todas las normas son equivalentes, pero esto no es cierto para los espacios vectoriales de dimensión infinita.

Todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes desde un punto de vista topológico ya que inducen la misma topología (aunque los espacios métricos resultantes no necesitan ser los mismos). Y dado que cualquier espacio euclidiano es completo, podemos concluir que todos los espacios vectoriales normados de dimensión finita son espacios de Banach. Un espacio vectorial normalizado V es localmente compacto si y solo si la bola unitaria B  = { x  : ‖ x ‖ ≤ 1} es compacta , que es el caso si y solo si V es de dimensión finita; esto es una consecuencia del lema de Riesz . (De hecho, un resultado más general es cierto: un espacio vectorial topológico es localmente compacto si y solo si es de dimensión finita. El punto aquí es que no asumimos que la topología proviene de una norma).

La topología de un espacio vectorial seminorizado tiene muchas propiedades interesantes. Dado un sistema de vecindad alrededor de 0, podemos construir todos los demás sistemas de vecindad como ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (0)}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (x) = x + {\ mathcal {N}} (0): = \ {x + N \ mid N \ in {\ mathcal {N}} (0) \}}$

con

${\ Displaystyle x + N: = \ {x + n \ mid n \ in N \}}$.

Además, existe una base de vecindad para 0 que consta de conjuntos absorbentes y convexos . Como esta propiedad es muy útil en el análisis funcional , las generalizaciones de espacios vectoriales normativos con esta propiedad se estudian bajo el nombre de espacios localmente convexos .

Espacios regulables

Un espacio vectorial topológico se llama normable si existe una norma en X tal que las métricas canónicas induce la topología en X . El siguiente teorema se debe a Kolmogorov : ${\ Displaystyle (X, \ tau)}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ Displaystyle (x, y) \ mapsto \ | yx \ |}$${\ Displaystyle \ tau}$

Teorema Un espacio vectorial topológico de Hausdorff es normable si y solo si existe una vecindad convexa acotada de von Neumann . ${\ Displaystyle 0 \ in X}$

Un producto de una familia de espacios normativos es normable si y sólo si sólo un número finito de los espacios no son triviales (es decir ). Además, el cociente de un espacio normal X por un subespacio vectorial cerrado C es normal y si además la topología de X está dada por una norma, entonces el mapa dado por es una norma bien definida en X / C que induce la topología del cociente en X / C . ${\ Displaystyle \ neq \ {0 \}}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ Displaystyle X / C \ to \ mathbb {R}}$${\ textstyle x + C \ mapsto \ inf _ {c \ in C} \ | x + c \ |}$

Si X es un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff, entonces los siguientes son equivalentes:

1. X es normal.
2. X tiene una vecindad limitada del origen.
3. el fuerte dual de X es normalizable.${\ Displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$
4. el fuerte dual de X es metrizable .${\ Displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$

Además, X es de dimensión finita si y sólo si es normable (aquí denota dotado de la topología débil- * ). ${\ Displaystyle X _ {\ sigma} ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle X _ {\ sigma} ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$

Mapas lineales y espacios duales

Los mapas más importantes entre dos espacios vectoriales normalizados son los mapas lineales continuos . Junto con estos mapas, los espacios vectoriales normativos forman una categoría .

La norma es una función continua en su espacio vectorial. Todos los mapas lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita también son continuos.

Una isometría entre dos espacios vectoriales normativos es un mapa lineal f que conserva la norma (que significa " f ( v )" = " v " para todos los vectores v ). Las isometrías son siempre continuas e inyectivas . Una isometría sobreyectiva entre los espacios vectoriales normativos V y W se denomina isomorfismo isométrico , y V y W se denominan isométricamente isomórficos . Los espacios vectoriales normados isométricamente isomórficos son idénticos a todos los efectos prácticos.

Cuando hablamos de espacios vectoriales normativos , aumentamos la noción de espacio dual para tener en cuenta la norma. El doble V  'de un espacio vectorial normalizado V es el espacio de todos los mapas lineales continuos desde V hasta el campo base (los complejos o los reales); estos mapas lineales se denominan "funcionales". La norma de un funcional φ se define como el supremo de | φ ( v ) | donde V rangos de más de todos los vectores unitarios (es decir, vectores de norma 1) en V . Esto convierte a V  'en un espacio vectorial normalizado. Un teorema importante sobre los funcionales lineales continuos en espacios vectoriales normalizados es el teorema de Hahn-Banach .

Espacios normativos como espacios cocientes de espacios seminormados

La definición de muchos espacios normados (en particular, espacios de Banach ) implica una seminorma definida en un espacio vectorial y luego el espacio normado se define como el espacio cociente por el subespacio de elementos de seminorma cero. Por ejemplo, con los espacios L ^p , la función definida por

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ left (\ int | f (x) | ^ {p} \; dx \ right) ^ {1 / p}}$

es una seminorma sobre el espacio vectorial de todas las funciones en las que la integral de Lebesgue del lado derecho está definida y es finita. Sin embargo, la seminorm es igual a cero para cualquier función admitida en un conjunto de medidas de Lebesgue cero. Estas funciones forman un subespacio que "cocentramos", haciéndolas equivalentes a la función cero.

Espacios de productos finitos

Dados n espacios seminormados X _i con seminarios q _i podemos definir el espacio de producto como

${\ Displaystyle X: = \ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$

con la suma de vectores definida como

${\ Displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) + (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}): = (x_ {1} + y_ {1}, \ ldots, x_ { n} + y_ {n})}$

y multiplicación escalar definida como

${\ Displaystyle \ alpha (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}): = (\ alpha x_ {1}, \ ldots, \ alpha x_ {n})}$.

Definimos una nueva función q

${\ Displaystyle q: X \ to \ mathbb {R}}$

por ejemplo como

${\ Displaystyle q: (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ mapsto \ sum _ {i = 1} ^ {n} q_ {i} (x_ {i})}$.

que es un seminorma en X . La función q es una norma si y solo si todo q _i son normas.

De manera más general, para cada p ≥1 real tenemos la seminorma:

${\ Displaystyle q: (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ mapsto \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} q_ {i} (x_ {i}) ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}$

Para cada p, esto define el mismo espacio topológico.

Un argumento sencillo que involucra álgebra lineal elemental muestra que los únicos espacios seminormados de dimensión finita son los que surgen como el espacio producto de un espacio normado y un espacio con seminorma trivial. En consecuencia, muchos de los ejemplos y aplicaciones más interesantes de espacios seminormados ocurren para espacios vectoriales de dimensión infinita.

Ver también

• Espacio de Banach , espacios vectoriales normativos completos con respecto a la métrica inducida por la norma
• Banach – Mazur compactum  - Conjunto de subespacios n-dimensionales de un espacio normado convertido en un espacio métrico compacto.
• Variedad de Finsler , donde la longitud de cada vector tangente está determinada por una norma
• Espacio interior del producto , espacios vectoriales normativos donde la norma viene dada por un producto interior
• Criterio de normalidad de Kolmogorov
• Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Espacio (matemáticas) : conjunto matemático con alguna estructura agregada
• Espacio vectorial topológico : un espacio vectorial con una noción de proximidad

Referencias

Bibliografía

• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Rolewicz, Stefan (1987), Análisis funcional y teoría de control: sistemas lineales , matemáticas y sus aplicaciones (Serie de Europa del Este), 29 (Traducido del polaco por Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Varsovia: D. Reidel Publishing Co .; PWN — Polish Scientific Publishers, págs. Xvi + 524, doi : 10.1007 / 978-94-015-7758-8 , ISBN 90-277-2186-6, MR  0920371 , OCLC  13064804
• Schaefer, HH (1999). Espacios vectoriales topológicos . Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

enlaces externos

• Medios relacionados con espacios normativos en Wikimedia Commons